胡适耕_实变函数答案
第一章习题 B
36．若A ΔB =A ΔC ，则B =C ．
证一：（反证）不妨设，?x 0∈B ,且x 0?C
1) x 0∈A ,则x 0?A ΔB ，x 0∈A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 2) x 0?A ，则x 0∈A ΔB ，x 0?A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 所以假设不成立，即B =C ．
证二：()B A A ??()[]()[]A B A B A A \\??= =()()B A B B A =\ 同理()C C A A =??，现在已知A B A C ?=?故上两式左边相等，从而C B =． 37．集列{A n }收敛?{A n }的任何子列收敛．
证 由习题8集列{}n A 收敛?特征函数列
{}n
A χ收敛，由数分知识得数列
{}n
A χ收敛?{}n
A χ的任一子列{}j
n A χ
均收敛，又由习题8可得{}j
n A 收敛．
38．设)2,1}(:/{ =∈=n Z m n m A n ,则lim n n
A =Z ，lim n n
A =Q ．
证 显然有lim lim n n n
n
Z A A Q ???
1） 假设?x \,Q Z ∈使x ∈lim n n
A
∴?N >0,当n>N 时，有n x A ∈，特别地， n x A ∈，1n x A +∈ ∴?m 1,m 2∈Z ,使x =1m n ,x =21m n + ∴1m n =21
m
n + 从而1
21,m m m n
=+
这与m 2∈Z 矛盾，所以假设不成立，即：lim n n A =Z ．
2）?x ∈Q,则?m,n ∈Z,使得x =
m
n
∴x=m n =2m n n ?= (1)
k m n n
+?=…
∴x ∈k n A ,(k =1,2…),从而x ∈lim n n
A ∴lim n n
A =Q ．
39．设0 a b =(0,1]． 证 (0,1]x ?∈ 1) ∵ 0 a b ． 2) 假设?y >1,使y ∈lim[,]n n n a b ，则y 属于集列{[,]n n a b }中的无限多个集 合．又因为y >1, 1n b ↓ ，故0,N ?>当n>N 时，有n b a b ． 显然，?y ∈(0]-∞， 有y ?lim[,]n n n a b ,故]1,0(],[lim ?n n n b a . 综上所述，lim[,]n n n a b =(0,1]． 40．设n f ：R X →（n →∞）, n f A χ→(n →∞),求lim (1/2)n n X f ≥． 解 1）?0x A ∈，n f A χ→( n →∞)，故0()n f x 0()1A x χ→=( n →∞)． ∴0,N ?>当n>N 时，有0()n f x 1/2>． ∴当n>N 时，0(1/2)n x X f ∈≥，从而0x ∈lim (1/2)n n X f ≥． 2）?0c x A ∈，n f A χ→( n →∞)，故0()n f x 0()0A x χ→=( n →∞)． ∴0,N ?>当n>N 时，有0()n f x 3/1>． ∴0lim (1/2)n n x X f ?≥ ∴ lim (1/2)n n X f ≥=A 41．设{n A }为升列，A ? n A ，对任何无限集B ?A ,存在n 使B n A 为无限集，则A 含于某个n A ． 证 假设A 不含于任何n A 中,又{n A }为升列， 则对1=n ，11\A A x ∈?，由于n A A ?，故N n ∈?1，使11n A x ∈，即 11\1A A x n ∈；对2=n ，22\A A x ∈?，又n A A ?故N n ∈?2使 ??∈+1222n n A A x ．于是可取12n n >使 22\2A A x n ∈．因此对i n =，1->?i i n n ，i n i A A x i \∈． 令B ={x 1, x 2,… x i …}，则B ?A 且B 为无限集， 但?i ,B A ni ={x 1, x 2,… x i }为有限集，这与已知条件矛盾． ∴假设不成立，即A 含于某个n A 中． 42.设f :2x →2x ，当A ?B ?X 时f (A ) ?f (B )，则存在A ?X 使 f (A )=A ． 证 因为()X X f ?，故子集族()(){} B B f B X P X ?∈=? :20非空，令 () X B A X P B ?= ∈? 0，下证： 1()A A f ?，即要证()X P A 0∈．首先由定义B A ?对每个()X P B 0∈成 立，那么由已知就有()()B f A f ?对一切()X P B 0∈成立，从而 ()()()() X P B X P B A B B f A f 00∈∈=?? ． 2再证()A f A ?．为此，由A 的定义，只要能证()()X P A A f 00∈=? 就可 以了．但从 1已证的()A A f A ?=0，又由已知f 的单调性应有 ()()[]()00A A f A f f A f =?=，故确定()X P A 00∈． 43.设X 是无限集，f :X →X ，则有X 的非空真子集A ，使f (A )?A ． 证 ?x 1∈X ，若x 1≠x 2，令x 2=f ( x 1) 若x 2≠x 3 ，令3x =f (2x )… 若1n n x x -≠，令1()n n x f x -=… 1）若存在1i i x x +=，则令A ={x 1,x 2,…x i }，显然f (A )?A ． 2）若不存在1i i x x +=,则令A ={x 1,x 2,…x i ,…}，显然f (A )?A ． 44.设|A |>1,则有双射f :A →A ,使得?x ∈A : f (x )≠x ；当|A |=偶数或 |A |ω≥时可要求f (f (x ))=x (?x ∈A )． 证 （1）|A |=2n +1, n ∈N ,则A ={x 1,x 2,…x 2n+1 }，作映射: ()111221 i i x i n f x x i n +≤≤?=? =+?，显然f (x )是双射，且?x ∈A ，有f (x )≠x ． （2）|A |=2n ，n ∈N , 则A ={x 1,x 2,…x 2n }，作映射: ?? ?=≤?-=≤?=-+m i n m x m i n m x x f i i i 2,12,)(1 1 ， 显然()f x 是双射，且?x ∈A ， 有()f x x ≠且()()f f x x =． (3) |A |ω≥由A ×{0,1}～A 知，存在一双射{}:0,1h A A ?→ 令{}()01?=A h A ,{}()12?=A h A 又{}0?A ～{}1?A 及h 为双射，{}(){}( ) 01A A ??=? {}(){}(){}010,1A A A ??=? ,知1 A ～2 A 且?=2 1 A A ，A A A =21 ， 故A 可划分为两个互不相交等势的子集A 1和A 2。 ∵1A ～2A ∴在A 1和A 2之间存在一双射，记为()g x ,()g x :21A A →， 作映射： ()()() 11 2 g x x A f x g x x A -∈??=?∈??， 容易验证f (x )是双射，且()()(),x A f x x f f x x ?∈≠=且. 45．设|B |≤|A |=|A ×A | , |A |ω≥,则|A B |=|A |． 证 因为A A A =?，所以A 为无限集，任取A 中不同的两点12,a a ， 则有A A A =?{}12,A a a A B A ≥?≥≥ ．所以A B A = ． 46.设|1A n n ∞= |=c ，则?n :|A n |=c ． 证 令(){} ,2,1,,,,,21=∈=∞ i R x x x x R i n ，则c R =∞． 由于|1A n n ∞= |=c ，故存在双射ψ：1A n n ∞= →∞ R ,记n B ()n A ψ=， 则 ∞ =∞=1 n n R B ,n A ～n B ()1,2,n = ． 对x =( x 1,x 2,…) ∈∞R ，令P n x = x n , 则P n 是∞ R 到R 1的一个映射． 如果存在某个n ，使P n B n =1 R ，则由c ≥|n A |=|B n |≥| R 1|= c ，可得|n A |= c ．否则，若对一切n 均有P n B n ?R 1，且P n B n ≠1 R ．那么对每个n ，取n a ∈R 1\P n B n ,记() ,,21a a a =，则a ∈∞ R ． 但因为P n a =n a ?P n B n ，故a ?B n (n =1,2,…)，这与 1B n n ∞= =∞ R 相矛盾． 因此必存在n ，使得|n A |=c ． 47．|C[0,1]|=c ． 证 首先，因为[0,1]上的常数函数都是[0,1]上的连续函数，故R 与C[0,1]中的一个子集对等，即[]0,1C c ≥． 其次，将[]10，中的有理数全体排成,,,,,21 n r r r 则任何一个连续函数()x f 都由它在 ,,,,21n r r r 上的值()()() ,,,,21n r f r f r f 完全决定．事实上，对任何[]1,0∈x ，存在上述有理数列的子数列()∞→→j x r j n ，由f 的连续性 ()() j n j r f x f ∞ →=lim ．若()[]0,1g x C ∈，()()x f x g ≠，则必有 ()()()()()() ,,,,2121r g r g r f r f ≠． 否则将导致在一切点[]1,0∈x 上均有()()x g x f =，因此[]0,1C 与实数列全体的一个子集对等．又实数列全体基数为c ，故[]0,1C c ≤，综上所述[]0,1C c =． 48．|R R |=2C , R R 是函数f ：R →R 之全体． 证 （1）2R D ?∈且|D|≠1,|D c |≠1， 由44题结论，?R 上的一双射f ：()()1f x x D f x x x D ?∈=??? 其中，()x f 1为D 到D 的双射且? x ∈D,有f (x )≠x ． 2R D ?∈且|D c |=1，由44题结论及条件,容易找到两个不同的双射， ()D D x h i →:，x D ?∈有()x x h i ≠，()2,1=i 作R 上的双射：h (x )和g (x ) h (x )={ 1()h x x x D x D ∈?，g (x )={ 2()h x x x D x D ∈?， 由f (x ),g(x )及h (x )定义知， 22R R c R ≥=． （2）显然，{}:R R r R G f f R =∈ 其中()(){},:,R r G f x f x x R f R =∈∈． ∵2R R r G f ?∈ ∴{}:22 22R R R R R R R c r R G f f R ??=∈≤=== 综上所述，有2R c R =． 49．设T 是1维开集之全体，则|T|=c ． 证 设=A {()a a +∞,为任意正数}则A ~()+∞,0，故c A =，又T A ?，故c T ≥；另一方面，对任何一组开集() i i i b a G ,= 作单射 ()() ,,,,2211b a b a G f =，则由实数列集的全体的势为c ，知c T ≤，于是c T =． 50．设|X|ω≥,B 是双射f ：X →X 之全体，求|B|． 证 （1）2X D ?∈且|D|≠1,|D c |≠1 由44题结论，?一双射f ：()()1f x x D f x x x D ?∈=??? 其中，()x f 1为D 到D 的双射且? x ∈D,有f (x )≠x 2X D ?∈且|D c |=1．由44题结论及条件X ω≥,容易找到两个不同的双射， ()D D x h i →:，x D ?∈有()x x h i ≠，()2,1=i ， 作X 上的双射：h (x )和g (x ) h (x )={ 1()h x x x D x D ∈?，g (x )={ 2()h x x x D x D ∈?， 由f (x ),g (x )及h (x )定义知， X X B 2 2 =≥． （2）显然，{}B f f G B r ∈=:其中()(){}X x x f x f G r ∈=:,， 又X X r f G ?∈2，故2 22X X X X X B ??≤==． 综上所述，有X B 2 =． 51．不存在集族{}A α,使对任何集B 有某个α：|αA |=|B |． 证 （反证法）若?{αA },使?B 有某个α：|αA |=|B |． 那么对B =2A a 由Th1.3.4显然有|αA |<|B |，矛盾． 52．设f :X →R 满足sup{| ()|:{}i i f x x X ?∑为有限集}<∞,则 X (f ≠0)为可数集． 证 令()1 1:,n X x x R f x n ? ?=∈> ????，()2 1:,n X x x R f x n ??=∈<-??? ?， 显然有()()1 21 0n n n X f X X ∞ =≠= ， 假设N ?使1N X ω≥,则1 N X 中存在一互不相等的数列{}i y 使N y f i 1)(> sup{| ()|:{}i i f x x X ?∑为有限集}()()∞→∞→=≥≥∑ ∑==k N k N y f k i k i i 1 1 1 这与已知条件矛盾，假设不成立即1 ,n n N X ?∈可数，同理可证2 n X 可数 由Th1.3.7得()0X f ≠可数． 53．设f ：R →R 在每点取局部极小值，则f 仅取可数个值． 证 ?x ∈R ,取有理端点的开区间x J ,使x ∈x J ， 且f (y )≥f (x ),(?y ∈x J )，f (y )≠f (x ) ?y J ≠x J ． 否则，y J =x J ?f (y )=f (x )矛盾．故可建立单射F ：f (x ) →x J ． 又{x J | x ∈R}可数，所以()f x 可数． 54．设A ?n R ，? x ∈n R ，?r >0: A ()r B x 可数，则A 可数． 证 由已知条件知存在n R 的一开覆盖ù ，满足∈?B ù ，有A B 可数， 由68题结论，ù 存在一无限可数子集ù 1满足，∈B ù 1，n R B ? ， |ù 1|=ω．于是()n A A R B A == (∈B ù 1 )由Th1.3.7得A 可数． 55．设A ?n R 可数，则有x ∈n R 使A (A +x )=?,其中 A +x ={a +x : a ∈A }． 证 A ?n R 可数，故{A b a b a ∈-,|}也可数而n R 是不可数的，因此可以 取到x ?{A b a b a ∈-,|}．假设A (A +x )≠?，不妨设a ∈A (A +x ),则 a ∈A ，且a ∈A +x ，即? b ∈A 使得a =b +x ．于是x =b a -，这与x 的取法 矛盾，因此?x ∈n R ,使A (A +x )=?． 56．设E ?2 R 可数，则有分解E =A B ,A B =?,使每条直线x =x '只含A 中有限个点，每条直线y =y '只含B 中有限个点． 证 （1）当E 是有限点集时，显然成立． （2）当E 是可数无限点集时，先就特殊情形：N N E ?=，整点（也称格点）集证明．以平分第一象限的直线x y =为分界线，考虑这条直线的下方图形 (){} y x y x R y x F ≥≥≥∈=,0,0:,2与E 的交集，设为A ，即： ∞ ===1n n A E F A ． 其中(){}1,11=A 是单点集 ()(){}2,2,1,22=A 是两点集 … … ()()(){}n n n n A n ,,,2,,1, =是n 个点的集…． 再令A E B \=，则容易验证?=B A ，N N E B A ?== ． （3）对2 R E ?是一般可数无限点集情况，可以不宜深究他．因E ~N N ?转化为N N E ?=的情况，从而证毕． 注：作为点集可数性练习，应该说上述解答基本完整．但若深究起来，还是比较 复杂的．故严格地说上述解答的（3）部分是不严格（或不完全的）．例如，圆盘内有理点取为E 时，显然这时E 和N N ?仍有一个一一对应，但二者确乎不能视为等同：在需要考虑拓扑性质时，前者处处稠密于全圆盘，而后者无处稠密（疏）．要完成严格证明就要说明存在一个一一对应的映射?，使得穿过圆盘的每条横（或纵）线x x f '=:()y y '=在?下的像()f ?与（2）中A 的交集至多是有限点集．这已是拓扑同伦问题，超出实变范围． 57．设Λ是2 R 中如下直线L 之全体：当（x ,y ）∈L 且x ∈Q 时，y ∈Q,求|Λ|． 解 1）k =0时，y =b ∈Q A ={y =b , b ∈Q}显然A 中每条直线均满足条件，|A|=ω显然成立 2）k =∞时，x =b ，B ={x =b ,b ?Q}，显然B 中每条直线均满足条件，|B|=c ． 3) k ≠0，∞时，y =b kx + C={y =b kx +, k ≠0, k ,b ∈Q}，显然C 中每条直线均满足条件，|C|=ω， 易证Λ=A C B ．从而|Λ|=c ． 58．设A ,B ?n R 是互不相交的闭集，则有互不相交的开集G ,H 使A ?G , B ?H ． 证 令()(){}B x d A x d x G ,,|<=，()(){}B x d A x d x H ,,|>=，则易知 A G ?， B H ?且?=H G ． 又 a y y x a x -+-≤-,故())(inf inf ,a x y x a x A x d A a A a -+-≤-=∈∈． 因此()()A y d y x A x d ,,+-≤，即()()y x A y d A x d -≤-,,． 同理可证()()y x A x d A y d -≤-,,． 故()()y x A y d A x d -≤-,,，因此()A x d f ,=是连续函数． 故()()()B x d A x d x F ,,-=也是连续函数． 故{}0|<=F x G 与{}0|>=F x H 为开集． 59．设A ?n R 是可数稠集，则A 不是G δ型集． 证明：设A ={x 1，x 2,…}，假设A 是G δ型集，则有n R 中的开集i G 使得， A = ∞ =1i i G ．又记{i x }为只含有i x 的单点集， 则n R =（n R \A ） A =（n R \A ） ( 1 {}k K x ∞= )= ∞ =1 )\(i i n G R (1 {}k K x ∞ = ) ∵{i x }与i n G R \均是闭集，显然，{i x }不含内点， 又∵i n G R \?A R n \，而A 为可数稠集， ∴i n G R \不可能包含任何开区间，即无内点． 则n R 可表示为可数个无内点的闭集的并集，这是不可能的． ∴ A 不是G δ型集． 60．不存在[0,1]上的实函数，使在有理点连续而在无理点间断． 证 设f 是定义于[0,1]的函数， 记n E ={x |对x 的任一邻域(,)αβ，存在 x 1 ,x 2∈(,)αβ，使得()()n x f x f 1 21≥ -}． 又记E = 1 n n E ∞= ．由连续的定义知E 就是f 的不连续点全体， 今证明每个n E 均是闭集． 设n E x ∈, ? x 的邻域(,)αβ,?x ∈(,)αβ n E , 由x ∈n E ∴(,)αβ中能取到两点x 1, x 2,使得()()n x f x f 121≥ -． ∴x ∈n E ∴ n E 是闭集．如果f 的不连续点为[0,1]中的无理数全体， 由E = 1 n n E ∞= ,可知[0,1]中的无理数全体能表为可数个闭集的并， 这是不可能的．故这样的f 不存在． 61．设P 是Cantor 集，则P +P ={x +y :x , y ∈P }=[0,2]． 证 （1）P P +[]20， ?为显然． （2）为证[]?20， P P +，由于这一步比较复杂，要用到一定的分析归纳技巧，我们借助于几何意义作一说明． 要证对任一∈a []2,0，存在P y x ∈00,，使得?+=y x a 直线 :a l a y x =+在平面2R 中与2R 的一个子集P P ?有交点． 而平面子集P P ?是直线中康托集构造的推广，是很著名的“谢尔宾斯基地毯”（早年也译为谢尔宾斯基墓垛，也许因其命名不祥不雅而改称“地毯”，他是 著名的经典分形图例之一，在许多分形理论入门书都提到它）．那么求证直线 a y x =+与P P ?有交点，就涉及到P P ?这一谢尔宾斯基地毯的构造．如图所 示，单位正方形ABCD 与直线:a l a y x =+因20≤≤a 必相交．不仅如此，从单位正方形ABCD 中挖走一个居中的宽度为 3 1 的十字架后剩下的4个一级小 正方形 141312111B B B B B =也与a l 相交，如果具体表出1B 的话，易知令 ?? ? ?????????=1,3231,01 F ，则111F F B ?=对1B 的每个边长为31的小正方形也“如法 炮制”地挖走宽度为 23 1 的居中十字架，就得到了剩下的44?个二级小正方形222F F B ?=， 其中?? ? ?????????????????????=1,3 8 37,3633,3231,02222222 F ，不难证明2B 与a l 也相交．如此继续进行下去，用归纳法证明第n 级正方形n B （它是由n 4个 小正方形的并集）总与直线a l 相交． 最后注意到所谓谢尔宾斯基地毯P P ? ∞ == 1 n n B ，而每个a n l B 都显然是平 面中的非空有界闭集，且a n a n l B l B 1+?，应用2 R 中递缩紧集（即有界闭集）套必有非空交原理，存在一点()()P P B l B y x P n n n a n ?=?∈ ∞ =∞ = 1 1 000,，于是 ()P P y x ?∈00,，且a y x =+00． 说明： 1、 上述关键性一步——n B 与a l 必有交点的严格分析证明，是可以作出的，但较 繁，从略． 2、 有的书所附解答提示中认定只有一点()() ∞ == 1 000,n a n l B y x P 是不精确 的．由图形关于x y =的对称性，完全可以从几何意义上就判定 () ∞ =1 n a n l B 允 许有两个点()000,y x P 和()001,y x P ，且仅当00y x =时才是唯一一点．正因为如此，我们在证明中才审慎地使用“平面中递缩紧集套必有非空交”原理，而不使用“a l 中闭区间套定理”． 3、 本题如果不使用二维（谢尔宾斯基地毯）转化法证明，而直接应用P 的三进 制小数法表示原理，即在三进制小数法表示中 ∑ ∞ ==1 3 i i i a x ， 0=i a 或2 应该也可以纯分析地证明()P P +?2,0，从而完成[]P P +=2,0的证明． 62．R 上任何实函数f 的连续点之集是G δ型集． 证 考虑()f x 的振幅函数．{} ()limsup ()():,()x f s f t s t B x δδω→=-∈． 易证明()f x 在0x 处连续当且仅当0()0x ω=，所以()f x 的连续点集是 {}1 1:()0:()k x x x x k ωω∞ =?? ==< ??? ? ，下面只需证明对每个1,2,k =……， 1:()k E x x k ω? ? =< ???? 是开集．若0,k x E ∈，则01()x k ω<，所以存在00δ>， 使得{} 001 sup ()():,()f s f t s t B x k δ-∈< ， 从而对任意00()x B x δ∈，只要取10δ>使得100()()B x B x δδ?，就有 {}1 ()sup ()():,()x f s f t s t B x δω≤-∈{}001sup ()():,()f s f t s t B x k δ≤-∈< 因此00()k B x E δ?，所以k E 为开集(1,2,k =……)． 63．A ?n R 同时为F σ型集与G δ型集的充要条件是：存在序列{k f }?C(n R ),使k f →A χ． 证 “?”若k f →A χ，{}() n k R C f ?，则由点集关系 ∞=∞=∞ =+≥=>=11}1 21)(:{}21)(:{m N N k k A m x f x x x A χ， 从而A 是σF 型集.另一方面， ∞=∞=∞ =-≤=<=11}121)(:{}21)(:{\m N N k k A n m x f x x x A R χ从而A R n \是σ F 型集，故A 为δ G 型集.从而，A 同时为F σ型集与G δ型集． “?”不妨设A = 1 k k F ∞= =1 k k G ∞ = ,其中{k F }是递增闭集列，{k G }是递减开集 列，则可作k f ∈C(n R )（k=1,2,…）满足：()???∈∈=k n k k G R x F x x f \01 ∴()? ? ?∈∈=∞ →.\,0;, 1lim A R x A x x f n k k ∴k f →A χ． 64．作一非连续映射f ：R →R ,使f 映开集为开集． 解 对每一个]1,[+n n ()N n ∈作Cantor 三分集n P ， 令n n P n n G \]1,[+=，n P P =，n G G =，则G 是开集，设G 的构成区间集是(){}k k b a , () ,2,1=k ， 现在R 上定义函数： ()()()?? ???∈=∈?? ? ??????? ? ? ---=P x k b a x a b x b tg x f k k k k k 02,1,21 当π 则f 将开集映射为开集．事实上，任取开区间()βα,，若()βα,含于某个构成区间()k k b a ,内，f 就映() βα,为开区间（[(1/2)]k k k b tg b a α π-- -，[(1/2)]k k k b tg b a βπ---）； 若()βα,中含有G 的构成区间，故()()βα,f R =． 又集P 中的每一点都是f 的不连续点，事实上，P x ∈?，x 的任一邻域中都含有G 的构成区间，再根据f 的定义即知f 在x 上不连续．故f 非连续函数． 65．设f :R →R 可微，? α∈R ,R (f '=α)是闭集，则f '处处连续． 证 R ∈?α，作集合αE ={()α≥'x f x :} (只要证αE 是闭集) 设n x ∈αE , 0x x n →,下证0x ∈αE ． 1）若存在{n x }子列{nk x },使得f '(nk x )=α,则()α='∈f R x nk ，已知 ()α='f R 为闭集，且{}{}n nk x x ?，0x x n →∈αE ． 2）不妨设对一切n ,均有f '(n x )>α，若存在n x =0x ，则0x ∈αE ， 否则，可取子列nk x →0x ，使得nk x >0x ,对一切k 成立，或可取子列nk x →0x ，使得nk x <0x ,对一切k 成立． 不妨设对一切n ，n x <0x ， （反证法）假设0x ?E α，则有0()f x α'<．由导数定义 ,0>?δ当δ<-<00x x 时， α<--0 0) ()(x x x f x f ． 又∵0x x n →，故?N ，当n ≥N 时，0||n x x δ-<,则有00 ()() n n f x f x x x α-<-． 又∵()n f x '>α ∴? x , n x ()() n n f x f x x x α->-． 设()t F = ()() n n f x f t x t --，则由已知得()t F 是[x ,0x ]上的连续函数，且有 )(x F >α, ()0x F <α，由介值定理, 0[,]n x x x '?∈使得F (n x ')=α, 由拉格朗日定理，?n α∈[,n n x x '],使得 ()()()()n n n n n n f x f x f a F x x x α'-''= =='- ∵0x x n →，n x ≤n α≤0x 又∵n α→0x 且{x |()f x α'=}是闭集 ∴ α=')(0x f 与假设矛盾 ∴0x ∈αE ． 66．设{k G }是n 维开集的升列，F 是k G 的紧子集，则F 含于某个k G ． 证 由F ?k G ,{k G }为开集列知k G 为紧集F 一个开覆盖．由有限覆盖定理k G 中必存在有限个开集覆盖F ，即F n i k i G 1 =? ．由于{k G }为升列故 n k G F ?即得． 67．设{k F }是n R 中紧集的降列， k F ?G ?n R ,G 是开集，则G 包含某个k F ． 证 假设G 不包含任何k F ，则?N k ∈,有c k F G ≠? ，因为{k F }是紧集 的降列，所以{k F c G }还是非空紧集的降列，由1.6.3有 1 ()c k k F G ∞ =≠? ， 即（ 1c k k F G ∞=≠? ） ．这与1k k F G ∞ =? 矛盾． 68．设A ?R n ,则从A 的任一开覆盖可取出可数子覆盖． 证 设{}G α是A 的任一开覆盖，即A G αα ? ， 下面只需证明存在可数个开集{}i G G αα∈使得 i i G G ααα ? 即可． 把n R 中球心坐标为有理数，球半径也为有理数的开球称为有理开球， 一切有理开球构成的集族为A ，显然A 为可数集， 令A {12,,B B =……，,k B …… }．对开集G α，任取x G α∈， 则存在0δ>．使()B x G δα?．由有理点的稠密性，存在有理点x '， 使(,)3 d x x δ '< ，再取有理数γ使3 2 δ δ γ<< ， 则()()x B x B x G γδα'∈??，因为()B x γ'是某个有理开球， 可令()B x γ'x k B =，所以G α的每个点x 都可找到含有x 的有理开球 x k B ∈A 而且x k B ?G α．令A 1{ x k B =∈ A :,x k B G x G αα?∈且}x k x B ∈， 则1 k k B A G B α∈= ．因为可数集A 的任何子集仍为可数集， 所以存在可数个有理开球{}i B 使得i i G B αα = ，而且每个i B 被某个i G α包含．对每个i 只取一个i G αi i B ? ，就有i i G B αα = i i G α? ，从而存在可数 个开集i G α{}G α∈使A G αα ? ? i i G α ． 69．设X ?n R 是紧集,(),k k f C X f ∈?f (k →∞),则()f X = 1()i k i k f X ∞ ∞ == ． 证 由于k f ?f )(∞→k ，故对任意给定X x ∈，)()(lim x f x f k k =，从 而对任意1≥k ，数列 )} ({x f i k i ∞ =收敛于)(x f ，因为当k i ≥时， ∞ =∈k i i i X f x f )()(，所以 ∞ =∈k i i X f x f )()(，从而 ∞ =∞ =∈1)()(k k i i X f x f ，故 ∞=∞ =?1)()(k k i i X f X f . 下证 ) ()(1X f X f k k i i ?∞ =∞ = .因为n R X ?为紧集且)(X C f k ∈， k f ?f )(∞→k ，所以)(X C f ∈.又因为连续函数一定把紧集映为紧集，所以， 不妨设],[)(k k k d c X f =，],[)(d c X f =.若],[)(d c X f y =?，则c y <或 d y >，不妨设c y <（同理可证d y >的情况）.令0>-=y c ε，由于 k f ?f )(∞→k ，所以存在0>N ，当N k ≥时对一切X x ∈，有 2 |)()(|ε < -x f x f k ，从而2 22 2 )()(ε ε ε +=-- =- ≥- >y y c c c x f x f k ，即存在0>N ，当N k ≥时),2 ()(+∞+ ?ε y X f k ，从而 ∞ =+∞+ ?N k k y X f ),2 ()(ε ， 从而 ∞ =?N k k X f y )(，从而 ∞=∞ =∞=∞==?11)()(k k i i N N k k X f X f y ，故 )()(1X f X f k k i i ?∞ =∞ = . 综上得 ∞=∞ == 1)()(k k i i X f X f . 70．设A ，B n R ?是非空闭集且A 有界，则存在a ∈A 与b ∈B,使得 b a -=(,)d A B ． 证 ?0a A ∈,先证：?0b ∈B ，使得|00a b -|=0(,)d a B . 作闭球δB =()0a B δ使得B B δ 不是空集，可以证明，0(,)d a B =0(,)d a B B δ . B B δ 是有界闭集，而y a -0看作定义在B B δ 上的y 的函数是连续的． 故它在B B δ 上达到最小值，即存在0b ∈B B δ ,使得： 00b a -={} B B y y a δ∈-:inf 0．从而，有00b a -=0(,)d a B ． 再证：(,)d x B 作为x 的函数在A 上是连续的. ?x ，A y ∈，根据(,)d x B 的定义，对?ε>0，必存在B z ∈， 使得z y -<(,)d y B +ε， 从而有(,)d x B ≤z x - ≤y x -+z y - ∴|(,)d y B (,)d x B -|≤y x - ∴(,)d x B 在有界集A 上取得最小值， 即：?a ∈A ,使()B A d ,=(,)d a B =b a -． 第二章习题 A 1．作完备疏集]1,0[?F ，使得2/1=mF ． 解 在[0,1]上挖去居中长为 4 1的开区间) 1(1I ，余下两个闭区间记为)1(2 )1(1E E ，．在闭区间)1(2)1(1E E ，上挖去居中长为24 1的两个开区间) 2(2)2(1I I ，余下的4个区间记为) 2(4)2(3)2(2)2(1E E E E ，，，．依此方法继续下去，设挖去的所有开区间的并集为G = ∞==-121)(1 n i n i n I ，则G 为开集且 21 4 121 1 121 ) (1 ===∑∑∑∞ =-∞==-n n n n i n i n mI mG ．令F =[0,1]\G ，则F 是可测集且[0,1]=F G ,故2 1 211]1,0[=- =-=mG m mF ．又因挖去的区间没有公共点，因此F 为完备 集．又]1,0[=G ，从而c c c G G G F ]1,0[)1,0()1,0(]1,0[)\]1,0([ ==== ?=，故F 为疏集，因此F 为完备疏集． 2．作闭集?F R\Q ，使得0>mF ． 解 记R 中有理数全体为 ，，21r r ，作)21 ,21(1 n n n n n r r G +- = ∞ = ，于是2≤mG ，作F =R \G ，则F 是闭集，又所有的有理点都在G 中,故F ?R \Q 且0>mF ． 3．设?A R ，∞ A m ． 证 由于A 为R 中可测集,由逼近性质,0>?ε,存在闭集F 与开集G ,使 G A F ??,且ε<)\(F G m ,又根据R 上开集结构:存在可数个G 的构成区间 i δ,使F A G i i ??=∞ = 1 δ,即∞=1}{i i δ为F 的一个开覆盖．由于∞<≤mA mF , 即F 为有界闭集,根据有限覆盖定理,必N n ∈?,使 F n i i ?= 1 δ ,故 F G A A A n i i n i i n i i \)\()\(1 1 1 ?=?=== δδδ, 从而εδ<≤?=)\())( (1 F G m A m n i i ． 4．设?A R 可测，∈a R ，0>δ，当x a x a x -+<与时δ||至少一个属于A ， 则δ≥mA ． 证 由假设，}||{}||{}||{δδδ<∈-<∈+= 5．设A ?R n ，若0>?ε，存在闭集A F ?与开集A G ?，使ε<)\(F G m ， 则A 可测． 证 取 ε= n 1 ，则有开集n G 及闭集n F ，使得n n F A G ??，且)\(n n F G m =∞===1 1~~n n n n F F G G ，，则F G ~~和都是可测的，且 F A G ~~??． ∵,n n G G F F ?? ∴,\\n n n N G F G F ?∈? ∴1(\)(\)n n m G F m G F n ≤< ∴(\)(\)0( n n m G F m G F n ≤→→∞ ∴(\)0m G F = ，即F G ~\~为零测集．又F G A G ~\~\~?，由完备性A G \~是零测 集． ∵零测集一定是可测集 ∴A G \~可测． ∴\(\)A G G A = 是可测集． 6．设?G A ,R G mA n ,0,=为开集，则A G G \=． 证 易证G A G ?\．欲证A G G \?，只须证\G G A ?．若A G G \?， 则?A G x G x \,?∈，于是?=?>'?'')\()()(,0A G x B G x B δδδ且， 即?==''c c A x B A G x B )()()(δδ. ∴()00B x A mB mA δδ''?∴<≤=，矛盾． ∴\G G A ?．故有A G G \=． 7．设?A R n 可测，mA ≤≤α0，则α=??mB A B :． 证 (1) 当+∞=α时，取A B =即可. （2）当+∞ )(r f 为0≥r 上的连续函数，则由0)0(=f 且mA ≤≤α0，根据介值定理 0≥?αr 使ααα==))0(()(r B A m r f ， 取A B A B r ?=)0(α 即得．下证)(r f 为0≥r 上的连续函数．0,00>≥?εr ，取0>?r 足够小，使 ε ))0(())0(()()(0000r r r B A m B A m r f r r f -=-?+?+ ))0(())])0(\)0(()0([(0000r r r r r B A m B B B A m -=?+ )]0(\)0([(00r r r B B A m ?+= ε<≤?+)]0(\)0([)00r r r B B m 故)(r f 在0r 右连续，同理可证)(r f 在0r 左连续．故)(r f 在0r 连续．由0r 的 任意性即知)(r f 在0≥r 连续． （3）当+∞=mA 时， ∞ == 1 n n A A ，其中+∞ N n ∈0，使得0n mA ≤α，由（2）结论成立. 8．R 1 -n 当作R n 的子集，其n 维Lebesgue 测度为零． 证 }1,,1,:),,{(,1n i Z k k x k R x x x I I R i i n k k n ≤≤∈+≤≤∈== +∞ ∞ - ， 由平移不变性，R n ~n )1,0[~ n ]1,0[,故本题等价于证明1[0,1]n -当作[0,1]n 的子集，其n 维Lebesgue 测度为0. ∵1 1 11 11[0,1][0,1][0,1][0,1] {,}([0,1]{})n n n n k k N k k +∞ ---==???∈=? ∴})1{]1,0([]1,0[1 1 k m m k n n ?≥ ∑∞ =-，设0})1{]1,0([1≠=?-a k m n ，则 ∞=≥=∑∞ =1 ]1,0[1k n a m ，矛盾．∴11 ([0,1]{})0n m k -?=． 9．直线上恰有2c 个Lebesgue 可测集． 证 设直线上的Lebesgue 可测集作成的集合为? ，设P 为康托集，则 c P mP ==且0，于是c p p 222==，又0,=??mA P A ，即∈A ? ，于是 ?p 2? ，从而≤p 2| ? |，即≤c 2| ? |．另一方面，? R 2?， 故| ? |c R 22=≤，从而| ? |c 2=． 10．设)21( ，，=n A n 是-μ可测集（μ是X 上的测度，下同） ，则n n n n A A μμlim )lim (≤；当∞<)(n A μ时n n n n A A μμlim )lim (≥． 证 令),2,1( == ∞ =n A D n k k n ，于是n D 为升列，由下连续性， 有n n n n n n n n n n A D D D A μμμμμlim lim lim )( )lim (1 ≤===∞ = ．同理， 第一章习题 B 36．若A ΔB =A ΔC ，则B =C ． 证一：（反证）不妨设，?x 0∈B ,且x 0?C 1) x 0∈A ,则x 0?A ΔB ，x 0∈A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 2) x 0?A ，则x 0∈A ΔB ，x 0?A ΔC 这与A ΔB =A ΔC 矛盾 所以假设不成立，即B =C ． 证二：()B A A ??()[]()[]A B A B A A \\??= =()()B A B B A =\ 同理()C C A A =??，现在已知A B A C ?=?故上两式左边相等，从而C B =． 37．集列{A n }收敛?{A n }的任何子列收敛． 证 由习题8集列{}n A 收敛?特征函数列{} n A χ收敛，由数分知识得数列 {}n A χ收敛?{}n A χ的任一子列{}j n A χ 均收敛，又由习题8可得{}j n A 收敛． 38．设)2,1}(:/{ =∈=n Z m n m A n ,则lim n n A =Z ，lim n n A =Q ． 证 显然有lim lim n n n n Z A A Q ??? 1） 假设?x \,Q Z ∈使x ∈lim n n A ∴?N >0,当n>N 时，有n x A ∈，特别地， n x A ∈，1n x A +∈ ∴?m 1,m 2∈Z ,使x =1m n ,x =21m n + ∴1m n =21 m n + 从而1 21,m m m n =+ 这与m 2∈Z 矛盾，所以假设不成立，即：lim n n A =Z ． 2）?x ∈Q,则?m,n ∈Z,使得x = m n ∴x=m n =2m n n ?=…=1k k m n n +?=… ∴x ∈k n A ,(k =1,2…),从而x ∈lim n n A ∴lim n n A =Q ． 《中国哲学史大纲》，卷上，胡适著，东方出版社1996年3月1版2003年12月2次印刷。躺在书架上装逼多年了，一直未通读。是日取之读之，仍感困窘，原因在于，如果说胡适“书虽然读得不多（傅斯年语）”，那么自己就是文盲一个。于是先全力搜索相关评论资料。 《大纲》上卷自1919年2月出版后便不胫而走，不到两个月即再版发行，到1922年8月已出至第8版，两年内总计印刷7次，累计发行量达一万六千册。1932年13年的出版周期内，就再版达15次。仅民国时期对此书发表评论的大师级学者就有章太炎、王国维、陈垣、梁启超、陈寅恪、汤用彤、金岳霖、柳诒徵、蔡元培、冯友兰、李季、贺麟、顾颉刚、刘文典、容庚、吴虞、余家菊等30余位，可见其在学术界的影响。 蔡元培的“证明的方法”、“扼要的手段”、“平等的眼光”、“系统的研究”。梁启超欣赏作者的“敏锐的观察力，致密的组织力，大胆的创造力”。他认为，此书“讲墨子、荀子最好，讲孔子、庄子最不好。总说一句，凡关于知识论方面，到处发现石破天惊的伟论，凡关于宇宙观、人生观方面，什有九很浅薄或谬误”。北大教授刘文典称赞之为“近代一部epoch making的书，就是西洋人著哲学史也只有德国的Windelband和美国的Thilly二位名家的书，著得同样的好”。冯友兰的“胡适的这部书，把自己的话作为正文，用大字顶格写下来，而把引用古人的话，用小字低一格写下来。这表明，封建时代的著作，是以古人为主。而五四时期的著作是以自己为主。”“在中国哲学史研究的近代化工作中，胡适创始之功，是不可埋没的。”“一部具有划时代意义的书”，“对当时中国哲学史的研究有扫除障碍，开辟道路的作用”。 心中疑惑，有那么好么。再联系他“自吹”的“但我自信，中国治哲学史，我是开山的人，这一件事要算是中国一件大幸事。这一部书的功用能使中国哲学史变色。以后无论国内国外研究这一门学问的人，都躲不了这一部书的影响。凡不能用这种方法和态度的，我可以断言，休想站得住。”“这本书虽然有不少缺点，究竟还有它自身的特别立场，特别方法”，“这本《哲学史》在这个基本立场上，在当时颇有开山的作用。”以及搜出的一些八卦例如其活动能力，名望地位，半部先生 第一章习题解答 1、证明 A (B C)＝(A B) (A C) 证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B ②A (B－C)＝(A B)－(A C) ③(A－B)－C＝A－(B C) ④A－(B－C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D) (A－B)＝A B A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB) ＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B (A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB) ＝(A CB) φ＝A－B ②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C) ＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝ A (B－C) ③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C) ＝A－(B C) ④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C) ＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD) ＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D) ＝(A C)－(B D) 习题1.1 1．证明下列集合等式． (1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=． 证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2．证明下列命题． (1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ?； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A ?； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B ?． 证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条 是：.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾. 充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3．证明定理1.1.6． 定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →，则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ． 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成 实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点 实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。 解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。 解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。 作业(1) 第1章 集合 第2章 n 维空间中的点集 一、单项选择题 1.)\(\)\(C B A C B A = 成立的充分必要条件是（ ）． (A) B A ? (B) A B ? (C) C A ? (D) A C ? 2. A B B A = )\(成立的充分必要条件是（ ）． (A) B A = (B) ?=B (C) B A ? (D) A B ? 3.设 ∞=+=1 ]11,0[n n M ，则M 是（ ）． (A) 非开非闭型集合 (B) 仅开非闭型集合 (C) 仅闭非开型集合 (D) 既开且闭型集合 4.任意多个闭集的并一定是（ ）． (A) 闭集 (B) 开集 (C) 完备集 (D) 可测集 5.设n R E ?，n R x ∈0，若0),(0=E x d ，则（ ）． (A) E x ∈0 (B) E x '∈0 (C) 00E x ∈ (D) E x ∈0 二、填空题 1.设)1,1(n n n n A n ++-=，则=∞= 1n n A ，=∞= 1 n n A ． 2.设)1,1(++-=n n n n A n ，则=∞= 1n n A ，=∞= 1 n n A ． 3.设]11,0(n A n +=，则=∞→n n A lim ，=∞ →n n A lim ． 4.设),2,1(,]211,0[,]1212,0[212 =+=--=-n n A n A n n ，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ． 5.设n R E ?更多试题及答案+扣二九七九一三九六八四，n R x ∈0，如果0x 的任何邻域中都含有E 的 个点，则称0x 是E 的聚点． 6.设n R E ?，n R x ∈0， 如果存在0x 的邻域),(0δx N ，使得),(0δx N E ，则称0x 是E 的内点． 三、证明题 1.证明 ∞=>=>1 }1{}0{n n x x x x ． 实变函数 (一学期课程，周学时4) 一.集合与点集 (20课时) 1.集合及其运算，集合列的极限，集合的直积。(3课时) 2.映射，满射，单射，双射，集合的对等，Bernstein定理*，基数，可列集及 其性质，连续基数，基数运算*，无最大基数定理。(5课时) 3.n维欧氏空间，点集的直径，矩体与球，邻域，距离，收敛，极限点，导集 及其性质，Bolzano-Weierstrass定理。(5课时) 4.闭集,开集，闭包，内点与内核，开集的构造*，Cantor闭集套定理，Lindelof 可数覆盖定理*，Heine-Borel有限覆盖定理，函数的连续性，紧集，Borel 集， F集，δG集，Cantor集。(5课时) σ 5.集合与集合的距离，点与集合的距离，连续函数延拓定理*。(2课时) 二.Lebesgue测度 (12课时) 1. 外测度定义，外测度性质（非负性、单调性、次可加性），距离外测度性质*， 外测度的平移不变性。(4课时) 2. 可测集与测度的定义，可测集的性质，关于递增可测集列及递减可测集列的 测度问题。(4课时) 3. 矩体是可测集，分别用开集、闭集、 F集，δG集来逼近可测集，集合的等 σ 测包，测度的平移不变性，不可测集的存在性*。(4课时) 三.可测函数 (10课时) 1. 可测函数的定义及等价刻画，可测函数的运算性质，简单函数逼近定理，函 数的支集。(4课时) 2. 几乎处处收敛与测度收敛的定义，Egoroff定理，Lebesgue定理，Riesz定 理。(4课时) 3. 可测函数与连续函数。(2课时) 四. Lebesgue 积分 (14课时) 1. 非负可测简单函数的积分，非负可测函数的积分，Leve定理，积分线性性质， 逐项积分定理，Fatou定理。(4课时) 2. 一般可测函数积分的定义与初等性质，积分的线性性质，积分的绝对连续性， 积分变量的平移变换，Lebesgue 控制收敛定理，逐项积分定理，积分号下求导数*。(4课时) 3. 连续函数逼近可积函数，积分的平均连续性*。(2课时) 3. 有界函数在区间上Riemann 可积的充分必要条件，Riemann 可积函数与 Lebesgue 可积函数的关系。(3课时) 4. Tonelli 定理*，Fubini 定理，积分的几何意义*，分布函数*。(3课时) 五. 微分与不定积分 (8课时) 1.单调函数的可微性*，Lebesgue 定理*，有界变差函数，Jordan 分解定理。 (4课时) 2.不定积分的微分，绝对连续函数，微积分基本定理。(4课时) 六.p L空间 (8课时) 1.p L空间的定义与基本性质，共轭指标，Holder 不等式，Minkowski 不等式。 (4课时) 2.p L是完备的距离空间*，p L收敛，p L空间的可分性*。(4课时) 教材或参考书： 1．周民强编：实变函数，北京大学出版社，2001 2．周性伟编：实变函数，科学出版社，2004 3．胡适耕编：实变函数，高等教育出版社，1999 4．曹广福编：实变函数论，高等教育出版社，2000 试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有 读胡适哲学史大纲有感集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 《史大纲（卷上、卷中）》是一本由胡适着 / 肖伊绯整理着作，广西师范出版社出版的精装图书，本书定价：68.00元，页数：423，小编整理的一些的读后感，对大家能有。 《中国哲学史大纲（卷上、卷中）》读后感(一)：胡适《中国哲学史大纲》（卷中）发现记 胡适《中国哲学史大纲》卷中讲义本的发现，很是一番周折。学者肖伊绯着意搜集民国大学讲义已有两三年，一直在暗自留意这册讲义本——有些学者将它记录在案（胡颂平编《胡适之年谱长编》时提到过），有些学者认为它“已不可寻”（北大楼宇烈语），更多的学者则。可以说，国内界目前还没有人确认亲自看到过这本书。肖伊绯先是通书友、书商在国内搜求，一直不见踪迹。后来，一位杭州的书友告诉肖，他在日本曾见到过胡适《中国哲学史大纲》讲义本，但只有“卷中”一册，他认为是没有成套的“残本”，没有购回。得知这一后，在肖伊绯的多次劝说下，经过多方，，最终促成该书友重新找到日本书商，终于购得此书。之后，去年的此日，在弘一纪念馆后的一所茶园里，肖伊绯用一部清代刻本《扇》与书友换得此书。 虽为新之旗手，但从卷中讲义本的胡适评述中医的章节来看，胡适早年对待中国与文化，并非持反对、完全否定的；甚至于得出过方皆本源于“迷信”的。在卷中讲义本里还出现了胡适评述古代天的章节，实 是为了挖掘与裁定——古代与对包括科学体系在内的各种产生了怎样的力，该创见了过去谈学科史就只局限于学科之内的史料链接的。 胡适的中国哲学史有一个的“三段论”，即划分为先秦的上古哲学史；汉唐时代的中古哲学史；清代以来的近世哲学史。按照胡适的写作，前段先秦哲学史构成哲史大纲卷上，两汉与唐宋哲学史构成卷中，清代及近代哲学史构成卷下部分。当然，卷下只是停留在构想层面，并没有写出来，衍化成了胡适大小的专题研究论文及演讲，原拟共同构成卷中的两汉与唐宋哲学史部分，也只有《汉之哲学》形成了的讲义本，并于1919年在北大有过集中讲授。，《汉之哲学》是胡适在尚未全盘中国哲学史大纲全卷写作的下，在中国哲学史层面最后的，有、有思想体系的着作。 原载于/《中华读书报》 原/陈香 《中国哲学史大纲（卷上、卷中）》读后感(二)：读《中国哲学史大纲（卷上、卷中）》所感一 读《中国哲学史大纲（卷上、卷中）》所感一 由广西师范大学出版社出版的《中国哲学史大纲（卷上、卷中）》（胡适着，肖伊绯整理，2013年版），是广西师范大学出版社的新民说丛书之一，刚刚读完卷中部分，于是打算，先写写读后的一些所感，待日后深入研读将再继续写所感。 2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在 《实变函数与泛函分析》教学大纲 课程编号：120233B 课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课 □专业必修课□专业选修课 □√学科基础课 总学时：48 讲课学时：48 实验（上机）学时：0 学分：3 适用对象：经济统计学 先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何 毕业要求： 1.应用专业知识，解决数据分析问题 2.可以建立统计模型，获得有效结论 3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用 4.关注国际统计应用的新进展 5.基于数据结论，提出决策咨询建议 6.具有不断学习的意识 一、课程的教学目标 本课程以实变函数与泛函分析基本理论为基础，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程基本目标为：能理解、掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分，赋范空间和Hilbert空间一些基本概念、基本理论和基本方法。本课程的难点在于学生初次涉及众多的抽象概念，并且论 证的部分很多，教学中应密切结合数学分析中学到的相对来说比较直观的内容讲解，并督促学生下工夫理解。 二、教学基本要求 （一）教学内容及要求 《实变函数与泛函分析》在理解数学分析思想及基本知识和线性代数的基本知识后将其拓展到实数域上，进而讨论集合，欧氏空间，Lebesgtle测度，Lebesgue 可测函数，Lebesgue积分，测度空间，测度空间上的可测函数和积分，L^p空间，L^2空间，卷积与Fourier变换，Hilbert空间理论，Hilbert空间上的有界线性算子，Banach空间，Banach空间上的有界线算子，Banach空间上的连续线性泛函、共轭空间与共轭算子，Banach空间的收敛性与紧致性。 其中要求同学们： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。 2. 了解可测函数的概念，构造，以及函数列的收敛性质。 3. 了解Lebesgue积分的概念，掌握收敛定理。 4. 理解赋范线性空间和内积空间的相关知识点。 5. 理解线性算子理论和有界线性泛函理论，了解三个基本定理。 （二）教学方法和教学手段 在课堂教学中，以启发式教学为主进行课堂讲授，板书教学和多媒体教学结合。课堂上加强与学生的互动，引导学生探索讨论，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习主动性，提高课堂学习效率。 （三）实践教学环节 本课程的实践教学环节以习题评析、实例讨论和应用研究为主，使学生能够理论联系实际，学以致用，从而逐步提高学生的知识运用能力和应用创新能力。 （四）学习要求 学生需要做好课前预习、课堂学习、课后复习、做作业等学习环节，以掌握本课程所学内容。 （五）考核方式 本课程采用闭卷考试的方式进行考核。考核成绩包括平时成绩与期末考试成 实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E = 第一章习题解答 1、证明 A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 证明：设x∈A Y(B I C)，则x∈A或x∈(B I C)，若x∈A，则x∈A Y B，且 x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A I C)。若x∈B I C，则x∈B且x∈C，于是x∈A Y B 且x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A Y C)，因此 A Y(B I C) ? (A Y B)I(A Y C) (1) 设x∈(A Y B) I(A Y C)，若x∈A，则x∈A Y(B I C)，若x∈A，由x∈A Y B 且x∈A Y C知x∈B且x∈C，所以x∈B I C，所以x∈A Y(B I C)，因此 (A Y B)I(A Y C) ? A Y(B I C) (2) 由(1)、(2)得，A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A I B)＝(A Y B)－B ②A I(B－C)＝(A I B)－(A I C) ③(A－B)－C＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I C)－(B Y D) (A－B)＝A I B A－(A I B)＝A I C(A I B)＝A I(CA Y CB) ＝(A I CA)Y(A I CB)＝φY(A I CB)＝A－B (A Y B)－B＝(A Y B)I CB＝(A I CB)Y(B I CB) ＝(A I CB)Yφ＝A－B ②(A I B)－(A I C)＝(A I B)I C(A I C) ＝(A I B)I(CA Y CC)＝(A I B I CA)Y(A I B I CC)＝φY[A I(B I CC)]＝ A I(B－C) ③(A－B)－C＝(A I CB)I CC＝A I C(B Y C) ＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝A I C(B I CC)＝A I(CB Y C) ＝(A I CB) Y(A I C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I CB)I(C I CD) ＝(A I C)I(CB I CD)＝(A I C)I C(B Y D) 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ?是开集，则（ ） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（ ） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限 4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （ ） 2. 可数个可测集的并是可测集. （ ） 3. 相等的集合是对等的. （ ） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 第二章习题 B 41．作可测集]1,0[?A ,使对任何非空开区间]1,0[??，恒成立0)(>?A m 且 0)\(>?A m ． 证 ①在任一区间),(βα中，对于预先指定数r (0 龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/1c9001859.html, 浅议胡适的《中国哲学史大纲》 作者：顾思敏 来源：《学理论·中》2013年第08期 摘要：胡适的《中国哲学史大纲》是中国近代以来第一本用现代学术方法系统研究中国 哲学史的书，是中国哲学史学科成立的标志。这部哲学史采用了实证主义的研究方法和历史演进的眼光，也处处体现出作者五四新文化时期的时代精神。不过同时，由于该书的一些疏漏，引起了学术界尤其是梁启超的一些批评与争论。时隔近一个世纪重读这本著作，应该能引起我们对当下的一些思考。 关键词：胡适；中国哲学史大纲；评价与争论 中图分类号：B261 文献标志码：A 文章编号：1002-2589（2013）23-0052-02 一、《中国哲学史大纲》的写作背景 胡适（1891-1962），字适之，安徽绩溪人，自小接受旧式教育。1902年去往上海求学，接触维新改良、革命派和西方的新思想，接受系统的现代公民教育。1910年，胡适考取庚子 赔款第二批留学生，出国留学。1915年进哥伦比亚大学研究院，师从美国著名的实验主义哲 学家杜威攻哲学，获哲学博士学位，其哲学博士论文《中国古代逻辑方法的发展》，中论及的“孔子的逻辑”、“墨翟和后期墨家的逻辑”，“进化论和逻辑”等，是后来《中国哲学史大纲》（以下简称《大纲》）的基础。 胡适的《大纲》是中国近代以来第一本用现代学术方法系统研究中国哲学史的书，大量学者认同此书是中国哲学史学科成立的标志。“哲学”一词在19世纪末传入中国，很多人在哲学一词传入我国后致力于中国哲学研究，但不成体系，没有章法，材料极为杂乱，把经学、史学、文学材料一锅煮。当时人分不清楚哲学和哲学史的分别，对于哲学的认知也是较为模糊的。 当时梁启超的《中国学术思想变迁之大势》对胡适产生了重大影响，他将中国学术思想史分为七个时代。胡适自传中说：“这是第一次用历史眼光来整理中国旧学术思想，第一次给我们…学术史?的见解。”但梁启超在论其中的“全盛时代”时，把诸家学说的本论并没有详细阐述，因此胡适想替梁任公先生补作这几章缺了的中国学术思想史，这便是胡适著《大纲》的初衷。 二、对《大纲》的评价与争论 1919年《大纲》出版后，反响异常热烈。这是中国哲学史研究的开山之作，但也存在不 足之处。我们将从以下几个方面来对这本著作进行评价，并分析该书引起的一些争论。 （一）开创了研究新范式 实变函数综合练习题 《实变函数》综合训练题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ） （A ）*m E 可以等于零 （B ）* 0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ） （A ）()f z +和()f z - 有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z + 和()f z - 都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积 5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ） （A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上） 1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B =C A B ? 。 2、设n E R ?，如果E 满足E E '?，则E 是 闭 集。 3、若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间，则(,)αβ满足(,)G αβ?、 ,G G αβ??。 4、设A 是无限集，则A 的基数A ≥ a （其中a 表示可数基数） 。 5、设1E ，2E 为可测集，2mE <+∞，则12(\) m E E ≥ 12mE mE -。 6、设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a > 是 可测集 ，则称()f x 是可测集E 上的可测函数。胡适耕实变函数答案第一章(B)
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