2009年广东省梅州市中考数学试题及参考答案

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2009年梅州市初中毕业生学业考试

数 学 试 卷

说明：本试卷共 4 页，23 小题，满分 120 分．考试用时 90 分钟．

参考公式： 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a

=-

， 顶点坐标是424b ac b a a 2??-- ???

，． 一、选择题：每小题 3分，共 15 分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的． 1．1

2

-的倒数为（ ） A ．

12

B ．2

C ．2-

D ．1-

2．下列图案是我国几家银行的标志，其中不是．．轴对称图形的是（ ）

根据表中数据可知，全班同学答对的题数所组成的样本的中位数和众数分别是（ ） A ．8、8 B ． 8、9 C ．9、9 D ．9、8 4．下列函数：①y x =-；②2y x =；③1y x

=-

；④2

y x =．当0x <时，y 随x 的增大而减小的函数有（ ）

A ．1 个

B ．2 个

C ．3 个

D ．4 个 5．一个正方体的表面展开图可以是下列图形中的（ ） 二、填空题：每小题 3分，共 24 分． 6．计算：2

(

)

a

a

-÷= ．

7．梅州是中国著名侨乡，

祖籍在梅州的华侨华人及港澳台同胞超过360万人，360万用科学计数法表示为

．

8．如图1，在O ⊙中，20ACB ∠=

°，则AOB ∠=_______度．

A ．

B ．

C ．

D ．

A ．

B ．

C ．

D ． 图1 图2

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9．如图2 所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O 至少经过____________次旋转而得到， 每一次旋转_______度．

10．小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图3所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是 ．

11．已知一元二次方程2

2310x x --=的两根为12x x ，，则12x x = ___________．

12．如图4，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D C 、分别落在11 D C 、的位置．若65EFB ∠=°，则1AED ∠等于_______度．

13． 如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n 幅图中共有 个． 三、解答下列各题：本题有 10 小题，共 81 分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 14．本题满分 7 分．

如图 6，已知线段AB ，分别以A B 、为圆心，大于1

2

AB 长为半径画弧，两弧相交

于点C 、Q ，连结CQ 与AB 相交于点D ，连结AC ，BC ．那么： （1）∠ ADC =________度； （2）当线段460AB ACB =∠=，°时，ACD ∠= ______度， ABC △的面积等于_________（面积单位）． 15．本题满分 7 分．

星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家 的距离y （千米）与时间t （分钟）的关系如图7所示． 根据图象回答下列问题： （1）小明家离图书馆的距离是____________千米；

（2）小明在图书馆看书的时间为___________小时；

（3）小明去图书馆时的速度是______________千米/

小时．

16．本题满分

7 分． 计算：1

012)4cos30|3-?

?++- ???

°．

图

3 A

E D

C F B

D 1 C 1 图4

… … 第1幅 第2幅 第3幅 第n 幅 图5

C

B

D

A 图6

Q

(分)

图7

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17．本题满分 7 分．

求不等式组1184 1.

x x x x --??

+>-?≥，

的整数解．

18．本题满分 8 分．

先化简，再求值：2224441

x x x x x x x --+÷-+-，其中32x =．

19．本题满分 8 分．

如图 8，梯形ABCD 中，AB CD ∥，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ． （1）求证：CDF BGF △∽△；

（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF CD ∥交AD 于点E ，若6cm 4cm AB EF ==，，求CD 的长．

20．本题满分 8 分． “五·一”假期，梅河公司组织部分员工到A 、B 、C 三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图9．根据统计图回答下列问题：

（1）前往 A 地的车票有_____张，前往C 地的车票占全部车票的________%；

（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为______； （3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？

D C

F E A

G 图8

图9

地点

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21．本题满分 8 分．

如图10

，已知抛物线2y =x 轴的两个交点为A B 、，与y 轴交于点C ． （1）求A B C ，，三点的坐标； （2）求证：ABC △是直角三角形；

（3）若坐标平面内的点M ，使得以点M 和三点 A B C 、、为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．（直接写出点的坐标，不必写求解过程）

22．本题满分 10 分．

如图 11，矩形ABCD 中，53AB AD ==，．点E 是CD 上的动点，以AE 为直径的O ⊙与AB 交于点F ，过点F 作FG BE ⊥于点G ．

（1）当E 是CD 的中点时：

①tan EAB ∠的值为______________；

② 证明：FG 是O ⊙的切线；

（2）试探究：BE 能否与O ⊙相切?若能，求出此时DE

23．本题满分 11 分．

如图 12，已知直线L 过点(01)A ，

和(10)B ，，P 是x 轴正半轴上的动点，OP 的垂直平分线交L 于点Q ，交x 轴于点M ．

（1）直接写出直线L 的解析式；

（2）设OP t =，OPQ △的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；并求出当02t <<时，S 的最大值； （3）直线1L 过点A 且与x 轴平行，问在1L 上是否存在点C ， 使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C

L 1

x C B 图11

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2009年梅州市初中毕业生学业考试数学

参考答案及评分意见

一、选择题：每小题 3分，共 15 分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的． 1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 二、填空题：每小题 3分，共 24 分．

6．a 7．6

3.610? 8．40 9．4（1分），72（2分） 10．小张 11．1

2

-

12．50 13．7（1分），21n -（2分） 三、解答下列各题：本题有 10 小题，共 81 分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 14．本题满分7分． （1）90 ···································································································································· 2分 （2）30 ··································································································································

·· 4分 ······························································································································ 7分 15．本题满分 7 分． （1）3 ····································································································································· 2分 （2）1 ····································································································································· 4分 （3）15 ····································································································································

7分 16．本题满分

7 分．

解：1

12)4cos30|3-??

++-

???

°．

134=++·································································································

·····

4分 43=+-················································································································ 6分 4= ······································································································································ 7分 17．本题满分 7 分．

解：由11x x --≥得1x ≥， ······························································································ 2分 由841x x +>-，得3x <． ······························································································ 4 分 所以不等式组的解为：13x <≤， ···················································································· 6 分 所以不等式组的整数解为：1，2． ······················································································· 7 分 18．本题满分 8 分．

解：2224441x x x x x x x --+÷-+-2

(2)(2)(1)

(2)1

x x x x x x x -+-=+÷-- ············································· 3分 2

12x x +=

+- 22

x x =- ··································································································································· 6分

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当32

x =时，原式3

226322

?

==--． ························································································ 8分

19．本题满分8 分．

（1）证明：∵梯形ABCD ，AB CD ∥， ∴CDF FGB DCF GBF ∠=∠∠=∠，， ······················ 2 分

∴CDF BGF △∽△． ···························· 3分

（2） 由（1）CDF BGF △∽△，

又F 是BC 的中点，BF FC = ∴CDF BGF △≌△， ∴DF FG CD BG ==， ················································ 6分

又∵EF CD ∥，AB CD ∥，

∴EF AG ∥，得2EF BG AB BG ==+． ∴22462BG EF AB =-=?-=， ∴2cm CD BG ==． ··········································································································· 8分 20．本题满分 8 分． 解：（1）30；20． ·············································································································· 2 分 （2）

1

2

． ···························································································································· 4 分

或画树状图如下：

共有 16 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中小张获得车票的结果有6种： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）， ∴小张获得车票的概率为63168P =

=；则小李获得车票的概率为35

188

-=． ∴这个规则对小张、小李双方不公平． ························································ 8 分

21．本题满分 8 分．

（1）解：令0x =，得y =(0C ． ························································ 1分

D C F E

A B

G

19题图 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 4

开始

小张 小李

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令

0y =

，得20x =，解得121

3x x =-=，， ∴(10)(30)A B -，，，． ································································································

·· 3分 （2）法一：证明：因为22

214AC =+=， 2222

31216BC AB =+==，， ·

······················· 4分 ∴2

2

2

AB AC BC =+， ··············································· 5分 ∴ABC △是直角三角形． ·····································

····· 6分 法二：因为13OC OA OB ==，，

∴2OC OA OB = ， ··············································································································· 4分 ∴

OC OB OA OC

=，又AOC COB ∠=∠， ∴Rt Rt AOC COB △∽△． ································································································ 5分 ∴90ACO OBC OCB OBC ∠=∠∠+∠=，°， ∴90ACO OCB ∠+∠=°，

∴90ACB ∠=°， 即ABC △是直角三角形． ····················································

· 6 分

（3

）1(4M

，2(4M -，3(2M ．（只写出一个给1分，写出2个，得1.5分） 8分 22．本题满分 10 分．

（1）①

65

····································································· 2分

②法一：在矩形ABCD 中，AD BC =，

ADE BCE ∠=∠，又CE DE =， ∴ADE BCE △≌△， ················································ 3分

得AE BE EAB EBA =∠=∠，，

连OF ，则OF OA =， ∴OAF OFA ∠=∠， OFA EBA ∠=∠， ∴OF EB ∥， ·················································································· 4 分 ∵FG BE ⊥， ∴FG OF ⊥， ∴FG 是O ⊙的切线 ································································································· 6分 （法二：提示：连EF DF ，，证四边形DFBE 是平行四边形．参照法一给分．） （2）法一：若BE 能与O ⊙相切， ∵AE 是O ⊙的直径， ∴AE BE ⊥，则90DEA BEC ∠+∠=°，

又90EBC BEC ∠+∠=°， ∴DEA EBC ∠=∠，

∴Rt Rt ADE ECB △∽△， ∴AD DE EC BC =，设DE x =，则53EC x AD BC =-==，，得353x

x =-， 整理得2

590x x -+=． ······································································································· 8 分 ∵2

42536110b ac -=-=-<， ∴该方程无实数根．

22题图

x

21题图

M 1 3

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∴点E 不存在，BE 不能与O ⊙相切． ·········································· 10分 法二： 若BE 能与O ⊙相切，因AE 是O ⊙的直径，则90AE BE AEB ∠=⊥，°，

设DE x =，则5EC x =-，由勾股定理得：222

AE EB AB +=，

即22(9)[(5)9]25x x ++-+=， 整理得2

590x x -+=， ······································· 8分 ∵2

42536110b ac -=-=-<， ∴该方程无实数根．

∴点E 不存在，BE 不能与O ⊙相切． ·········································· 10分 （法三：本题可以通过判断以AB 为直径的圆与DC 是否有交点来求解，参照前一解法给分） 23．本题满分 11 分．

（1）1y x =- ························································································································ 2分 （2）∵OP t =，∴Q 点的横坐标为1

2

t ， ①当1012t <

<，即02t <<时，112

QM t =-， ∴11122OPQ S t t ??

=

- ???

△． ·

····································································································· 3分 ②当2t ≥时，11

1122

QM t t =-

=-， ∴11122OPQ S t t ??

=

- ???

△． ∴1110222111 2.

22

t t t S t t t ???

-<< ?????=????- ?????，

，，≥ ······························································································ 4分

当1012t <

<，即02t <<时，211111(1)2244

S t t t ??=-=--+ ???， ∴当1t =时，S 有最大值

1

4

． ······························································································ 6分 （3）由1OA OB ==，所以OAB △是等腰直角三角形，若在1L 上存在点C ，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC =，所以OQ QC =，又1L x ∥轴，则C ，O 两点关于直线L

对称，所以1AC OA ==，得(11)C ，． ··············································································· 7 分

下证90PQC ∠=°．连CB ，则四边形OACB 是正方形．

法一：（i ）当点P 在线段OB 上，Q 在线段AB 上

L 1

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（Q 与B C 、不重合）时，如图–1．

由对称性，得BCQ QOP QPO QOP ∠=∠∠=∠，， ∴ 180QPB QCB QPB QPO ∠+∠=∠+∠=°，

∴ 360()90PQC QPB QCB PBC ∠=-∠+∠+∠=°°． ················································· 8分 （ii ）当点P 在线段OB 的延长线上，Q 在线段AB 上时，如图–2，如图–3

∵12QPB QCB ∠=∠∠=∠，， ∴90PQC PBC ∠=∠=°． ·························· 9分 （iii ）当点Q 与点B 重合时，显然90PQC ∠=°． 综合（i ）（ii ）（iii ），90PQC ∠=°．

∴在1L 上存在点(11)C ，，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形． ············ 11 分

法二：由1OA OB ==，所以OAB △是等腰直角三角形，若在1L 上存在点C ，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC =，所以OQ QC =，又1L x ∥轴， 则C ，O 两点关于直线L

对称，所以1AC OA ==，得(11)C ，． ············································································· 7 分

延长MQ 与1L 交于点N ．

（i ）如图–4，当点Q 在线段AB 上（Q 与A B 、不重合）时， ∵四边形OACB 是正方形，

∴四边形OMNA 和四边形MNCB 都是矩形，AQN △和QBM △都是等腰直角三角形． ∴90NC MB MQ NQ AN OM QNC QMB ====∠=∠=，，°． 又∵OM MP =， ∴MP QN =， ∴QNC QMP △≌△，

23题图-3

L 1

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∴MPQ NQC ∠=∠， 又∵90MQP MPQ ∠+∠=°， ∴90MQP NQC ∠+∠=°．

∴90CQP ∠=°． ············································································································ 8分 （ii ）当点Q 与点B 重合时，显然90PQC ∠=°． ·············································· 9分 （iii ）Q 在线段AB 的延长线上时，如图–5， ∵BCQ MPQ ∠=∠，∠1=∠2 ∴90CQP CBM ∠=∠=°

综合（i ）（ii ）（iii ），90PQC ∠=°．

∴在1L 上存在点(11)C ，，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形． ········ 11分

法三：由1OA OB ==，所以OAB △是等腰直角三角形，若在1L 上存在点C ，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC =，所以OQ QC =，又1L x ∥轴，

则C ，O 两点关于直线L 对称，所以1AC OA ==，得(11)C ，． ························ 9分

连PC ，∵|1|PB t =-，12OM t =

，12

t

MQ =-， ∴2222

2

(1)122PC PB BC t t t =+=-+=-+，

2

2

2

22222

11222t t t OQ OP CQ OM MQ t ????===+=+-=-+ ? ?????

．

∴222

PC OP QC =+，∴90CQP ∠=°． ······································································· 10分

∴在1L 上存在点(11)C ，，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形． ··········· 11分

L 1

23题图-5

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