第1章 质点运动学和牛顿运动定律
习题答案
1-1 已知质点的运动学方程为x = R cos ωt , y = R sin ωt , z = hωt /(2π),其中R 、ω、h 为常量.求:
(1)质点的运动方程的矢量形式; (2)任一时刻质点的速度和加速度. 解:k j i r )2/(sin cos πωωωt h t R t R ++=
k j i r
υ)πωωωωω2/(cos sin h t R t R dt
d -+-== )sin (cos sin cos 222j i j i υ
a t t R t R t R dt
d ωωωωωωω+-=--==
1-2 站台上的人在火车开动时站在第一节车厢的最前面.火车开动后经过24 s 第一节车厢的末尾从此人的面前通过.问第5节车厢驶过他面前需要多长时间?
解:以火车开动时为计时起点,设火车一节车厢长度为l ,加速度为a 则第一节车厢经过观察者时:a a at l 288242
1
2122=?==
(1) 第四节车厢的末尾经过观察者时:2
42
14at l = (2) 第五节车厢的末尾经过观察者时:2
52
15at l =
(3) 联立(1)(2)(3)得: 7.5487.5345=-=-=t t t s
1-3半径为R 的轮子沿y = 0的直线作无滑滚动时,轮边缘质点的轨迹为
)sin (θθ-=R x )cos 1(θ-=R y
求质点的速度;当d θ / d t = ω为常量时,求速度为0的点.
解:)cos (dt d dt d R dt dx x θθθυ-==
, dt
d R dt dy y θ
θυsin == 即 ()d 1cos sin d R t θ
θθ=-????υi +j
当
ωθ
=dt
d 为常数时,
)cos 1(θωυ-==
R dt dx x , θωυsin R dt dy y ==,速度为0 即 0)cos 1(=-==
θωυR dt dx x , 0sin ===θωυR dt
dy
y 故 ,2,1,0,
2==k k πθ
1-5一质点沿半径为R 的圆周按规律2
012
S t bt υ=-运动,其中0υ、b 都是常量. (1)求t 时刻质点的总加速度; (2)t 为何值时总加速度数值上等于b ?
(3)当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈?
解:⑴ bt dt dS -==0υυ, b dt
d a -==υ
τ, R bt R a n 202)(-==υυ ()2
4
02
2
2
R
bt b a a a n
-+
=+=υτ
(2)a = b
b t b
υ==
,,
(3) a = b 时, b
b b b bt t S 2
2
00020212121υυυυυ=
??? ??-?=-= 转动圈数 bR
R S
n πυπ4220== 1-7 在图1-16所示的装置中,两物体的质量为m 1和m 2,物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都是μ,求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力,不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦,绳不可伸长.
解:分两种情况:(1)m 1与m 2之间没有相对滑动.以两个物体组成的整体为研究对象,受力如图:由于不计绳和滑轮的质量,故绳内张力T = 2F
图1-16习题1-7用图
ma f T =-
即:
a m m g m m F )()(22121+=+-μ 212121)
()(2a a m m g m m F a ==++-=μ
(2)如果发生相对滑动,则m 1受力如图: 绳内张力还是T = 2F
111a m f T =- 1112a m g m F =-μ 1
112m g m F a μ-=
m 2 受力如图所示,由于f 1 < f 2 ,m 2
则02=a .
1-12 在图1-20所示的滑轮系统中,123m m m >>,如果滑轮和绳的质量和转轴处的摩擦略去不计,且绳不可伸长,求m 1的加速度a 1及两绳的张力T 1和T 2.
解:设 a 1,a 2,a 3分别是m 1,m 2,m 3的加速度,
1111a m g m T =-, 2222a
m g m T =-, 2323a m T g m =-, 212T T =
解得 g m m m m T 323214+=
, g m m m m m m m m m a 1
323
121321)(4+--=
习题参考答案:
2-2 F 均匀地由0
增加到20N 0. ⑴ 画出F - t 图;
⑵ ⑶ 0时,
物体的速度为多大?
解:⑴
1
B
3
⑵ 根据定积分的定义,用计算面积的方法,可得这段时间内力的冲量为
01
d (0.20.4)20N s 6N s 2
t
I F t ==+?=?
力的平均值为
6
N 15N Δ0.4
I F t =
== ⑶ 根据动量定理,有
0I m υ'm υ=-
所以
0631
m s 3m s 3
I m υυ'm ++?=
== 2-4 一颗子弹由枪口射出时速率为0m s υ,当子弹在枪筒内被加速时,它所受的合力为()N F a bt -=(a ,b 为常数),其中t 的单位为秒(s ).
⑴ 假设子弹运行到枪口处合力刚好为零,试计算子弹走完枪筒全长所需的时间; ⑵ 求子弹所受的冲量; ⑶ 求子弹的质量.
解:⑴ 子弹走完枪筒全长所需的时间t ,由题意,得()0F a bt =-=,所以
a
t b
=
⑵ 子弹所受的冲量
?-=-=t
bt at dt bt a I 022
1
)(
将t=
b
a
代入,得 b
a I 22=
⑶ 由动量定理可求得子弹的质量 2
00
2I a m υb υ==
2-9 质量为M 的人手里拿着一个质量为m 的物体,此人用与水平面成α角的速率0υ向前跳去.当他达到最高点时,他将物体以相对于人为u 的水平速率向后抛出.问:由于人抛出物体,他跳跃的距离增加了多少?(假设人可视为质点)
解:取如图所示坐标.把人与物视为一系统,当人跳跃到最高点处,在向左抛物的过程中.满足动量守恒,故有
()()0cos M m υαM υm υu +=+-
式中υ为人抛物后相对地面的水平速率,υu -为抛出物对地面的水平速率.得
0cos m
υυαu M m =+
+
的水平速率的增量为
0Δcos m
υυυαu M m
=-=
+
而人从最高点到地面的运动时间为
0sin υα
t g
=
所以,人跳跃后增加的距离
()0sin ΔΔm υα
x υt u M m g
==
+
2-11 如图2-22所示,一质量为m 的滑块在
1
4
圆弧形滑槽中从静止滑下.设圆弧形滑槽的质量为M 、半径为R ,略去所有摩擦力.求当滑块m 滑到槽底时,滑槽M 在水平方向移动的距离.
图2-22 习题2-11用图
解:以m 和M 为研究系统,所受的外力为重力mg 、Mg 与地面对滑槽的支持力N ,如图所示,系统在水平方向不受外力,因此在水平方向动量守恒。设在下滑过程中,m 相对于M 的速度为υ,M 相对地的速度为V 。在水平方向有
()0x m υV MV --=
求解上式,得
x m M
υV m +=
设m 在滑槽上滑行的时间为t ,在水平方向相对于M 移动的距离为R ,即
d d t
t
x m M R υt V t m
+==
??
滑槽在水平方向移动的距离为
m
s R m M
=
+
第3章 功和能
习题参考答案:
3-1 作用在质点上的力为76=-F i j (SI 制),求:
⑴ 当一质点从原点运动到3416=++r i j k 时力F 所做的功; ⑵ 如果质点从原点运动到3416=++r i j k 处需0.6s ,试求平均功率. 解:⑴ 由题知,F 为恒力,
()() 76341645J A ?-++=-=F r =i j i j k
⑵ 根据平均功率的定义式,得
45
75W Δ0.6
A P t =
== 3-2 质点在外力24y F =i +j 的作用下在一平面内运动(SI 制),求下列情况下,质点从2x =-运动到3x =处该力做的功.
⑴ 质点的运动轨迹为抛物线 2
4x y =; ⑵ 质点的运动轨迹为直线 46y x =+. 解:由 d d d d b
b
x y z a
a
A F x F y F z ?=
++?
?
=F r ,得
(1) 质点的运动轨道为抛物线2
4x y =时该力做的功为
22221
1
1
1
9
2
3
4121
d d 2d 4d d 4d 10.8J 2x y x y x y x y x y x A F x F y y x y x y -+=+=+=????
??=
(2) 质点的运动轨道为抛物线46y x =+时该力做的功为
2
2
2
21
1
1
1
93
42216
d d 2d 4d d 4d 21.25J 2
x y x y x y x y x y x A F x F y y x y x y -++=+=+=????
??=
3-4 质量为m 的木板B 静止在光滑桌面上,质量也为m 的物体A (A 可视为质点)放在木板B 的一端.现给物体A 一初始速度0υ使其在B 板上滑动,设A 、B 间的摩擦因数为μ,并设A 滑到B 的另一端时A 、B 恰好具有相同的速度.求B 板的长度L 及B 板走过的距离x .
解:A 向右滑动时,B 给A 一向左的摩擦力,A 给B 一向右的摩擦力,摩擦力的大小为μmg 。将A 、B 视为一系统,摩擦力是内力,因此系统水平方向动量守恒,设A 滑到B 的右端时二者的共同速度为υ,则有
02m υm υ=
解得 0
2
υυ=
再对A 、B 系统应用质点系动能定理并注意到摩擦力的功是一对力的功,可设B 不动,A 相对B 移动了B 的长度为L ,摩擦力的功应为μmgL -,代入质点系动能定理
22
11222
μmgL m υm υ-=
- 可得 2
4υL μg
=
为了计算B 板走过的距离x ,再单独对B 板应用质点的动能定理,此时B 板受的摩擦 力做正功μmgx
212
μmgx m υ=
得 20
8υx μg
=
3-19 一质量为1m 的弹丸,穿过如图3-29所示的摆