基于水平集的医学图像分割毕业论文

毕业论文选题报告

姓名性

别

男

学

院

信息与电气

工程学院

年

级

学

号

设计题目基于水平集的医学图像分割

课题来源教师科研课题类别应用研究

选做本课题的原因及条件分析：

随着计算机科学技术的不断发展，数字图像处理与分析引起了各个领域研究的广泛关注。图像分割是图像处理重要的研究内容，通过图像分割、目标分离、特征提取、参数估计等技术可以将原始图像转化为更抽象更紧凑的形式，使得更高层的图像分析和理解成为可能。它是图像理解的重要组成部分，是图像处理到图像分析的关键步骤，图像分割结果的好坏直接影响到对于图像后续处理的质量。

指导教师意见：

基于水平集的图像分割是当前医学图像分割的重要研究方法，对该算法的实现可以对图像分割有着充分的认识。选题内容较为合理，有较好的研究和应用价值，符合论文相关的要求，同意选题。

签名：

2012年1 月2日学院毕业论文（设计）领导小组意见：

（公章）

年月日

毕业论文任务下达书

学院信息与电气工程学院专业计算机科学与技术学号*******姓名*** 现将毕业设计任务下达书发给你。毕业设计任务下达书内容如下：

一、毕业设计题目

基于水平集的医学图像分割

二、主要内容

1.了解图像分割的有关内容，熟练运用matlab；

2.了解与水平集有关的图像分割的内容；

3.了解程序要完成的功能，完成所需代码。

三、具体要求

（1）查找资料，分析要解决的问题是什么，怎样实现；

（2）理解并掌握设计要求，找到需要学习的知识点；

（3）以详细设计为基础，进行编码与单元测试；

（4）整合测试，按照规定完成毕业论文，进行答辩。

四、主要参考文献

[1] 章毓晋图像分割[M].北京：科学出版社,2001.

[2] 张治国，周越，谢凯一种基于Mumford-Shah 模型的脑肿瘤水平集分割算法[J].

上海交通大学学报，2005，39：1955~1962.

[3]算王文杰，封建湖基于变分Level Set 方法的图像分割;计机工程与应用：2006

年18期.

五、进程安排

阶段起止日期主要内容

准备开题阶段2011.11.18-2012.3.8 搜集资料，学习相关知识

设计实现阶段2012.3.10-2012.5.10 根据需求完成代码设计

说明书完成阶段2012.5.11-2012.5.20 根据设计撰写说明书，完善论文

答辩阶段2012.5.21-2012.5.25 定稿，准备答辩材料

六、毕业设计任务下达书于2012 年1月6日发出。毕业设计应于2012年5 月20 日前完成后交指导教师，由指导教师评阅后提交毕业设计答辩委员会。

七、毕业设计任务下达书一式两份，一份给学生，一份留学院存档。

指导教师：签发于2012 年1 月6 日

分管院长：签发于年月日

姓名***

性

别

男

学

院

信息与电气

工程学院

年

级

2008级

学

号

*****

预计

完成

时间

2011.5.22

设计题目基于水平集的医学图像分割

课题来源教师科研课题类别应用研究指导教师***

毕业设计实施方案：

第一阶段：开题了解论文要求，学习图像分割的相关内容；

第二阶段：综合分析实现基本的功能；

第三阶段：修改完善设计在初步完成的基础上，查看所做设计是否完善，各种操作能否达到预期效果；

第四阶段：完成论文，对完成的设计进行最后的试用并修改细节；

第五阶段：完成基于水平集的医学图像分割的设计说明书。

设计主要内容（提纲）：

本文主要探讨基于水平集方法的活动轮廓模型图像分割技术，详细介绍了基于水平集图像分割方法：Chan-Vese模型。通过对Chan-Vese模型的研究详细介绍了Chan-Vese模型的水平集求解方法，提出了基于Chan-Vese模型的图像分割算法。

指导教师意见：

该同学对于基于水平集的图像分割实现所采用的设计平台matlab较为熟练，对图像分割、水平集进行了充分的学习，可以在规定时间内实现基于水平集的图像分割，实施方案过程合理清晰，步骤合理，阶段任务明确；论文内容完整、科学，符合论文的相关要求，已经具备了开题的条件，同意开题。

签名：

2012年3月12日学院毕业论文（设计）领导小组意见：

（公章）

年月日

姓名*** 性别男院系信息与电气

工程学院

年级2008级学号******

设计题目基于水平集的图像分割算法的研究

课题来源教师科研课题类别应用研究指导教师***

本课题完成情况介绍（包括研究过程、实验过程、结果分析、存在的问题及应用情况等。）

本论文完成了基于水平集的医学图像分割，实现了图像中轮廓的提取。经过一段时间的学习以及使用matlab对图像进行处理，基本掌握了图像分割的相关知识点。Chan-Vese模型只利用了图像的灰度信息，而没有利用图像的梯度信息，致使在一些多目标的图像分割应用中产生图像边缘定位不准确的缺陷。

指导教师意见：

该同学通过编程，实现了基于水平集的图像分割，并将其应用到医学影像处理中。基本达到了任务下达书的要求，同意结题。

签名：

2012年5月23日

学院毕业论文（设计）领导小组意见：

（公章）

年月日

设计

成绩

毕业论文成绩评定表

学院：信息与电气工程学院学号：20082212442

姓名*** 论文总成绩

论文题目基于水平集的图像分割算法的研究

指

导

教

师

评

语评定成绩：签名：年月日

评

阅

人

评

语

评定成绩：签名：年月日

答

辩

小

组

评

语答辩成绩：组长签名：年月日

注：1、论文总成绩=指导教师评定成绩（50%）+评阅人评定成绩（20%）+答辩成绩（30%）

2、将总成绩由百分制转换为五级制，填入本表相应位置。

目录

1．前言 (2)

2．开发平台 (2)

2.1．Matlab介绍 (2)

2.2．Matlab的优点 (3)

2.3．Matlab的功能 (3)

3. 图像分割有关内容 (3)

3.1．图像分割 (3)

3.2．图像分割的研究意义 (5)

3.3．图像分割常用方法 (5)

3.3.1.阈值分割方法 (6)

3.3.2.边缘检测分割方法 (6)

3.3.3.区域提取分割方法 (7)

3.3.4.结合特定理论工具的分割方法 (8)

4．水平集方法 (8)

4.1．水平集方法 (8)

4.2．水平集函数 (9)

4.2.1．符号距离函数 (9)

5．基于Chan—Vese模型的研究 (11)

5.1．Chan-Vese模型 (11)

5.2．Chan－Vese模型的水平集求解 (13)

5.3．Chan－Vese模型的图像分割算法 (16)

6．实验结果 (17)

7．结论和展望 (19)

参考文献 (19)

致谢 (20)

附录A (20)

基于水平集的医学图像分割

***

（信息与电气工程学院，计算机科学与技术专业，2008级*班，*******）

摘要：图像分割技术是一种在理论研究与实际应用中得到广泛重视的重要的图像技术。水平集方法近年来受到研究人员的关注。它的主要特征是可以自然地改变轮廓曲线的拓扑结构，从而广泛应用于图像分割中。本文主要探讨基于水平集方法的活动轮廓模型图像分割技术，详细介绍了基于水平集图像分割方法：Chan-Vese模型。通过对Chan-Vese模型的研究详细介绍了Chan-Vese模型的水平集求解方法，提出了基于Chan-Vese模型的图像分割算法。

关键词：图像分割；水平集；Chan-Vese模型

Medical Image Segmentation Based on the Level Set

****

(School of Information &Electrical Engineering , Computer Science & Technology, Class *Grade2008,*******)

Abstract：Image segmentation is of key importance in computer image processing, and is very important for the successful image analysis. Recently, level set method has received a great deal of attention especially for image segmentation. The main advantage of level set is that it can handle topological structure naturally and automatically, therefore it is widely used in image segmentation. This article discusses the specific application and research in image segmentation based on the level set method. This paper gives a detailed study about the traditional model of level set in image segmentation—— Chan-Vese model. Through the study of Chan-Vese model, introducing Chan-Vese level set method to solve the model, and puts forward the Chan-Vese model based on image segmentation algorithm.

Key Words: image segmentation; level set; Chan-Vese model

1．前言

随着计算机科学技术的不断发展，数字图像处理与分析引起了各个领域研究的广泛关注。图像分割是图像处理重要的研究内容，通过图像分割、目标分离、特征提取、参数估计等技术可以将原始图像转化为更抽象更紧凑的形式，使得更高层的图像分析和理解成为可能。图像分割技术是一种重要的图像技术，具有广泛的应用前景。图像分割是图像处理重要的研究内容，通过图像分割、目标分离、特征提取、参数估计等技术可以将原始图像转化为更抽象更紧凑的形式，使得更高层的图像分析和理解成为可能。它是图像理解的重要组成部分，是图像处理到图像分析的关键步骤，图像分割结果的好坏直接影响到对于图像后续处理的质量，同时也是图像处理中最古老和最困难的问题之一。

目前，图像分割在工业自动化、在线产品检验、生产过程控制、文档图像处理、遥感卫星图像处理（图1.1）、生物医学图像处理（图1.2）、视频图像处理、基于内容的图像库检索、保安监视、以及军事、体育、农业工程等方面已经得到广泛的应用。

图1.1 图1.2

2．开发平台

2.1．Matlab介绍

Matlab是一门计算机编程语言，是一种科学计算软件。Matlab将高性能的数值计算和可视化集成在一起，并提供了大量的内置函数，被广泛应用在科学计算、信息处理、控制系统等领域的分析、仿真和设计工作中。Matlab已经受了用

户的多年考验。在欧美发达国家，Matlab 已经成为应用线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具；成为攻读学位的大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能。在设计研究单位和工业部门，MATLAB被广泛地用于研究和解决各种具体工程问题。

2.2．Matlab的优点

Matlab具有以下优点：

1．人机界面友好；

2．简单易学、易读易写、代码短小高效；

3．智能化程度高；

4．具有丰富的数学功能；

5．图形表达功能强；

6．功能丰富、可扩展性强。

2.3．Matlab的功能

Matlab具有以下功能：

1．强大的数值运算功能；

2．广泛的符号运算功能；

3．高级与低级兼备的图形功能；

4．可靠的容错功能；

5．应用灵活的兼容与接口的功能；

6．信息量丰富的联机检索功能；

3. 图像分割有关内容

3.1．图像分割

对图像进行研究和应用时，人们往往对图像中的某些部分感兴趣，这些部分常被称为目标或对象。图像处理的重要任务就是对图像中的对象进行分析和理解。在图像分析中，输出的结果是对图像的描述、分类、或其他的结论，而不再像一般意义上图像处理那样——输出也是图像。图像分析主要包括以下几部分内容：

1.把图像分割成不同的区域，或把不同的东西分开（分割）；

2.找出各个区域的特征（特征提取）；

3.识别图像的内容，或对图像进行分类（识别与分类）；

4.结出结论（描述、分类或其他的结论）。

一个典型的图像分析和理解的系统如图3.1所示。该系统分为图像输入、预处理、图像分割、图像识别、结构句法分析。

图像输入光电变换

数字化

预处理

增强

图像恢复

编码

图像分割

检测景物

或边界

特征提取分类结构分析

描述和解释图3.1

图像分割是指把图像分成互不重叠的区域并提取出感兴趣目标的技术。在图像特征提取之前重要的一部分工作就是图像分割，图像分割的好坏直接影响到图像的分析结果。图像分割是一种重要的图像技术，在理论和实际应用中都得到人们的广泛重视。图像分割的方法和种类有很多，有些分割运算可以直接应用于许多图像，而另一些分割方法可以按照人们的意愿准确地分割任何一种图像。

从20世纪70年代起，许多学者和研究人员致力于研究图像的分割算法，至今已经提出了千余种分割算法。图像分割时，通常可以根据图像的两种特性进行分割，一种是根据各个像素点的灰度不连续性进行分割；一种是根据同一区域具有相似的灰度。这两种方法都有各自的优点和缺点。常见的分割算法有阈值分割、边缘检测、边缘跟踪、区域分割与合并等，如图3.2所示。

图像分割

不正续性检测相似性检测

边界分割

边缘检测边缘跟踪Hough变换

区域分割

阈值分割

区域分裂与合并

自适应

图 3.2

3.2．图像分割的研究意义

图像技术在广义上是各种与图像有关技术的总称。图像工程是一个对整个图像领域进行研究应用的新学科，它的内容非常丰富，根据抽象程度和研究方法等的不同可分为三个各有特点的层次：图像处理、图像分析和图像理解。

图像分割是由图像处理到图像分析的关键步骤，在图像工程中占据重要的位置，一方面，它是目标表达的基础，对特征测量有重要的影响。另一方面，因为图像分割及其基于分割的目标表达、特征提取和参数测量等将原始图像转化为更抽象更紧凑的形式，使得更高层的图像分析和理解成为可能。虽然人们对图像分割已进行了大量的研究，但还没有一种适合于所有图像的通用的分割算法。所以，图像分割一直以来都是图像技术中的研究热点，也是制约图像技术发展的一个瓶颈。因此，从原理、应用和应用效果等方面来深入研究图像分割技术，对于提高图像分析和图像理解系统的性能以及提高图像处理技术的应用水平都具有十分重要的意义。

3.3．图像分割常用方法

图像分割是图像处理中的一项关键技术，自20世纪70年代起一直受到人们的高度重视，至今已经提出了上千种分割算法，但因尚无通用的分割理论，先提出的分割算法大都是针对具体问题，并没有一种适合所有图像的通用分割算法。另外，还没有制定出选择适用分割算法的标准，这给图像分割技术的应用带来许多实际问题。一般而言，图像分割方法可以分为如下四类：

1）阈值分割方法

2）边缘检测分割方法

3）区域提取分割方法

4）结合特定理论工具的分割方法

3.3.1.阈值分割方法

图像分割的经典方法是基于灰度阈值的分割方法。它通过设置阈值，把像素点按灰度级分若干类，从而实现图像分割。把一幅灰度图像转换成二值图像是阈值分割的最简单形式，设原始图像),(y x f 中找出一个灰度值t 作为阈值，将图像分割为两部分，即把大于等于该阈值的像素点的值设置成1，小于该阈值的像素点的值设置为0。阈值运算后的图像为二值图像),(y x g 如下式所示：

?

??<≥=T f(x,y)T f(x,y)y x g 0 1),( 上式中全局阈值T 的选择直接影响分割效果。通常可以通过分析灰度直方图来确定它的值，最常用的方法是利用灰度直方图求双峰或多峰，选择两峰之间谷底处的灰度值作为阈值，如图3.3所示。

T

图3.3 3.3.2.边缘检测分割方法

边缘检测是基于灰度不连续性进行的分割方法。图像边缘是图像中灰度发生急剧变化的像素的集合，是图像最基本的特征之一，它是图像局部特性不连续（或突变）的结果，例如，灰度值的突变、颜色的突变、纹理的突变等。根据灰度变

化的特点，可将边缘分为阶梯状边缘、屋顶状边缘与线性边缘三种类型，具体描述如下：

阶梯状边缘：从一个灰度值跳跃到另一个差距较大的灰度值；

屋顶状边缘：灰度值慢慢增加到一定程度后慢慢减小；

线性边缘：灰度值从一个值跳到另一个灰度值之后然后回来。

对于阶梯状边缘，灰度变化曲线的一阶导数在边缘处呈现极值，而二阶导数在边缘处呈现零交叉；对于脉冲状和屋顶状边缘，灰度变化曲线的一阶导数在边缘处呈现极值，而二阶导数在边缘处呈现零交叉；对于脉冲和屋顶状边缘，灰度变化曲线的一阶导数在边缘处呈现零交叉，而二阶导数在边缘处呈现机制。

边缘检测是图像分割、目标区域识别、区域形状提取等图像分析的基础，一幅图像就是一个信息系统，其大量的信息是由它的轮廓提供的。因此，边缘提取与检测在图像处理中占有很重要的地位，其算法的优劣直接影响着所研制系统的性能。传统的边缘检测方法基于空间运算，例如可以借助空域微分算子进行，通过将算子模板与图像进行卷积合成。根据模板的大小和元素值的不同有不同的微分算子．如Robert算子、Sobel算子、Prewitt算子、LOG算子、Canny算子等，这些空域边缘算子对噪声都比较敏感。且常常会在检测边缘的同时加强噪声。

3.3.3.区域提取分割方法

基于区域的分割方法是利用区域内的特征的相似性把图像划分成一系列有意义区域的处理方法。常用的基于区域的分割方法有两种：区域生长与分裂合并。它们是两种典型的串行区域技术，其分割过程后续步骤的处理要根据前面步骤的结果进行判断而确定。

区域生长的基本思想是将具有相似特性的像素集合起来构成区域，首先为每个需要分割的区域确定一个种子像素作为生长起点，然后按一定的生长准则把它周围与其特性相同或相似的像素合并到种子像素所在的区域中，把这些新像素作为种子像素继续增生长，直到没有满足条件的像素可被包括，这时候停止生长，一个区域就形成了。

在实际应用区域生长法时需要解决三个问题：

（1）选择或确定一组能正确代表所需区域的种子像素；

（2）确定在生长过程中能将相邻像素包括进来的准则；

（3）制定让生长过程停止的条件或规则。

分裂合并法的主要思想是从图像开始通过不断分裂合并得到各个区域。一种利用四叉树表达方法的分割算法如下，其中代表整个正方形图像区域，代表检验准则。

（1）对任意区域，若就将其分裂为不重叠的四等分；

（2）对相邻的两个区域，就将它们合并；

（3）若无法进行进一步的分裂和合并，则算法结束。

3.3.

4.结合特定理论工具的分割方法

图像分割至今为止尚无通用的自身理论，近年来，随着各学科许多新理论和新方法的提出，人们也提出了许多与一些特定理论、方法和工具相结合的分割技术。如：基于数学形态学的图像分割方法、基于模糊技术的图像分割方法、基于人工神经网络技术的图像分割方法、基于遗传算法的图像分割方法、基于小波理论的图像分割方法。

4．水平集方法

近年来出现了基于变形模型的图像分割算法，变形模型是定义在图像领域中的曲线或曲面，包括对待分割目标性状和特征的先验假设模型，并以能量函数的形式来反映这种先验知识以及曲线自身的描述。

4.1．水平集方法

水平集方法主要是从接口传播等研究领域中逐步发展起来的，Osher和Sethian首先提出依赖时间的运动界面的水平集描述。其主要思想是将移动的接口作为零水平集(Level Set {φ=0})嵌入高一维的水平集函数中，由闭超曲面的演化方程可以得到水平集函数的演化方程，而嵌入的闭超曲面总是其零水平集，最终只要确定零水平集即可确定移动接口演化的结果。

水平集方法的基本思想是：给定封闭的初始轮廓，该初始轮廓不断沿其法线方向向外或向内以一定的速度演化，最终得到曲线（曲面）族。水平集方法把曲线族看作是更高维空间曲面的零水平集，则被称为水平集函数，当轮廓改变拓扑结构时，仍可以保持连续，因而从原理上保持了这种方法很容易处理拓扑结构改变的问题。图4.1说明了水平集函数表达闭合曲线的方式，其中图4.1(a)是一条平面闭合曲线，图4.1(b)是其水平集函数的隐含表达，图中的黑线就是隐含为水平集的平面曲线。

水平集方法处理平面曲线的演化问题不是试图去跟踪演化后的曲线位置，而是遵循一定的规律，在二维固定坐标系中不断更新水平集函数，从而达到演化隐含在水平集函数中的闭合曲线的目的。这种演化曲线方式的最大特点是：即使隐含在水平集函数中的闭合曲线发生了拓扑结构变化，水平集函数仍然保持为一个有效的函数，图4.1(c)是水平集函数更新后其零水平集曲线的形状，而图4.1(d)中的零水平集曲线已经分裂为两条。

（a ）平面闭曲线

（b ）闭曲线水平集函数的表达

（c ）水平集函数的演化 （d ）曲线拓扑结构发生变化

图4.1

4.2．水平集函数

水平集方法通过一个高一维的函数曲面来表达低一维的轮廓曲线，即将轮廓曲线表达为高一维函数曲面的零水平集的间接表达形式，并将轮廓曲线的运动方程转化为关于高维水平集函数的偏微分方程，据此思想，可得水平集表达方式：

φφ

?=??),(I k V t

其中),,(t y x φ为水平集函数，t ??φ为水平集函数),,(t y x φ对时间的偏导数，

),(I k V 是与图像),(y x I 的灰度值以及轮廓曲线曲率k 有关的速度项，y x ????

=

?,为梯度算

子。 4.2.1．符号距离函数

给定平面上的一条封闭曲线，以曲线为边界，把整个平面划分为两个区域：曲线外部区域和曲线内部区域。在平面上定义符号距离函数d t y x ±=),,(φ，其中

d 是点),(y x 到曲线的最短距离。距离的符号取决于该点在曲线内部还是外部，一般定义曲线内部点的距离为负值，如图4.2所示。在任意时刻，曲线上的点就是符号距离函数值为零的点(即符号距离函数的零水平集)。尽管这种转化使问题在形式上变得复杂，但在问题的求解上带来很多优点，最大的优点是曲线的拓扑变化能够得到很自然的处理，而且可以获得唯一的满足熵条件的解。

图4.2

符号距离函数),(y x φ取不同的数值的集合称为水平集，当0),(=y x φ时称为零水平集，它描述了平面上的一条封闭轮廓曲线。二维平面上轮廓曲线可隐含地表达为三维空间中连续函数曲面),(y x Z φ=，曲面),(y x φ具有相同值的点集为平面上的轮廓曲线。将当前正在运动的轮廓曲线看作是一个更高维函数的水平集，利用轮廓曲线运动方程与 Hamilton-Jacobi 方程的相似性，水平集方法给出了一种轮廓曲线运动的强鲁棒性的计算方法。水平集方法最大的优势在于它的稳定性以及拓扑无关性。轮廓曲线在运动过程中可能会产生尖点，或者断裂为多条曲线或多条曲线融合为一条。水平集方法可有效地处理这些情况，但是水平集方法有一个缺点，即计算量太大，因为它将二维的问题扩展到三维、三维的问题（曲面运动问题）扩展到了四维。维数的扩展增加了计算复杂度，平面轮廓曲线运动的计算复杂度为)(2N O ，三维曲面运动的计算复杂度为)(3N O ，其中N 是将正方形平面均匀离散成网格点后，水平方向的网格点数目。

图 4.3 基于水平集方法的轮廓曲线运动示意图

5．基于Chan—Vese模型的研究

几何活动轮廓模型与水平集方法相结合的曲线演化方法目前是广为关注的一种图像分割方法。该方法利用轮廓曲线的几何特性，建立轮廓曲线运动的能量函数，通过最小化能量函数，使轮廓曲线逐渐逼近图像中目标边界，并利用水平集函数将轮廓曲线运动方程转化为求解数值偏微分方程问题。在这类方法中，Chan和Vese基于Mumford-Shah分割模型提出了Chan-Vese模型是研究的热点。此模型将原始图像视为由不连续集和分片常数图像组成的简单形式，停止函数不再依赖于图像的局部梯度，而是同质区域的全局信息。但在实际使用时，我们需要初始化水平集函数，虽然该模型对初始化轮廓线的位置没有具体要求，但是初始位置与收敛时间仍然紧密联系，不好的初始位置将会影响收敛速度。

5.1．Chan-Vese模型

Mumford-Shah模型是近年来提出的一种优秀的图像分割模型,该模型的能量函数包含了对图像的区域、边界的描述。该模型的轮廓线检测可以基于梯度，也可以不利用梯度，对模糊边界甚至不连续的边界都有很好的分割效果。通过优化该模型的能量函数，可以一次获得受噪声污染的图像的边界、区城以及平滑图像。

如果将Mumford-Shah分割模型结合水平集方法，无疑将提高曲线演化模型分割

图像的能力，并且这种模型在应用水平集公式时，初始轮廓线可以在任意位置，都能得到令人满意的结果。

Chan 和Vese 提出一种基于简化Mumford-Shah 模型和水平集的图像分割方法—C-V 方法。这种方法的速度函数不再依赖图像梯度，而是基于Mumford-Shah 分割模型。该方法同时适用于梯度有意义和无意义的轮廓检测，也就是对边缘很平滑或不连续的图像分割同样适用。另外，该方法的速度函数定义于所有水平集，因此，可以检测出带有空洞的目标的内部区域。

设图像),(y x I 的定义域为Ω,并设当前考察的图像边界C 将图像),(y x I 划分为若干近似同质区域，得分割图像),(0y x I 。则Mumford-Shah 图像分割模型就是寻找真正的图像),(y x I 边界0C ，将图像),(y x I 划分为若干同质区域，并且所得分

割图像),(y x I MS 和),(y x I 的误差比所有分割图像和原图像的误差都要小，即最小化如下能量方程：

??ΩΩ+?????-+==C MS MS MS dxdy

I dxdy I I C Length C I F C I F I C /20200000)(),(),(min arg ),(λμ (5.1)

（5.1）式的意义为，当),(0C I F MS 最小时，所得边界0

C 将图像划分为若干平滑区域，并

且可以得到边界0C 。

Chan 和Vese 提出种简化的Mumford-Shah 模型。

定义区域Ω上的演化曲线C 是Ω的一个子集ω的边界，也就是说ω?=C 。用)(C i n s i d e

表示w

（即曲线内部），)(C outside 来表示区域Ω（即曲线外部）。 假设图像I 被分为两个同质区域，0C 为其分界线（即为所求轮廓）。其内部

灰度为i I ，外部为o I ，即：

?????=)

(,)(,00C outside I C inside I I o i (5.2) 设原图像被任意闭合活动轮廓线C 划分为内部1ω和外部2ω，那么观察下面的

函数：

dxdy C y x I dxdy C y x I C F C F C F outside inside 222

121),(),()()()(??-+-=+= (5.3)

式中1C 和2C 是依赖于C 的常量，分别表示C 内部和外部的平均灰度。那么0C C =时，（5.3）可以取得最小值。这一点很容易证明:若轮廓线C 在实际边界外部，那么0)(,0)(21≈>C F C F ；若轮廓线C 在实际边界内部，那么0)(,0)(21>≈C F C F ；若内部和外部同时有C ，那么0)(,0)(21>>C F C F 。所以只有0C C =时函数（5.3）可以取得极小值。

加上平滑项，如长度和面积项，即可得到C-V 图像分割的能量模型，如下：

dxdy c y x I dxdy c y x I C inside Area C Length C F C F C c c F outside inside 2

2221121,21),(),())(()()()(),,(??-+-+?+?=+=λλνμ (5.4) 最小化式（5.2），即可得到参数21,c c ，即：

),,(inf 21,,21C c c F c c c (5.5)

式中，0,,0,21>≥λλνμ是固定的参量，一般设置为1,021===λλν。由于此模型利用了图像的全图信息，因此通过最小化能量函数（5.4），即可得到全局最优的图像分割效果。

5.2．Chan －Vese 模型的水平集求解

根据水平集方法，所求轮廓线由零水平集φ来表示，并设φ是内正外负型的符号距离函数。即：

}0)(:{)(},0)(:{)(<Ω∈=>Ω∈=X X C outside X X C inside φφ Heaviside 函数H 定义如下：

???<≥=0

,00,1)(z z Z H (5.6) Dirac 函数定义如下：

Heaviside 函数在该方法中用来划分演化区域，

而Dirac 函数用来限定演化在零平集函数周围取值。

方程中各项（5.4）中的各项可表示为：

??ΩΩ

?=?==dxdy y x H y x dxdy y x H Length )),(()),(()),(()0(0φφδφφ

?Ω

=≥dxdy y x H Area )),(()0(φφ

dxdy y x H c y x I dxdy c y x I )),((),(),(21021φφ

??Ω>-=- dxdy

y x H c y x I dxdy c y x I ))),((1(),(),(22022φφ--=-??Ω< 则Chan-Vese 模型的能量泛函的水平集函数方程可改写为： dxdy y x H c y x I dxdy y x H c y x I dxdy y x H dxdy y x H y x c c F ))),((1(),()),((),()),(()),(()),((),,(2

222110,21φλφλφνφφδμφ--+-+?+??=????ΩΩΩ

Ω (5.7)

图像),(y x I 可以表达为水平集的形式：

dxdy y x H c dxdy y x H c y x I ))),((1()),((),(21φφ-+= (5.8)

令φ不变，最小化能量函数),,(21φc c F 。可得到1c 和2c 的表达式：

??ΩΩ=

dxdy y x H dxdy y x H x I c )),(()),(()(1φφ (5.9) ??ΩΩ--=dxdy y x H dxdy y x H x I c ))),((1())),((1)((2

φφ (5.10) 1c 在?Ω>0)),((dxdy y x H φ时，即内部区域不为0时有意义；而2c 在?Ω>-0))),((1(dxdy y x H φ即外部区域不为0时才有意义。

为了求解φ的表达式，引入规则化的H 函数和δ函数，当时，0→ε用εH 或ε

δ来表示，且εε

δ='H 。 一种改进的H 函数：

???

? ????? ??+=επεz Z H arctan 2121)(,2 (5.11) 这两种表达式是近似的规则化的H 函数和δ函数（取εεδ='H ）。不同的1δ在

区间[]εε,-上有非零值，而2δ在任意地方都不为零。两种表达式的H 与δ函数