当前位置：文档库 › 极坐标与参数方程

极坐标与参数方程

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号____________________

极坐标与参数方程

一、直线的参数方程

1、直线参数方程的标准式

(1)l 过点),(000y x P )，倾斜角为α，其参数方程是?

?+=+=αα

sin cos 00t y y t x x （t 为参数），t 的几何意义为：t 表示

有向线段P P 0的数量，P(y x ,)为直线上任意一点，且t P P =0，t P P =0。

（2）若P P 21、是直线上两点，所对应的参数分别为t t 21,则t t P P 1221-=，

t t P P 1221-=；

（3）若P P P 321、、是直线上的点，所对应的参数分别为t t t 321,、，则P P 21中点P 3的参数为2

213t t t +=；

（4）若P 0为P P 21的中点，则0,02121

2、直线参数方程的一般式

过点),(000y x P ，斜率为a b k =

的直线的参数方程是?

??+=+=bt y y at

x x 00（t 为参数）

3、直线参数方程的应用

（1）。参数方程与普通方程的互化

例1、化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的几何意义.（点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.）

例2、化直线2l 的参数方程???+=+-= t

313y t

x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，说明∣t ∣的几何意义.

（2）。直线非标准参数方程的标准化

一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为?

?+=+=bt y y at

x x 00（t 为参数），斜率为

tg k =

=α （1）当2

b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.

（2）当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.???+=+=bt y y at x x 00可化为???

????+++=+++=)

()(222202

2220t b a b a b y y t b a b a a x x

令t '=t b a 2

2+，则可得到标准式???

????

++='++=t b a b

y y t b a a x x 2

20220 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量. 例3、已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3

，判断方程???

????+=+=t

y t x 2332

1（t 为参数）和方程???

+=+= t

331y t x （t

为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参

数t 的几何意义.

例4、直线的参数方程???+=+= t

331y t

x 能否化为标准形式？

例5、写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为4

3π

的直线l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.

（3）。直线参数方程的应用

例6、已知直线l 过点P （2，0），斜率为3

4，直线l 和抛物线x y 22

=相交于A 、B 两点，设线段AB 的中

点为M,求：

(1)P 、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|

例7、已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3

π。

(1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ|； (2)求直线l 和圆2

y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.

例8、设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.

例9、已知椭圆13

4)1(2

2=+-y x ，AB 是通过左焦点F 1的弦，F 2为右焦点，求B A F F 22?的最大值.

方法总结：利用直线l 的参数方程???+=+=α

sin cos 00t y y t x x （t 为参数），给研究直线与圆锥曲线C ：F(y x ,)=0的

位置关系提供了简便的方法.

一般地，把l 的参数方程代入圆锥曲线C ：F(y x ,)=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，)(t f =0, 1、(1)当Δ<0时，l 与C 相离；(2) 当Δ＝0时，l 与C 相切；(3) 当Δ>0时，l 与C 相交有两个交点；当Δ>0时，方程)(t f =0的两个根分别记为t t 21,，把t t 21,分别代入l 的参数方程即可求的l 与C 的两个交点A 和B 的坐标.

2、定点P0(00,y x )是弦AB 中点?0,02121

3、l 被C 截得的弦AB 的长t t AB 12-=

；t t P P 2100?=?；弦AB 中点M 点对应的参数为

1t t +；2

10t t P M +=

。

二、圆锥曲线的参数方程

1．圆的参数方程：222r y x =+,?

??==θθ

sin cos r y r x ,其中θ为参数，

圆()2202

0)(r y y x x =-+-的参数方程为??

?+=+=θ

sin cos 00r y y r x x ，其中θ为参数

2．椭圆：12222=+b y a x 的参数方程为：???

??==θ

sin cos b y a x ，θ为参数。

3．曲线122

22=-b y a x 的参数方程为???==θ

θbtg y a x sec ，θ为参数。θ的几何意义为离心角。

4．抛物线px y 22

=的参数方程为???==pt

y pt x 222

，t 为参数。t 的几何意义为抛物线上除原点外的点与原点

的连线的斜率的倒数。

5．圆锥曲线参数方程的应用（1）在证明问题中的应用

例1、从椭圆14

2=+y x 上任一点向短轴的两端点分别引直线，求证这两条直线在x 轴上截距的乘积是

定值．

例2、AB 是椭圆22

22b

y a x +=1的任意一条弦，P 为AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：k k OP AB ?为定值.

（2）在最值问题中的应用.

例3、若实数x,y 满足25

162

2y x +

=1，试求：x y v 3-=的最大值.

例4、已知x,y 满足14

22=+y x ，求y x xy y x f y x 242),(2

2++++=的最大值.

（3）求轨迹方程

例5、已知椭圆方程为122

22=+b

y a x ，椭圆长轴的左、右顶点分别为A A 21、，P 是椭圆上任一点，引

P Q P Q A A A A 2211⊥⊥，，且Q A 1与Q A 2的交点为Q ，求点Q 的轨迹方程。

例6、已知椭圆,122

22=+b

y a x MN 是平行于y 轴的一条弦，A A 21,为椭圆的长轴，求M A 1与N A 2交点的

轨迹.

（4）求点的坐标

例7、设直线 022:=-+y x l ，交椭圆14

9:2

2=+y x C 于A 、B 两点，在椭圆C 上找一点P ，使ABP ?面积最大。

（5）求与圆锥曲线上的点有关的极值问题

例8、在椭圆13

=+y x 上求一点P ，使P 到直线016=+-y x 的距离最短，并求出这个最短距离.

（6）证明与圆锥曲线上的点有关的定值问题

例9、设A 、B 是过双曲线122

22=-b

y a x 中心的弦，P 是双曲线上任意一点.求证：直线PA 、PB 的斜率之积

为定值.

（7）证明与圆锥曲线上的点有关的直线位置关系问题

例10、设A1，A2为双曲线122

22=-b

y a x （)0,0 b a 的两个顶点，P 为双曲线上除顶点外的一点，l 是

与焦点F 2对应的一条准线，直线A P 1与l 交于B 1，A P 2与l 交于B 2.，求证：2212B F B F ⊥

（8）与圆锥曲线上的点有关的面积计算问题

例11、在椭圆13

2=+y x 上有动点P 和定点B （0，3）（P 不同于B ），以PB 为边作正三角形△BPM ，问P 在何处时，S BPM ?最大？并求出这个最大值.

三、极坐标

（一）极坐标系 1、定义

在平面内取一个定点o 叫做极点，引一条射线ox 叫做极轴，再选定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向），就建立了一个极坐标系。对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从OX 到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对),(θρ就叫做M 的极坐标。①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 2、点的极坐标

给定),(θρ,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M ；给定平面上一点M ，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。

一般地，若),(θρ是一点的极坐标,则)2,(πθρk +、))12(,(πθρ++-k 都可以作为它的极坐标。如果限定πθρ20,0<≤>，那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了。 3、极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合

③两种坐标系中取相同的长度单位.

(2)互化公式???=='sin cos θρθρy x ，??

??≠=+=)

0(2

22x x y

tg y x θρ （二）、常见的直线和圆的极坐标方程 1、直线的极坐标方程()0>a

(1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:αθ=;(2)垂直于极轴和极点间的距离为a 的直线的极坐标方程:a =θρcos ;(3)平行于极轴和极轴间的距离为a 的直线的极坐标方程:a =θρsin ;(4)不过极点,和极轴成α角,到极点距离为a 的直线的极坐标方程:a =-)sin(θαρ.

2、圆的极坐标方程(0>a )

(1)圆心在极点,半径为a 的圆的极坐标方程:

a =ρ;(2)圆心在)0,(a ,半径为a 的圆的极坐标方程:

θρcos 2a =;(3)圆心在),(πa ,半径为a 的圆的极坐标方程:θρcos 2-=;(4)圆心在)2

,(π

a ,半径为a 的圆

的极坐标方程:θρsin 2a =;(5)圆心在)2

(π

a ,半径为a 的圆的极坐标方程:θρsin 2a -=;(6)圆心在),(0θa ,半径为a 的圆的极坐标方程:

（三）、圆锥曲线的统一极坐标方程圆锥曲线的极坐标方程的统一形式：θ

ρcos 1e ep

，e 是离心率，p 是对应的焦点和准线之间的距离。

10<e 表示双曲线。

（四）、例题

例1、直角坐标为)5,12(的P 点的一个极坐标是（） A ．)125arctan

,13( B ．)125arctan ,13(-π C ．)125arctan ,13(+π D ．)12

arctan ,13(- 例2、极坐标系中，下列各点与点),)(,(Z k k P ∈≠πθθρ关于极轴所在直线对称的是（） A ．),(θρ- B ．),(θρ--

C ．)2,(θπρ-

D ．（)2,(θπρ+

例3、已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（） A ．1=ρ

B ．θρcos =

C ．θρcos 1=

D ．θ

ρsin 1

= 例4、以极坐标系中的点)1,1(为圆心，1为半径的圆的方程是（）

A ．)4

cos(2π

θρ-

= B ．)4

sin(2π

θρ-

= C ．)1cos(2-=θρ D ．)1sin(2-=θρ

例5、极坐标方程03cos 3cos 2

=--+θρρθρ表示的曲线是（） A ．一个圆 B ．两个圆 C ．两条直线

D ．一个圆和一条直线

例6、下列命题正确的是（）

A ．过点),(πa 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为θ

ρcos a -= B ．已知曲线C 的方程为θπ

ρ2

4+=及M 的坐标为)2,4(π，M 不在曲线C 上

C ．过点)2

(π

a 且平行于极轴的直线的极坐标方程为θ

ρsin a =

D ．两圆θρcos =与θρsin =的圆心距为

例7、曲线;2322????

?+=--=t

y t

x （t 为参数）上的点与)3,2(-A 的距离为2，则该点坐标是（） A ．)5,4(-

B ．)4,3(-或)2,1(-

C ．)4,3(-

D ．)5,4(-或)1,0(

例8、已知直线l 的参数方程为?????--=+=1

2t y t x (t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标

系中，点P 的极坐标为),2(π-，则点P 到直线l 的距离为（）

A ．

B ．22

C ．1

D ．2

例9、已知曲线的参数方程是???==θ

sin cos 3

344y x （θ为参数），则该曲线（）

A ．关于原点、x 轴、y 轴都对称

B ．仅关于x 轴对称

C ．仅关于y 轴对称

D ．仅关于原点对称

例10、已知抛物线???==t

y x t 442

（t 为参数）的焦点为F ，则点),3(m M 到F 的距离MF |为（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

例11、若关于x 的方程02=++q px x 的根是αsin 和αcos ，则点),(q p 的轨迹为

（）

例12、设),(y x P 是曲线C ：???=+-=θ

θsin cos 2y X （θ为参数，πθ20<≤）上任意一点，则x y

的取值范围

是（）

A ．[]3,3-

B ．[

)

+∞?

-∞,3)3,( C ．??

????-33,33 D ．???????+∞?-∞,33)33

,( 例13、在极坐标系中,如果一个圆的方程是θθρsin 6cos 4+=，那么过圆心且与极轴平行的直线方程（）

(A) 3sin =θρ (B)3sin -=θρ (C)2cos =θρ (D) 2cos -=θρ 例14、在极坐标方程中,与圆θρsin 4=相切的一条直线的方程是（） (A) 2sin =θρ (B)2cos =θρ (C)4cos =θρ (D)4cos -=θρ

例15、在极坐标方程中,过点)2

,2(π

M 且平行于极轴的直线的极坐标方程是_______.

例16、在极坐标系中，定点)2

,1(π

A ,点

B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B

的极坐标是_________.

例17、极坐标方程0242cos 52

2=-+ρρθ所表示的曲线焦点的极坐标为__________. 例18、在极坐标系中，直线l 的方程为3sin =θρ，则点)6

2(π

到直线l 的距离为___________.

例19、极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是（）

(A) 2 (B)

2 (C) 1 (D)

2 例20、在极坐标系中,O 是极点，设点)6

5,5(),3

4(π

B A ，则△OAB 的面积是？例21、从极点O 引定圆θρcos 2=的弦OP ，延长OP 到Q ，使

=PQ OP ，求点Q 的轨迹方程．例22、极坐标系中，直线6

θ=

和直线2)6

cos(=-

θρ的位置关系为（）

A ．平行

B ．垂直

C ．相交但不垂直

D ．不能确定例23、直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系（） (A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合

例24、点A 在直线5=x 上移动，等腰OPA ?的顶角1200=∠OPA （A P O ,,按顺时针方向排列），求点

P 的轨迹方程．

例25、在极坐标系中,曲线)3

sin(4π

θρ-=关于（） (A)直线3

θ=轴对称 (B)直线6

5π

θ=

轴对称 (C)点)3

,2(π

中心对称 (D)极点中心对称

五、课后作业

1、极坐标方程32sin 4=θ表示的曲线是（）

(A)二条射线 (B)二条相交直线 (C) 圆 (D) 抛物线 2、极坐标方程1cos 22cos 2

=-θρθρ表示的曲线是（）

(A)圆

(B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线

3、极坐标方程52

4sin 2

=θ

ρ所表示的曲线是（）

(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 4、极坐标方程θρcos =与θρcos =

的图形是（）

2 21

(A) (B) (C) (D) 5、极坐标方程)4

sin(2π

θρ+

=)的图形是（）

(A) (B) (C) (D)

6、在极坐标系中，圆心在(),2π且过极点的圆的方程为（） (A) θρcos 22= (B)θρcos 22-= (C)θρsin 22=

(D)θρsin 22-=

7、已知点P 的极坐标为),1(π ,那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（） (A)1=ρ (B)θρcos = (C)θρcos 1-

= (D) θ

ρcos 1= 8、以极坐标系中点)1,1(为圆心,1为半径的圆的方程是（） (A))4

cos(2π

θρ-

= (B) 4

sin(2π

θρ-

= (C) )1cos(2-=θρ (D) )1sin(2-=θρ

9、极坐标系中,圆θθρsin 3cos 4+=的圆心的坐标是（）

(A) 53arcsin ,25

( (B) 54arcsin ,25( (C) )53arcsin ,5( (D) 5

4arcsin ,5( 10、若A 、B 两点的极坐标为)0,6(),3

4(B A π

,则AB 中点的极坐标是_________.(极角用反三角函数值表示).

11、已知直线的极坐标方程为2

sin(=

θρ,则极点到该直线的距离是_______. 12、在极坐标系中,若过点)0,3(且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则|AB|=______. 13、在极坐标系中,点3

4(π

M 到直线4)sin cos 2(:=+θθρl 距离=d _________________.

14、极坐标方程θθρcos 2sin +=所表示的曲线是（） (A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线 15、极坐标方程)4

cos(θπ

ρ-=所表示的曲线是（）

(A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆

16、已知直线的参数方程是???

????

+=-=6cos

sin 1ππt y t x （t 为参数），则直线的倾斜角大小是．

17、设B A 、两点的极坐标分别是），（4

2π，）

，（4

2π

，则AB 线段的两个三等分点的极坐是． 18、曲线的极坐标方程是)3

cos(4π

θρ-

=，则它相应的直角坐标方程是．

19、曲线???

????+-=+=t t t t y x 22

1513（t 为参数）的普通方程是．

20、设点A 的极坐标为)2

0,0)(,(1111π

θρθρ<<≠，直线l 经过A 点，且倾斜角为α．

（1）证明l 的极坐标方程是)sin()sin(11ααθρθρ-=

-；

（2）若o 点到l 的最短距离ρ=d 1，求θ1与α间的关系． 21、已知曲线??

?==θ

θsin 2cos 22y x （θ为参数）和定点)1,4(P ，过P 的直线与曲线交于B A 、两点，若线段

AB 上的点Q 使得

PB PA =QB

成立，求动点Q 的轨迹方程． 22、求过点

)2,1(0p ，且倾斜角为600的直线，被曲线x y 162

=所截的线段的中点M 到p 0的距离。

23、已知椭圆

162

2=+y x 内一点)1,2(P 。（1）过P 作椭圆的弦，使P 恰好是弦的中点，求弦所在的直线方程；（2）过P 作椭圆的弦，并使P 是弦的一个三等分点，求此弦所在的直线方程。

参数方程和极坐标方程知识点归纳

专题九：坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?? ?>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2、极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 注：极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与 ),(θπρ+表示同一点。如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3、极坐标与直角坐标的互化设是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ，从图中可以得出： ) 0(ta ≠= x x y θ? ?? 图1

极坐标和参数方程知识点典型例题及其详解(供参考)

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ???==) ()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆： θθ sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆： θθsin cos b y a x == （θ为参数）（或 θ θsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(. sin ,cos 00???+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：

极坐标及参数方程

龙文教育一对一个性化辅导教案

1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ， θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程管理人员签字：日期：年月日作业布置 1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差备注： 2、本次课后作业：课堂小结家长签字：日期：年月日

(1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过? ???? b ，π2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在? ???? r ，π2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数? ?? ?? x ＝f t ，y ＝g t . 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)．

极坐标和参数方程知识点总结大全

极坐标与参数方程一、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ?? ?==) () (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（） A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ =?? =+?为参数上的点是（） A ．1(,2 B ．31(,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。 4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。 5．双曲线的参数方程

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角. 二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: cos sin x y ρθρθ=??=?或222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? （对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义 r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆； 0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线； 2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆. (可化直角坐标: 2 2cos a ρρθ=2 2 2x y ax ?+=2 2 2 ()x a y a ?-+=.) 四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00sin ()()cos 2 y y x x απ αα-= -≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα =+??=+?,2π α=也成立，故直线的参数方程为

极坐标与参数方程讲义

极坐标与参数方程一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念（1）极坐标系如图所示,在平面内取一个定点0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系. 注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可?但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系? （2）极坐标设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为；以极轴0X为始边，射线0M为终边的角XOM叫做点M的极角，记为?有序数对（，）叫做点M的极坐标，记作M （,）. 一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数? 特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0，）（€ R）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示? 如果规定0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示；同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的? 2.极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示: ⑵互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（，）（ 0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：

在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(,),(,2 ),(, ),(, ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M(,)可以表示为 4 4 5 (, 2 )或(， 2 )或(-, 等多种形式,其中,只有(，)的极坐标满足方 4 4 4 4 4 4 4 4 程、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化

全参数方程与极坐标(精华版)

参数方程与极坐标参数方程知识回顾：一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个参数t 的函数， x f （t ）即 y f （t ），其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （ x ， y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数. 二、二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程：中心在（x o , y o ）,半径等于r 的圆: { x r cos 特殊地，当圆心是原点时，、 y r si n 注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。 Eg1 :已知点P (x , y )是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0 上的动点，求: （1 ） x 2+y 2的最值；（2 ） x+y 的最值；（3 ）点P 到直线x+y-1=0 的距离d 的最值。 Eg2 :将下列参数方程化为普通方程总结：参数方程化为普通方程步骤：（1 ）消参（2 ）求定义域 2、椭圆的参数方程: 中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆: x x 0 rcos 〔y y o rsin （为参数，的几何意义为圆心角） (1 ) x=2+3cos y=3sin 1 (|3) x=t+ 一 t Y 2 1 I y=t 2+ ” x=s in y=cos

4、抛物线的参数方程: 顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线： x 2pt 2 y 2pt （t 为参数，p > 0 , t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立即可得到。三、一次曲线（直线）的参数方程 x a cos y bsin （为参数，的几何意义是离心角，如图角 AON 是离心角）注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆, 点的轨迹是椭圆，中心在（x o ，y o ）椭圆的参数方程: X 。 a cos y bsi n x Eg :求椭圆 36 y =1上的点到 M (2,0) 20 的最小值。 3、双曲线的参数方程: 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线: a sec bta n 为参数，代表离心角），中心在（x o ，y o ），焦点在x 轴上的双曲线: x x 0 asec y y 0 bta n 2 2

极坐标与参数方程知识点总结大全

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点直角坐标极坐标互化公在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程. 二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的那么,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,并且对于的每一个允许值,函数①．方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周

极坐标与参数方程高考题含答案

极坐标与参数方程高考题含答案文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

极坐标与参数方程高考题 1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2 2 2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π R 4 θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积. 解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. （Ⅱ）将= 4 π θ代入2 2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得 1ρ=，2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积 o 11sin 452?=1 2 . 2.已知曲线194:22=+y x C ，直线?? ?-=+=t y t x l 222:（t 为参数）（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 |4cos θ+3sin θ-6|, 则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43 . 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,.

经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案)

经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案) https://www.wendangku.net/doc/1f9615065.html,work Information Technology Company.2020YEAR

《极坐标与参数方程》综合测试题 1．在极坐标系中，已知曲线C ：ρ=2cosθ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，又已知直线 l 过点P （1,0），倾斜角为3 ，且直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点．（1）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求 +． 2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．

3．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O 为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标． 4．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为（t为参数）， 3 P,0 2 ?? ? ?? ，当直线l与曲线 C相交于A，B两点，求 2 AB PA PB ? .

极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结一、伸缩变换：点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ???>?='>?='). 0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称伸缩变换一、 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是M Ox ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。，点P 的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ) 2、直角坐标?极坐标 cos sin x y ρθρθ=??=?2、极坐标?直角坐标222 tan (0)x y y x x ρθ?=+??=≠?? 3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0 二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数???==), (),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程 1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+=（t 为参数）（1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t| (2)直线上12,P P 对应的参数是12,t t 。|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝ t 1＋t 2 2 －4t 1t 2.

2018高考数学解题技巧极坐标与参数方程

2018高考数学解题技巧解答题模板3：极坐标与参数方程 1、题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径；椭圆22 221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ =??=?为参数；双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ =??=?为参数；抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。解题方法及步骤（1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即2≥y ，可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422≥=-y y ，显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.

极坐标与参数方程题型及解题方法65164

Ⅰ复习提问 1、极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、极坐标系的定义是什么？答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？

Ⅱ 题型与方法归纳 1、题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2） { 参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤（1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??（为参数）表示的曲线是（） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，() ()2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-，即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B

极坐标与参数方程经典练习题含答案详解

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ =-+?? =?的（）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ? =+ ???=?为参数表示的曲线是（）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与???==θ θ sin 3cos 3y x 的位置关系是（）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7．与参数方程为()21x t t y t ?=?? =-??为参数等价的普通方程为（）． A ．22 14y x += B ．221(01)4 y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．221(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤

极坐标与参数方程高考经典题型归纳总结

1.弦长问题模型1 1.在平面直角坐标系中，圆C 的方程为()2562 2 =+ +y x （1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程为t t y t x (sin cos ???==α α 为参数），l 与C 交于点B A ,， ①若4 3π α= ，求AB ， ①若10=AB ，求l 的斜率。

2.已知直线t t y t x (32???=+=为参数）与曲线θθρcos 8sin 2=交于B A ,，求AB 2. 弦长问题模型2（只对直线过原点才可以）注意：若直线倾斜角为α且过原点，则该直线的直角坐标方程为αtan x y =，其参数方程为?==α α sin cos t y t x ，其极坐标方程为)(R ∈ =ραθ 3.在极坐标系中，以点(2, ) 2 C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3 l R π θρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .

3.参数方程最值问题模型 4.已知曲线θ θθ (sin 2cos 1:1???+=+=y x C 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线:2C 4π θ= ()R ∈ρ （1）写出1C 的极坐标方程，2C 的一个参数方程；（2）设1C 与2C 交于N M ,两点，P 为1C 上一动点，求PMN ?面积的最大值。

4.利用直线参数方程中t 的几何意义问题模型 5.在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π ，曲线C 的方程为) 4sin(22π θρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值．

用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略

用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略高考题中极坐标与参数方程主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。高考热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程，推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。其中以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档难度题。常以选考题的形式出现，此外在高考数学的选择题和填空题中，用参数方程与极坐标解决问题常能收到事半功倍的效果，必须引起教与学的足够。因此，对常见题型及解题策略进行探讨。一、极坐标与直角坐标的互化 1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等. 2.直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤： (1)运用ρ＝x 2 ＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0)；

(2)在[0，2π)内由tan θ＝y x (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置). 解题时必须注意： ① 确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可. ② 平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一.当规定ρ≥0，0≤θ＜2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点. ③ 进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点： Ⅰ.注意ρ，θ的取值范围及其影响. Ⅱ.重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用. 例如、（2015年全国卷）在直角坐标系xOy 中。直线 1C : 2x =-，圆2C ：()()22 121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I ）求1C ，2C 的极坐标方程；（II ）若直线3C 的极坐标方程为()4 R π θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN V 的面积解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为 cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+= （Ⅱ）将4 π θ= 代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得 240ρ-+=，解得12ρρ== 12ρρ-=||MN =

极坐标与参数方程题型和方法归纳

极坐标与参数方程题型和方法归纳题型一：极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。方法如下： 1、已知直线l 的参数方程为112x t y ?=+???=? （t 为参数）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的方程为2sin cos 0θθ=. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标. 题型二：三个常用的参数方程及其应用（1）圆222()()x a y b r -+-=的参数方程是： cos sin ()x a r y b r θθθ=+??=+?为参数（2）椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是：cos ,()sin x a y b θθθ=??=?为参数（3）过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+??=+?为参数对（3）注意： P 点所对应的参数为00t =，记直线l 上任意两点,A B 所对应的参数分别为 12,t t ，则①12AB t t =-,②1212121212,0,0t t t t PA PA t t t t t t ?+?>?+=+=?-? ）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ? ?+=- ??? （Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 3、已知曲线1C ：12cos 4sin x y θθ =??=?（参数R θ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为

典型极坐标参数方程练习题带答案

极坐标参数方程练习题 1在直角坐标系xOy 中，直线Ci ： x = — 2，圆C 2： (x -1)2 + (y — 2)2= 1,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1) 求 C i , C 的极坐标方程； n (2) 若直线C 3的极坐标方程为归~4(p€ R),设C 2与C 3的交点为M , ”，求厶C 2MN 的面积. 解：(1)因为x = pcos 0 ， y = pin 0，所以C i 的极坐标方程为pcos B= — 2， C 2 的极坐标方程为 p 2— 2 pcos 0 — 4 psin 0 + 4 = 0. n (2)将 0= ~4代入 p 2— 2 p cos 0 — 4 pin 0 + 4= 0，得 p 2 — 3 2 p + 4= 0，解得 p i = 2 2，p 2= 2故 p — p= 2,即 |MN| = 2. 1 由于C 2的半径为1,所以△ C 2MN 的面积为 4. (2014辽宁，23, 10分，中)将圆x 2 + y 2= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (1) 写出C 的参数方程； (2) 设直线I : 2x + y — 2 = 0与C 的交点为P 1,巨，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P 1P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程. x = X 1, 解：(1)设(X 1, y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x , y),依题意，得 c y = 2y 1, 由 X 1 + y 2= 1 得 x 2 + 2y 2 = 1. 即曲线C 的方程为x 2 +y 4 = 1. x = cos t , 故C 的参数方程为 (t 为参数). y =2sin t 不妨设P 1(1, 0), P 2(0, 2),则线段P 1P 2的中点坐标为 2 1，所求直线斜率为k =?, ⑵由 y 2 x 2+4 = 1, 4 解得 2x + y — 2 = 0 x = 1, y = 0 x = 0, y = 2.

高中数学选修极坐标与参数方程知识点与题型

高中数学选修极坐标与参数方程知识点与题型 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

选做题部分极坐标系与参数方程一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式题型一极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为（） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．

极坐标与参数方程

参数方程和极坐标方程知识点归纳

极坐标和参数方程知识点典型例题及其详解(供参考)

极坐标及参数方程

极坐标和参数方程知识点总结大全

最新极坐标参数方程题型归纳--7种

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

极坐标与参数方程讲义

全参数方程与极坐标(精华版)

极坐标与参数方程知识点总结大全

极坐标与参数方程高考题含答案

经典《极坐标与参数方程》综合测试题(含答案)

极坐标与参数方程知识点、题型总结

2018高考数学解题技巧极坐标与参数方程

极坐标与参数方程题型及解题方法65164

极坐标与参数方程经典练习题含答案详解

极坐标与参数方程高考经典题型归纳总结

用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略

极坐标与参数方程题型和方法归纳

典型极坐标参数方程练习题带答案

高中数学选修极坐标与参数方程知识点与题型