17-18版 第8章 第9节 课时分层训练51

课时分层训练(五十一)

直线与圆锥曲线的位置关系

A 组 基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的交点个数是( )

A ．1

B ．2

C ．1或2

D ．0

A [因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b a x 平行，所以它与双曲线只

有1个交点．]

2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →＝0，则m ＝( ) A. 2 B.22 C.12 D ．0

B [由????? y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，

得A (2,22)，B ? ????12，－2. 又∵M (－1，m )且MA →·MB →＝0，

∴2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝22.]

3．(2017·绍兴模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原

点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则a b 的值为( ) 【导学号：51062310】

A.32

B.233

C.932

D.2327

A [设A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)，线段AB 中点M (x 0，y 0)．

由题设k OM ＝y 0x 0

＝32. 由?????

ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，得(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－a b . 又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1

＝2y 02x 0＝32， 所以a b ＝32.] 4．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )

A.x 221－y 2

28＝1

B.x 228－y 221＝1

C.x 23－y 2

4＝1 D.x 24－y 2

3＝1

D [由题意知点(2，3)在渐近线y ＝b a x 上，所以b a ＝32，又因为抛物线的准

线为x ＝－7，所以c ＝7，故a 2＋b 2＝7，所以a ＝2，b ＝ 3.故双曲线的方程为x 24－y 2

3＝1.]

5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )

A.x 218＋y 2

9＝1

B.x 227＋y 218＝1

C.x 236＋y 2

27＝1 D.x 245＋y 2

36＝1

A [因为直线A

B 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x

－3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得? ??

??a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0， 所以AB 的中点的横坐标为32a

22? ??

??a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，

所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.]

二、填空题

6．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为__________．

16 [直线l 的方程为y ＝3x ＋1，

由?????

y ＝3x ＋1，

x 2＝4y ，

得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14，

∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.]

7．设双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________. 【导学号：51062311】

5 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b a x ， 由方程组??? y ＝b a x ，y ＝x 2＋1，消去y ，得x 2－b a

x ＋1＝0有唯一解， 所以Δ＝? ??

??b a 2－4＝0，b a ＝2， e ＝c a ＝a 2＋b 2

a ＝1＋? ??

??b a 2＝ 5.] 8．已知椭圆x 24＋y 2

b 2＝1(0