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26章解直角三角形导学案

26.1锐角三角函数

学习目标

理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．

学习过程：（阅读课本104-108页）一、填空题

1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥AM 于C ′

点，则△B 'AC ′∽______，从而

B A B

C C B )

()(=

'=''，又可得 ①

'B A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比是一个______值；叫做∠A 的______值。 ②

B A

C A ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一个______；叫做∠A 的______值。

③

'C A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比还是一个______．叫做∠A 的______值。

第1题图

2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的______ ，记作______ ∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的______ ，记作______ ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的______ ，记作______

①斜边)(sin =A ＝______，斜边

)

(sin =

B ＝______； ②斜边

)

(cos =A ＝______，斜边

)

(cos =

B ＝______；

③的邻边A A ∠=)

(tan ＝______，

)

(tan 的对边

B B ∠=＝______．

3．因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它______，

所以sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．

5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．

6．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin C ＝______，cos C ＝______，tan C ＝______．

7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．

二、解答题

8．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．

9．已知Rt △ABC 中，,12,4

tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

综合、运用、诊断

10．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．

DE ∶AE ＝1∶2．

求：sin B 、cos B 、tan B ．

11．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，?=

1sin A (1)求AB 边上的高CD ；

∠A的邻边b

∠A的对边a 斜边c C

B A

(2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．

12．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．

拓展、探究、思考

13．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，按要求填空：

(1),sin c

a A =

∴=?=c A c a ,sin ______； (2),cos c

b A =

∴b ＝______，c ＝______； (3),tan b

a A =

∴a ＝______，b ＝______；

(4),23

sin =

B ∴=B cos ______，=B tan ______； (5),5

cos =B ∴=B sin ______，=A tan ______；

(6)∵=B tan 3，∴=B sin ______，=A sin ______．

锐角三角函数（2）

【学习目标】

⑴: 理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．

⑵:逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。【学习重点】熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。【学习难点】熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。

【导学过程】一．温故知新:

1.正切的定义: . 正弦的定义：。

余弦的定义：

tanA= ； sinA=

cos A=

2．上图中sinB= ，cos B= 。 3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=?6，sinA=3

，求AB 、BC 、cosA 、tanB 的值．

二、自主探究：

1、求tan30°、tan45°、tan60°的值

2、求sin30°、sin45°、sin60°的值

3、求cos 30°、cos 45°、cos 60°的值

D 三．归纳结果。

四.课堂练习. 1. 在

中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（）

A ．

B ．

C ．

D ．

2.Rt ABC 中，90C ∠=

，3a =，tan 2A =，则____.b = 3、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。

已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（）

B ．23

4. 在

中，∠C ＝90°，如果cos A=4

那么

的值为（）

A ．35

B ．54

C ．34

D ．4

5、如图：P 是∠的边OA 上一点，且P

点的坐标为（3，4），则cos α＝_____________.

6．已知，等腰△ABC?的腰长为4 3 ，?底角为30?°，?则底边上的高为______，?周长为______．

7．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB= 5

2 ，则cosA=________．

8.（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，

A 的度数． 9.已知直角三角形的一直角边与斜边的比为5 ：13，则最小角的正切值为（）

A.125

B.512

C.513

D.12

10．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=3

，AB=15，则AC 的长是（）．

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12 11．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）． A ．2 B

．1

12．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB= 3

，则△ABC 的形状是（）

A ．直角三角形

B ．钝角三角形

C ．锐角三角形

D ．不能确定

13．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=1

2，则sinA+tanA 等于（）．

．

1..

2B C D +

14．若（ 3 tanA-3）2

+│2cosB- 3 │=0，则△ABC （）． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形

C ．是含有60°的任意三角形

D ．是顶角为钝角的等腰三角形 15．求下列各式的值．

（1）sin30°·cos45°+cos60°; （2）2sin60°-2cos30°·sin45°

（3）cos 260°+sin 260°．（4）cos 45sin 45?

-tan45°

（5）2cos 602sin 302??-; （6）sin 45cos3032cos 60?+?

-sin60°（1-sin30°）．

（7）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°

tan30°

26.3 解直角三角形

【学习目标】

1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形

2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养分析问题、解决问题的能力．

3.渗透数形结合的数学思想，培养良好的学习习惯．

【学习重点】

解直角三角形

【学习难点】

三角函数在解直角三角形中的灵活运用

【课前知识储备】

1.Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=8，则可求出AB= ,AC= 。 ∠B= 。

结合上面题目的解决，归纳：

（1）在三角形中共有几个元素（边、角）：（2）Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ ①三边之间关系：

②两锐角之间关系：

③边角之间关系：

2.思考：要求出直角三角形的所有元素，至少需要知道几个条件（直角除外）？

【课堂学习】

一、说一说

1.三角形有个元素，分别是。

2.直角三角形的元素中，除了直角外，还需要知道个元素（其中至少有一个是），这个三角

形就可以确定下来（即求出其余的元素）。

3.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是。（参考课本114页）二、合作交流：

例1：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且

例2：在Rt △ABC 中， ∠C=90°，∠B =45o ，b=20，解这个直角三角形．

四、巩固提高（二）自我检测

1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________?其它所有元素的过程，即解直角三角形．

2、Rt △ABC 中，若sinA=5

，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．

3、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．

4、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=则cosA 的值是

5、在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=3，b=3，解这个三角形．

6、在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC 的平分线AD=43，解此直角三角形。

的邻边的对边

A A ∠

∠26.4解直角三角形的应用（一）

【学习目标】

⑴: 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． ⑵: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

⑶: 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】

将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

【学习难点】

实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：

(1)勾股定理： (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：

tanA= 二、合作交流：（一）仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．\

例1热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋离楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?

练习：如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东60°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处.这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？

例２:一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？

练习：如图所示，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在

基地

斜边

的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=

sin 北

北

A 的正东方向且距离A 地40海里的

B 处训练，突然接到基地命令，要该舰前往

C 岛接送一名病危的渔民到基地医院救治。已知C 岛在A 的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向，军舰从B 地出发，平均每小时向北航行20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？

（二）．坡度与坡角

坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i 表示。即ｉ＝，常写成i=1：m 的形式如i=1:2.5 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．

结合图形思考，坡度i 与坡角α之间具有什么关系？

这一关系在实际问题中经常用到。

例３:同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33

水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)

练习

(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；

______，

坡角 ______度．

2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠

道底

面宽BC 为0.5米，求：

①横断面(等腰梯形)ABCD 的面积；

②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．

三.课后巩固

1.如右图所示，某建筑AB 和楼CD 的水平距离BD 为80m ，从楼顶C 处及楼底D 处测得该建筑物顶端A 的仰角分别为45°和60°，试求这个建筑物的高度和楼的高度。

2.如图所示，设A 城气象台测得台风中心在A?城正西方向600km 的B 处，正以每小时200km 的速度沿北偏东60°的BF 方向移动，距台风中心500km?的范围内是否受台风影响的区域．（1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？

（2）若A 城受到这次台风的影响，那么A 城遭受这次台风的影响有多长时间？

解直角三角形的应用（二）

1．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．

2．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．

(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时

两楼之间的距离BD至少为多少米?(保留根号)

(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼

上，那么设计甲楼时，最高应建几层?

3．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离?

4．已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?(保留整数) 5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯

角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．

6．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与

灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732

3≈)

7．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；

当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离m

DE，求点B到地面的垂直距离BC．

8．已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB

的高度，当他发现斜坡

正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC ＝20m ，斜坡坡面上的影长CD ＝8m ，太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB 的高度(精确到1m)．

9．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60°．求山高CD (精确到0.01米)．

10．已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m 长

的竹竿，测得竹竿影长为1m ，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m ．问路灯高度为多少米?

11．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A 出发，沿北偏东60°方向走了500m 3到达

B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m ，到达目的地

C 点．求(1)A 、C 两地之间的距离；(2)确定目的地C 在营地A 的什么方向?

12．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m 的河堤．大堤高5m ，坝顶宽4m ，

迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m ，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?

13.一艘轮船从O 处出发，以30海里/时的速度沿东偏南30°的航线航行，两小时后到达A 处. 此时接到大风警报，轮船必须在1.5小时内赶到B 处避风. B 在O 的正东方，从A 处测得B 的方位是北偏东45°.图10所示的坐标系的单位长是1海里. （1）求点A 和点B 的坐标；

（2）如果轮船以原速度沿AB 方向直行，

能否在限定的时间内到达避风港？

解直角三角形小结

图10

【学习内容】26章解直角三角形

【学习目标】1、进一步理解锐角三角函数的正弦、余弦和正切的定义，归纳本章的知识结构。

2、建立直角三角形中边角之间的关系概念，能根据不同的已知条件归纳解直角三角

形的方法。

3、归纳利用锐角三角函数解决实际问题的几种类型。

4、体会数学的数形结合及建模思想。

【学习重点】锐角三角函数的运用

【学习难点】用相关知识将实际问题转化为数学问题的能力。【学习过程】

【本章知识结构】【知识回顾】

1、在直角△ABC 中，∠C ＝90o

，若AB ＝13，AC ＝5，BC= ,则sinA ＝ , CosA= ,tanB= .

2、.直角三角形中，90C ∠=?，a b ，分别是A B ，的对边，则

是角A 的（）（A ）正弦（B ）余弦（C ）正切（D ）余切

3、Rt ABC ?中，若4

sin 5

A =，10A

B =，那么B

C = ，tan B =

4．写出适合条件的锐角α

cos α=

,α=

, tan α=，则α= sin 45°= 5、计算：sin30°+cos30° =

2sin 45°-2

cos30°=

6、已知12sin 13

a =

, a 为锐角，则cos a = ，tan a = ，cot a = 7、在Rt ABC ?中，90C ∠=?

，3a =，则sinA= 回顾：用到了哪些知识？

【巩固练习】

8、如图，沿倾斜角为30?的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m(精确到0.1m).

、某山路坡面坡度i =沿此山路向上前进200米,升高了_______米．

10、如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C

，测得

AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么AB 等于（）．

A ．a ·sinα

B ．a ·cosα

C ．a ·tanα

D ．a ·cotα

11、某市在“旧城改造”中计划在一块如图7所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（）

A.450a 元

B.225a 元

C.150a 元

D.300a 元 12、ABC ?中，90BAC ∠=?，AB =3，解这个直角三角形。

【能力提升】

13、在△ABC 中,∠A ,∠B 都是锐角,且sin A =

,tan B AB =10,求△ABC 的

14、如图，河对岸有古塔AB ，小敏在C 处测得塔顶A 的仰角为30度，向塔20米到达D ，在D 处测得塔顶A 的仰角为45度，求塔高。

15、如图某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度3:1=i .求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB （精确到0.1米）.

第26章解直角三角形单元测试卷

图15

D C

a A C

?15020米

30米图11

图8

一、选择（每题 3分，合计 30分）

1. 在ABC ?，90C ∠=?，1

sin 2

A =，则cos

B 等于（）

A ．12 B

．1

2. 在Rt △ABC 中，90C ∠=?，4

sin 5

A =

，则tan B 的值是（） A ．

34 B ．35 C ．43 D

3. ABC ?中，90C ∠=?，且3c b =，则cos A 等于（）

．

3 B

．13 D

．34. 等腰三角形的边长为6，8，则底角的余弦是（）

A ．

23 B ．38 C ．43 D ．23和3

5.如图2，一个钢球沿坡角31

的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（）米. Ａ．5cos31

Ｂ．5sin31

Ｃ．5tan31

Ｄ．

tan 31

若(

3tan 2sin 0A B +=，则以∠A 、∠B 为内角的ABC ?一定是（）.

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．锐角三角形 7．如图3，在ABC △中，90ACB ∠=

，CD AB ⊥于D

，若AC =

AB =tan BCD ∠的值为（）.

Ｂ．

Ｃ．3

Ｄ．

8. 如图4，有两条宽度为1的带子，相交成α角，那么重叠部分（阴影）的面积是（）.

A ．1

B ．

1sin α C ．21sin α D ．1cos α

9. 如图5，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45°，则

该高楼的高度大约为（）.

Ａ．82米Ｂ．163米Ｃ．52米

Ｄ．70米

二、填空（每题3分，合计21分）

1. 在△ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC

＝

，则BC ＝ 2. ．在Rt ABC △中，90C ∠=

，:3:4BC AC =，则sin A =

3. 离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的高

为米（用含α的三角函数表示）。

4. 在正方形网格中，α∠的位置如图6所示，则cos α的值为______.

5. 如图7，在坡度为1:2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是米

6. 如图8，已知正方形ABCD 的边长为3，如果将线段AC 绕点A 旋转后，点C 落在BA 延长线上的C '点处，那么tan ADC '∠= ．

7. 如图9，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC

长，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到AC '的位置，此时露在水面上的鱼线C B ''

为，则鱼竿转过的角度是

________.

三、解答题 1. 计算求值：（每题5分，合计20分）

（1）2

sin 30sin 45tan 603

?+?-?；（2

tan30cos60?-???；

（3）2sin 60tan 45tan 602sin 30?+??+?；（4）202000

cos 30cos 60tan 60tan 45

+?0

tan 30-

2. 如图10，在平地D 处测得树顶A 的仰角为30?，向树前进10m ，到达C 处，再测得树顶A 的仰角

为45?，求树高（结果保留根号）．（9分）

3. 如图11，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的B 点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A 点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑到C 点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑3 0 0米到离B 点最近的D 点，再跳人海中．救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒．若0

45BAD ∠=，0

60BCD ∠=，三

名救生员同时从A 点出发，请说明谁先到达营救地点B ． ( 1.4 1.7) （10分）

4. 如图12所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：0

sin 270.45=，0

cos 270.89=，0

tan 270.51=）（10分）