试题分析123

1.判断数列极限的存在并求极限 (

2009

.

(9

)

)

,3,2(11,11

1

1 =++

==--n x x x x n n n , 证明

n n x ∞

→l i m 存在, 并求此极限. (2006)三.(9分) 设数列

}

{n x 满足

10<<-x , )

,2,1,0(22

1 =+=+n x x x n n

n ,

证明}{n

x 收敛, 并求

n n x ∞

→lim . (2005)八. (8分)设函数)(x f 在[0,1]上连续, 在(0,1)内

二阶可导, 且

,0)1()0(==f f 0)(<''x f , 若)(x f 在[0,1]上

的最大值0>M

,

证明:

(1) 对任意给定的正整数n

, 存在惟一的

)1,0(∈n x , 使得

n

M

x f n =

')(;

(2) 数列}{n

x 有极限.

2.求极限,含洛比达法则

(2009)二. (9分) 求

2ln 1

)

(cot lim x

x x +→.

(2006)一. 1. 求极限n

n n

n )

111(lim 2++∞→. (

2006

.

4.

2

)13(l i m 2

=++-+∞

→bx ax x x , 试确定其中常数b a ,.

2006

.

4.

2

1

12s i

n

)(1lim

30

=--+→x

x e x x f ,

)

(l

i m

x f x →.

(2005)一. 1. 求x

x x

x 10)

11(lim -+→. (

2005

.

2.

)ln 11(lim 1x

x x x --→.

3.利用等阶无穷小求极限 (

2009

6.

+

→0x 时,

)1arctan 2(x x -π

x 的_________阶无

穷小, 若当0→x 时,

x x sin -与k

cx 是等价无穷小, 则.____________________,==c k (2006)七. (9分)(1)已知当

→x 时,

2

cos x

e

x -与k

cx 是等价无穷小, 求c 与k 的

值;

(2)求极限22

20sin )(cos 112

lim 2x e x x

x x x -+-+→.

4.连续与间断点

(2009)一.1. 设

)arctan(4)(b x x a

x x f --+=

, 已

知0=x 是)(x f 的第一类间断点, 3=x 是)(x f 的第二类

间断点, 则________,=a .________=b

(2006)一. 3. 求出2

3|

|ln )(2

+-=

x x x x f 的间断点,并指出是第几类间断点. (2005)一. 3. 设?

??

??

≤<-+≤=+201

sin 10)(11

π

x x x x e x f x , 求)(x f 的间

断点并判断间断点的类型.

5.利用定义求导数并判断其可导性,既导数的连续性 (

2009

.

(9

)

2

lim

)()1()

1(2

+++=--∞

→x n x n n e b ax e

x x f , 问a , b 为何值时, )(x f 处处可导. (2006)四.(9分) 设

)

(x f 有二阶连续导数,

0)0(=f ,

?????='≠=0

),0(0,)

()(x f x x x f x g ,求)(x g '并讨论)(x g '的连续性.

(2005)二. 3. 设

??

???

=≠=0

001arctan )(2

x x x

x x f , 求)(x f ', 并讨论

)(x f '在0=x 处的连续性.

(2005)六.(6分)已知)(x f 是以5为周期的函数, 在

=x 处可导, 在

=x 的某邻域内有

)

(sin 2)(sin x x x f α+=, 其中)(x α当0→x 时是比x 高阶的无穷小, 求曲线)(x f y =在))5(,5(f 处的切线.

6.求导数,复合函数求导,参数方程求导,隐函数求导 (

2009

2.

),

(arcsin )(arctan 2

2x f x f y += 其中f 是可导函数, 则

.__________

__________________________________________________=dy (2009)3. 设???=+=2

)

1ln(2t e

y t x , 则._______________________________,__________22==dx

y

d dx dy (2009)4. 抛物线

2

)

2(-=x y 与

2

64x

x y -+-=的交点的横坐标

为_______________________, 此二曲线在交点处

切线的夹角._______________________

(2009)5. 已知方程

1

ln )sin(+=+x y xy

, 则.___________________,

__________0

===x dx

dy dx dy

(2006) 一. 2.已知

f

是可导函数, 且

x x f dx d 1)1(arctan =,求

)4

f '.

2006

.

1. 设

?

??+=+-=23)1ln(t t y t t x ,

求22dx

y

d . (

2006

.

3.

由方程

0s

i n

2

1

=+-y y x 所确定的隐函数

)(x y y =的二阶导数.

(2005)

.

2.

)

(tan )(sin 2

2x f x f y +=, 其中f 是可导函数, 求dy . (2005)一.

4.

)

(x y y =由方程

2ln 2

=

-+x y e xy 确定, 求1

=x dx

dy

.

(2005)二. 1. 设???-==)

2ln(t

t e y te x , 求dx

dy

及0

2

2=t dx

y d .

7.导数的实际应用

(2009)一.7. 四根10cm 长的木条用铆钉连成活动的菱形, 若一对角线的增长率为6cm/sec, 则当此对角线的长为16cm 时菱形面积的

___________________.

(2009)七. (9分) 将一盏灯悬挂在半径为r 的圆桌中心的上方, 问灯的高度h (相对于桌面)为多少时桌子边上的物体的亮度最好(亮度与光线入射角

的余弦成正比, 与离光源距离的平方成反比). (提示: 若c 与a 成正比, 与b 成反

比, 则有,b

a k c = 其中k 是比例系数).

(2006)五. (9分) 一个体积给定的观察站底部是一个直圆柱, 顶部是一个半球形, 如果顶部单位面积的

试题分析123

径r 与高h (2005)四.(8分)如图所示足球门宽为4米, 6方向带球前进, 问他在离底线的 距离x 为多少时将获得最大的射 门张角θ.

(2005) 五. (6分)设函数)(x f 二阶可导,

5)0(=''f , 曲线

)(x f y =是凸弧,

并且在原点处与x 轴相切, 求此曲线在

原点处的曲率半径,

并求极限)

(lim 2

0x f x x →.

8.利用导数判断函数单调性的应用

(2009)三. (9分) 设k e

x x x f +-=ln )( (k 为常数), 判断方

程0)(=x f 有几个实根.

(2009)八. (10分) 证明当1->x 时,

x x x

x

≤+≤+)1ln(1.

(2006)六.(8分)证明,当1>x 时,1

1ln +-≥x x x . (2005)三.(8分)当1>x , 证明1

)1(2ln +->x x x .

9.判断函数的渐进线,二次导数,拐点

(2009)五. (11分) 研究函数3

3413x x x y ++=的性态, 并画出它的图形.

(2006) 二. 2. 试确定常数b a ,的值, 使点)3,1(是曲线

34bx ax y +=的拐点, 并求出曲线的凹凸区间.

(2005)七. (12分)(1) 作出函数x

xe y -=的图形;

(2) 试确定方程a xe

x

=-的实根的个数, 并指出每一

根所在的区间.

10.零点存在定理,中值定理,罗尔定理 (2009)九. (6分) 设函数)(x f 在],[b a

)0(>a 上连续,

),(b a 内可导, 且0)(=a f , 证明在 ),(b a 内存在ξ,

使).()(ξξ

ξf a

b f '-=

(2006)八.(4分)设)(x f 在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导,

0)(≠'x f ,

证明存在),(,b a ∈ηξ, 使

η

ηξ---=''e a

b e e f f a b )()(. (2005)八. (8分)设函数)(x f 在[0,1]上连续, 在(0,1)内

二阶可导, 且

,0)1()0(==f f 0)(<''x f , 若)(x f 在[0,1]上的最大值0>M , 证明:

(1) 对任意给定的正整数n , 存在惟一的)1,0(∈n

x ,

使

得n

M x f n

=')(;

(2) 数列}{n

x 有极限.

11.泰勒公式

(2005)二. 4. 设2

2cos )(x e x x f --=,

(1) 将)(x f 展成6阶麦可劳林公式(皮亚诺余项); (2) 求).0(),0()5()

4(f f

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