点集拓扑复习资料

《点集拓扑》复习题 一、概念叙述

1、拓扑空间

2、邻域、邻域系

3、集合A 的凝聚点

4、闭包

5、基 子基

6、子空间

7、（有限）积空间

8、隔离子集

9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间 14、2A 空间 15、可分空间 16、Lindeloff 空间 17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间 二、判断题

1、有限集不可能有聚点 （ ）

2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （ ）

3、如果A B ?≠?，则A B A B ?=? （ ）

4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。 （ ） ５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （ ） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ）

７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ） ８、度量空间必是2A 空间 （ ） ９、在l R 中，(],a b 是开集 （ ）

１０、映射:f X Y →是连续映射的?若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于

x X ∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （ ）

１１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ? （ ） １２、2A 空间必为可分空间 （ ） １３、正则且正规空间必为0T 空间 （ ） １４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集 （ ）

１５、设Ｘ是一个拓扑空间，A X ?，则点x 是集合Ａ的一个凝聚点

?在{}A x -中有一个序列收敛于x （ ）

１６、度量空间也是拓扑空间 （ ）

１７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间 （ ）

１８、拓扑空间X 是一个连通空间当且仅当X 中不存在既开又闭的非空真子集. ( )

19、若拓扑空间中的子集A 是连通集，则它的闭包A 也是一个连通集。

20、设A 、B 是拓扑空间X 中的两个连通子集，则A B ?也是X 的一个连通子集 （ ）

21、如果A 、B 是拓扑空间X 中两个不交的开子集，则A 、B 必是X 中隔离子集 （ ）

22、拓扑空间的可分性是一个可遗传性 （ ） 23、正规空间必是Hausdorff 空间 （ ）

24、在一个紧致的2T 空间中，一个集合是紧致子集?它是一个闭集

（ ）

25、紧空间必是Lindel ǒf 空间 （ ） 26、度量空间中紧致集必是有界闭集 （ ） 27、正则空间必是Hausdorff 空间 （ ）

28、设12X X X =?是空间1X 、2X 的积空间，A 1X ?,2B X ?分别是1X 、2X 中闭集 （ ）

29、设A 、B 是拓扑空间X 中两个子集，并且A B ?≠?，则有

()()()d A B d A d B ?=? （ ）

30、若拓扑空间X 是连通空间，则X 必是局部连通空间 （ ） 三、填空

1、设:f X Y →是同胚映射，则f 必是一一映射，并且 和 都是

连续的。

2、设Y 是拓扑空间(),X ?的子集，Y 的拓扑Y ?称为 ；拓扑空间(),Y Y ?称为(),X ?的 。

3、连通空间X 中既开又闭的子集只能是 和 。

4、设X 是拓扑空间，若X 的每一 覆盖都有一个 ， 则X 是Lindel ǒf 空间。

5、正规的 空间或紧致的 空间是4T 空间。

6、X 是拓扑空间。若X 的每一个 开覆盖都有 ，则X 是可数紧致空间。

7、如果A 是离散空间X 中一个非空连通子集，则A 必是 。 8、如果X 是一个可数集，则X 上的可数补拓扑空间必定是 。

9、设X 是离散度量空间，X 上度量为()1,,

,0,,x y x y x y ρ≠?=?=?

则X 中任一点

x 的球形邻域(),1B x =

。

10、在拓扑空间X 中，如果子集A 是开集，B 是闭集，则A B -是

B A -是 。

11、设(),X ?是实数集R 上的可数补空间，A 是X 中一个可数集，B 是

X 中一个不可数集，则()d A = ，()d B = 。

12、如果集合X 上的任一拓扑?，拓扑空间(,)X ?都是紧致空间，则

X 必是 。 13、在平面空间2R 中，度量ρ定义为任意两点

()()()12121122,,,,,,a x x b y y a b x y x y ρ===-+-则以原点O 为中

心，0ε>为半径的球形邻域()0,B ε的图形是 。

14、积空间12X X X =?的子基元素的一般形式是 或 。 15、设[)[

)0,12,3Y =?是实数空间R 的一个子空间，

则Y 的子集[)0,1是Y 的 。

16、在实数空间R 中，取A 为整数集，B 为有理数集，则A = ， B = 。

17、设X ={},,a b c ，X 上拓扑{}{},,,X a b ?=?，取子集{}A b =，则

()d A = 。

18、如果X 是平庸空间，则X 必为紧致空间，它的每一个开覆盖A ，必有有限子覆盖1A = 。 四、单选题

1、设X ={},,a b c ，它的一个拓扑是（ ）

()A {}{}{}{},,,,,,a a b a b c ? ()B {}{}{}{},,,,,b c a b c ? ()C {}{}{}{},,,,,,,a b a c a b c ? ()D {}{}{}{}{},,,,,a b c a b c ?

2、设X 是拓扑空间，F 为所有闭集构成的族，则有（ ）．

()A 若i A ∈F ()1,2,i = 则有12n A A A ????∈F ()B 若i A ∈F ()1,2,i = 则有12n A A A ??

??

∈F

()C ,X ??F ()D 若A ∈F 则X A -∈F

3、设X 为拓扑空间，则对,A B X ??，必有（ ）． ()A X ?= ()B A A ? ()C A B A B ?=? ()D A 是闭集

4、设X 为拓扑空间，x X ∈，则有 （ ）．

()A x 的任意邻域都是X 的开集 ()B x 的任意邻域都是X 的闭集

()C 包含x 的开集都是x 的邻域

()D 若12,U U 是x 的邻域，但12U U ?不是x 的邻域

5、已知()0,1是实数空间的一个开子空间，那么下列集合中是空间()0,1中的开集是 （ ）

． ()A [)0,b ()B (],a b ()C [],a b ()D

?

其中(),0,1a b ∈．

6、设{},,X a b c =，?是平庸拓扑，(),X ?中两子集是隔离的是（ ）．

()A {}a 与{}b ()B {},a b 与{},b c ()C {}a 与{},b c ()D

?与{}a

7、下面命题中正确的是（ ）．

()A 平庸空间是0T 空间

()B 在2T 空间中，存在收敛于两个不同的极限点的序列

()C 1T 空间未必是0T 空间 ()D 1T 空间中每一单点集都是闭集

8、若X 是Hausdorff 空间，则X 必是（ ）．

()A 正则空间 ()B 正规空间 ()C 3T 空间 ()D 1T 空间

9、下面不连通的拓扑空间是（ ）．

()A 实数空间 ()B 平庸空间

()C 包含多于两个点的离散空间 ()D 拓扑学家正弦曲线2

1,sin

01S x R x x ?

???=∈<≤?? ??

???

10、下面正确的命题是（ ）．

()A 设:f X Y →是连续映射，若 X 满足第二可数性公理（即X 是2A 空间），则 Y 也是2A 空间。

()B 2A 空间必存在一个子空间不满足第二可数性公理。 ()C 若拓扑空间i X ()1i n ≤≤都是2A 空间，则积空间12n X X X ??

?也

是2A 空间。

()D 2A 空间未必满足第一可数性公理。

11、拓扑空间X 中，,A B 是隔离子集，则在子空间A B ?中子集A 是（ ）．

()A 开集，但不是闭集 ()B 闭集，但不是开集

()C 既是开集，又是闭集 ()D 既不是开集，又不是闭集 12、在实数空间中，子集(]0,1A =，[)0,1B =，()0.1C =，[]0,1D =，其中可能有同胚关系的是（ ）．

()A A 与B ()B C 与D ()C A 与C ()D B 与D

13、拓扑空间中“每一个序列至多收敛于一点”是“这个空间为Hausdorff 空间”的（ ）

。 ()A 充分条件 ()B 必要条件

()C 充分必要条件 ()D 既不是充分条件，也不必要条件

14、设[)[)0,12,3Y =?是实数空间R 的一个子空间，则Y 中的子集[)0,1是Y 的（ ）．

()A 开集，但不是闭集 ()B 闭集，但不是开集

()C 既是开集，又是闭集 ()D 既不是开集，又不是闭集

15、设(),X ?集合R 上的下限拓扑空间，则下述四个性质中，不正确的是（ ）

()A X 是1A 空间 ()B X 是2A 空间

()C X 是可分空间 ()D X 是Lindeloff 空间

16、拓扑空间X 中“只有单点集”是“X 为离散空间”的（ ）

()A 充分条件 ()B 必要条件

()C 充分必要条件 ()D 既不是充分条件，也不必要条件

五、证明题

1、设X 是一个集合，令{}X ?=?，，则?是X 的一个拓扑．

2、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间是不连通的．

3、包含不可数个点的离散空间不满足第二可数性公理．

4、拓扑空间X 的子集U 是开集的充要条件是U 是它的每一点的邻域．

5、若X 是1T 空间，则X 中的每个单点集都是闭集。 6实数空间R 不是一个紧致空间。

7、包含不少于两个点的平庸空间不是0T 空间。

8、设()X ρ，为度量空间，如果X 为有限集，证明：()X ρ，为离散空间。

9、设()X ?，为拓扑空间，证明：如果X 的每一个子集A 都满足

()=?d A ，则()X ?，是离散空间。

10、设X 为拓扑空间，:f X R → （其中R 为实数空间）是连续映射，证明X 中的子集(){}0A x X f x =∈<为开集。 11、证明：正则的0T 空间必是3T 空间。

12、证明：实数集R 上的可数补拓扑空间必是一个Lindeloff 空间。

13、设(),X ρ是度量空间，证明：如果X 有一个基只含有有限个元素，则X 必为有限集，且(),X ρ是离散空间。

14、证明：可分空间的任一个开子空间都是可分空间。

点集拓扑学

点集拓扑学 注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。 又比如：

点集拓扑学练习题第二章答案

练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分) 1.集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ ) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 4.T 1、T 2是X 的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X ，T 1）到（X ，T 2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( × ) 9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ √ ） 10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ √ ） 11.设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ × ） 12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ √ ） 二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中 Z n ={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为 321,,Z Z Z 包含3的所有闭集为 ,...,,,/ 6/5/41Z Z Z Z 包含3的所有邻域为 3321}1{,,,Z Z Z Z ? 设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} ，A 的闭包为{1,2,3,4,5}

2、设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=? 3、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是____ R ____. 4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ; 答案： ({})U A x φ?-≠ 5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ; 答案：{2} 三、单项选择题（每题2分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 3、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ） ①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②

点集拓扑学教学大纲

《点集拓扑学》教学大纲 一、课程的教学目的和任务 本课程为数学系师范成人专升本选修课程，课程内容为点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。通过本课程的学习要求学生在掌握基本内容和基本方法的前提下，能以一般的观点总结和提高在一、二年级所学过的课程中有关的概念、理论和方法，进一步培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，同时，为进一步学习拓扑学、几何学、泛函和微分方程等课程提供所需用的最基础的知识。本课程总课时为72学时，习题课及机动课时约占总课时的四分之一。由于点集拓扑学是一门理论性强且较为抽象的课程，同时作为几何学的一个分支它的许多概念又有直观的几何背景，因此在教学中特别要注意概念的引入、具体例子和反例的选配，以便更好地阐明各个基本概念的含义从而使学生能准确把握各个基本概念，同时搞清这些例子和反例也是加深理解抽象概念的重要途径之一。带*号的内容可根据学生实际情况自由舍取。 二、课程内容及学时分配建议 第一章集合论的基本知识*12学时这部分内容是研究后续内容的一个知识平台，应该熟练掌握。如果学生对集合论内容熟悉且知识够用可采用复习方式，否则应采用讲授方式。 1.集合的基本概念及运算（包括集族的概念和运算） 2.关系、等价关系和映射 3.可数集与不可数集、基数 4.选择公理* 第二章拓扑空间和连续映射20学时这一部分重点在于建立拓扑结构，理解拓扑空间的概念，掌握拓扑空间的基本性质，为进一步学习拓扑性质打好基础。在教学中应多给一些具体的例子从具体到抽象并通过度量空间的模形来突破抽象空间建立的难点。 1. 度量空间 （1）度量空间的定义和例子 （2）连续函数的ε-δ定义与开集的刻划

点集拓扑学考试题目及答案

下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。 二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例） 1、拓扑空间中有限集没有聚点。 答：这个说法是错误的。 反例：{}c b a X ,,= ，规定拓扑 {}{}a X ,,φτ=，则当{}a A =时，b 和c 都是A 的聚点。因为b 和c 的领域只有X 一个，它包含a ，a 不是A 的聚点，因为{}φ=a A \。 2、欧式直线1E 是紧致空间。 答：这个说法是错误的。 反例：对1E 而言，有开覆盖(){}+∈-=Z n n n |,μ，而对于该开覆盖没有有限子覆盖。 3、如果乘积空间Y X ?道路连通，则X 和Y 都是道路

连通空间。 答：这个说法是正确的。 证明：对于投射有()X Y X P =?1，()Y Y X P =?2，由投射是连续的，又知Y X ?是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X 和Y 都是道路连通空间。 4、单位闭区间I 与1S 不同胚。 答：这个说法是正确的。 下面用反证法证明，反设I 与1S 同胚，则 ? ???????? ??→????????????21\21\2:21\2|1f S f 也是同胚映射，??????21\I 不连通，则 ? ?????21\1S 不连通，故矛盾，所以单位闭区间I 与1S 不同胚。 5、紧致性具有可遗传性质。 答：这个说法是错误的。 反例 ：[]1,0紧致但()1,0不紧致。 三、证明题（每题10分，共50分）

1、规定[)111,0\:E E f →为()???≥-<=110,x x x x x f ，证明f 是连续映射，但不是同胚映射。 证明：由于f 限制在()0,∞-与()+∞,1上连续，由粘接引 理，f 连续。但1-f 不连续，如()0,∞-是[)1,0\1E 的闭集， 但()()()()()()()0,0,0,11∞-=∞-=∞---f f 不是1E 的闭集，所以f 不是同胚映射。 2、证明：Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。 证明：设X 是Hausdorff 空间，Y 是X 的任一子空间，需证Y 是Hausdorff 空间。Y y x ∈?,，由X 是Hausdorff 空间，所以存在y x ,在X 的开邻域U 、V 使得φ=?V U ，Y U ?是x 在Y 中开邻域，Y V ?是y 在Y 中开邻域，()()φ=??=???Y V U Y V Y U ，故Y 是Hausdorff 空间。 3、证明：从紧致空间到Hausdorff 空间的连续双射是同胚。

完整word版点集拓扑讲义学习笔记

度量空间与连续映射2章第 它们的定义域和值域从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们将连续首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，然函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．随给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．后将两者再度抽象，后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等． 度量空间与连续映射§2.1 本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．应细细体会证明的方法．注意，在本节的证明中, R→Rf：首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数，使＞00，存在实数δ∈R称为在点处是连续的，如果对于任意实数ε＞|x-得对于任何x∈R，当|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及时|<δ,有两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函而与实数的数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考. 察出发，抽象出度量和度量空间的概念 ，z∈X，，xy是一个集合，定义2.1.1 设Xρ：X×X→R．如果对于任何有页40 共** 页1 第 （1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y； （2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)； （3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) 则称ρ是集合X的一个度量． 如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y ∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离． 着重理解：度量的本质是什么？ 例2.1.1 实数空间R． 对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令 ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R 的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．） 维欧氏空间．例2.1.2 n对于实数集合R的n重笛卡儿积 ＝R×R×…×R

点集拓扑学(1)

点集拓扑学~非同凡响畅想系列 注明：（拓扑学的语言表达准确性很重要），这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后研究的那些不变性和不变量，比如连通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这些都和弹性变形下的拓扑不变性有关，这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸关系，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 第一节：关系与映射 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识和总结，在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来作为一个群体来研究，这个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体，或一个抽象的概念，或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不完全相同，也可能是没有包涵关系的子集，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母代表，其中元素用小写代表。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,,Λc b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，或者用数学表达方式来抽象的替代构成集合的要求，为了便于数学分析与研究我们一般用这种数学表达方式来抽象的描述集合，如下： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者

点集拓扑学拓扑知识点

(点集拓扑学拓扑)知识点

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第4章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉 及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2）， 尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两 个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述 不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对 于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形． 定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ?=???)()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的， 而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的． 定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l ）X 是一个不连通空间； （2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪ B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有 B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()( 因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求． （2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集， 则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要

《点集拓扑学》第5章 §5.2 可分空间

§5.2可分空间 本节重点: 掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系； 掌握稠密子集的定义及性质. 定义5.2.l 设X是一个拓扑空间，D X．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集. 以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义． 定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．又设f,g：X→Y都是连续映射．如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等) 证明设．如果f≠g，则存在x∈X使得 f(x)≠g（x）．令：ε=|f(x)-g(x)|， 则ε＞0．令 ＝（f(x)-ε/2,f(x)+ε/2) ＝（g(x)-ε/2,g(x)+ε/2) 则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域，从而U ＝也是x的一个邻域．由于子集D是稠密的，所以U∩D≠．对于任意一个y∈U∩D，我们有， f（y）=g（y）∈，矛盾． 我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间．但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大．例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间．相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集．

定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间． 定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间． 证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个 非空元素B中任意取定一个点∈B．令 D={|B∈B，B≠} 这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集． 包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间． 可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的．例子见后面的例5.2.1．然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到： 推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间． 特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间． 例5.2.1 设(X，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取∞=X）．令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}．容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间． 我们依次给出以下三个论断： （1）（X*，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X*，T*）中的一个稠密子集． （2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理． 事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是（X*，T*）的一个基，而B 与B*有相同的基数则是显然的． （3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间．因为T*T.

学习拓扑学的心得体会

学习《拓扑学》的心得体会 摘要：拓扑学是一门综合性比较强的数学学科，是我们大学生学习必不可少的学科。我们之前学习了的物理学、高等代数、数学分析、初等几何等多门学科都有关联，是我们之前学习的延伸，接触了比之前更高深的问题，同时加深了与其他学科的联系。在学习集合相关概念时，引发了我对于现实生活中的一些思考，进一步感受到了数学的严谨性。在学习拓扑中的基，由此想到了之前在初等数论中学习的鸽巢原理。在学习连续函数的不同定义时，与之前学习的数学分析中的相关类容作出了比较，并进一步理解了函数的连续性。 关键词：数学学科；延伸；联系；严谨性 一、什么是拓扑学？ 我们所谓的拓扑学，是在数学学科当中比较抽象的一门学科。它的英文名是Topology，直译是地质学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关的学科。我国早期有人曾经把它翻译成为“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名无论对于老师还是学生来说都不大好理解，于是在1956年最终用统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。 拓扑学是数学当中一个重要的、基础性的学科分支。它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。然而，这种几何学又和通常的平面几何、立体几何又有所不同。通常的平面几何或立体几何所研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质，而拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果它们能够完全重合，那么这两个图形叫做全等图形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数，这些就是拓扑学思考问题的出发点。 而在我们大学中主要主要学习两部分，一部分是一般拓扑学，另一部分是代数拓扑学。一般拓扑学分为了八章，分别是：集合论与逻辑、拓扑空间与连续函数、连通性与紧致性、可数性公理与分离公理、Tychonoff定理、度量化定理与仿紧致性、完备度量空间与函数空间、Baire空间和维数论。代数拓扑学分为了六章，分别是：基本群、平面分割定理、Seifert-van Kampen 定理、曲面分类、复叠空间分类、在群论中的应用。 二、学习拓扑学的意义 拓扑学本身是一门饶有兴味的学科，很多本科大学把它作为了大学生学习的必修课程，这样有利于培养学生的抽象思维能力，提高解决问题和分析问题的能力，为了让学生在学习中进一步掌握

点集拓扑学练习题及答案

点集拓扑学练习题 一、单项选择题(每题1分) 1、已知X {a,b,c,d,e},下列集族中，( )是X上的拓扑? ① T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c,e}} ② T {X, ,{ a,b, c},{ a,b,d},{ a,b, c,e}} ③ T {X, ,{a},{a,b}} ④ T {X, ,{a},{ b},{ c},{ d},{ e}} 答案：③ 2、设X {a,b,c}，下列集族中,( )是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a,b},{ c}} ②T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 3 、 已知X {a,b,c,d},下列集族中，' ( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a, b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b,c},{ a,b, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{b}} 答案：① 4、设X {a, b, c}，下列集族中,（）是X上的拓扑. ①T {X, ,{b},{ c},{ a,b}} ②T {X, ,{a},{ b},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 5、已 知 汨X {a,b,c,d},下列集 :族中， （( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a,b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b},{ a,c, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{ c},{ a,c}} 答案：④ 6、设X {a, b, c}，下列集族 中 ,( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ b},{ b,c}} ②T {X, ,{a,b},{ b, c}} ③T {X, ,{a},{a,c}} ④T {X, ,{a},{b},{c}} 答案：③ 7、已知X {a,b,c,d}，拓扑T {X, ,{a}},贝U{b}=() ①?②X ③{b} ④{b, c, d} 答案：④

《点集拓扑学》复习题

《点集拓扑》复习题 一、概念叙述 1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合A 的凝聚点 4、闭包 5、基 子基 6、子空间 7、（有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间 14、2A 空间 15、可分空间 16、Lindeloff 空间 17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间 二、判断题 1、有限集不可能有聚点 （ ） 2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （ ） 3、如果A B ?≠?，则A B A B ?=? （ ） 4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。 （ ） ５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （ ） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ） ７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ） ８、度量空间必是2A 空间 （ ） ９、在l R 中，(],a b 是开集 （ ） １０、映射:f X Y →是连续映射的?若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于 x X ∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （ ） １１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ? （ ） １２、2A 空间必为可分空间 （ ） １３、正则且正规空间必为0T 空间 （ ） １４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集 （ ） １５、设Ｘ是一个拓扑空间，A X ?，则点x 是集合Ａ的一个凝聚点 ?在{}A x -中有一个序列收敛于x （ ） １６、度量空间也是拓扑空间 （ ） １７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间 （ ） １８、拓扑空间X 是一个连通空间当且仅当X 中不存在既开又闭的非空真子集. ( ) 19、若拓扑空间中的子集A 是连通集，则它的闭包A 也是一个连通集。

《点集拓扑学》教学大纲

《点集拓扑学》教学大纲 一、课程名称： 《点集拓扑学》 二、课程性质： 数学与应用数学专业限选课 先修课程：数学分析、高等代数、实变函数等课程 三、课程的地位及教学目的 “点集拓扑学”是数学与应用数学专业的一门重要的专业提高课程，是数学学科《新三基》之一，“点集拓扑学”不仅本身在不断发展而且其理论和方法渗透到数学学科的其他分支中，对数学学科的发展起着基础性的作用。通过本门课的教学，使学生初步掌握“点集拓扑学”的基本内容、思想和方法，为进一步学习其他课程及将来从事教学、科研工作打下良好的基础。 四、课程教学原则与教学方法 本课程以精讲、自学和基本了解作为教学原则。精讲是指对“点集拓扑学”的基本理论、基本方法教师必须作深入而充分的讲授和辅导，学生必须完成足够的练习并达到明晰的理解与巩固地掌握；自学是指对“点集拓扑学”的易于理解的内容学生在教师的指导下自学，达到使学生掌握相应的内容的同时培养学生的自学能力的目的；基本了解是指对“点集拓扑学”的一些内容经过教师的明晰的介绍学生应当较好的了解，并明了其应用，但不要求熟练掌握其逻辑论证。 采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习积极性，达到教学目的。 五、总学时 68课时（含复习考试） 六、课程教学内容要点及建议学时分配 第一篇集合论初步（6课时）

一、教学目的 在本篇使学生掌握“关系”的概念及其基本性质，尤其掌握几个特殊“关系”。其次掌握“映射”与“关系”之间的联系。另了解“选择公理”有关的初步知识。要点如下： 1．集合的基本概念(自学) 2．集合的基本运算(自学) 3*．关系(2学时) 4*．等价关系(2学时) 5*．映射(2学时) 6*．集族及其运算(自学) 7．选择公理(时选学2课) 作业要求：完成4~6道基础性练习题，1~2提高性练习题。 第二篇拓扑空间与连续映射（精讲、22课时） 一、教学目的 本篇是点集拓扑学的基础理论部分，也是点集拓扑学的核心部分。使学生熟练掌握本章的基本理论、方法，对本章的数学思想要有深刻理解。要点如下：1*．度量空间与连续映射(2学时) 2*．拓扑空间与连续映射(4学时) 3*．邻域与邻域系(2学时) 4*．导集、闭集、闭包(4学时) 5*．内部、边界(2学时) 6*．基与子基(4学时)

《点集拓扑学》期末复习

期末复习 学了一个学期的点集拓扑，大家对它应当有了更多的了解，更深刻的认识．大家掩卷回忆一下，点集拓扑学的主要内容有哪些？沿着什么思路研究？研究手法是什么？ 下面把这几个方面的内容理一下，仅供参考． 一、点集拓扑学的主要内容： 1．一般拓扑空间： （1）任何点集只要定义了拓扑，就成了拓扑空间．任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、闭包．任何点集均可能有凝聚点，任何点均有邻域．指定了顺序的元素就成了序列．（这些名词的定义是什么？相互关系是什么？如何判定？） （2）常见的拓扑空间有：度量空间、平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间等．任何集合均可通过指定开集而构成上述空间．因此一个集合与不同的拓扑（开集族）配对，可以构成不同的拓扑空间．（实数集合可能成为上述空间吗？）（注意：实数集合与实数空间不同．） （3）一般拓扑空间均可以有子空间，任意有限个拓扑空间均可以构成乘积空间．任一拓扑空间中的一个等价关系均可以造出商空间．（这些空间的拓扑是怎样的？或基是怎样的？） 2．有个性的拓扑空间：与连通性有关的空间、各可数性公理空间、各分离性公理空间、与紧致性有关的空间、完备度量空间． （1）并不是任何空间都可以成为上述空间的．只有符合上述空间定义的空间才可以成为上述空间．（各类空间之间没有必然的联系） （2）R及是上述空间吗？ （3）若有两个空间，之间通过连续映射联系起来，则原象空间的哪些性质可以传递到象空间？ （4）上述空间的哪些性质可以遗传给子空间？（或闭遗传？） （5）上述空间的哪些性质可以是有限可积的？ 3．连通性： （1）§4.1的所有定义,定理均要掌握.以应对判断一个空间的连通性. (2)两种分支的性质.

《点集拓扑学》第7章§7.1紧致空间

第7章　紧致性 §7.1　紧致空间 本节重点： 掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．（这些方法哪些是充要条件）； 掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的． 在§5.3中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即Lindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的Heine－Borel定理断言：实数空间R的任何一个子集为有界闭集的充分必要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3中我们将要推广这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中． 定义7.1.1　设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间． 明显地，每一个紧致空间都是Lindeloff空间．但反之不然，例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff空间，但它不是一个紧致空间． 例7.1.1　实数空间R不是一个紧致空间．这是因为如果我们设 A＝{（－n，n）R|b∈Z+},则A的任何一个有限子族 { },由于它的并为 (-max{},max{}) 所以不是R的一个子覆盖．因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖． 定义7.1.2　设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集,如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集． 根据定义，拓扑空间X中的一个子集Y是X的紧致子集意味着每一个由子空间Y中的开集构成的Y的开覆盖有一个有限子覆盖，这并不明显地意味着由X中的开集构成的每一个Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要的． 定理7.1.1　设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集．则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．（此定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）

点集拓扑讲义期末复习题

一、证明下列是否为拓扑 1、Tf={U包含于X|X-U有限}∪{空集} 满足①全集、空集包含于Tf ②任意A、B∈Tf 若A、B中有一个为空集，A∩B=空集∈T。若不是，（A∩B）′=A′∪ B′，A∪B∈T ③设T1∈T，令T2=T1-{空集}。显然有∪A∈T1(A)=∪A∈T2(A).如果T2=空集，则∪A ∈T1(A)=∪A∈T2(A)=空集∈T。设T2≠空集。任取A0∈T2.这时（∪A∈T1(A)）′=（∪A∈T2(A)）′=∪A∈T2(A′)∈A0′是X的一个有限子集，所以∪A∈T1(A) ∈T。所以为拓扑。 2、Tc={U包含于X|X-U可数}∪{空集} 3、T∞={U包含于X|X-U无限}∪{空集}∪{X} 二、计算实值标准拓扑R子空间Y=（0，1]，子集（0.1/2）=A。求A在Y、R中的闭包、内 部。 Y中：闭包（0,1/2].内部（0，1/2） R中：闭包[0,1/2].内部（0，1/2） 三、A包含于Y，Y包含于X，为闭子空间。若A包含于Y则A为X中闭集。 Y包含于X闭，所以存在X中闭集B使得A=Y∩B（子空间闭集定义），所以Y包含于X 闭，所以A为X中闭集。 四、设A、B、Aa包含于X，证明：1、A包含于B=A的闭包包含于B的闭包。2、A∪B= A∪B。 3、∪Aa包含∪Aa。 1、 五、X、Y有子集A包含于X，B包含于Y，则A*B=A*B

六、R:K={1/n|n∈R+}求在T1、T2、T3、T4、T5中的闭包。 f（A）。4、任意B包含于Y，f-1（B）包含f-1（B）。5、任意B包含于Y，f-1（B°） 包含于（f-1（B））°证明1~5等价。 八、连续的满的闭映射为商映射。

最新点集拓扑学期末考试练习题(含答案)

点集拓扑学期末考试 一、单项选择题（每题1分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T ③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③ 7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）

点集拓扑讲义教案设计

点集拓扑学教案 为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设《点集拓扑》课程。 按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版, 北京: 高等教育出版社, 2003)第一至七章编写的教案。 本科生授课 64学时，教学内容与进度安排如下：

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第一章 朴素集合论 点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology), 它的起源与出发点都是 集合论. 作为基本的点集拓扑学知识, 所需的只是一些朴素集合论的预备知识. 本章介绍本书中 要用到的一些集合论内容, 主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等. 作为一教材, 讲义对各部分内容均有较系统的论述 , 作为授课, 我们只强调一些基本内容, 而对 已有过了解的知识不提或少提. 记号: Z, Z +, R, Q 分别表示整数集, 正整数集, 实数集和有理数集. 教学重点：集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：选择公理 一. 集合的运算 幂集 P )(X , 交∩ 、并∪、差－(补, 余/ ,A A c ). 运算律: De Morgan 律: (1) C)-(A B)-(A C)(B -A ?=?. " (2) C)-(A B)-(A C) (B -A ?=?A-(B ∩ C)=(A-B)∪(A-C) 利用集合的包含关系证明(1). 类似可定义任意有限个集的交或并, 如记 n i n i i i n n n A A A A A A A A ≤=-==???=???11121)...(...A i . 规定 0 个集之并是φ, 不用 0 个集之交. 二. 关系 R 是集合X 的一个关系, 即R y x X X R ∈??),(,记为 xRy , 称 x 与 y 是 R 相关的. R 称为自反的, 若X x ∈?, xRx; R 称为对称的, 若 xRy, 则 yRx; ： R 称为传递的, 若 xRy, yRz, 则 xRz. 等价关系: 自反、对称、传递的关系. 如, Δ(X)={(x, x )|x ∈X}, 恒同关系, 它是等价关系; y} x R,y x,|y) {(x,<∈，小于关系, 它 是传递 的, 但不是对称的、不是自反的. 设 R 是 X 上等价关系, X x ∈?, x 的 R 等价类或等价类R [x ]或[x]为 xRy}| X {y ∈, R [x ] 的元称为R [x ] 的代表元; 商集 X} x | {[x]R X/R ∈=.

(点集拓扑学拓扑)知识点

第4章连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用?这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间. § 4. 1连通空间 本节重点：掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否？ 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子?在实数空间R中的两个区间（0, I）和］1, 2）, 尽管它们互不相交，但它们的并（0, 1）U :1, 2） = （0, 2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0, 1）和（1, 2）,它们的并（0, 1）U （1, 2）是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0, I）有一个凝聚点1在］1, 2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中. 我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形. 定义4. 1. 1设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果 （A - B）（B - A）二?一 则称子集A和B是隔离的. 明显地，定义中的条件等价于 A r B =、和B r A二.一同时成立，也就是说，A 与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点. 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0, 1）和（1, 2）是隔离的， 而子集（0, I ）和［1 , 2）不是隔离的. 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的. 定义4. 1. 2设X是一个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A U B,则称X 是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间. 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间. 定理4. 1. 1设X是一个拓扑空间.则下列条件等价： （1）X是一个不连通空间； （2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A A B= ?一和A U B = X成立； （3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A A B= ?一和A U B = X成立； （4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集. 证明（I）蕴涵（2）:设（1）成立.令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得 A U B = X，显然A A B= ?_ ,并且这时我们有 B = B 一X = B「（A 一B）=（B 一A）一（B 一B）= B 因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集.这证明了集合A和B 满足条件（2）中的要求. （2）蕴涵（3）.如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于