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高三 函数的定义域值域解析式的练习题

高三 函数的定义域值域解析式的练习题
高三 函数的定义域值域解析式的练习题

函数

1 求下列函数的定义域:

① 21)(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x

x x f -++=211)(

2 求下列函数的定义域: ①14)(2--=x x f ②2

143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x 1

11

11

++ ④x x x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y

3 若函数a

ax ax y 12+

-=的定义域是R ,求实数a 的取值范围

4 (1)若函数)(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)41(+=x f y )4

1(-?x f 的定义域

(2)已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。

(3)已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2)的定义域

(4)已知f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域

5求下列函数的值域

① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②)(3x 1x 32)(≤≤-=x f ③ x

x y 1+= ;

6求下列函数的最大值、最小值与值域:

①142+-=x x y ; ②]4,3[,142∈+-=x x x y ; ③x x y -+=12

7(1)求13+--=x x y 的值域

(2)求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域

(3)求函数x x y 2231+-??? ??= 的值域

8(1)求函数2

1+-=x x y 的值域 (2)求函数1

33+=x x

y 的值域 (3)函数1

122+-=x x y 的值域 (4)求函数3

4252+-=

x x y 的值域 (5)函数11++=x x y 的值域

9、求下列函数的解析式

(1)设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f

(2)已知221)1(x

x x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式 (3)已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f

(4)已知:函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式

(5)设,)1(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f (6)设)(x f 为偶函数,)(x

g 为奇函数,又,11)()(-=

+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式

求函数的定义域和值域的方法

解:求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一,已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ , k ∈z }和余切函数y=cotx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠k π,k ∈z }等。 例题一 求下列函数的定义域: (1) y=2)0+㏒(x —2)x 2 (2) 解:(1)欲使函数有意义,须满足 2≠0 x —1≥0 x —2>0 解得:x >2 且 x ≠3 ,x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞) x ≠0 (2) 由已知须满足 tanx ﹥0 解得: k π ﹤x ﹤2 k π π+ (k ∈z ) x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为(-π,2 π - )∪(0, 2 π )∪(π,4) 二,复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二(1)已知函数f (x )的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f (x 2-1)的定义域。 (2)已知函数y=f (2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f (x )的定义域。 (3)已知函数f (x )的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f (x+1)—f (x 2-1)的定义域。 (4)已知函数y=f (tan2x )的定义域为〔0, 8 π 〕,求函数f (x )的定义域。 分析:(1)是已知f (x )的定义域,求f 〔g (x )〕的定义域。其解法是:已知f

函数定义域、值域经典习题及答案

复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴y = (2 )01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2 的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为 ________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取 值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈

⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =,则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且 1 ()()1 f x g x x += -,求()f x 与()g x 的解析表达式

高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π, ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分,得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--,, 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域。 (2)其解法是:已知)x (f 的定义域是[a ,b ]求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为[-2,2],求)1x (f 2-的定义域。 解:令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而 3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 (2)已知)]x (g [f 的定义域,求f(x)的定义域。 其解法是:已知)]x (g [f 的定义域是[a ,b ],求f(x)定义域的方法是:由b x a ≤≤,求 g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。 解:因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤,,。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析:函数的定义域为R ,表明0m 8mx 6mx 2≥++-,使一切x ∈R 都成立,由2x 项

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

高中数学函数的定义定义域值域解析式求法

课题7:函数的概念(一) 一、复习准备: 1.讨论:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关系? 2.回顾初中函数的定义: 在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一的值与之对应,此时y 是x 的函数,x 是自变量,y 是因变量。 表示方法有:解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课: (一)函数的定义: 设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数(function ),记作: (),y f x x A =∈其中,x 叫自变量,x 的取值范围A 叫作定义域(domain ),与x 的值对应的y 值叫函数值,函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域(range )。显然,值域是集合B 的子集。 (1)一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R,值域也是R; (2)二次函数2 y ax bx c =++(a≠0)的定义域是R,值域是B;当a>0时,值域244ac b B y y a ??-??=≥?????? ;当a﹤0时,值域244ac b B y y a ??-??=≤?????? 。(3)反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠,值域是{}0y y ≠。(二)区间及写法: 设a 、b 是两个实数,且a≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。 巩固练习:用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} (三)例题讲解: 例1.已知函数2()23f x x x =-+,求f(0)、f(1)、f(2)、f(-1)的值。 变式:求函数223, {1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域 例2.已知函数1()2f x x =+,(1)求()()2 (3),(),33f f f f --的值;(2) 当a>0时,求(),(1)f a f a -的值。(四)课堂练习: 1.用区间表示下列集合: {}{}{}{} 4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或2.已知函数f(x)=3x 2+5x -2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值; 3.课本P 19练习2。

函数定义域与值域经典类型总结 练习题 含答案

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义:设集合A 和B 是非空数集,按照某一确定的对应关系f ,使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f ),②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是: (1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。 (2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用“列举法”;一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域:是由定义域和对应关系(f )共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 (1)明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合:{y|y=f(x),x ∈A}。 (2)明白定义中集合B 是包括值域,但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 (一)求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 (1)常见情况简总: ①表达式中出现分式时:分母一定满足不为0; ②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下满足大于或等于0(非负数)。 ③表达式中出现指数时:当指数为0时,底数一定不能为0. ④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有x ,必须满足指数底数大于0且不等于1.(0<底数<1;底数>1) ⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于 1. (2 ()log (1)x f x x =-) 注:(1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。

函数的定义域、值域及解析式

函数的定义域、值域及解析式 【教学目标】 1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域和值域 【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。 【教学内容】 1.定义 高中函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A →B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.如:f(x)=x2 f(x)=2x+2等 (1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域; (2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 常见函数的定义域与值域 函数解析式定义域值域 一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数, k≠0) 1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) 2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数,说明理由? (1)f ( x ) = (x-1) 0;g ( x ) = 1 (2)f ( x ) = x; g ( x ) = (√x)2 (3)f ( x ) = x 2;g ( x ) = (x + 1) 2 (4)f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+2 3.区间的概念

函数的定义域和值域映射

函数定义域、值域、解析式、映射 知识点一:求各种类型函数的定义域 类型一: 含有分母和偶次方根 例1 求下列函数的定义域 1. y= 3102++x x 2. y = 类型二: 偶方根下有二次三项式 例2 求下列函数的定义域 1.. 1 ||1 42 -+-=x x y 2.2 3 568 4x x x y ---= 类型三:含有零次方和对数式 例3 求下列函数的定义域(用区间表示) (1)02 )23() 12lg(2)(x x x x x f -+--=; 练习:求下列函数的定义域 1. y=x x -||1 2. 122+--=x x y

3.()f x = 4.)13(log 2+=x y 5. 函数y =1122---x x 的取定义域是( ) A.[-1,1] B.(][)+∞-?-∞-,11, C.[0,1] D.{-1,1} 6. 求函数的定义域。 知识点二:抽象函数定义域 类型一:“已知f(x),求f(…)”型 例1:已知f(x)的定义域是[0,5],求f(x+1)的定义域。 类型二: “已知f(…) ,求f(x)”型 例2:已知f(x+1) 的定义域是[0,5],求f(x)的定义域。 类型三: “已知f(…),求f(…)”型 例3:已知f(x+2)的定义域为[-2,3),求f(4x-3)的定义域。 练习: 1、函数()f x 的定义域是[0,2],则函数(2)f x +的定义域是 ___________. 2、已知函数()f x 的定义域是[-1,1],则(2)(1)f x f x +++的定义域为 ___________.

定义域和值域的求法

定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域 方法是:若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈,则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域,求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域,再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下,供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。

函数的定义域和值域

函数定义 映射 一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射(mapping ).记作“:f A B →” 函数的概念 1.定义:如果A ,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数,记作 )(x f y =,A x ∈。 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性,B 中元素具有唯一性; 区别:函数是一种特殊的映射,它要求两个集合中的元素必须是数,而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体,分别称为定义域.值域和对应法则.当我们认识一个函数时,应从这三方面去了解认识它. 例 已知函数f(x)=3x 2+5x -2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1) 例 函数y =x x 2 3与y =3x 是不是同一个函数?为什么? 练习 判断下列函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数,说明理由? ① f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ; g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ;g ( x ) = 2x

求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法 (一)一次函数型 或利用:=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式,利用三角函数的有界性或单调性求解; (2)2sin(3)512 y x π =-- +,x x y cos sin = (3)函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 . (4)函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ (二)二次函数型 利用二倍角公式,化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式,利用配方法、 换元及图像法求解。 (2)函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43. (3).当2 0π <

(三)借助直线的斜率的关系,用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法: ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值; ②利用万能公式求解; ③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。 例1:求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1:数形结合法:求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象,当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值,由几何知识,易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知,此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2:将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=,∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+,解得:3333 y - ≤≤,故值域是33 [,]33- 解法3:利用万能公式求解:由万能公式2 12sin t t x +=,221cos 1t x t -=+,代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知:当0t =,则0y =,满足条件;当0t ≠,由2 4120y =-≥△,3333 y ?-≤≤,故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4:利用重要不等式求解:由万能公式2 12sin t t x +=,221cos 1t x t -=+,代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时,则0y =,满足条件;当0t ≠时, 22 113(3) y t t t t = =---+,如果t > 0,则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+, x Q P y O

求函数的定义域与值域的常用方法完整版

求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

求函数的定义域与值域的常用方法 引入: 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 (一)解析式的表达形式 (解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。) 1、一般式 (是大部分函数的表达形式) 例:一次函数:b kx y +=)0(≠k 二次函数:c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数:x k y = )0(≠k 正比例函数:kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==,那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ,则[]=)(x g f , []=)(x f g 。 解:[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f (二)解析式的求法 (根据已知条件求函数的解析式,常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值(式)法、方程法等。) 1. 配凑法 例1.已知 :23)1(2+-=+x x x f ,求f(x); 解:因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知:221)1(x x x x f +=+,求)(x f 。 解: 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意:使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知:x x x f 2)1(+=+,求f(x); 解:令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知:11)11(2-=+x x f ,求)(x f 。

函数的定义域值域和解析式

函数的定义域、值域和解析式 1.函数的定义域 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 2.求函数定义域的主要依据: ①分式函数:分母不为0; ②偶次方根:被开方数为非负数; ③对数函数:真数大于0,底数大于0且不为1; ④零次幂的底数不等于0 注意:①当通过解不等式或不等式组求定义域时,常常借助数轴求交集,同时考虑端点是否可取;②在解决函数问题时首先考虑定义域,“定义域优先原则”;③定义域的最终结果一定要写成集合或者区间的形式;④实际问题的自变量范围应根据实际情况确定。 指数函数 x a y =(a >0且a ≠1) R (0,+∞) 对数函数 x y a log =(a >0且a ≠ 1) (0,+∞) R 正、余弦函数 y =sin x ,y =cos x R [-1,1] 正切函数 y =tan x {x |x ≠k π +2 π,k ∈Z} R 解析式 定义域 值域 一次函数 y =kx +b (k ≠0) R R 二次函数 c bx ax y ++=2 (a ≠0) R 当a >0时,),44( 2 +∞-a b a c 当a <0时,)44, (2 a b a c --∞ 反比例函数 x k y = (k ≠0) {x |x ≠0} {y |y ≠0} 均值函数 x b ax y + =(a >0,b >0) {x |x ≠0} (-∞,-2ab ]∪[2ab ,+∞) 常见函数的定义域与值域

,0 ||0 1?? ?>-≠+x x x ,||1 ? ??>-≠x x x 例1求下列函数的定义域 (1)1 log 1 )(2-=x x f (2))1(log 1 |2|)(2---=x x x f (3)y=x x x -+||)1(0 ; 解:(1)由题意可得???>->01log 0 2 x x 解得x >2. ∴所求定义域为(2,+∞) ?? ? ??≠->-≥--110 10 1|2|x x x 解得x ≥3 (2)由题意得 ∴所求定义域为(3,+∞) (3)由题意 化简 故函数的定义域为{x|x <0且x ≠-1}. 练习:求函数的定义域 (1) y=2 3 2 531 x x -+-; (2))34lg(1 3)(22-+-+-=x x x x x f 3.抽象函数的定义域 求复合函数y =f(t),t =q(x)的定义域的方法: ①若y =f(t)的定义域为(a ,b),则解不等式得a <q(x)<b 即可求出y =f(q(x))的定义域; ②若y =f(g(x))的定义域为(a ,b),则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域. 例2. 设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域. (1)y=f(3x); (2)y=f(x 1);(3)y=f( )31 ()31-++x f x ; 解:(1)0≤3x ≤1,故0≤x ≤3 1 , y=f(3x)的定义域为[0, 3 1] . (2)仿(1)解得定义域为[1,+∞ ). (3)由条件,y 的定义域是f )31(+x 与)3 1 (-x 定义域的交集 .

求复合函数定义域值域解析式(集锦)

求复合的定义域、值域、解析式(集锦) 一、 基本类型: 1、 求下列函数的定义域。 (1)12)(-+=x x x f (2)x x x x f -+=0 )1()( (3) 1 11--= x y (4)()28 x f x = - 二、复合函数的定义域 1、 若函数y =f (x )的定义域是[-2, 4], 求函数g (x )=f (x )+f (1-x )的定义域 2(江西卷3)若函数()y f x =的定义域是[0,2],求函数(2) ()1 f x g x x =-的定义域 2、 函数y =f (2x +1)的定义域是(1, 3],求函数y =f (x )的定义域 3、 函数f (2x -1)的定义域是[0, 1),求函数f (1-3x )的定义域是 求函数的值域 一、二次函数法 (1)求二次函数232y x x =-+的值域 (2)求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法: (1) 求函数 y x =+

分分式法 求2 1 +-= x x y 的值域。 解:(反解x 法) 四、判别式法 (1)求函数22221 x x y x x -+=++;的值域 2)已知函数21 ax b y x += +的值域为[-1,4],求常数b a ,的值。 五:有界性法: (1)求函数1e 1e y x x +-=的值域 六、数形结合法---扩展到n 个相加 (1)|1||4|y x x =-++(中间为减号的情况?) 求解析式 换元法 已知 23,f x =- 求 f (x ). 解方程组法 设函数f (x )满足f (x )+2 f (x 1 )= x (x ≠0),求f (x )函数解析式. 一变:若()f x 是定义在R 上的函数,(0)1f =,并且对于任意实数 ,x y ,总有2()()(21),f x f x y x y y +=+++求()f x 。 令x=0,y=2x 待定系数法 设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2+6x -1, 求 f (x ).

三角函数的定义域与值域题库

. 专题三:三角函数的定义域与值域(习题库) 一、选择题 1、函数f(x)的定义域为[﹣,],则f(sinx)的定义域为() A、[﹣,] B、[,] C、[2kπ+,2kπ+](k∈Z) D、[2kπ﹣,2kπ+]∪[2kπ+,2kπ+](k∈Z) 分析:由题意知,求出x的围并用区间表示,是所求函数的定义域;解答:∵函数f(x)的定义域为为[﹣,],∴, 解答(k∈Z) ∴所求函数的定义域是[2kπ﹣,2kπ+]∪[2kπ+,2kπ+](k∈Z)故选D. 2、函数的定义域是() A、. B、. C、 D、. 解答:由题意可得sinx﹣≥0?sinx≥又x∈(0,2π)∴函数的定义域是.故选B. 3、函数的定义域为() A、B、 C、D、 解答:由题意得tanx≥0,又tanx 的定义域为(kπ﹣,kπ+), ∴,故选D. 4、函数f(x)=cosx(cosx+sinx),x∈[0,]的值域是() A、[1,] B、 C、 D、

解答:∵f(x)=cosx(cosx+sinx)=cos2x+sinxcosx= ==又∵∴ ∴则1≤f(x)≤故选A. 5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为() A、[﹣1,1] B、[﹣,1] C、[﹣,﹣1] D、[﹣1,] 解答:函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣(1﹣2sin2x)+sinx﹣ =sin2x+sinx﹣1=﹣ ∵﹣1≤sinx≤1,∴当sinx=﹣时,函数y有最小值为﹣. sinx=1时,函数y 有最大值为1,故函数y 的值域为[﹣,1],故选B. 6、函数值域是() A、B、C、D、[﹣1,3] 解答:因为,所以sinx∈[],2sinx+1∈故选B 7、函数的最大值是() A、5 B、6 C、7 D、8 解答:∵= =∈[﹣7,7] ∴函数的最大值是7 8、若≤x≤,则的取值围是() A、[﹣2,2] B、 C、 D、 解答:=2(sinx+cosx)=2sin(), ∵≤x≤,∴﹣≤≤,∴≤﹣sin()≤1, 则函数f(x)的取值围是:.故选C.

求解函数定义域,值域,解析式讲义(精华版)

求解函数定义域、值域、解析式 【课堂笔记】 知识点一 定义域、值域的定义 在函数)(x f y =中,x 叫做自变量,x 的取值范围的集合A 叫作函数的定义域;与x 的值相对应的值y 叫作函数值,函数值的集合})({A x x f ∈叫作函数的值域。 下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。 (1)当函数是以解析式的形式给出的时候,其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。 (2)当函数是由实际问题给出时,其定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要有实际意义。 注意:(1)求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,要注意逻辑连接词的恰当使用。 (2)定义域是一个集合,其结果可用集合或区间来表示。 (3)若函数)(x f 是整式型函数,则定义域为全体实数。 (4)若函数)(x f 是分式型函数,则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。 (5)若函数)(x f 是偶次根式,则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。 (6)由实际问题确定的函数,其定义域由自变量的实际意义确定。 (7)如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使其各部分有 意义的公共部分的集合。 (8)复合函数的定义域问题: ①若已知)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域可由不等式b x g a ≤≤)(解出; ②若已知))((x g f 的定义域为],[b a ,则函数)(x f 的定义域,即为当],[b a x ∈时函数)(x g 的值域。 【例1】求下列函数的定义域 (1)1+= x y (2)x y -= 21 (3)0)1(21-+-= x x y 【例2】 求下列函数的定义域 (1)x y ++ = 11 11; (2)1 42 --= x x y ;

函数的定义域值域,解析式具体解法

函数定义域,值域,解析式 教学目标:掌握不同函数定义域和值域的求解方法,并且能够熟练使用。 重点、难点:不同类型函数定义域,值域的求解方法。 考点及考试要求:函数的考纲要求 教学内容:常见函数的定义域,值域,解析式的求解方法: 记作D x x f y ∈=),(,x 叫做自变量,y 叫做因变量,x 的取值范围D 叫做定义域,和x 值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域. 定义域的解法: 1.求函数的定义域时,一般要转化为解不等式或不等式组的问题,但应注意逻辑连结词的运用; 2.求定义域时最常见的有:分母不为零,偶次根号下的被开方数大于等于零,零次幂底数不为零等。 3.定义域是一个集合,其结果必须用集合或区间来表示 值域的解法: 1. 分析法,即由定义域和对应法则直接分析出值域 2. 配方法,对于二次三项式函数 3. 判别式法,分式的分子与分母中有一个一元二次式,可采用判别式法,但因考虑二次项 系数是否为零只有二次项系数不为零时,才能运用判别式 4. 换元法,适合形如y ax b =+此外还可以用反函数法等求函数的值域,数形结合法,有界性法等求函数的值域 函数解析式的求法: 1. 换元法 2. 解方程组法 3. 待定系数法 4.特殊值法 求函数的定义域 一、 基本类型: 1、 求下列函数的定义域。 (1)12)(-+=x x x f (2)x x x x f -+=0)1()( (3) 111--= x y (4)()f x =

二、复合函数的定义域 1、 若函数y =f (x )的定义域是[-2, 4], 求函数g (x )=f (x )+f (1-x )的定义域 2(江西卷3)若函数()y f x =的定义域是[0,2],求函数(2)()1 f x g x x = -的定义域 2、 函数y =f (2x +1)的定义域是(1, 3],求函数y =f (x )的定义域 3、 函数f (2x -1)的定义域是[0, 1),求函数f (1-3x )的定义域是 求函数的值域 一、二次函数法 (1)求二次函数2 32y x x =-+的值域 (2)求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法: (1) 求函数y x =+ 三. 部分分式法 求2 1+-=x x y 的值域。 解:(反解x 法)

1 函数定义域和值域

第一讲 函数定义域和值域 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.函数f (x )=x 21-的定义域是 ( A ) A .(-∞,0] B .[0,+∞) C .(-∞,0) D .(-∞,+∞) 2.函数) 34(log 1 )(2 2-+-=x x x f 的定义域为 (A ) A .(1,2)∪(2,3) B .),3()1,(+∞?-∞ C .(1,3) D .[1,3] 3. 对于抛物线线x y 42=上的每一个点Q ,点()0,a P 都满足a PQ ≥,则a 的取值范围是 ( B ) A .()0,∞- B .(]2,∞- C .[]2,0 D .()2,0 4.已知)2(x f 的定义域为]2,0[,则)(log 2 x f 的定义域为 ]16,2[ 。 5. 不等式x x m 22 +≤对一切非零实数x 总成立 , 则m 的取值范围是 (,-∞__。 6. 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x ',(0)0f '>,对于任意实数x ,有()0f x ≥,则(1)(0) f f '的最小值为 。 52 ★★★高考要考什么 一、 函数定义域有两类:具体函数与抽象函数 具体函数:只要函数式有意义就行---解不等式组; 抽象函数:(1)已知)(x f 的定义域为D ,求)]([x g f 的定义域;(由D x g ∈)(求得x 的范围就是) (2)已知)]([x g f 的定义域为D ,求)(x f 的定义域;(D x ∈求出)(x g 的范围就是) 二、 函数值域(最值)的求法有: 直观法:图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围; 配方法:适合一元二次函数 反解法:有界量用y 来表示。如02 ≥x ,0>x a ,1sin ≤x 等等。如,2 211x x y +-= 。 换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,特别注意新变量的范围。注意三角换元的应用。

三角函数的定义域与值域题库

专题三:三角函数的定义域与值域(习题库) 一、选择题 1、函数f(x)的定义域为[﹣,],则f(sinx)的定义域为() A、[﹣,] B、[,] C、[2kπ+,2kπ+](k∈Z) D、[2kπ﹣,2kπ+]∪[2kπ+,2kπ+](k∈Z) 分析:由题意知,求出x的范围并用区间表示,是所求函数的定义域;解答:∵函数f(x)的定义域为为[﹣,],∴, 解答(k∈Z) ∴所求函数的定义域是[2kπ﹣,2kπ+]∪[2kπ+,2kπ+](k∈Z)故选D. 2、函数的定义域是() A、. B、. C、 D、. 解答:由题意可得sinx﹣≥0?sinx≥又x∈(0,2π)∴函数的定义域是.故选B. 3、函数的定义域为() A、B、 C、 D、 解答:由题意得tanx≥0,又tanx 的定义域为(kπ﹣,kπ+), ∴,故选D. 4、函数f(x)=cosx(cosx+sinx),x∈[0,]的值域是() A、[1,] B、 C、 D、

解答:∵f(x)=cosx(cosx+sinx)=cos2x+sinxcosx= ==又∵∴ ∴则1≤f(x)≤故选A. 5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为() A、[﹣1,1] B、[﹣,1] C、[﹣,﹣1] D、[﹣1,] 解答:函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣(1﹣2sin2x)+sinx﹣ =sin2x+sinx﹣1=﹣ ∵﹣1≤sinx≤1,∴当sinx=﹣时,函数y有最小值为﹣. sinx=1时,函数y 有最大值为1,故函数y 的值域为[﹣,1],故选B. 6、函数值域是() A、B、 C、D、[﹣1,3] 解答:因为,所以sinx∈[],2sinx+1∈故选B 7、函数的最大值是() A、5 B、6 C、7 D、8 解答:∵= =∈[﹣7,7] ∴函数的最大值是7 8、若≤x≤,则的取值范围是() A、[﹣2,2] B、 C、 D、 解答:=2(sinx+cosx)=2sin(), ∵≤x≤,∴﹣≤≤,∴≤﹣sin()≤1, 则函数f(x)的取值范围是:.故选C.

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