量子力学导论课件10
量子力学课件第十章
第十章 绝热近似 10.1 绝热定理 10.1.1 绝热过程 设想一个没有摩擦和空气阻力的理想单摆在竖直平面上来回振荡。如果你握住它的支撑体并且急剧移动它，摆将混乱的摇动。但是如果你轻轻稳稳地移动支撑体（图10.1），摆将在同一个平面（或者平行平面）平滑的连续移动，并且振幅不变。这种外部条件缓慢变化的过程定义为绝热过程。注意到，这里涉及到两个特征时间：i T ，“内部“时间，代表系统自身地运动（在此时情况下i T 是摆的振荡周期）；和e T ， “外部”时间，表示系统参数明显变化所需的时间（例如：如果把摆安放在振动的平台上，那么e T 将是平台的振动周期）。绝热过程要求e i T T >>。1 分析一个绝热过程的基本方法是先把外部参数视为常量求解问题，仅在计算的最后时才允许它们随时间缓慢地变化。例如：固定长度为L 的摆的经典周期是g L /2π；如果现在长度逐渐变化，周期大体可写成g t L /2）（π。一个更微妙复杂的例子是我们讨论过的氢分子离子（7.3节）。我们先假设核固定不动，相距为R ，然后求电子的运动。一旦我们得到作为R 的函数的体系基态能量，我们就可以确定平衡位置并根据图的曲率得到原子核的振动频率（习题7.10）。在分子物理里学里这种方法（首先固定原子核的位置，计算电子波函数，然后用这些去获得原子核的位置和运动（相对缓慢的）信息）称为玻恩－奥本海默近似。 在量子力学中，绝热近似最基本的内容可以表述为如下定理。假设哈密顿量由初值i H 逐渐变化到终值f H 。绝热定理指出：如果粒子开始时处在i H 的第n 阶本征态，它将演化f H 的第n 阶本征态（演化按薛定鄂方程）。（我将假设从i H 到f H 的演化过程中谱是分立的并且不简并，这样态的次序不会混淆；有合适的方法“跟踪”本征函数时，这些条件可以放宽，但这里我不打算讨论这个。） 图10.1 绝热运动:如果箱子移动得非常缓慢,里面的摆将在与原来平面平行的平面振动,并且振幅保持不变 1 一个有关经典绝热过程的有趣讨论可参见Frank S.Crawford,Am.J.Phys.58,337(1990)。
高等量子力学习题汇总
第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2
量子力学课件第十一章
第十一章 散射 11.1 引言 11.1.1 经典散射理论 设想单个粒子入射到某一散射中心（比如说，一个质子撞击一个重原子核）。其入射能量为E ，碰撞参数为b ，以散射角θ出射?如图11.1所示（为了简单起见，假定靶在方位角方向是对称的，那么轨道将在一个平面上，并且靶很重，反冲可以忽略）。经典散射理论的基本问题是给定碰撞参数，计算散射角。一般来说，碰撞参数越小，散射角越大。 图11.1：经典散射问题，碰撞参数为b ，散射角为θ。 图11.2：弹性刚球散射。 例题11.1 刚球散射。假定靶是一个半径为R 的刚球，入射粒子被它弹性散射（如图11.2所示）。用α表示，碰撞参数为sin b R α=，散射角为2θπα=-，所以，
sin cos 222b R R πθθ???? =-= ? ????? [11.1] 显然， ()12cos ,if , 0, if .b R b R b R θ-?≤=?≥? [11.2] 一般地，入射到横截面面积为d σ的无穷小面元内的粒子将被散射到相应的无穷小立体角d Ω内（如图11.3所示）。若d σ越大，d Ω将越大；比例系数，()/D d d θσ≡Ω，称为微分（散射）截面： 1 图11.3：入射到面积d σ内的粒子被散射到立体角d Ω内。 [11.3] 利用碰撞参数和方位角φ，d bdbd σφ=，sin d d d θθφΩ=，所以， ()θ θθd db b D sin = [11.4] (由于θ通常是关于b 的减函数，导数实际上是负的—所以要加上绝对值符号。) 例题11.2 刚球散射（续上例）。对刚球散射（例11.1）， ?? ? ??-=2sin 21θθR d db [11.5] 从而， 1 这是很不恰当的用语：D 不是微分，它也不是截面。就我所知，用d σ代表名词“微分截面”更为恰当。 但是恐怕我们还得使用这个术语。我也想提醒你们注意记号D (θ)是不标准的：大多数人把它称为/d d σΩ —这使得等式11.3看起来像是同义反复。我认为如果我们单独用一个符号来代表微分截面的话，它将会带来较少的混淆。
量子力学试题10
济南大学学年第学期试卷( 卷) 课程量子力学授课教师 考试时间考试班级 姓名学号 一、（10分） 设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动 () () ()? ? ? < < > < ∞ = a x a x x x V ,0 试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 二、（10分） 设一个质量为m的粒子束沿正x方向以能量E向x = 0处的势垒运动 () () ()?? ? ? ? > ≤ = 4 3 x E x x V 试用量子力学的观点回答：在x = 0处被反射的反射系数是多少？三、（20分） 1、在坐标表象中写出一维量子体系的坐标算符q?和动量算符p?，并推导其间的对易关系。 2、在动量表象中做1所要求做的问题。 四、（20分） 设一个微观粒子在球对称的中心势场()r V中运动，且处于一个能量和轨道角动量的共同本征态。 1、在球坐标系中写出能量本征态波函数的基本形式，写出势能()r V在此态中平均值〈V〉的表达式，并最后表示成径向积分的形式。 2、设V(r)为r的单调上升函数（即对任意r,0 > dr dV ）。试证明：对任意给定的r0，均有 () []()0 2 2< - ?dr r r R V r V ro o ， 其中R(r)是径向波函 五、（20分） 设一个质量为m的微观粒子的哈密顿量不显含时间，试证明：在能量表象中有 () m h X E E nm n m n2 2 2= - ∑ 其中E为能量，x为坐标。
六、（20分） 设一微观体系的哈密顿H=H 0+H ‘ ，其中H ’ 为微扰。在一个由正交归一函数作为基的表象中。 ????? ??-=2000200010H ???? ? ??=c c c H 000000' 其中c 为常数 1、求H 的精确本征值 2、求H 的准确到微扰的二级修正的本征值 3、比较1和2的结果，指出其间关系。
高等量子力学
研究生课程教学大纲 高等量子力学 一、课程编码：21-070200-B01-17 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理学，工学 三、先修课程：数理方法，理论力学，电动力学，量子力学，热力学统计物理 四、教学目标 通过本课程的学习，使研究生掌握希尔伯特空间，量子力学基本理论框架，了解狄拉克 方程，量子力学中的对称性与守恒定律，二次量子化等理论知识，提升在微观体系中运用量 子力学的基本能力。 五、教学方式：课堂讲授 六、主要内容及学时分配 1 希尔伯特空间10学时 1.1 矢量空间 1.2 算符 1.3 本征矢量和本征值 1.4 表象理论 1.5 矢量空间的直和与直积 2 量子力学基本理论框架20学时 2.1 量子力学基本原理 2.2 位置表象和动量表象 2.3 角动量算符和角动量表象 2.4 运动方程 2.5 谐振子的相干态 2.6 密度算符 3 狄拉克方程 6学时 4 量子力学中的对称性 5学时 5 角动量理论简介 5学时 6 二次量子化方法16学时 6.1 二次量子化 6.2 费米子 6.3 玻色子 复习 2学时七、考核与成绩评定：以百分制衡量。 成绩评定依据: 平时作业成绩占30%，期末笔试成绩占70%。 八、参考书及学生必读参考资料 1. 喀兴林，《高等量子力学》，.[M]北京：高等教育出版社，2001 2. Franz Schwabl,《Advanced Quantum Mechanics》，.[M]北京：世界图书出版公司：2012 3. 曾谨言，《量子力学》，.[M]北京：科学出版社：第五版2014或第四版2007 4. https://www.wendangku.net/doc/1f8063083.html,ndau, M.E.Lifshitz，《Quantum Mechanics (Non-reativistic Theory)》，.[M]北京：世界 图书出版公司：1999 5. 倪光炯，《高等量子力学》，. [M]上海：复旦大学出版社：2005 九、大纲撰写人：曾天海
高等量子力学
量子计算机中的量子力学 ——量子力学理论在现代科技中的应用 06级物理学2班 张洪（40606085） 从1946年第一台计算机诞生以来，其在冯·诺依曼体系结构上已经走过了60余年，其采用Alan Turing 于1936年提出的图灵机模型为计算模型。但随着科学的不断发展，以及计算机制造工艺的不断进步，计算机的尺寸也越来越小，其集成度也越来越高。按照摩尔定律，计算机芯片的集成度不久将达到原子分子量级，但是当电子器件小到原子分子量级的时候，这便受到了量子效应的干扰，这便把量子力学引入了计算机。物理学家Feynman 于1982年提出量子计算机的概念，并指出量子计算机在速度上对于传统计算机可能有本质的超越。 所谓量子计算机，是指利用处于多现实态下的原子进行运算的计算机。某种条件下，原子世界存在着多现实态，即原子和亚原子粒子可以同时存在于此处和彼处，可以同时表现出高速和低速，可以同时向上和向下运动。如果用这些不同原子状态分别代表不同的数字或数据，就可以利用一组具有不同潜在状态组合的原子，在同一时间对某一问题的所有答案进行探寻，就可以使代表正确答案的组合快速脱颖而出。 量子计算机的存储原理 传统计算机信息系统采用物理上最容易实现的二进制数据位存储数据或程序，每一个二进制数据位由0或1表示，成为一个比特（bit ）或位，以其作为最小的信息单元。在传统计算机中，每一个数据位要么是0，要么是1，二者必取其一。而量子计算机是根据物理系统的量子力学性质和规律执行计算任务的装置，其计算方式是量子计算。在量子计算机中，量子位（量子计算机的数据位）可以是0或者1，也可以是0和1的任何线性叠加它以一定的概率存在于0和1之间。 为了便于量子系统的表示和运算，狄拉克提出用符号|x>来表示量子态，|x>是一个列向量，称为右矢；其共轭转置用
《高等量子力学》课程教学大纲
《高等量子力学》课程教学大纲 课程编号: 1352001-04 课程名称：高等量子力学 英文名称：Advanced Quantum Mechanics 课程类型: 课程群（平台课、模块课、课程群） 开课学期：第一学期 课内学时：80学时讲课学时：72 实验学时： 学分：4 教学方式：课堂讲授及课外作业练习 适用对象: 凝聚态物理、理论物理、粒子与原子核、光学、生物物理 考核方式：闭卷考试 预修课程：大学物理、热力学与统计物理、数学物理方法、理论力学、电动力学、 （初等）量子力学 后续课程：量子场论 开课单位：郑州大学物理工程学院 一、课程性质和教学目标 课程性质：本课程为凝聚态物理、理论物理、粒子与原子核等专业硕士研究生必修课。 教学目标：本课程的目的是通过《高等量子力学》课堂授课、课外作业练习及考试，能够使有关学科的研究生系统了解该课程的基本概念、发展历史，掌握其主要内容与研究方法，为学生以后的学习和研究奠定坚实的理论基础，以及学生毕业后应能胜任高等院校、科研机构等部门与物理相关专业的教学、科研、技术等工作，或者为学生继续深造、攻读博士学位等奠定理论知识基础。 本课程的目标主要为凝聚态物理、理论物理、粒子与原子核等专业的深入研究进行理论准备。凝聚态物理是研究由大量微观粒子组成的凝聚态物质的宏观、微观结构和粒子运动规律、动力学过程、彼此间的相互作用及其与材料的物理性质之间关系的一门学科，是一门以物理学各个分支学科、数学
和相关的基础理论知识为基础，并与材料学、化学、生物学等自然科学和现代技术相互交叉的学科。凝聚态物理所研究的新现象和新效应是材料、能源、信息等工业的基础，对当前高技术的带头领域，如新型材料、信息技术和生物材料等有重要影响，对科学技术的发展和国民经济建设有重大作用。理论物理是从理论上探索自然界未知的物质结构、相互作用的物理运动的基本规律的学科，理论物理的研究领域涉及粒子物理与原子核物理、统计物理、凝聚态物理、宇宙学等，几乎包括物理学所有分支的基本理论问题。粒子物理与原子核物理是研究粒子和原子核的性质、结构、相互作用及运动规律，探索物质世界更深层次的结构和更基本的运动规律。它们涉及从最微观领域的规律到天体的形成与演化的规律。这些学科都需要具备《高等量子力学》的基础知识才能够全面理解及深入研究，该课程的讲授能够适应相关专业研究生对基础理论知识需求。 二、教学基本要求 除了系统听讲、对课堂讲解的内容理解之外，要求学生认真复习课堂讲解内容，熟悉量子力学的研究方法和思路，掌握主要方程的建立和推演，全面理解方程的适应条件和物理意义，为进一步从事科研工作进行系统的理论思考训练。 三、教学内容及预期任务 本课程将概括地介绍量子力学基本概念、研究与发展历史；简要回顾主要的经典理论及数学方法；详细而严谨地推导讲解高等量子力学的主要研究内容，包括早期量子力学的经典近似及其适应范围，路径积分方法的建立，多粒子问题的分析计算方法，相对论量子力学，以及辐射场的量子化等等。同时，也介绍一些量子力学理论的特殊应用成就，如BCS理论等等。在课程讲授过程中，拟融入科学研究方法介绍，以及科学探索中的哲学思考。简要介绍物理学主要分支的前沿研究内容及其与量子力学的关系，如宇宙学中的黑洞、暗物质与暗能量，高能物理中的夸克，生物学中的DNA等等，从中揭示量子力学的局限性以及面临的严峻挑战。以期通过本课程的学习，不仅使同学们概括了解量子力学研究的简要历史，了解当前物理学主要分支的前沿知识，明确量子力学面临的任务，开阔学术视野，启发同学们能够自觉探索科学研究的方法。同时，要求学生认真复习课堂讲解内容，完成必要的课外练
量子力学第十章习题
第十章 微扰论与变分法 10-1 假定类氢原子的核不是点电荷，而是半径为)10~(1200cm r r -均匀带电小球，试计算类氢原子基态的能量一级修正。 10-2 一维势阱的宽度为a ，其势能函数为?????????<<≤≤≤≤><∞=)434 ()43,40(0),0()(a x a k a x a a x a x x x U ，其中k 为常数，把此势阱中的粒子看成是受到微扰的关在盒子中的粒子，求其能量和波函数的一级近似。 10-3 一个电荷为e 的线性谐振子，处于均匀的弱电场ε 中，设ε 沿x 的正方向：（1）求体系的能量的二级近似值； （2）求波函数的一级近似。 10-4 设体系未受微扰作用时仅有两个能级：)0(2)0(1E E 及，现在受到微扰'?H 的作用，微扰矩阵元为,,'22'11'21'12b H H a H H ====a 、b 都是实数，用微扰公式求能量至二级修正值。 10-5 一维非线性谐振子的势能为4322 1)(dx cx kx x U ++= ，若把非谐振项看作微扰，试求基态和第一激发态能量的一级修正。 10-6 一刚性平面转子，转动惯量为I ，电偶极矩为D ，处在均匀弱电场ε 中，电场在转子转动平面上，试求能量到 二级修正。 10-7 把正常塞曼效应中磁场引起的附加项看作微扰，试计算碱金属原子能级E n l 的一级修正。 10-8 耦合谐振子的哈密顿算符为∑=-+=2121222)212?(?i i i x x x m m p H λξ，其中λ为常数。试用微扰法求其第一激发态能量的一级修正。 10-9 在类氢原子中，电子与原子核的库仑作用能为r ze r U s 2)(-=，当原子核的电荷增加e 时，库仑能增加r e H s 2' ?-=，试用微扰法计算它引起的能量一级修正，并与严格解比较。 10-10 设电子受到晶格的一维周期势U （x ）作用，a x U x U x H π2cos )()(?0'==，其中a 为晶格常数，可将U （x ）看作微扰，无微扰时，电子是自由的，波函数为)/(21)( t E kx i k e L x --=ψ，m k E k 2/22 =，Na L =是间距为a 的N 个离子的晶格长度。试求能量的一级修正。
高等量子力学
3.1 （做题人：韩丽芳 校对人：胡相英） (好) 幺正算符也有本征矢量。证明幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数；幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。 证明： 设算符U 为幺正算符，ψ为其任意本征矢量，u 为对应的本征值。 即 ψψu U = 则 ψψψψψψψψu u U U U U *+=== 因0≠ψψ，所以1=* u u 即 1=u 即证得幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数。 设算符U 为幺正算符的两个本征值为1u 、2u ，对应的矢量分别为1ψ、2ψ，且 21u u ≠。 则 111ψψu U = 11 111 ψψu U = - 222ψψu U = 22 211 ψψu U = - 因为幺正算符1-+ =U U 则有 21212121ψψψψψψu u U U *+== 212 1211ψψψψu u UU * + = = 所以 01212121=??? ? ? ?-**ψψu u u u 因为012 121≠- * * u u u u ，故021=ψψ，即 1ψ 和2ψ正交。 即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。 3.2 投影于某一子空间的投影算符P ，既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？(好)
解：投影于某一子空间的投影算符∑==m i i i P 1，设全空间是n 维的，且n m <。 则本征值方程 ψλψψ==∑=m i i i P 1 ⑴ 其中λ为本征值， ψ为相应的本征态。 则 ψλψλψ2 2==P P ⑵ 由幺正算符等幂性P P =2 得 ψψP P =2 ⑶ 由⑴、⑵和⑶式得λλ=2 ，所以1=λ或0=λ。 即求得投影算符的本征值是1或0。 当1=λ时，本征失量是i ，其中m i ,2,1=。所以是简并的，本征子空间S 是由这m 个基矢构成的矢量空间。 当0=λ时，本征矢量是与i 正交的矢量。所以也是简并的，本征子空间是S 空间的补空间。 # 练习3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。 证明：假设算符A 有逆，则在值域中取一任意|φ>，则定义域有|ψ>存在 即ψφφ- ==AA 1 已知A 的全部本征值和相应的本征矢量：i i i a A ψφ= i=1，2，3…， ∴( )ψ ψφ- - ==A a AA 算符A 存在零本征值，即00=?=φa a ∴对于任意本征矢量()ψ φa A - ≠与()ψφ -=A a 矛盾 ∴假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。 # 练习3.4 根据完全性和封闭性的定义，分别证明：在n 维空间中的一个完全矢量集｛i ψ｝， （i ψ归一化但彼此不一定正交，i=1,2,3…,n ）,若从其中去掉一个矢量，例如
清华大学《大学物理》习题库试题及答案____10_量子力学习题解读
1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) (B) (C) (D) ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［ ］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 ［ ］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［ ］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［ ］ 9．4241： 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) (B) (C) (D) ［ ］ 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 ［ ］ 11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) (D) ［ ］ 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定 粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ 0λhc 0λ hc m eRB 2)(2+0λhc m eRB + 0λhc eRB 2+)2/(eRB h )/(eRB h )2/(1eRBh )/(1eRBh a x a x 23cos 1)(π?= ψa 2/1a /1
高等量子力学知识总结
高等量子力学总结 理论物理 张四平 学号：２２０１２０９２２０６１ 第一章 希尔伯特空间 1、矢量空间，同类的许多数学对象（实数，复数，数组）在满足一定的要求下构成的系统. 三种运算：加法，数乘，内积。 例：θ+ψ=ψ+θ； ψ+θ=0 即：ψ=-θ（存在逆元） （ψa ）b=ψ（ab ） ψ（a+b ）=ψa+ψb （ψ，θ）=（θ，ψ）* （ψ，θa ）=（ψ，θ）a 矢量的空间性质：零矢量唯一；逆元唯一；ψ（-1）=-ψ；（θ+ψx ）=θx+ψx ； 2、正交矢量：（ψ，θ）=0； 模方：|ψ||ψ|=（ψ，ψ）； schwarts 不等式：|（ψ，ψ）|≤|ψ||ψ|； 三角不等式：|ψ+θ|≤|ψ|+|θ|； 3、基矢 n 维空间中有限个矢量集合；一个线性无关的矢量的集合（完全集）；正交归一的完全集； 对于同一矢量，左右因子不同，dirac 符号：<ψ|θ>=（ψ，θ） 右矢量满足：|ψ>+|θ>=|θ>+|ψ>；|ψ>+|0>=|ψ>;|ψ>*1=|ψ>； （|ψ>+|θ>）*a=|ψ>a+|θ>a <ψ|θ>≥0； 4、算符：|ψ>=A|ψ>； A （|ψ>+|θ>）=A|ψ>+A|θ>； 线性算符的性质：定义域是个右矢空间，值域也是个右矢空间；定义域是有限维，值域也是 小于等于这个维数；零算符：0|ψ>=|0>；单位算符：I |ψ>=|ψ>； 算符：A|ψ>=|θ>；逆算符：A -1 |θ>=|ψ>；<θ|==<θ|ψ> ； |U ψ|=|ψ|； 6、幺正算符：定义：U+U=UU+=I 或U+=U-1；投影算符：|ψ><ψ|（厄米算符）； 7、本证矢和本证值：A|ψi>=a|ψi> （i=1，...s ）{|ψi>}(本证子空间，s 重简并)；厄米算 符A 的本证矢量：不简并的正交，S 重简并的本证矢量构成一个s 维的子空间，与其他的本证 矢量正交；完全性；正交性； 定理：有限维空间中，厄米算符的全部本证矢量构成一个完全集； 定理：当且仅当两个厄米算符对易时，他们有一组共同的本证矢量完全集； 8、表象理论： 基矢：厄米算符完备组K={P ，H ，...，}.基矢选他们共同的本证矢，K|i>=ki|i>； 相似变换：存在幺正矩阵U ：B=U -1AU ，A ，B 相似.trA=trB ，detB=detU+detA ，detA=detB ； 任何厄米矩阵都可以通过相似变换变成对角矩阵； L 表象：{|εi>} ∑|εi><εi|=1 K 表象：{|να>} ∑|να><να|=1 |να>= ∑|εi>Ui α |εi>= ∑|να>U αi -1 Ψα = ∑U αi -1ψi Ψi = ∑Ui α ψα A αβ=∑∑U αi -1AijUj β