量子力学作业习题

第一章 量子力学的诞生

[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；

( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；

( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m 2时的窗子所衍射．

[2] 用h,e,c,m （电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂

[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，

( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．

[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．

( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz 实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射．

[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B 缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1）

h 2e m ；（2）h 2n

m ；（3）hc

第二章 波函数与Schr ?dinger 方程

[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能222

1

)(x m x V ω=] [2] 一维运动的粒子处在

??

?<≥=-0

,

00,

)(x x Axe x x 当当λψ

的状态，其中0>λ，求：

（1）粒子动量的几率分布函数；

（2）粒子动量的平均值。

[3] 平面转子的转动惯量为I ,求能量允许值

[4]. 有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.

[5] 对高速运动的粒子(静质量m )的能量和动量由下式给出

2

2

21c v mc E -=

(1)

2

2

21c v mv p -=

(2)

试根据哈密顿量 2242p c c m E H +=

= (3)

及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.

[6]. （1）试用Fermat 最小光程原理导出光的折射定律

α

α2

2

1

1

sin sin n n =

（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理?=0pdl δ

认为mv p =则

?=0pdl δ这将导得下述折射定律

αα

133

1

sin sin n n =

这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：2

c Ev

p =仍就成立，E 是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E 仍不变，仍有?=0pdl δ

，你怎样解决矛盾？

[7]. 当势能)(r V 改变一常量C 时,即c r V r V +→)()(

,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?

[8]. 试证粒子势能的极小值是

>E n

V

min

[9]. 设1ψ与2ψ是薛定谔方程式两个解，证明???τ

ψψ3

21*),(),(dx t x t x

与时间无关。

[10]. 考虑单粒子的薛定谔方程式：

),()]()([),(2),(2122t x x iV x V t x m

t x t i

ψψψ++?-=??

V 1，V 2为实函数，证明粒子的几率不守恒。求出在空间体积Ω内，粒子几率“丧失”或“增

加”的速率。

[11]. 对于一维自由运动粒子，设)()0,(x x δψ=求2

),(t x ψ。 [12]. 证明从单粒子的薛定谔方程式得出的速度场是非旋的，即

()ρ /0j v v ==?? ψψ=*

ρ

第三章 一维定态问题

[1]. 对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明

2a

x = ）（

）（22226112π

n a x x -=- 并证明当∞→n 时上述结果与经典结论一致。

[2]. 试求在不对称势力阱中粒子的能级。

[3]. 设质量为ｍ的粒子在下述势阱中运动：

∞ ()0

1

x m ω ()0>x 求粒子的能级。

[4]. 考虑粒子()0〈E 在下列势阱壁（ｘ＝０）处的反射系数 [5]. 试证明对于任意势垒，粒子的反射系数Ｔ满足Ｒ＋Ｔ＝１。 [6]. 设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用： ()a

x

a

x

a

x ππ2

cos sin

4=

ψ

描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。

[7]. 设一谐振子处于基态，求它的

()2

2

p x ??，）（并验证测不准关系： [8]. 设粒子处于无限深势阱中，状态用波函数)()(x a Ax x -=ψ描述，5

30

a A =是归一化常数，求（1）粒子取不同能量几率分布。（2）能量平均值及涨落。 [9]. 一维无限深势阱中求处于)(x n ψ态的粒子的动量分布几率密度2

)(p ?。 [10]. 写出动量表象中谐振子的薛定谔方程式，并求出动量几率分布 [11]. 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ

αψ2

2

22)

(--

=

，求：

(1)势能的平均值222

1

x U μω=

； (2)动能的平均值μ

22

p T =；

(3)动量的几率分布函数。 [12]. 氢原子处在基态0/30

1

),,(a r e a r -=π?θψ，求：

(1)r 的平均值；

(2)势能r

e 2

-的平均值；

(3)最可几半径； (4)动能的平均值；

(5)动量的几率分布函数。

[13]. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 0==θe er J J 2

sin m n e r m e J ψθ

μ?=

[14]. 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是I

L H 22

=，L 为角动量，求与此

对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： [15]. 设t=0时，粒子的状态为

]cos [sin )(212

kx kx A x +=ψ 求此时粒子的平均动量和平均动能。 [16]. 一维运动粒子的状态是

?

??<≥=-0 ,0 0

,)(x x Axe x x 当当λψ

其中0>λ，求：

(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。

第四章 力学量和表象变化

[1]指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。

① 22

2

4dx d x ； ② []2 ； ③ ∑=n

K 1

[2] 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。

224 dx d dx d i dx d ，， [3] 下列函数哪些是算符2

2

dx d 的本征函数，其本征值是什么？

①2

x ， ② x

e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +

[4] 试求算符

dx d ie F

ix -=?的本征函数。 [5] 设波函数x x sin )(=ψ，求?

][])[(

2=-dx d

x x dx d ψ

[6] 证明：如果算符A ?和B ?都是厄米的，那么(A ?+B ?

)也是厄米的。

[7] 问下列算符是否是厄米算符：①x p x

??； ②)????(21x p p x x x +。

[8] 如果算符βα??、满足关系式1????=-αββα，求证①βαββα?2????22=-②

233?3????βαββα=-

[9] 求 ?

????=-x x x x L P P L ；

?

????=-y x x y L P P L ；

?

????=-z x x z L P P L

[10] 设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：

（1）[

]

.2)(,2

hipf q f p q =（2）)(])(,[pf fq ih p q pf q +=（3）ihfp p q f q 2])(,[2

=

（4）

i f p i h q f p p 22)](,[=

（5）p pf i h p q pf p i =])(,[（6）22])(,[p f i h

p q f p i =

[11] 证明以下诸式成立：

(1)

(2)

(3)

2

2

[(*)(*)]

x x l x xl ih r x i r -=-

(4) 2

2

{(*)(*)}

x x x x l p p l ih p l l p -=-

[12]l

为粒子角动量。F 为另一力学量，证明：

)(],[p F p r F r hi F l ??*+??*-= 其中r ??

表示空间坐标的梯度，p ??表示动量空间的梯度。

[13] 设算符A ，B 与它们的对易式[A ，B]都对易。证明 (1) (2)

[14] 证明

[15] 证明

是厄密算符

[16] 证

(A 等是实数)是厄密算符

[17] 证明2?n m m n nm n m p x x p A +∑-（nm A 实数）是厄密算符。

[18]证明，

若

当

大时并不趋于0，则

不一定是厄密算符。

[19] 证明

其中A(p,q),B(p,q)是正则动量和坐标的函数，上

式左方是相应的算符。{A,B}是经典力学中的poisson 括弧在多变量情形

i=1,2,3......i 自由度

[20] 设F(x ，p)是xk ，pk 的整函数，证明：

k k x F i F p ??=

],[ ⑴ ; k k p F

i p F ??=

],[ ⑵

整函数是指n

i

m k mn

ki mn ki p x C p x F ∑∑=123

],[，

mn

ki

C 是数值系数

第五章 力学量随时间的演化与对称性

[1]. 证明力学量A

?（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]?],?,?[[2

2

2

H H A A dt

d -= （H ?是哈密顿量） [2]. 证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。

[3]. 设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ

。 （１） 证明

V r p p r dt

d ??-=?

μ/)(2。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2

[4]. 证明，对于一维波包：

)(1

2px xp x dt d +=μ

[5]. 求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。

[6]. 求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。 [7]. 多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成：

/][/?21?,2j j

i j

i i i i i r r V p m H -+=∑∑< ⑴

证明：总动量∑=i

i p p

??

为守恒。 ⑵

[8]. 多粒子系如所受外力矩为0，则总动量∑=i l L ??

为守恒。

[9]. 证明：对经典力学体系，若A ，B 为守恒量，则{A ，B}即泊松括号也为守恒量，但不

一定是新的守恒量，对于量子体系若A

?，B ?是守恒量，则}?,?{B A 也是守恒量，但不一定是新的守恒量。

[10]. 对于平面转子（转动惯量I ），设：??ψ2

sin )0,(A = （1） 试求),(t ?ψ

[11]. 证明周期场中的Bloch 波函数 )()(x e x k ikx

Φ=ψ ，)()(x a x

k k Φ=+Φ

是)(?a D x

的本征函数，相应的本征值是ika

e 。

第六章 中心立场

[1] 质量分别为 m 1,m 2

的两个粒子组成的体系，质心座标R

及相对坐标r 为：

R =212

211m m r m r m ++

(1) ；r 12r r r -= (2)

试求总动量21p p P +=及总角动量21l l L +=在R , r 表象中的算符表示。

[2] 证明r r r ??+=?1],[212 ，?=?],[212r

[3] 中心力场)(r V 中的经典粒子的哈密顿量是

)(222

2r V mr l

m p H r

++=其中p

r r p r

?=1^。

当过渡到量子力学时，r p 要换为

)

1(]11[21^

r r i r r p p r r p r +??-=?+?= 问p

r r r i ?=??-1是否厄米算符？r p ^

是否厄米算符。

[4] 经典力学中

22222)()(p r p r p r l ?-?=?=

在量子力学中此式是否成立？在什么条件下此式成立？

[5] 求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。利用所得结果，计算2x

p 。用x 表象中

的氢原子波函数计算2

x ,并验证测不准关系式。

[6] 在动量表象中写出氢原子的能量本征方程式，并证明角动量的各个分量均为守恒量。

[7] 设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区（E —V ）=T 〈0 〉的几率。 [8] 证明，对于库仑场E V 2=，E T -=（V T E ==是总能量）

[9] 对于氢原子的，计算

?+=dr

r R r r nl 22]()[λλ 2,1±±=λ

[10] 根据氢原子光谱理论，讨论（1）“电子偶素”（指e+—e-的束缚态）的能级。（2）μ介原子的能谱。（3）μ介子素（指μ+-e-束缚态）的能谱。 [11] 在（

x l l ??2）表象中，1=l 的子空间是几维？求x

l ?在此子空间的矩阵表示式，再利用矩

阵形式求出x

l ?本征值及征矢。

[12] 证明)

,(),(),(),(1

1

*

l n Y Y

lm m m lm

由此证明地无关与常数?θ?θ?θ=∑=-=能级上满布电子

的情况下，电荷分布是各向同性的。

[13] 证明一个球方势阱(半径a,深度V0)恰好具有一条l ≠0的能级的条件是：V0与a 应满足

0)2(

12

=-a V jl μ

[14] 采用平面极座标，求出轴对称谐振子势场中，粒子能量的本征值本征函数，读者讨论简并度。

[15] 设粒子在无限长的园简内运动，简半径是a ，求粒子的能量。

[16] 粒子在半径为a ，高为h 的圆筒中运动，在筒内粒子是自由的，在筒壁及筒外势能是无限，求粒子能量的本征值。

[17] 设

)0()(2>+-

=A a r A

r a r V 和，求粒子的能量本征值。

第七章 粒子在电磁场中的运动

[1]. 证明在磁场B

中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：

[]

z y x c q i v v B ?,2μ = （1） [

]

x z y c q i v v B ?,2μ = （2） []y x z c

q i v v B ?,2

μ

= （3） [2] 利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z 轴方向） [3]. 证明在规范变换下

ψψρ*= （1）

[]

ψψμψψψψμ***--=A c

q p p

j ??21 （2） ??

?

?

?-=A c q p

v ?μ （机械动量的平均值）都不变 （3） [4] 若采用柱座标系，求解均匀磁场中带电粒子的能量本征值。

[5] 设带电粒子相互的均匀电场E 和均匀磁场B

中运动，求其能谱及波函数（取磁场方向为z 轴，电场方向为x 轴方向）

[6] 设带电粒子在均匀磁场B

及三维各向同性谐振子场

2202

1

)(r r V μω=

中运动，求能谱公式。

第八章：自旋

[1]在x σ

?表象中，求x σ?的本征态 [2]在z σ表象中，求n

?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是),(?θ方向

的单位矢。

[3]在自旋态下??

?

???=01)(2

1z s χ，求2x s ?和2

y s ?

[4] 一个具有两个电子的原子，处于自旋单态（s=0）。证明自旋轨道耦合作用 s )(γξ。L

对

能量无贡献。

[5] 自旋为s 的两个粒子所具有的，对称和反对称的自旋波函数各有几个？2

3

,21==s s 情况下，对称和反对称自旋态各有几个？

[6]证明，σσσ ?=?a i a 2],[，a 是与σ

对易的矢量算符。 [7]证明：（1）ασ

αασ

Sin i Cos e

j j i ??+= （ z y,x ,j =） （2） θθ

σθθσ

Sin i Cos e

i ???+=?

其中 θθ

= θ

θθ

=? θ

矢量与σ对易, θ表示θ方向的单位矢量。

[8]证明σσσσσ ?=?-=-?A i A A A A )()(, A 是与σ

对易的任何矢量算符。

[9]设θσ

?-=2

?i e U

证明：（θ?是沿矢量θ

方向的单位矢量）

（1）1??=+U U

（1） （2）θσθθθσθθθσσsin ?cos ?)?(?)?(??

?+??+?=+U U

（2） [10]证明不存在非0的二维矩阵，能和三个泡利矩阵都反对易 ，即设

0??=+A A

σσ 则0?=A [11]证明找不到一种表象，在其中（1）三个泡利矩阵均为实矩阵或（2）二个是纯虚矩阵，

另一个为实矩阵。

[12]求证与三个泡利矩阵都对易的2×2矩阵，只能是常数矩阵。

第九章 力学量本征值的代数解法

[1]. 设非简谐振子的哈密顿量为：

2202

222

12?x dx d H μωμ+-= （β为常数）

取 22022

02

12?x dx d h H μωμ+-= ，2x H β='，试用定态微扰论求其能量及能量本征函

数。

[2]. 一维无限深势阱（a x <<0）中的粒子受到微扰：

??

??

?<<-<<=)

0()

1(2)

20(2)(/

a x a x

a

x a x x H λλ 的作用，求基态能量的一级修正。

[3]. 一维谐振子的哈密顿为

2

22202

12-Kx dx d H +=μ

假设它处在基态，若在加上一个弹性力作用H ’=1/2 bx 2，试用微扰论计算H’对能量的一级修正，并与严格解比较。

[4]. 设有自由粒子在长度为L 的一维区域中运动，波函数满足周期性边界条件 )2

()2(L L ψψ=-

波函数的形式可选作： kx L

k

cos 2)

0(=

ψ， kx L

sin 2

)

0(=-ψ 但 ),2,1,0(2 ==

n L

n

k π。设粒子还受到一个陷阱作用，2

20)('a x e V x H --=，a<

用简并理论计算能量一级修正。

[5]. 在一维无限深势阱 ??

?<>∞<<=)

0()

0(0)(x a x a x x V

中运动的粒子，受到微扰'H 的作用 讨论粒子在空间几率分布的改变。

?????

<<<<-=)2

()20()('a x a

b a x b x H [6]. 类氢离子中，电子与原子核的库仑作用为：

r

Ze r V 2

)(-= [Ze 为核电荷]

当核电荷增加e[Z Z+1]，互相作用能增加r

Ze H 2

'

-=，试用微扰论计算它对能量的一级

修正，并与严格解比较。

[7]. 一个粒子在二维无限深势阱

?

?

?∞<<=其它地方）与()

0(0),(a y x y x V 中运动，设加上微扰xy H λ=' ),0(a y x ≤≤求基态及第一激发态的能量修正

[8]. 设在H 0表象中，H

?的矩阵为： )1(0

)

0(3

)0(2)0(1)0(3

*

*)0(2

)0(1E E E E b a b E a E H <

????

?

?=

试用微扰论求能量的二级修正。

[9]. 设在H 0表象中

)1(),()

0(2)0(1为实数b a a E b b

a E H ????

??++=

用微扰论求能量修正量（到二级近似），严格求解与微扰论计算值比较。 [10].一体系在无微扰时有两条能级，其中一条时二重简并，在0H 表象中

????

? ?

?=)0(1)0(1)0(100

000

00E E E H )0(1)

0(2

E E > （1） 在计及微扰后哈密顿量表示为：

???

?

? ?

?=)0(2

*

*)0(1)0(10

0E b a b E a E H （2） （1） 用微扰论求H 本征值准到二级近似。 （2） 把Λ

H 严格对角化，求H 的精确本征值.

第十章：散射问题

[1]用玻恩近似法，求在下列势场中的散射微分截面：

（1） a r a

r V r V >

??-=0)(0

（2） 2

0)(ar e

V r V -= )0(>a

(3) r

e r V ar

-=β)( )0(>a

(4) ar

e

V r V -=0)( )0(>a

(5) 2

)(r a r V =

第十一章 量子跃迁

[1]. 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求：

（1）跃迁选择定则。

（2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。

[2]. 设有一带电q 的粒子，质量为μ，在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长a >>λ。 （1）求跃迁的选择定则。

（2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。

[3]. 设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为z 轴方向、电场沿z 轴方向可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时间变化规律是：

???

??><=-)

()

0()0(0)(1

0为常数τεετt e

t t

求时间充分长后，氢原子跃迁到2s ，或2p 态的几率。

[4] 计算氢原子的第一激发态的自发辐射系数。 [5]. 设有一个自旋是2/ 的粒子，相应的磁矩是s g =μ，粒子置于旋转磁场中，磁场

是：

t

B B x

ωcos 0

=

t

B B

y

ωsin 0

=

B B z

=（常数）

粒子与磁场的作用能是：

B s g B ?-=?-μ

又设粒子原先处于2/ 的态讨论情况和跃迁几率。 [6] 氢原子处于基态加上交变电场

)(0e

e t

i t i ωω-+=E E ，>>ω 电离能，用微扰论一

级近似，计算氢原子的每秒电离的几率。

[7]. 一维运动的体系从|m>态跃迁到|n>态所相应的振子强度定义为：

||||22

><=

m x n j

nm

nm

μω

μ为振子质量，求证：1

=∑n

nm

j

（∑n

指对一切能量本征态求和）。这称为Thomas —Reieh —Kuhn 求和规则。

曾量子力学题库(网用).

曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？

第1章 量子力学基础-习题与答案

一、是非题 1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。对否 解：不对 2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测不准关系判断该模型是否合理。 解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。 二、选择题 1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。正交性的数学表达式为 a ，归一性的 表达式为 b 。 () 0,() 1i i i i a d i j b ψψτψψ** =≠=?? 2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E ) (A) dx d (B) ?2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分 3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D ) (A) x ? 和 y ? (B) x ?? 和y ?? (C) ?x p 和x ? (D) ?x p 和y ? 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx (C) e -ikx (D) 2 e kx - (1) 哪些是 dx d 的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22 dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C ) (3) 哪些是22dx d 和dx d 的共同本征函数。------------------------------ (B, C ) 5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ） (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大 6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）

量子力学习题集及解答

量子力学习题集及解答

目录 第一章量子理论基础 (1) 第二章波函数和薛定谔方程 (5) 第三章力学量的算符表示 (28) 第四章表象理论 (48) 第五章近似方法 (60) 第六章碰撞理论 (94) 第七章自旋和角动量 (102) 第八章多体问题 (116) 第九章相对论波动方程 (128)

第一章 量子理论基础 1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000 A （可见光），1 A （x 射线）以及0.001 A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？ [解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =22 1 υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即 λ νυhc h eV m ===221 ) (1024.1106.11031063.64 19834 A e hc V λλλ?=?????==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏） A 12=λ时 421024.1?=V （伏） A 001.03=λ时 731024.1?=V （伏） 2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。 [解] 普朗克公式为 1 8/33-?=kT hv v e dv c hv d πνρ 单位体积辐射的总能量为 ? ?∞∞-==0 0/331 3T hv v e dv v c h dv U κπρ 令kT hv y = ，则 4 40333418T T e dy y c h k U y σπ=? ??? ??-=?∞ （★） 其中 ?∞-=033341 8y e dy y c h k πσ （★★） （★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中σ是比例常数，可求出如下： 因为 )1()1(1 121 +++=-=-------y y y y y y e e e e e e

周世勋 量子力学 卷一 第三版课后习题解答

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86' =? ??? ? ??-?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011 5=-?+--kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ

把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=?=????= ==--μμ 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1 以及 eV c e 621051.0?=μ 最后，对 E c hc e 2 2μλ= 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 1．3 氦原子的动能是kT E 2 3 = （k 为玻耳兹曼常数），求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解 根据 eV K k 3101-=?，

量子力学习题.(DOC)

量子力学习题 （三年级用） 山东师范大学物理与电子科学学院 二O O七年

第一部分 量子力学的诞生 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能 量可能值。

第二部分 波函数与Schr?dinger 方程 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的 结论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2

第三部分 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+=

量子力学导论习题答案(曾谨言)

第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。

量子力学习题集及答案

09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为

量子力学练习题

一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。 2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E= kT 2 3（k 为 玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能 量E n = ，相应的波函数=)(x n ψ() a x a x n a n <<=0sin 2πψ和 。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6.132 -=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() ) +-'+'+∑ ≠0 2 0m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+ ∑ ≠00 2 0m m n n m mn n E E H ψ ψ ， 其中微扰矩阵元 ' mn H =()() ?'τψψ d H n m 00?； 而 ' nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条件是 本征值， 。

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曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问 题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？

量子力学基础习题思考题

.量子力学基础习题思考题

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习题 22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。 解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式， 222240E c p m c =+ 可得 224222400011()K p E m c E m c m c c c = -=+-2 2012K K E m c E c =+ 2202K K h ch p E m c E λ= =+ 834 61923182619 310 6.6310(1010 1.610)29.110(310)1010 1.610 ----???=???+???????? 131.210m -=? （2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出： 341527619 h 6.63109.110m p 22 1.67101010 1.610h mE λ----?= ===??????? 22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为 kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。 解：（1）用非相对论公式： m meU h mE h 123 193134108.71025106.1101.921063.622p h ----?=???????====λ（2）用相对论公式： 4 20222c m c p +=E eU E E k ==-20c m m eU eU c m h mE h 122 20107.722p h -?=+= == ） （λ 22-3．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距nm 1032.72 -?=d ，中子的动能 eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角. 解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长： 34 112719h 6.6310 1.410p 22 1.6710 4.2 1.610 h m mE λ----?====??????

最新量子力学导论习题答案(曾谨言)(1)

第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时，

结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案

量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2

代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱

中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是

量子力学习题答案

量子力学习题答案

2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为

由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得

∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中

量子力学基础习题

22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。 解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式， 222240E c p m c =+ 可得 p = = = h p λ= = 834 -= 131.210m -=? （2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出： 3415h 9.110m λ--====? 22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。 解：（1）用非相对论公式： m meU h mE h 123 193134108.71025106.1101.921063.622p h ----?=???????====λ（2）用相对论公式： 420222c m c p +=E eU E E k ==-20c m m eU eU c m h mE h 12220107.722p h -?=+=== ） （λ 22-3．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距nm 1032.72 -?=d ，中子的动能 eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角. 解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长： 34 11h 1.410p m λ--====? 再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ?λ= 0,1,2k =…

11 11 1.410sin 0.095227.3210 k d λ?--?===?? ， 5.48?= 22-4．以速度m/s 1063 ?=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速， 为使电子波长 A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？ 解：34 10 h 110m λ--== ==? 可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。 22-5．设电子的位置不确定度为 A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为 keV 1，计算电子能量的不确定度。 解：由测不准关系： 34 2410 1.0510 5.2510220.110 h p x ---??===???? 由波长关系式：E c h =λ 可推出： E E c h ?=?λ 2 151.2410E E E J hc pc λ-??===?? 22-6．氢原子的吸收谱线 A 5.4340=λ的谱线宽度为 A 102 -，计算原子处在被激发态 上的平均寿命。 解：能量hc E h νλ == ，由于激发能级有一定的宽度ΔE ，造成谱线也有一定宽度Δλ，两 者之间的关系为：2 hc E λ λ?=? 由测不准关系，/2,E t ??≥ 平均寿命τ=Δt ，则 22 224t E hc c λλτλπλ=?===??? 102112108 (4340.510)510s 4 3.141010310 ----?==?????? 22-7．若红宝石发出中心波长m 103.67 -?=λ的短脉冲信号，时距为)s 10(ns 19 -，计 算该信号的波长宽度λ?。 解：光波列长度与原子发光寿命有如下关系： x c t ?=? 22 24x x p λλπλλ ?==≈??? 72 2 389 (6.310) 1.32310nm 31010 c t λλ---??===???? 22-8．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为h L ≥??θ，式中L ?为粒子角动量的不确定度，θ?为粒子角位置的不确定度。 证明：当粒子做圆周运动时，半径为r ，角动量为：L=rmv=rp 其不确定度P r L ?=?

量子力学习题答案

量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ?） ，故： 2e E P /(2)=μ 69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm --λ====?=?= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 102.07K 1K J 10381.12 3 2323123---?=????== kT E 于是有 一维谐振子处于22 /2 ()x x Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ= ==α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2.

2222 22 2222 2222 2222 2 *2x /2 x /2 2 22 x /2 x /2 2 2x /2 2x /22 2 2 2 x 2 x /2 2 2 2 4 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=-μ=--αμ =--α- -αμ = α = μ μ ? ? ? ? ? ? ＝（）＝＝2222 22 4x 22 2 4 x x 2 2 2 2 22 242 1()xd (e )21A (){xe e dx} 221A A ()242∞-α-∞∞∞-α-α-∞ -∞ α-α =α--- μαππααα--μμ α ?? 若α，则该态为谐振子的基态，T 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 222d 1 H x 2dx 2 =-+μω μ 它的基态能量01 E 2 = ω选择为参量，则: 0dE 1d 2=ω；22 2dH d 2d 2 ()T d dx 2dx =-=-=μμ dH 2 0T d = 由F-H 定理知：0dE dH 21 00T d d 2 ===ω 可得： 1 T 4 =ω

量子力学习题答案

量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ），故： 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有 一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2.

2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? ＝（＝ ＝ 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择 为参量，则: 0dE 1d 2 = ω ； 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知： 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得： 1T 4 = ω

量子力学教程第二版答案及补充练习

第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ

量子力学习题

河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释 各项的几率意义。 二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。求其定态能级和波函数。 三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。 四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2 )0(1。在不含时微扰H '?作用下，总哈密顿算符H ?在)0(?H 表象下为????? ? ?=**2110 0E E E H βαβα。求 受微扰后的能量至一级。 五（20分）对电子，求在x S ?表象下的x S ?、y S ?、z S ?的矩阵表示。 A —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分）