河北省唐山市滦县2016-2017学年高一数学下学期期中试题

2016-2017学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的).

1、不等式－x 2

＋3x －2>0的解集是( )

A ．{x |x <－2或x >－1}

B ．{x |x <1或x >2}

C ．{x |1

D ．{x |－2

2、数列1,3,7,15,31,…..的一个通项公式为( )

A.n n a 2=

B. 12+=n n a

C. 12-=n n a

D. 12-=n n a

3、在△ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos C 等于( ) A.23

B ．－23

C ．－1

3

D ．－14

4、设变量x ，y 满足????

?

x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，

2x －y －3≤0，

则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )

A ．7

B ．8

C ．22

D ．23

5、已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)等于( ) A ．8

B ．－8

C ．±8

D.9

8

6、若a ，b ∈R，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b

＞2ab

C.b a ＋a

b

≥2

D ．a 2

＋b 2

＞2ab

7、设n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若==++

5531则,3S a a a （ ）

A ．5

B ．7

C ．9

D ．11

8、设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2,cos A=且b

(A)3 (B)2 (C)2 (D)

9、若数列{n a }的前n 项和S n 满足n n a s -=4, (n ∈N *

)，则5a ＝( )

A ．16

B ．1

16

C ．8

D ．18

10、在△ABC 中，A 、B 、C 是其内角，若sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．直角三角形 D. 等腰且直角三角形

11、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2

＝(a －b )2

＋6，C ＝π

3

，则△ABC 的面积是( )

A ．3

B ．93

2

C ．332

D ．3 3

12、当x >1时，不等式x ＋

1

x －1

≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，把最简答案填写在答题卡相应的位置上）

13、在数列{}n a 中，

14、如图，一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.

15、数列1，11＋2，11＋2＋3，11＋2＋3＋4，…，1

1＋2＋3＋…＋n ，…的前n 项和为

16、已知a ，b 均为正数，且2是2a ，b 的等差中项，则1

ab

的最小值为________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17、（10分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是多少万元．

18、（12分）已知,,a b c 分别是ABC ?内角,,A B C 的对边，2

sin 2sin sin B A C =.

（I ）若a b =，求cos ;B

（II ）若90B =

，且a = 求ABC ?的面积. 19、（12分）等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设n b n a n +=-2

2，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．

20、（12分）已知关于x 的不等式)0(0622

≠<+-k k x kx （1）若不等式的解集为{}

-23>-

21、（12分）设锐角三角形的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin a b A =. （1）求B 的大小；

（2）求cos sin A C +的取值范围.

22、(12分)已知52,a a 是方程x 2

－12x ＋27＝0的两根，数列{}n a 是递增的等差数列，数列

{}n b 的前n 项和为n S ，且)(2

11*∈-=N n b S n n ．

(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

(2)记n n n b a c ?=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 答案：

CCDAB CACDB CD 13、121)

2

n

-（

14、30 2 15、

2n n ＋1

16、12

17、解析：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，

由题意知?????

x ≥0，y ≥0，

3x ＋y ≤13，

2x ＋3y ≤18，

利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如

图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x ＝3，y ＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元． 18、【答案】（I ）

1

4

（II ）

1

19、解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，

由已知得???

??

a 1＋d ＝4，

a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝15，

解得?

??

??

a 1＝3，

d ＝1.

所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n

＋n ，

所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22

＋2)＋(23

＋3)＋…＋(210

＋10) ＝(2＋22

＋23

＋…＋210

)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝

21－2101－2

＋

1＋10×10

2

＝(211

－2)＋55 ＝211

＋53＝2101. 20、（1）52-

=k （2）66-

6

≥k 21、解：（1）由2s i n a b A =根据正弦定理，得sin 2sin sin A B A =，故1

s

i n 2

B =.因AB

C ?为锐角三 角形，故6

B π

=.

（2）

1

cos sin cos sin()cos sin(

)cos cos 6

62

A C A A A A A A π

π

π+=+-

-=++=++

A

)3

A π

=+

.由ABC ?为锐角三角形，知<<

2

2

B A π

π

-，而

2

2

6

B π

π

π

-=-

3

π

=

，故

<<

3

2

A π

π

，故

25<<336A πππ+，故1

<)3A π+3<2.故cos sin A C +的取值范围是3

)2

.

22．解 (1)由题意得a 2＝3，a 5＝9， 公差d ＝

a 5－a 2

5－2

＝2，

所以a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1， 由S n ＝1－12b n 得，当n ＝1时b 1＝2

3，

当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝12b n －1－1

2b n ，

得b n ＝1

3

b n －1，

所以数列{b n }是以23为首项，1

3为公比的等比数列，

所以b n ＝2

3

n .

(2)c n ＝a n ·b n ＝4n －2

3

n ，

T n ＝

4×1－231＋4×2－232＋4×3－23

3

＋ (4)

n －1－23

n －1

＋

4n －2

3

n

， 3T n ＝4×1－230＋4×2－231＋4×3－23

2

＋ (4)

n －1－23

n －2

＋

4n －2

3

n －1

，

两式相减得：2T n ＝2＋431＋432＋…＋43n －1－4n －2

3n

＝4－4n ＋43n ，所以T n ＝2－2n ＋2

3n .