几何体中的截面问题

F

E 1Q

1

几何体中的的截面问题

1．定义及相关要素

用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线．此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点． 2．作多面体的截面方法(交线法)：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面．

题型一、截面的形状

1．P 、Q 、R 三点分别在直四棱柱AC 1的棱BB 1、CC 1和DD 1上，试画出过P 、Q 、R 三点的截面．

1解答：(1)连接QP 、QR 并延长，分别交CB 、CD (2)连接EF 交AB 于Ｔ，交AD 于S ．

(3)连接RS 、TP 。则多边形PQRST 即为所求截面。

2．已知P 、Q 、R 分别是四棱柱ABCD ―A 1B 1C 1D 1的棱CD 、DD 1和AA 1上的点，且QR

与AD 不平行，求作过这三点的截面．

2解答： (1)连接QP 并延长交DA 延长线于点I 。 (2)在平面ABCD 内连接PI 交AB 于点M 。 (3)连接QP 、RM 。则四边形PQRM 即为所求。 注：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。

②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。 ③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。

3．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是

A

C

D

3答案：D

解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D 。

题型二、截面面积、长度等计算

4．过正方体1111D C B A ABCD -的对角线1BD 的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则

m in

m ax

S S 的值为 ( ) A ．

23 B ．

2

6 C ．

3

3

2 D ．

3

6

2 4答案：C

解析：设M 、N 分别为AA 1、CC 1的中点.易证截面BMD 1N

1D

1D 5. 如图，已知球O 是棱长为1 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为 ． 5答案：

解析：平面ACD 1是边长为

的正三角形，且球与以点D 为公共

点的三个面的切点恰为三角形ACD 1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD 1内切圆的半径是

×tan30°=

，则所求的截面圆的面积是π×

×

=

．

6．已知球的半径为2

，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）

A ．1

B

C

D ．2

6答案：C

解析：1O 与2O 的公共弦为AB ，球心为Ｏ，AB 中点为C ， 则四边形C OO O 21为矩形，12||||,O O OC =||2,OA = 所以||1,||AC AC OC OC =⊥∴==

7．已知正四棱锥P —ABCD 的棱长都等于a ,侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成二面角大小的正切值为 ． 7答案：

1

2

Ｏ２

Ｏ

Ｃ

Ｏ2

解析：过A 在平面ABCD 内作直线l BD //，连接AC,BD 交于O ，连接PO ，MN ．记PO 、MN 交于O‘．因为PB 、PD 的中点分别为M 、N ，所以MN //BD ，因为l BD //，所以l MN //，A l ∈，所以l ?平面AMN ， l =平面AMN∩平面ABCD ．易知O AO '∠即为面AMN 与底面ABCD 所成二面角的平面角．

1tan 242

AO PO a O O O AO ''==

?=?= 8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S 。则下列命题正确的是_____ ①当1

02

CQ <<时，S 为四边形 ②当1

2CQ =

时，S 为等腰梯形 ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足111

3C R =

④当3

14

CQ <<时，S 为六边形

⑤当1CQ =时，S

8答案： ①②③⑤

解析：CQ DT PQ AT PQ AT T D D 22//1=?=且，则相交于设截面与. 对①，时当2

1

0.<

1

.时当=

CQ 重合与1,D T ，

截面S 为四边形.,11Q D AP APQD =所以截面S 为等腰梯形. 所以为真. 对③, 时当43.=CQ .3

1.21,23,411111====?R C T D DT QC 利用三角形相似解得所以为真. 对④, 2 DT 2

3

,143.<<<<时当

CQ .截面S 与线段1111C D ,D A 相交，所以四边形S 为五边形.所以为假.

对⑤,A G APC G D A S C CQ 111111,Q 1.即为菱形相交于中点与线段截面重合与时，当=.

对角线长度分别为.2

6

32的面积为，

和S 所以为真

.

9．如图，1111D C B A ABCD -为正方体。任作平面α与对角线

C A '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到 的截面多边形的面积为S ，周长为l .则（ ） A ．S 为定值，l 不为定值 B ．S 不为定值，l 为定值 C ．S 与l 均为定值

D ．S 与l 均不为定值

9答案:B

解析:将正方体切去两个正三棱锥A A BD '-与C D B C '''-后，得到一个以平行平面A BD '与D B C ''为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱A B ''剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形11A B B A ''，而多边形W 的周界展开后便成为一条与1A A '平行的线段（如图中1E E '），显然11A A E E ''=，故l 为定值。

题型三、截面图形的计数

10．设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面α( )

A. 不存在

B. 只有1个

C. 恰有4个

D. 有无数多个 10答案：D

解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m ，n ，直线m 、n 确定了平面β，作与β平行的平面α与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形．这样的平面α有无数多个． 11．过正四面体ABCD 的顶点A 做一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD 成

75角，问这样的截面可作几个？

11答案：6个．

解析：可以证明正四面体的棱、侧面与底面成角均小于75度，这样过顶点与底面成75度角，且平行与底面一条边的 截面也就是符合题意的截面，有两个。三条边就是6个。 题型四、截面图形的性质

12．如图4，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：

① 水的部分始终呈棱柱状； ② 水面EFGH 的面积不改变； ③ 棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；

④ 当容器倾斜到如图4（2）时，BE ·BF 是定值； 其中正确的命题序号是______________ 12答案：①③④

解析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为BC BF BE V ??=2

1

水是定值，又BC 是定值，所以BE ·BF 是定值，即④正确。

13．有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是 A ．

21 B ．87 C ．12

11

D ．4847

13答案：C

解析：本题很容易认为当水面是过E 、F 、G 三点的截面时容器可

装水的容积最大图6（1），最大值为8

7

12121211=???-=V 立方单

位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图6（2）△EB 1C 时容器的容积最大，最大容积为12

11112121311=????-

=V ． 14．(08年江西)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P 。如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2）。有下列四个命题： A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P

C ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P

D ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满 其中真命题是： 14答案：BD

解析：a 升水对应的体积为V ，则正四棱锥的体积

2

V

，正四棱柱的体积为522V V V V ++=

A

B C H

A 1

B 1

C 1

D 1

E F

G

D

A B C

D A 1

B 1

C 1

D 1

E

F

G H

图4（2）

图4（1）

C 1

A B

C

D A 1

D 1 B 1

E

G F 图（2）

C 1

A B C D A 1

D 1 B 1

E

G

F 图（1）

图12

图

容器的盛水量为2V．

易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确，于是A错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P，故B正确；C的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面。

考点81 空间几何体的截面问题

考点81 空间几何体的截面问题 1．（2018?新课标Ⅰ，理12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A B C D 【答案】A 【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长 ，α截此正方体所得截面最大值为：26=，故选A ． 2．（2015?新课标Ⅱ，理19）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，16AB =，10BC =，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【解析】（1）交线围成的正方形EFGH 如图： （2）作EM AB ⊥，垂足为M ，则：10EH EF BC ===，18EM AA ==， ∴6MH ，10AH ∴=。 以边DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则： (10A ，0，0)，(10H ，10，0)，(10E ，4，8)，(0F ，4，8)，∴(10,0,0),(0,6,8)EF EH =-=-。 设(,,)n x y z =为平面EFGH 的法向量，则：100680n EF x n EH y z ?=-=??=-=?? ，取3z =，则(0,4,3)n =， 若设直线AF 和平面EFGH 所成的角为θ，则：45sin |cos ,|1805AF n θ=<>==，∴直线AF 与平面α ．

几何体中的截面问题复习课程

F E 1Q 1 几何体中的的截面问题 1．定义及相关要素 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线．此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点． 2．作多面体的截面方法(交线法)：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面． 题型一、截面的形状 1．P 、Q 、R 三点分别在直四棱柱AC 1的棱BB 1、CC 1和DD 1上，试画出过P 、Q 、R 三点的截面． 1解答：(1)连接QP 、QR 并延长，分别交CB 、CD (2)连接EF 交AB 于Ｔ，交AD 于S ． (3)连接RS 、TP 。则多边形PQRST 即为所求截面。 2．已知P 、Q 、R 分别是四棱柱ABCD ―A 1B 1C 1D 1的棱CD 、DD 1和AA 1上的点，且QR 与AD 不平行，求作过这三点的截面． 2解答： (1)连接QP 并延长交DA 延长线于点I 。 (2)在平面ABCD 内连接PI 交AB 于点 M 。 (3) 连接QP 、RM 。则四边形PQRM 即为所求。 注：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。 ②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。 ③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。 3．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是

3答案：D 解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D 。 题型二、截面面积、长度等计算 4．过正方体1111D C B A ABCD -的对角线1BD 的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则 m in m ax S S 的值为 ( ) A ． 23 B ． 2 6 C ． 3 3 2 D ． 3 6 2 4答案：C 解析：设M 、N 分别为AA 1、CC 1的中点.易证截面BMD 1N 是边长为 5 2 的菱形(正方体棱长设为1),其面积S(min)= 6 2 . 而截面BB 1D 1D 是矩形,其面积S(max)=2． 5. 如图，已知球O 是棱长为1 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为 ． 5答案： 解析：平面ACD 1是边长为 的正三角形，且球与以点D 为公共 点的三个面的切点恰为三角形ACD 1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD 1内切圆的半径是 ×tan30°= ，则所求的截面圆的面积是π× × = ． 6．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 6答案：C 解析：1O 与2O 的公共弦为AB ，球心为Ｏ，AB 中点为C ， 则四边形C OO O 21为矩形，12||||,O O OC =||2,OA =Q 所以2 2 ||1,||||||3AC AC OC OC OA AC =⊥∴=-= 7．已知正四棱锥P —ABCD 的棱长都等于a ,侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成二面角大小的正切值为 ． 7答案： 1 2 Ｏ２ Ｏ Ｃ Ｏ2

立体几何轨迹与截面问题

轨迹与截面（二） 1．如图，在正方体中，是的中点，为底面内一动点，设 与底面所成的角分别为均不为.若，则动点的轨迹为（） A. 直线的一部分 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 2．正方体棱长为4，,分别是棱,的中点，则过三点的平面截正方体所得截面的面积为（） A. B. C. D. 3．已知球O的半径为2，圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面，圆M和圆N的面 MN=（） 积分别为2π和π，则|| A．1 B3．2 D5 4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的

轨迹为（ ） A ． B ． C ． D ． 5．如图，记长方体1111ABCD A B C D -被平行于棱11C B 的平面EFGH 截去右上部分后剩下的几何体为Ω，则下列结论中不正确．．． 的是（ ） A ．EH ∥FG B ．四边形EFGH 是平行四边形 C ．Ω是棱柱 D ．Ω是棱台 6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） 11 A 1 B 1 P D C A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线

7．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面 11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ） A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 8．如图所示，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①⑤ 9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（ ） A ． 56π B ．23π C ．π D ．76 π 10．（2015秋?河南期末）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，若∠A 1AB=∠A 1AD=60°，且A 1A=3，则A 1C 的长为（ ）

几何体中的截面问题.

几何体中的的截面问题 1．定义及相关要素 用一个平面去截几何体， 此平面与几何体的交集， 叫做这个几何体的截面． 此平面与几 何体表面的交集 (交线 )叫做截线．此平面与几何体的棱的交集 (交点)叫做截 点． 2．作多面体的截面方法 (交线法 )：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表 面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面． 题型一、截面的形状 (1)连接 QP 、 QR 并延长，分别交 EF 交 AB 于 Ｔ，交 AD 于 S ． RS 、 TP 。则多边形 PQRST 即为所求截面。 2．已知 P 、 Q 、R 分别是四棱柱 ABCD ―A 1B 1C 1D 1的棱 CD 、DD 1和 AA 1上的点E ，且 QR 与 AD 不平行，求作过这三点的截面． 2解答： (1)连接 QP 并延长交 DA 延长线于点 I (2) 在平面 ABCD 内连接 PI 交 AB 于点 M 。 (3) 连接 QP 、RM 。则四边形 PQRM 即为所求。 注：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截 面与多面体的一个面 的截线 ② 若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。 ③ 若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点 1．P 、Q 、R 三点分别在直四棱柱 点的截面． AC 1的棱 BB 1、CC 1和 DD 1 上，试画出过 P 、Q 、R 三 D1 C 1 R AB 1 解 答： (2)连接 CB 、CD 的延长线于 E 、 F. A 1 A T R D C 1 Q C

A B C D

2 3 答案： D 解析：考虑过球心的平面在转动过中， 平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的 内接正方形，故选 D 。 题型二、截面面积、长度等计算 4．过正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的对角线 BD 1的截面面积为 S ，S max 和 S min 分别为 S 的最大 S 值和最小值，则 max 的值为 ( ) S m in A ． B ． 6 23 D ． 4 答案： C 解析： 26 3 设 M 、N 分别为 AA 1 、CC 1 的中点 .易证截面 BMD 1N 是边长为 的菱形 ( 正方体棱长 设为 1), 其面积 S(min)= 26 . 而截面 BB 1D 1D 是矩形 ,其面积 S(max)= 2 ． 5. 如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ﹣ A 1B 1C 1D 1的内切 球，则平面 ACD 1截球 O 的截面面积为 ． 5 答案： 解析：平面 ACD 1是边长为 的正三角形，且球与以点 D 为公共 点的三个面的切点恰为三角形 ACD 1 三边的中点， 故所求截面的面 积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得， △ACD 1 内切圆的半 径是 ×tan30=° ，则所求的截面圆的面积是 π× × = Ｏ2 6．已知球的半径为 2 ，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的 为 2 ，则两圆的圆心距等于 A ． 1 B ． 2 6 答案： C 解析： O 1与 O 2的公共弦为 则四边形 O 1OO 2C 为矩形， AB ，球心为Ｏ， AB 中点为 C ， |O 1O 2 | |OC |, |OA| 2, 所以 |AC| 1,AC OC |OC| |OA|2 |AC|2 3 Ｏ Ｏ ２ 共弦长 7．已知正四棱锥 P —ABCD 的棱长都等于 a ,侧棱 PB 、PD 的中点分别为 M 、N ，则截面 AMN 与底面 ABCD 所成二面角大小的正切值为 ． 1 7 答案：

数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题.

高中数学课题研究 几何体与球切、接的问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 1 球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二 是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则GO R a ==；三是球为正方体的 外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则12 A O R a '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.

立体几何截面问题

立体几何中的截面问题剖析 用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况. 以正方体为例：平面截正方体的截面图形 三角形： 四边形 五边形 六边形 类型一：与截面有关的求值问题 1、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ） A ．35 B ．35 C ．92 D ．98 2、 体积为216的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11D C 的中点，点N 在线段11B C 上，//MN BD ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面AMN 所截得的截面面积为（ ） A. 2717 B ．2117 C ．1517 D ．1317

正三棱柱111ABC A B C -中,所有棱长均为2,点,E F 分别为棱111,BB A C 的中点,若过点,,A E F 作一截面,则截面的周长为（ ） A ．425133+ B ．225133 + C ．2513+ D ．13252 + 反馈练习： 1、在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是正方形C C BB 11的中心，M 为11D C 的中点，过M A 1的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111D C B A ABCD -所得的截面面积为（ ） A ．23 B ．26 C ．225 D ．3 2、如图，在正方体````ABCD A B C D -中,平面垂直于对角线AC ,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则（ ） A ．S 为定值,l 不为定值 B ．S 不为定值,l 为定值 C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值 类型二：与截面有关的最值问题 1、已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A ．433 B ．332 C ．423 D ．2 3

裸眼3D教学指导篇：教会你如何秒看三维立体图

裸眼3D教学篇：教会你如何秒看三维立体图 小编我是一枚资深的三维图爱好者，这么多年下来，收藏+制作的三维图累计5000多张。春节前，在朋友的建议下开通今日头条，作为唯一的发布平台为喜欢的朋友提供三维立体图，开通以来受到广大朋友的喜爱。小编我还有点强迫症，最讨厌带水印还不清晰的图片，所以开始就立下flog，坚持为大家提供精美，高清，无水印的三维图，希望大家喜欢。应广大小伙伴的要求，今日献上教学篇，不会看三维图的朋友们，掌握下面的方法就可以开启你的3D眼咯。三维图主要由两部分组成：模型图（也称前景图）和背景图，如下图所示：模型图就是黑白渐变的模型，也就是生成三维图后，你拼命盯着想要看出来的那个东西，模型图的立体效果，决定了三维图的效果；背景图就是你第一眼看上去拼在一起花花绿绿的图片。通过合成就是下面三维立体图了。立体数字0就在上图正中间，就是下图圆圈的位置。讲解完三维立体图的主要组成部分，我们开始讲看图方法，我们常见的三维立体图，都是可以用平行法分看出来的，交叉法的图很少，所以这里暂且不讲，其实也很简单，会了平行法慢慢就可以悟出交叉法，眼睛的焦距不一样。平行眼看图法首先要让你的眼睛休息一下，在三维立体画上方中间位置用视线确定两个点，如下图。然后用稍微模糊的视线越过三维立体画眺望远方，这时就会看到从两个点各自分离出另外两个点，成为四个点，这时候图象就会模糊起来，不要急，调整你的视线，试图将里面的两个点合成一个点，当四个点变成三个点时，你就会看到立体图象了。要注意的是，图画上下两边一定要与双眼平行，斜着不会看出来的（上图是个骷髅头）。黑点训练法1.可以用下图，也可以找一张纸，在纸上画

立体几何中的截面(解析版)

专题13 立体几何中的截面 【基本知识】 1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。 2、正六面体的基本斜截面： 3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。 【基本技能】

技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题； 技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； 技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等； 技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。 例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能 ．．． 是（） 分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。 例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面EFGH的面积不改变； ③棱A1D1始终与水面EFGH平行； ④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值； 其中正确的命题序号是______________ A C B D

分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为 BC BF BE V ??= 2 1 水是定值，又BC 是定值，所以BE ·BF 是定值，即④正确。所以正确的序号为①③④. 例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ） A ． 21 B ．87 C ．12 11 D ．4847 分析 本题很容易认为当水面是过E 、F 、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图（1），最大值为 8 7 12121211=???- =V 立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图（2）△EB 1C 时容器的容积最大，最大容积为1211 112121311=????-=V ， 故选C 。 例4 正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是P 在底面上的射影，6, PO Q =是 AC 上的一点，过Q 且与, PA BD 都平行的截面为五边形EFGHL ，求该截面面积的最大值. C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图（1） C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图（2）

空间几何体的表面积和体积讲解及经典例题

空间几何体的表面积和体积 一．课标要求： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 二．命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上，预测2009年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 长。 2．旋转体的面积和体积公式 12

下底面半径，R 表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm 2 ，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：? ??=++=++24)(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由（2）2 得：x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2 =16 即l 2 =16 所以l =4(cm)。 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ， 从而OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上。 （2）∵AM=AA 1cos 3 π =3×21=23 ∴AO=4 cos πAM =223 。 又在Rt △AOA 1中，A 1O 2 =AA 12 – AO 2 =9－ 29=2 9，

空间几何体.板块二.截面与距离问题.学生版

棱锥、棱台的中截面与轴截面 【例1】 正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，求k 的取值范围． 【例2】 正四棱锥的斜高为2，侧棱长为5，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截 面）的面积？ 【例3】 正四棱台的高为17，两底面的边长分别是4和16，求这个棱台的侧棱长和斜高． 【例4】 已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a ，b ，c ，则它的高和斜高分别为 【例5】 已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点且平行于底面的截面111 A B C ?的面积． M O C 1 B 1 A 1 C A S 【例6】 如图所示的正四棱锥V ABCD -，它的高3VO =，侧棱长为7， ⑴ 求侧面上的斜高与底面面积． ⑵ 'O 是高VO 的中点，求过'O 点且与底面平行的截面（即中截面）的面积． 典例分析 板块二.截面与距离问题

H O'O D C B A V 【例7】 如图，已知棱锥V ABC -的底面积是264cm ，平行于底面的截面面积是24cm ，棱锥顶点V 在截面和 底面上的射影分别是1O 、O ，过1O O 的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积． C A 圆锥、圆台的中截面与轴截面 【例8】 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14∶，母线长10，求圆锥的母线长． 【例9】 一圆锥轴截面顶角为120?，母线长为1，求轴截面的面积． 【例10】 圆台的母线长为2a ，母线和轴的夹角为30?，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，求圆台的 高与上下两底面面积之和． 【例11】 圆台两底半径分别是2和5，母线长是，求它的轴截面的面积； 【例12】 圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30?，一个底面半径是另一个底面半径的2倍， 则两底面半径为 ． C B A O O

三维图纸(catics十三届)

3D13-M1 【题目】 【注意】其中相切、对称等几何关系。【其他】同色圆弧半径相同。（输入答案时请精确到小数点后两位） 【参数】 A=60，B=50，C=40，D=11，E=32，F=30，G=58 【问题】 1、请问图中P1到P2的距离是多少？ 2、请问图中黄色面的面积是多少？ 3、请问图中绿色面的面积是多少？ 4、请问模型体积是多少？ 【答案】 1、34.01 2、387.06

4、34617.84 3D13-M02 题目】 【注意】其中对称、相切、阵列等几何关系。【其他】同色短线长度相等，模型未注壁厚均为T，仔细观察其形态。（输入答案时请精确到小数点后两位） 【参数】 A=38，B=40，C=20，D=35，T=3 【问题】 1、请问图中P1到P2的距离是多少？ 2、请问图中橘色面的面积是多少？ 3、请问模型体积是多少？

1、58.34 2、1691.02 3、16232.98 3D13-M03 【题目】 【注意】其中对称、相切、同心等几何关系。（输入答案时请精确到小数点后两位）【参数】 A=100，B=15，C=22，D=8，E=50，F=16 【问题】 1、请问图中P1到P2的距离是多少？ 2、请问图中绿色面的面积是多少？ 3、请问图中黄色面的面积是多少？ 4、请问模型体积是多少？ 【答案】 1、37 2、367.49

4、56353.38 3D13-M04 【题目】 【注意】其中等距、平行等几何关系。【其他】同色短线长度相等。仔细观察其结构形态，图中所有相邻四棱柱之间距离均为T，所有四棱柱短边长均为A。（输入答案时请精确到小数点后两位）【参数】 A=5，T=2 【问题】 1、请问图中P1到P2的距离是多少？ 2、请问图中绿色面的面积是多少？ 3、请问图中黄色面的面积是多少？ 4、请问模型体积是多少？

8.空间几何体的表面积和体积练习题

一、选择题（每小题5分，共计60分。请把选择答案填在答题卡上。） 1．以三棱锥各面重心为顶点，得到一个新三棱锥，它的表面积是原三棱锥表面积的 A.31 B.41 C.91 D.161 2．正六棱锥底面边长为a ，体积为323a ，则侧棱与底面所成的角等于 A. 6π B.4π C.3 π D.125π 3．有棱长为6的正四面体S-ABC ，C B A ''',,分别在棱SA ，SB ，SC 上，且S A '=2，S B '=3，S C '=4，则截面C B A '''将此正四面体分成的两部分体积之比为 A.91 B.81 C.41 D.31 4.长方体的全面积是11，十二条棱长的和是24，则它的一条对角线长是 A ．32. B. 14 C. 5 D.6 5.圆锥的全面积是侧面积的2倍，侧面展开图的圆心角为α，则角α的取值范围是 A ．(]??90,0 B (]??270,180 C (]??180,90 D Φ 6. 正四棱台的上、下底面边长分别是方程01892=+-x x 的两根，其侧面积等于两底面积的和，则其斜高与高分别为 A ．25与2 B.2与2 3 C.5与 4 D.2与3 7.已知正四面体A-BCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体E-FGH 的表面积为T ，则S T 等于 A ．91 B.94 C. 41 D.31 8. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P 到这三个平面的距离分别是 A ．1，2，3 B ．2，4，6 C ．1，4，6 D ．3，6，9 9.把直径分别为cm cm cm 10,8,6的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径是 A ．cm 3 B.cm 6 C. cm 8 D.cm 12 9. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方 形，且BCF ADE ??、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该 多面体的体积为 A.3/2 B.33 C.34 D.23 10．如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的 内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别交于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的 表面积分别是21S S 、，则必有 A.S 1S 2 C. S 1=S 2 D.21S 与S 的大小关系不能确定 D B A O E F

(完整版)全国3D大赛赛题……

3D01_01 题目简介： 题目：参照图构建模型，注意其中的对称、重合、等距、同心等约束关系。零件壁厚均为E。参数：A=110， B=30， C=72， D=60， E=1.5 问题：模型体积为多少？ （标准答案：18654.35）

题目简介： 题目：参照下图构建三维模型，注意其中的对称、相切、同心、阵列等几何关系. 参数：A-72， B=32， C=30， D=27 问题：零件模型体积为多少？ （标准答案：26369.97）

题目简介： 题目：参照上图构建模型，注意通过方程式等方法设定其中尺寸的关联关系，并满足共线等几何关系。 需要确保的尺寸和几何关系包括: 1)右侧立柱的高度为整个架体高度加15，即图中的A+15。2)右侧立柱的壁厚为架体主区域（橘色区域）壁厚的两倍，即图中的2xC。 3)右侧立柱位于架体右侧圆角RB区域的中心位置，即图中的B/2。4)架体外缘的长宽相等，均为D。 5)架体外缘蓝色区域的左右边线分别通过左右两个立柱的孔中心。6)加强筋的上边缘与架体上方的圆角相切。 参数：A=45，B=32，C=2，D=120 问题：模型体积为多少？ （标准答案：75012.60）

题目简介： 题目：参照图构建模型，注意除去底部8mm厚的区域外，其他区域壁厚都是5mm。注意模型中的对称、阵列、相切、同心等几何关系。 参数：A=112， B=92， C=56， D=30 问题：模型体积为多少？ （标准答案：136708.44）

题目简介： 题目：参照图构建三维模型，请注意其中的偏距、同心、重合等约束关系。 参数：A=55，B=87，C=37，D=43，E=5.9，F=119 问题：模型体积为多少? （标准答案：281405.55）

高考数学解题技巧大揭秘专题12三视图及空间几何体的计算问题(供参考)

专题十二 三视图及空间几何体的计算问题 1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )． A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 答案：D [球的三视图都是圆；三棱锥的三视图可以都是全等的三角形；正方体的三 视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故应选 D.] 2．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )． A ．28＋6 5 B ．30＋6 5 C ．56＋12 5 D ．60＋125 答案：B [该三棱锥的直观图，如图所示， 其中侧面P AC ⊥底面ABC ，PD ⊥AC ，AC ⊥BC ，可得BC ⊥平面P AC ，从而BC ⊥PC . 故S △P AC ＝12×5×4＝10；S △ABC ＝12×5×4＝10；PC ＝5，所以S △PBC ＝12 ×4×5＝10；由于PB ＝PD 2＋BD 2＝16＋25＝41，而AB ＝52＋42＝41，故△BAP 为等腰三角形，取底边 AP 的中点E ，连接BE ，则BE ⊥P A ，又AE ＝12 P A ＝5，所以BE ＝41－5＝6，所以S △P AB ＝12 ×25×6＝6 5.所以所求三棱锥的表面积为10＋10＋10＋65＝30＋6 5.] 3．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形， SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )． A. 26 B.36 C.23 D.22 答案：A [在直角三角形ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，∴SA ＝ 4－1＝3；同理SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因△SAC ≌△SBC ，故BD ⊥SC ， 故SC ⊥平面ABD ，且平面ABD 为等腰三角形，因∠ASC ＝30°，故AD ＝12SA ＝32 ，则△ABD 的面积为12×1×AD 2－????122＝24，则三棱锥的体积为13×24×2＝26 .] 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________． 解析 利用三视图得几何体，再求表面积．由三视图可知，该几何体是一个长方体中间

cad三维画图练习题及答案

cad三维画图练习题及答案 通过以下练习可对cad 三维制图有所理解加强，望大家共同进步，不会画的可在我空间留言，共同探讨！ 2 3 4 5 1.利用extrude和subtract命令机器人底座立体图的绘制 2.用CAD对如图所表达的立体进行三维造型。通过本题，演示用CAD进行三维造型的主要步骤。 做图步骤： 在XOY平面内画出底板外形。 沿路径拉伸φ6的圆成圆柱体。 3.脚手架步骤 当前线框密度: ISOLINES=10 Cylinder, co,box ,三维视图调 到主视），mirror3d，输入rmat命令,打开材质窗口，选 择一张木材的贴图，附材质给对象，输入render命令，

渲染对象 4绘制烟灰缸 本例绘制了一个烟灰缸，如图所示，主要使用了 “圆”、“圆柱体”、“拉伸”、“差集”、“球体”、“阵列” 等命令。 要点提示 首先将视区设置为4个视口，运用“圆柱体”、 “圆”、“拉伸”命令绘制烟灰缸的基本体，再运用“球 体”、“阵列”、“差集”命令创建实体-烟灰缸，最后运用“渲染”、“材质”命令渲染烟灰缸。 绘制烟灰缸的基本体 1、单击菜单栏中的“视图”\“视口”\“四个视 口”命令，将视区设置为4个视口。单击左上角 视图，将该视图激活，执行“视图”\“三维视 图”\“主视”命令，将其设置为主视图。利用同样的方法，将右上角视图设置为左视图；将左下角视图设置为俯视图；将右下角视图设置为西南等轴测视图。 2、激活俯视图，在俯视图中绘制一个圆柱体作为烟灰缸的基本体。 命令栏中输入“isolines”命令

命令: isolines 输入 ISOLINES 的新值 :0 单击“实体”工具栏中的“圆柱体”图标，绘制底面的半径为70 ,高度为40的圆柱体。 3、单击“绘图”工具栏中的“圆”图标，绘制半径为60的圆。 激活左视图，框选圆柱体底部的圆，单击“修改”工具栏中的“移动”图标，将半径为60的圆向上移动到顶面。 4、单击“实体”工具栏中的“拉伸”图标，将半径为60的圆沿30度倾斜角度拉伸 -30。 创建烟灰缸实体 5、单击“实体编辑”工具栏中的“差集”图标，将圆柱体减去拉伸得到的圆台，如图。 6、单击“实体”工具栏中的“球体”图标，绘制半径为10的球体。 7、单击“修改”工具栏中的“阵列”图标，弹出“阵列”对话框。 在其中选择“环形阵列”；单击“选择对象”前的按钮，选择图中“球体”；单击“拾取中心点”按钮，捕捉烟灰缸中心点；在“项目总数”的文本框中输入6，单击“确定”按钮。激活“西南等轴测视图”，执行“视图”\“视口”\“一个视口”命令，将视图变成西南等轴测视图。

空间几何体练习题及答案

1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.下列命题中正确的是（） A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 2.长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为（） A.3 2+ C.2 2 1+ B.10 3 D.3 3.下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（） A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台 4.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如图14所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC=____________. 图14 5.有一粒正方体的骰子每一个面有一个英文字母，如图16所示.从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是___________. 图16 6.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径. 1.1.2简单组合体的结构特征 1如图3所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线l旋转180°，想象并说出它形成的几何体的结构特征.

图3 .2已知如图5所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＜BC ，当梯形ABCD 绕BC 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征. 3.若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（） A.64 B.66 C.68 D.70 1.2.3空间几何体的直观图 1.关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（） A.原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变 B.原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的2 1 C.在画与直角坐标系xOy 对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45° D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（） A.16 B.64 C.16或64 D.都不对 3.一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（） A.62 B.64 C.3D.都不对 4.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（） A.2221 + B.221+ C.21+ D.22+

空间立体几何图形的截面

空间立体几何图形的截面 江苏省前黄高级中学许云峰 教学背景 本课为以立体几何的截面图为核心，让学生借助《几何画板》的实际模拟和探索功能进行学习，由学生自我探究，进行知识迁移，通过类比，自己去尝试并最终解决问题。教师在此过程中进行必要的总结和在学生出现困难时进行指导，由此培养学生思维的独立和发散性，使学生真正成为学习的主体。 教学目标： 1．认知目标：整合几何体的截面情况，形成完整的认知体系。 2．能力目标：学生利用《几何画板》探索问题的能力，以培养学生知识迁移能力，发散思维和类比思维能力。 3．情感目标：培养学生探索创新能力，激发学生学习的热情和积极性。 重点与难点 重点：空间几何体的截面图的作法；空间旋转体的截面作法。 难点：空间几何图形的交点的作法；由极限思想作出空间旋转体的截面图的作法。 教学策略与教法设计 策略：教师提出问题，然后逐层展开，分步进行研究（需学生进行探索和分析），然后学生进行分组讨论和实际操作，通过自主学习、探究学习、合作学习达到认知的意义建构。 教法 1．演示法：把制作的课件展示给学生，便于学生对知识的深层次的把握，并从中获得启发，从而解决问题。这同时也给学生制作作品提供了模板，让学生明白作品需达到的要求。 2．谈话法：在教师指导下，由全班或小组成员围绕某一中心问题发表自己的看法，从而进行相互学习、合作学习，集思广益。 3．成果展示法：将学生制作的作品有选择的展示（以小组为单位进行制作，每个小组推荐1~2个进行演示），让学生获得成功的喜悦和认同，从而激发学生后续学习的热情。 4．讨论法：就学生探索所得成果，各小组可自由提问，或者师生共同评价，最后总结成整体观点。 教学过程设计 先期准备 在《几何画板》中建立立体几何的图形工具包，方便学生在最快的时间内作出准确的立体几何图形，以方便学生进行探究性学习，避免在作图上花费过多时间和精力；同时可以给学生以示范，让学生学会如何作出形象的立体几何直观图。 教学目标提出 探究空间几何图形上过任意三点的截面 1．分三个小组对多面体进行协作探究：第一小组：柱体；第二小组：锥体；第三小组：台体。主要探究任意三点的位置和截面的形状。 2．探究圆锥的截面。 分组探究，层层推进，把问题推向纵深 通过发挥学生自主学习的特点，并根据几何体的特征可以分类，故我们采取分组进行自我探索，相互协作，小组讨论，师生共同总结等方法进行教学。在此过程中，老师作为主导者，主要为学生提供必要的帮助和方向指引，而学习的过程主要靠学生自我完成。 学生进行分组协助学习。 每小组的探索活动都可分为三个层次进行： 以最简单的图形出发，即三棱柱、三棱锥、三棱台研究任意三点的位置的取法。 随后作出过三点的截面（作法依据：公理及其推论），并拖动三点，观察截面的变化情况，从而得出结论，并进行组内交流，形成小组统一观点。

高斯奥数一年级上册含答案第4讲 立体图形的初步认识

第四讲立体图形的初步认识 前续知识点：一年级第一讲；XX模块第X讲 后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲 小高小高 阿呆 阿呆， 阿呆 小高 小高 阿呆

把相应的人物换成红字标明的人物． 楼房等建筑不要换． 生活中我们会接触很多不同形状的物品，例如：礼品包装盒、魔方、冰箱、足球、篮球等等．要对这些物品进行更好的利用，离不开对基本图形的认识．图形可分为平面图形和立体图形． 所有点不在同一平面上的图形叫做立体图形．我们今天要学习的立体图形有正方体、长方体、圆柱体和球体． 【提示】这些立体图形的面有什么特点呢？ 生活中你见到的这些物体和哪个立体图形的形状相同呢？与下列立体图形连线．不同的立体图形有不同的特点，接下来我们一起了解一下立体图形的稳固性． 例题1 听听它们的自我介绍．找找它们有什么特点． 我是正方体． 我是圆柱体． 我是长方体．我是球体． 练习1

【提示】根据你的生活常识，哪个立体图形的稳定性最差？ 奇奇猫和壮壮鼠要把木头运回家．你能帮它们想到偷懒的办法吗？在能够比较轻松的小动物下面的括号中画“√”． 【提示】在哪个图形上垒相同的图形不会倒呢？ 下面两组积木，哪组比较牢固？ 例题3 下面两组积木，哪组可以垒的更高？ （ ） （ ） 换成奇奇猫 换成壮壮鼠 例题2 用一样大的力气，哪块积木会跑得最远呢？在跑得最远的积木下面的括号中打“√”． （ ） （ ） （ ） 练习2 练习3

认识了基本的立体图形，简单了解了这些立体图形的基本特征，接下来我们就利用这些立体图形的基本特征，对它们进行更深一层的学习与认识． 【提示】动手试一试． 有一块圆柱体积木，可以摆成下面2种不同方式．如果有2块这样的积木，用哪种摆放方式可以垒得最高？最高是多少厘米？ 3厘米 2厘米 A B 例题4 有一块长方体积木，可以摆成下面3种不同方式．如果有 3块这样的积木，用哪种摆放方式可以垒得最高？最高是多少厘米？ 3厘米 2厘米 1厘米 A B C 练习4