哈尔滨市2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练二：导数及其应用

哈尔滨2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练：导数及其应用

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题

共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．函数

12y =ax +的图象与直线y =x 相切,则a =()A．

18B．41C．21D．1【答案】B

2．设a 为实数，函数f(x)=32(2)x ax a x ++?的导数是)('x f ，且)('x f 是偶函数，

则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为()

A．2y x =?B．3y x

=C．3y x =?D．4y x =【答案】A

3．过点（－1，0）作抛物线

21y x x =++的切线，则其中一条切线为()A．220x y +

+=B．330x y ++=C．10x y +

+=D．330x y ?+=【答案】B

4．定积分ln 2

0e x dx ∫的值为(

)A．－1

B．1C．2e 1?D．2e 【答案】B

5．曲线y＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(

)A．y＝3x－4

B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3

D．y＝4x－5

【答案】B

6．如图，阴影部分的面积是()

A．32B．3

2?C．3

32D．335【答案】C

7．过点(0,1)且与曲线

11x y x +=?在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为()A．210x y +?=B．220x y ?+=C．220x y +?=D．210x y ?+=

【答案】D

8．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是()

A．0

24=++πy x B．024=+?πy x C．0

24=??πy x D．0

24=?+πy x 【答案】D 9．已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()

A．3

B．2C．1D．

【答案】A 10．下列求导运算正确的是()A．(2211)1x

x x +=′+B．(log 2x )′=2ln 1x C．(3x )′=3x log 3e D．(x 2

cosx )′=－2xsinx 【答案】B 11．设函数

()f x ＝x 3﹣x 2，则)1(f ′的值为()A．－1

B．0C．1D．5【答案】C

12．设命题

p ：曲线x e y ?=在点），（e 1?处的切线方程是：ex y ?=；命题q :b a ,是任意实数，若b a >，则1

111+<+b a ，则()A．“p 或q ”为真

B．“

p 且q ”为真C．p 假q 真D．p ，q 均为假命题【答案】A

第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．22

0sin 2

x dx π=∫____________.【答案】

2

4π?14．已知函数32()21f x x x ax =+?+在区间)1,1(?上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是

；

【答案】[–1，7）

15．已知函数,ln x x y =则这个函数在点1=x 处的切线方程为。

【答案】01=??

y x 16．曲线C:1sin )(++=x e x f x 在0=x 处的切线方程为____________

【答案】2x-y+2=0

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．一出租车每小时耗油的费用与其车速的立方成正比，当车速为h km /80时，该车耗油的费用为元8/h,其

他费用为12元/h.；甲乙两地的公路里程为160km，在不考虑其他因素的前提下，为了使该车开往乙地的总费用最低，该车的车速应当确定为多少公里/小时？

【答案】设这辆出租车得车速为h vkm /，耗油的费用为A 元/h

由甲地开往乙地需要得时间为th,总费用为B 元

依题意，得3kv A =80=v 时，8

=A 160

=tv t A B )12(+=由此可得

v v B 160)1264000(3?+=即

v v B 19204002+=2

3220020019201920200v v v v B ×?=?=′令0=′B 即0

20019203=×?v 得)

/(6403h km v =答：为了使这辆出租车由甲地开往乙地得总费用最低，该车得速度应确定为h

km /640318．已知

()ln f x x x =?,()ln x g x x =,其中(]0,(x e e ∈是自然常数）.(Ⅰ）求()f x 的单调性和极小值；

(Ⅱ）求证：()g

x 在(]0,e 上单调递增；(Ⅲ）求证：1()()2

f x

g x >+.【答案】（Ⅰ）∵x x x f ln )(?=，x

x x x f 111)(?=?

=′∴当10<，此时()f x 单调递增

∴()f x 的极小值为1)1(=f

(Ⅱ）()1ln x

g x x

?′=

当e x <<0时，()0g x ′>，()g x 在],0(e 上单调递增(Ⅲ）∵()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1，∴0)(>x f ，min ()1

f x =∴()()max min 1111112222

g x f x e +=+<+==19．已知函数x x x f 3)(3?=，过点)6,2(?P 作曲线)(x f y =的切线的方程，求切线方程．

【答案】33)(2/?=x x f ，设切点为),(00y x Q ，则：03326200x x x x y =?=?+，即：332

63200030?=?+?x x x x ，解得：00=x 或30=x ，

由)(0/x f k =得3?=k 或24，得：x y 3?=或54

24?=x y 20．已知函数2()(0)22m x m f x m x ?=

+>．(1）若()ln 1f x x m ≥+?在[1)+∞，上恒成立，求m 取值范围；

(2）证明：2ln2+3ln3+…+n lnn 3223512

n n n +?≤（*n ∈N ）．【答案】令2()ln 1022mx m g x x m x

?=??+?≤在[1,)x ∈+∞上恒成立'2212(1)(2)()222m m x mx m g x x x x ???+?=

?+=(1)当2111m

?

max (1)0

g g =≤∵∴原式成立．当211m

?>即0

1)(1)0g g g g m ==?>=∵∴不能恒成立．

综上：1

m ≥(2)由(1)取m=1有lnx 11(2x x

≤?21ln 2

x x x ?∴≤令x=n 21ln 2

n n n ?∴≤

22212ln 23ln 3....ln [23..1]2

n n n n ∴+++≤++++?222(1)(21)

12 (6)

n n n n +++++=∵∴化简证得原不等式成立．21．已知某工厂生产x 件产品的成本为212500020040C x x =++

（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？

(2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

【答案】（1）设平均成本为y 元，则2125000200250004020040x x x y x x ++

=

=++，[225000140

y x ?′=+，令0y ′=得1000x =．当在1000x =附近左侧时0y ′<；

因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．(2）利润函数为2250025000200300250004040x x S x x x ??=?++=??????，30020x S ′=?，令0S ′=，得6000x =，因此，要使利润最大，应生产6000件产品．

(Ⅰ）当=1a 时,求函数()f x 的图象在点()0,(0)A f 处的切线方程；

(Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；

(Ⅲ）是否存在实数，使当时恒成立？若存在，求出实数；若不存在，请说明

理由．

【答案】（I）

时,,于是

,,所以函数的图象在点处的切线方程为，即．

(II）

=

，[来源:学科网ZXXK]∵，∴只需讨论

的符号．ⅰ）当＞2时，＞0，这时

＞0，所以函数在（－∞，+∞）上为增函数．ⅱ）当=2时，≥0，函数在（－∞，+∞）上为增函数．

ⅲ）当0＜＜2时，令=0，解得，．

当变化时，和的变化情况如下表：

∴在，为增函数，在为减函数；

(Ⅲ）当∈（1，2）时，∈（0，1）．由（2）知在上是减函数，在上是增函数，故当∈（0，1）时，，所以当∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立．

当∈（1，2）时，，设，则，表明g(t)在

（0，1）上单调递减，于是可得，即∈（1，2）时恒成立，因此，符合条件的实数不存在.