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考点24 随机事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率

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考点24 随机事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、

相互独立事件同时发生的概率

1.（2010·江西高考文科·Ｔ９）有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (01)p <<，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为( ) （A ）(1)n

p -

（B ）1n

p -

（C ）n

（D ）1(1)n

p --

【命题立意】本题主要考查对立事件的概率、相互独立事件同时发生的概率．【思路点拨】直接解决问题较困难时，可考虑逆向思维，从对立面去着手.

【规范解答】选D.所有同学都不通过的概率为,)1(n

p - 故至少有一位同学通过的概率为.)1(1n

p -- 2.（2010·湖北高考理科·Ｔ4）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件,A B 中至少有一件发生的概率是( ) （A ）

512 （B ）12 （C ）712 （D ）34

【命题立意】本题主要考查等可能事件、对立事件、相互独立事件，以及相互独立事件有一个发生的概率的求法，考查公式应用能力和运算求解能力．

【思路点拨】由()()()P A B P A P B P AB +=+-（）以及P AB P A P B =（）（）（），算出()P A ,()P B 代入即

可.或由对立事件的概率公式用1减去,A B 都不发生的概率即可.

【规范解答】选C.方法一：用间接法考虑.事件A ，B 一个都不发生的概率为

451615()()()212

C P AB P A P B C =?=?=1

6C .

则事件,A B 中至少有一件发生的概率7

1()12

P AB =-=

，故C 正确. 方法二：11117()()()()()()()()262612

P A B P A P B P AB P A P B P A P B +=+-=+-=+-?=., 或117()1()1(1)(1)2612

P A B P A B +=-+=---=

【方法技巧】相互独立事件至少有一个发生的概率有两种求解的方法:

（1）()()()P A B P A P B P AB +=+-（）()()P A P B =+-P A P B （）（）.

（2） ()1()1()1()()P A B P A B P A B P A P B +=-+=-?=-.

3.（2010·江西高考理科·Ｔ11）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为1p 和2p ，则（）（A ）12p p = （B ）12p p < （C ）12p p > （D ）以上三种情况都有可能

【命题立意】本题主要考查互斥事件有一个发生的概率、对立事件的概率、相互独立事件同时发生的概率．【思路点拨】先求1p 和2p ，然后再比较大小. 【规范解答】选Ｂ．101)10099(

1-=p ，10

522)100

98(1])991009899[(1-=??-=p ，可见12p p <.

4.（2010·湖北高考理科·Ｔ6）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，… ，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001 到300在第1营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为（）（A ）26,16,8 （B ）25,17,8 （C ）25,16,9 （D ）24,17, 9

【命题立意】本题主要考查考生对系统抽样的理解，考查等差数列的概念以及考生的运算求解能力．【思路点拨】由系统抽样的特点先算出被抽取出来的相邻两个号码的间隔，然后将被抽取出来的号码按从小到大的顺序排成一列构成一个等差数列，最后借用等差数列的通项公式计算出各个营区被抽取出来的人数。

【规范解答】选B ，由系统抽样的特点知从号码003开始每间隔

600

=12人抽出1个，设被抽出的第n 个号码为n a ，则n a =003+12（n-1）.由n a 300≤知25n ≤；由n a 495≤知n ≤42，42-25=17，50-42=8，所以第一营区被抽出的人数为25，第二营区被抽出的人数为17，第三营区被抽出的人数为8.

【方法技巧】系统抽样被抽取出来的相邻两个号码的间隔相同，若将被抽取出来的号码按从小到大的顺序排成一列，则构成一个首项为第一个号码编号，公差为所得间隔的等差数列.由所得等差数列的通项公式就很容易求出所抽取的各个号码.

5.（2010·上海高考文科·Ｔ１0）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为（结果用最简分数表示）．

【命题立意】本题考查古典概型的概率公式的应用．【思路点拨】按求古典概型概率的步骤进行．

【规范解答】记“抽出的2张均为红桃”为事件A ，则17

)(252213==C C A P .

【答案】

1 【方法技巧】求古典概型的概率的步骤：（1）确定概率类型. （2）求基本事件总数. （3）求事件A 发生的事件数. （4）代入公式求解.

6.（2010·重庆高考理科·Ｔ１3）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为

，则该队员每次罚球的命中率为____________. 【命题立意】本题考查对立事件的概率，独立重复试验的概率，考查方程的思想和分类讨论的思想. 【思路点拨】列出“在两次罚球中至多命中一次的概率”的计算公式，再解方程即得. 【规范解答】设该队员每次罚球的命中率为p ，那么：

216(1)(1)(1)25

p p p p p -+-+-=

，化简得2

925p =，所以35p =.

或216125

p -=，即2

925p =，所以35p =.

【答案】3

【方法技巧】正确的进行分类讨论是解答关键.事件“两次罚球中至多命中一次”可以分为三种情形： ①两次都未命中；②第一次命中，第二次未命中；③第一次未命中，第二次命中，或考虑事件“两次罚球中至多命中一次”的对立事件“两次都命中”.

7.（2010·重庆高考文科·Ｔ１4）加工某零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为

，169，168

，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 . 【命题立意】本小题考查概率、相互独立试验等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想. 【思路点拨】加工零件需要完成三道工序，考虑问题的对立事件，加工出合格零件则需要三道工序都是合格品.

【规范解答】因为第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，1

68，所以第一、二、三道工序的正品

率分别为

696867

,,706968，所以加工出来的零件的次品率为

696867673117069687070P =-??=-= 【答案】3

【方法技巧】当所求事件的情形较多，它的对立事件的情形较少时，采用对立事件求解就是“正难则反”的方法.

8.（2010·上海高考理科·Ｔ9）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率()P A B =U （结果用最简分数表示）. 【命题立意】本题考查古典概型的概率的求法及概率的有关性质．【思路点拨】先分别求出事件,A B 发生的概率，再由性质求()P A B U ．

【规范解答】5211)(152==C A P ，52

1313)(152==C B P ，1137

()()()525226P A B P A P B =+=+=

U ．

【答案】

9．（2010·湖北高考文科·Ｔ13）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）.

【命题立意】本题主要考查独立重复试验及互斥事件的概率，考查考生的分类讨论思想和运算求解能力．【思路点拨】“4个病人服用某种新药”相当于做4次独立重复试验，“至少3人被治愈”即“3人被治愈”，“4人被治愈”两个互斥事件有一个要发生，由独立重复试验和概率的加法公式即可得出答案.

【规范解答】4个病人服用某种新药3人被治愈的概率为3340.910.90.2916C ??-=（）0.291 6；

4个病人服用某种新药4人被治愈的概率为4440.90.6561C ?=0.656 1，故服用这种新药的4个

病人中至少3人被治愈的概率为0.291 6+0.656 1=0.947 7. 【答案】0.947 7

【方法技巧】求多个事件至少有一个要发生的概率一般有两种办法：（1）将该事件分解为若干个互斥事件的“和事件”，然后利用概率的加法公式求解.（2）考虑对立事件，如本题也可另解为

0413*******(10.9)0.9(10.9)0.9(10.9)]0.9477

C C C --+??-+??-=[0.947 7. 10.（2010·重庆高考文科·Ｔ17）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,…,6），求：

（1）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率. （2）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

【命题立意】本小题考查排列、组合、古典概型的基础知识及其综合应用，考查运算求解能力及分类讨论的数学思想.

【思路点拨】先求出总的基本事件的个数，再求出符合题意要求的基本事件的个数，最后计算概率. 【规范解答】方法一：考虑甲、乙两单位的排列顺序，甲、乙两单位可以排列在6个位置中的任意两个位

置，有2

630A =种等可能的结果.

（1）设A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则事件A 包含的基本事件的个数是236A =,所以

()=

=305

P A . （2）设B 表示事件“甲、乙两单位的演出序号不相邻”，则B 表示事件“甲、乙两单位的演出序号相邻”，

事件B 包含的基本事件的个数是22510A ?=,

所以102

()1()1303

P B P B =-=-

=. 方法二：不考虑甲、乙两单位的排列顺序，甲、乙两单位可以在6个位置中任选两个位置，有2

615C =种

等可能的结果.

（1）设A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则事件A 包含的基本事件的个数是233C =,所以

()=

=155

P A ；（2）设B 表示事件“甲、乙两单位的演出序号不相邻”，则B 表示事件“甲、乙两单位的演出序号相邻”，事件B 包含的基本事件的个数是5,所以52

()1()1153

P B P B =-=-

=. 方法三：考虑所有单位的排列位置，各单位的演出顺序共有6

6720A =(种)情形.

（1）设A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则事件A 包含的基本事件的个数是2434144A A =,所以

1441

()=

=7205

P A . （2）设B 表示事件“甲、乙两单位的演出序号不相邻”，则B 表示事件“甲、乙两单位的演出序号相邻”，事件B 包含的基本事件的个数是2

245240A A ??=, 所以2402

()1()17203

P B P B =-=-

11. （2010·四川高考文科·Ｔ17）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为1

.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.

（1）求三位同学都没有中奖的概率.

(2）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.

【命题立意】本题考查相互独立事件、互斥事件等概率计算，考查运用所学知识解决实际问题的能力.

【思路点拨】（1）直接利用相互独立事件的概率公式求解.

(2）利用互斥事件的概率求解，可直接求()P A B C A B C A B C A B C ??+??+??+??. 也可先求对立事件的概率()P A B C A B C A B C A B C ??+??+??+??. 【规范解答】（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A ，B ，C ，则1()()()6

P A P B P C ===

. 35125

()()()()()6216P A B C P A P B P C ??=??==.

答：三位同学都没有中奖的概率为125

216

(2）方法一：1()P A B C A B C A B C A B C -??+??+??+??231515

13()()666=-??

-=25.27

方法二：3251525

()()3()66627

P A B C A B C A B C A B C ??+??+??+??=+??=.

答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为25.27

12.（2010·江西高考文科·Ｔ1８）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.

(1)求走出迷宫时恰好用了1小时的概率. (2)求走出迷宫的时间超过3小时的概率.

【命题立意】本题主要考查等可能事件、互斥事件和相互独立事件及其概率等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合的思想.

【思路点拨】（1）先确定走出迷宫时恰好用了1小时的含义，然后利用概率知识求解. （2）先确定走出迷宫时超过3小时的含义，然后分情况逐一计算.

【规范解答】(1)设A 表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则1()3

P A =

. (2) 设B 表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则事件B 包含两种情况：即走出迷宫时恰好用了4小时和恰好用了6小时.，其中6小时又分为“2+3+1”和“3+2+1”两种情况，故1111()6662

P B =

++=. 13.（2010·全国卷Ⅰ文科·Ｔ19）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审． (1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率.

(2)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．

【命题立意】本题主要考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验的概率，及排列、组合中解决至少问题的方法和解题技巧.

【思路点拨】(1)事件“1篇稿件被录用”是指：稿件通过两位初审专家的评审或稿件恰能通过一位初审专家的评审且稿件能通过复审专家的评审. (2)中的至少问题，采用其对立事件求解. 【规范解答】(1)记A 表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审;

B 表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审;

C 表示事件:稿件能通过复审专家的评审;

D 表示事件:稿件被录用.

则C B A D ?+=,

25.05.05.0)(=?=A p ,5.05.05.02)(=??=B P ,3.0)(=C P ,

.03.05.025.0)()()()()()()(=?+=+=?+=?+=C P B P A P C B P A P C B A P D P (2)记0A 表示事件：4篇稿件中没有1篇被录用；

1A 表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用； 2A 表示事件：4篇稿件中至少有2篇被录用，

【方法技巧】解决概率综合题的方法：

（1）解答概率综合题时，一般“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥事件，然后运用加法或乘法公式求解.

（2）在求事件概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率问题时，如果从正面考虑问题时，可能造成过程繁琐，此时可采用其对立事件求解，运用“正难则反”的思想进行转化，以简化解答过程. 14. （2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ20）如图，由M 到N

的电路中有4个元件，分别标为1234,,,T T T T ，电流能通过

123,,T T T 的概率都是p ，电流能通过4T 的概率是0.9，电

流能否通过各元件相互独立.已知123,,T T T 中至少有一个能通过电流的概率为0.999. （1）求p .

（2）求电流能在M 与N 之间通过的概率.

【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率等知识.

【思路点拨】由已知123,,T T T 中至少有一个能通过电流的概率为0.999,则对立事件：123,,T T T 中均不能通过的概率为0.001，可以解得p .第二问根据能在M 与N 之间通过电流可分三种情形,再用互斥事件的概率公式计算.

【规范解答】记i A 表示事件：电流能通过4,3,2,1,i =i T .

A 表示事件：321,,T T T 中至少有一个能通过电流，

B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过.

（1）,2,1321,A A

A A A A ?=3A .)1()()()()()(3321321p A P A P A P A A A P A P -=?=??=

又.001.0999.01)(1)(=-=-=A P A P 故 3(1)0.001p -=，0.9p =.

（2）,32143144A A A A A A A A B ???+??+=

)()()()()()()()()()()()(3114314432143144A P A P A P A P A P A P A P A P A A A A P A A A P A P B P ++=???+??+=23P(A )P(A

) 0.9=+0.10.90.90.10.10.90.90.9??+???=0.989 1.

15.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ20）如图，M 到N 的电路中有4个元件，分别标为1234,,,T T T T ，电流能通过123,,T T T 的概率都是p ，电流能通过4T 的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知

123,,T T T 中至少有一个能通过电流的概率为0.999.

（1）求p .

（2）求电流能在M 与N 之间通过的概率.

（3）ξ表示1234,,,T T T T 中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．

【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率及二项分布等概率知识。

【思路点拨】由已知123,,T T T 中至少有一个能通过电流的概率为0.999，则对立事件：123,,T T T 中均不能通过的概率为0.001，可以解得p .第二问分三种情形考虑，再用互斥事件计算.第三问可以用二项分布解决.

【规范解答】记i A 表示事件：电流能通过4,3,2,1,i =i T .

A 表示事件：321,,T T T 中至少有一个能通过电流，

B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过.

（1）,2,1321,A A A A A A ?=3A ,.)1()()()()()(3

321321p A P A P A P A A A

P A P -=?=??= 又.001.0999.01)(1)(=-=-=A P A P

故3

(1)0.001p -=， 0.9p =.

（2）,32143144A A A A A A A A B ???+??+=

)

()()()()()()()()()()()(3114314432143144A P A P A P A P A P A P A P A P A A A A P A A A P A P B P ++=???+??+=23P(A )P(A )0.9=+0.10.90.90.10.10.90.90.9??+???=0.989 1.

（3）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立. 故~ξ(4,0.9)B ,6.39.04=?=ξE .

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