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广西南宁二中2019届高三3月月考试题数学文

广西南宁二中2019届高中毕业班三月份模拟考试

数学试题（理）

（考试时间 l50分钟满分l50分）

注意： 1．本套试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，所有答案写在答卷上，否则答

题无效。 2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题。 3．选择题，请用28铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑。非选择题，请用0．5mm

黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答。

第I 卷（选择题共60分）

一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题

目要求的。 1．复数z 的共轭复数记为,z i 为虚数单位，若2

,1+1z z i

=+则复数的虚部为（）

A ．2

B ．—2

C ．1

D ．—1 2．已知∠A 为△ABC 的内角，若1

sin(),tan 23

A A π

-=则= （）

．B

．-

．-D ．-2

3．设实数x ，y 满足约束条件10

10210x y x y x y -+>??

+->??--

，则函数2z x y =-的最大值为

（）

A ．[—2，0]

B ．（—2，0）

C ．[—4，0]

D ．（—4，0）

4．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2

7122222a a a +=，

数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则59b b =

（）

A ．16

B ．8

C ．4

D ．2

．已知2n

x ?

的展开式中第三项与第四项的系数之比为112，则展开式中常数项为（） A ．-1 B ．1 C ．-45 D ．45

6．将红、黑、黄、蓝4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球

不能放到同一个盒子，则不同放法的种数为（）

A ．18

B ．24

C ．30

D ．36

7．正四棱锥V —ABCD 中，底面正方形的边长为2E 为侧棱V A 的中点，则EC 与

底面ABCD 所成角的正切值为

（）

A B C D 8．已知04

α<<，则下列三个数：sin cos (sin ),(cos )x y αααα==的大小关系为

（）

A ．x z y <<

B ．z x y <<

C ．y z x <<

D ．x y z <<

9．正四面体ABCD 的外接球的表面积为4π，则A 与B 两点的球面距离为（）

A ．1arccos()4

B ．1arccos()3

C ．arccos(

D ．arccos( 10．已知函数()|lg |,0,()(),3f x x a b f a f b a b =<<=+若且则的取值范围为（）

A ．)∞

B ．)∞

C ．(4,)+∞

D ．[4,)+∞

11．如图，过双曲线

11625

x y -=的左焦点F 引圆2216x y +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲

线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO|—|MT|=（） A ．1 B ．

C ．

D ．2

12．已知集合{1,2,3},{1,2,3,4}M N ==，定义函数:f M N →，点A (1,(1)),(2,(2))f B f ，

(3,(3))C f ，若ABC ?的内切圆圆心为D ，且()DA DC DB R λλ+=∈，则满足条件的函数有

（）

A ．6个

B ．10个

C ．12个

D ．16个

第II 卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，共20分。

13．函数()y f x =的图像与函数2)2

y x =

≥的图像关于直线y x =对称，则函数()f x 的解析式

为()f x = 。 14．已知曲线321201

22y y x x x x x x

=-=-+=与在处切线的斜率的乘积为3，则0x = 。

15．函数tan 4

2y x π

π??=-

???的部分图像如图所示，

则()

OA OB AB +?= 。

16．点P 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上，椭圆的左准线为直线l ，左焦点为F ，作PQ ⊥l 于点Q ，

若P 、F 、Q 三点构成一个等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为。

三、解答题：本大题共6小题，共7分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 17．（本题满分10分）

已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c cos cos cos B c B b C =+。（1）求角B 的大小；

（2）设向量(cos ,2cos ),(12,5),m A A n m n ==-?求当取最大值时，tanC 的值。

18．（本题满分12分）

某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错得-1分，某观众只知道《三国演义》的作者是罗贯中，其它不知道随意连线，将他的得分记作ξ。（1）求该观众得分ξ为负数的概率；（2）求ξ的分布列及数学期望。 19．（本题满分12分）

如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，AC ∩BD=O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A —BCD 。

（1）求证：平面AOC ⊥平面BCD ；

（2）若三棱锥A —BCD AC 的长。

20．（本题满分12分）

数列11117

,,{}242

n n n n b b b T b +=

+=且为的前n 项和。（1）求证：数列1

{}2

n b -是等比数列，并求{}n b 的通项公式；

（2）如果{}n b 对任意*

12,27(122)

n k

n N n n T ∈≥-+-不等式恒成立，求实数k 的取值范围。

21．（本题满分12分）

设F （1，0），点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且2,.MN MP PM PF =⊥ （1）当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；

（2）设112233(,),(,),(,)A x y B x y D x y 是曲线C 上的点，且||,||,||AF BF DF 成等差数列，当

AD 的垂直平分线与x 轴交于点E （3，0）时，求点B 的坐标。 22．（本题满分12分）

已知函数3

2()ln(21)2().3

x f x ax x ax a R =++--∈ （1）若2()x f x =为的极值点，求实数a 的值；

（2）若()[3,)y f x =+∞在上为增函数，求实数a 的取值范围；

（3）当31(1),(1)23x b

a f x x

-=--=

+时方程有实根，求实数b 的最大值。

参考答案

一选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

二填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．)0(42

≥x x 14．1

15．6 16．2

三、解答题：

17．解析：（1cos sin cos cos sin A B C B C B =+…………………………1分

cos sin()sin()sin A B B C A A π=+=-=…………………………3分

0,sin 0cos 2

A A

B π<<∴≠∴=…………………………4分 0,4

B B π

π<<∴=

…………………………5分

（2）

12cos 5cos2m n A A ?=-…………………………6分

234310cos 12cos 510cos 55m n A A A ?

?∴?=-++=--+ ??

?…………………………7分

所以当3

cos 5A =

时，m n ?取最大值。…………………………8分此时()44

sin 0tan 53

A A A π=<<∴=…………………………9分

tan tan tan tan()71tan tan A B

C A B A B

+∴=-+=-=-…………………………10分

18．解: （1）当该观众只连对《三国演义》，其余全部连错时，得分为负数，此时1ξ=-

故得分负数的概率为3321

(1)3

P A ξ=-=

=．…………………………4分（2）ξ的可能取值为1,2,8-． …………………………5分

331

(2)2

P A ξ==

=，…………………………7分 3311

(8)6

P A ξ==

=．…………………………9分 ξ的分布列为:

…………………………10分

数学期望111

1282326

E ξ=-?

+?+?=．…………………………12分 19．（1）证明：因为ABCD 是正方形，

所以BD AO ⊥，BD CO ⊥．…………………………1分在折叠后的△ABD 和△BCD 中，

仍有BD AO ⊥，BD CO ⊥．…………………………2分因为AO CO O =，所以BD ⊥平面AOC ．………3分因为BD ?平面BCD ，

所以平面AOC ⊥平面BCD ．…………………………4分（2）解：设三棱锥A BCD -的高为h ，

由于三棱锥A BCD -

所以13BCD S h ?=

．因为1122222BCD S BC CD ?=?=??=，

所以2

h =

．……………5分以下分两种情形求AC 的长：

①当AOC ∠为钝角时，如图，过点A 作CO 的垂线交CO

由（1）知BD ⊥平面AOC ，所以BD AH ⊥．

又CO

AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ．所以AH 为三棱锥A BCD -的高，即AH =分

在Rt △AOH 中，因为AO = 所以OH =

=．………………7分在Rt △ACH 中，因为CO =

则22

CH CO OH =+==．………K K s s 55u u ……………………8分所以AC ===K K s s 55u u ……………………9分

②当AOC ∠为锐角时，如图，过点A 作CO 的垂线交CO 于点H ，由（1）知BD ⊥平面AOC ，所以BD AH ⊥．

又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ．

所以AH 为三棱锥A BCD -的高，即AH =

．在Rt △AOH 中，因为AO = 所以OH =

=．…………10分 D

在Rt△ACH

中，因为CO=

则CH CO OH

=-==．

所以AC===11分

综上可知，AC

．……………………………………………………12分20．解: （1）对任意*

n∈,都有

n n

b b

=+，所以

111

()

222

n n

b b

-=-…………1分则

{}

b-成等比数列,首项为

b-=，公比为

…………2分

所以1

3()

-=?，1

3()

=?+…………4分

（2）因为1

3()

=?+

所以

3(1)

1111

3(1...)6(1)

2222222

n n n

=+++++=+=-+

…………6分因为不等式

(122)

n T

≥-

，化简得

≥对任意*N

n∈恒成立………7分设

n n

=，则

111

2(1)72792

222

n n n n n

n n n

c c

+++

+---

-=-=…………9分

当5

n≥,

n n

c c

≤,{}

c为单调递减数列，当15

≤<,

n n

c c

>,{}

c为单调递增数列45

1632

c c

=<=,所以, 5

n=时,

c取得最大值

…………11分

所以, 要使

≥对任意*N

n∈恒成立，

k≥…………12分

21．解：（1）设(,)

N x y，则由2

MN MP

=得P为MN的中点，

所以)

,0(

),0,

(

M-…………1分

又,0

PM PF PM PF

⊥∴?=,,1,

y y

PM x PF

????

=--=-

? ?

????

，…………3分

24(0)y x x ∴=≠…………5分

（2）由（1）知(1,0)F 为曲线C 的焦点，由抛物线定义知抛物线上任一点000(,)P x y 到F 的距

离等于其到准线的距离，即002

P F x =+…………6分故123,,222

p p p

AF x BF x DF x =+=+=+ ，又,,AF BF DF 成等差数列

得1322x x x +=…………7分直线AD 的斜率312

1231313134

4y y y y y y x x y y K AD +=

--=--=

…………9分

AD 的中垂线方程为)3(4

1-+-

=x y y y …………10分又AD 的中点1313,2

2x x y y ++??

???在直线上，代入上式，得132112x x x +=?=…………11分故所求点B 的坐标为()1,2±…………12分

22．解：（1）22

2(14)(42)2'()222121

x ax a x a a f x x x a ax ax ??+--+??=+--=

++…………1分因为2x =为()f x 的极值点，所以'(2)0f = 即

22041

a a -=+，解得0a =，又当0a =时，'()(2)f x x x =-，从而2x =为()f x 的极值点成立。…………2分

（2）因为()f x 在区间[)3,+∞上为增函数，所以22

2(14)(42)'()0

x ax a x a f x ax ??+--+??

=≥+在区间[)3,+∞上恒成立。…………3分

①当0a =时，'()(2)0f x x x =-≥在区间[)3,+∞上恒成立，()f x 在区间[)3,+∞上为增函数，符合题意。…………4分

②当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必有210ax +>对3x ≥成立，故只能0a >…………5分

故222(14)(42)0ax a x a +--+≥对3x ≥恒成立令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为1

114x a

< 从而要使()0g x ≥对3x ≥恒成立，只要(3)0g ≥即可…………6分

2(3)4610g a a =-++≥ 解得：

3344

a -+≤≤

0a >，故0a <≤

综上所述，实数a 的取值范围为????

…………7分（3）若1

a =-时，方程3(1)(1)+3x

b f x x --=

可化为，x b x x x =-+--)1()1(ln 2．问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0,+∞上有解，即求函数3

2ln )(x x x x x g -+=的值域．………………………………8分以下给出两种求函数()g x 值域的方法：

解法一：2

()ln (ln )g x x x x x x x x x =+-=+-，令2

()ln (0)h x x x x x =+-> 则1(21)(1)

'()12x x h x x x x

+-=

+-=…………9分所以当01x <<时，'()0h x >，从而()h x 在(0,1)上为增函数当1x >时，'()0h x <，从而()h x 上为减函数因此()(1)0h x h ≤=…………10分而0x >，故()0b x h x =?≤…………11分因此当1x =时，b 取得最大值0…………12分

解法二：因为2

()(ln )g x x x x x =+-，所以2

'()ln 123g x x x x =++-

设2

()ln 123p x x x x =++-，则21621

'()26x x p x x x x

--=+-=-…………9分

当0x <<时，'()0p x >，所以()p x 在? ??

上单调递增

当16x +>

时，'()0p x <，所以()p x 在?+∞????

上单调递减

因为(1)0p =，故必有106p ?> ??

，又22441233210p e e e e ??

=-++-<-< ???………10分

因此必存在实数0211,6x e ?∈

使得0'()0g x = 当00x x <<时，'()0g x <，所以()g x 在0(0,)x 上单调递减；当01x x <<时，'()0g x >，所以()g x 在0(,1)x 上单调递增

当1x >时，'()0g x <，所以()g x 在(1,)+∞上单调递减…………11分又因为2

()ln (ln )(ln )4

g x x x x x x x x x x x =+-=+-≤+

当0x →时，1

ln 04

x +

<，则()0g x <，又(1)0g = 因此当1x =时，b 取得最大值0…………12分