2013高考冲刺押题系列(数学理)专题05圆锥曲线(上)

2013高考理数冲刺押题系列专题05 圆锥曲线(上)(教师版)【名师备考建议】

鉴于圆锥问题具有综合性强、区分度高的特点,名师给出以下四点备考建议:

1、主观形成圆锥的知识结构;椭圆、双曲线、抛物线,在这三类曲线身上是有很多的基本

性质具有相关性,因此,在复习备考的过程中,应当主观的形成对三类圆锥曲线方程以及性质的认识,形成一张深刻记忆的知识列表;同时对基本的题型也要有一定的把握;

2、认真研究三年高考的各种题型;由于圆锥曲线的难度系数较高,不易把握,但仍然有理

可循;复习备考的过程中,无论是老师还是学生都应当认真研究近三年文理科的出题方向,至于从何研究,可以从近三年的质检卷、名校卷以及高考卷中得到启示,努力理清每一道问题的思路、做法,这样可以有效的培养解题意识;

3、熟练掌握部分题型的解题模式;三轮复习中,由于做题的经验得到一定的积累,多多少

少对题目的解题方法和手段有了一定的认识,比如,直线与圆锥曲线的问题,大部分是必须联立直线与圆锥曲线的方程进行解题,这是一种模式;再比如,圆锥曲线的探究性问题,可以先采用一些特殊值进行计算,得到结论以后加以证明;这都是必须熟练掌握的解题模式;

4、调整对待圆锥曲线的心理状态;由于圆锥曲线问题的综合性较强,并且经常作为倒二题

出现,这就要求学生合理的分配自己的时间;如果实在无法求解,无须在此问题上进行逗留,以免失去了做压轴题和检查的时间;对于优等生来说,必须精益求精;对于中等生来说,只需尽其所能;对于差等生来说,一定不必强求.

【高考冲刺押题】

【押题1】

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1(a>b>0,过点和

(0,)

A b-

(,0) B a

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(1)求椭圆的方程;

(2)已知定点,若直线与椭圆交于、两点.问:是否存在实数,使以为直径的圆过点? 如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.

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E CD k k D C 2(0)y kx k =+≠(1,0)E -

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【押题2】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 过点)3,2(A ,且离心率21

=e .

(1)求椭圆C 的标准方程;

(2)是否存在过点)4,0(-B 的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ,且满足7

16

=?ON OM (其中点O 为坐标原点),若存在,求出直线l 的方程,若不存在,请说明理由.

【详细解析】(1)∵椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 过点)3,2(A ,且离心率21

=e

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716

43486443484843162

22222121=+-=+-++=+=?k

k k k k y y x x ON OM

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【押题3】如图,已知抛物线2

4y x 的焦点为F .过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ,

22(,)B x y 两点,直线AF ,BF

分别与抛物线交于点M ,N .

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(1)求12y y 的值;

(2)记直线MN 的斜率为1k ,直线AB 的斜率为2k .证明:

1

2

k k 为定值.

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【深度剖析】 押题指数:★★★★★

名师思路点拨:(1)因为直线直线AB 不平行于x 轴,所以设AB 的方程为2x my =+,联立直线与抛物线的方程,利用根与系数的关系可以算出128y y =-;(2)11(,)A x y ,

22(,)B x y ,33(,)M x y ,44(,)N x y ,可知

112

234

k y y k y y +=

+,再将这个式子与(1)中结论配合证明即可.

名师押题理由:本题考查了探究性的定值问题,需要化归与转化能力:

1、直线的方程;

2、根与系数的关系;

3、两点间的斜率公式;

4、抛物线的方程.

【押题4】已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆Ω,它的离心率为12

,一个焦点是()1,0-,

过直线:4l x =上一点M 引椭圆Ω的两条切线,切点分别是A ,B. (1)求椭圆Ω的方程;

(2)若在椭圆Ω:()22

2210x y a b a b

+=>>上的点()00,x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.

求证:直线AB 恒过定点C ,并出求定点C 的坐标.

(3)是否存在实数λ,使得AC BC AC BC λ+=?恒成立?(点C 为直线AB

恒过的定点)

若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

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所以

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211212

1111y y AC BC y y y y ??-+=-== ??

?

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43===

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, 即43

AC BC AC BC +=?,故存在实数43

λ=,使得AC BC AC BC λ+=?.

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【押题5】已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1),Q 为椭圆C 的左顶点. (1)求椭圆C 的标准方程;

(2)已知过点6(,0)5

-的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.

① 若直线l 垂直于x 轴,求AQB ∠的大小;

② 若直线l 与x 轴不垂直,是否存在直线l 使得QAB ?为等腰三角形?如果存在,求出直线l 的方程;如果不存在,请说明理由.

【详细解析】(1)设椭圆C 的标准方程为22

221(0)x y a b a b +=>>,且222a b c =+.

由题意可知:1b =,c a =2

4a =;∴ 椭圆C 的标准方程为2214x y +=.

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(2)由(Ⅰ)得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . (ⅰ)当直线l 垂直于x 轴时,直线l 的方程为6

5

x =-

.

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∴ QA QB ⊥

. 即QAB ?为直角三角形.

假设存在直线l 使得QAB ?为等腰三角形,则QA QB =.

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【深度剖析】 押题指数:★★★★★

名师思路点拨:(1)设椭圆C 的标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>,由“椭圆C 过点(0,1),

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”可以求出椭圆方程;(2)(ⅰ)联立直线与椭圆的方程,算出A ,B 两点的坐标,可以求得AQ BQ ⊥,由此确定角度;(ⅱ)联立直线和椭圆的方程,可以求得

∴ QA QB ⊥

,即QAB ?为直角三角形;取AB 的中点M ,连接QM ,要是QAB ?为等

腰三角形,则QM AB ^,转为为证明这两个向量的数量积是否为0即可. 名师押题理由:本题体现向量背景下的圆锥曲线问题,知识点综合性强: 1、直线的方程;2、椭圆的方程;3、椭圆的参数关系;4、椭圆的离心率; 5、根与系数的关系;6、向量数量积的基本运算;7、等腰三角形的性质.

【名校试题精选】

【模拟训练1】如图,已知抛物线C 的顶点在原点,焦点F 在x 轴上,抛物线上的点A 到F

的距离为2,且A 的横坐标为1. 过A 点作抛物线C 的两条动弦AD 、AE ,且AD 、AE 的斜率满足 2.AD AE k k ?=

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(1) 求抛物线C 的方程;

(2) 直线DE 是否过某定点?若过某定点,请求出该点坐标; 若不过某定点,请说明理由.

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12122()4y y y y ++=,所以21n m =-,代入DE 方程得:

21x my m =+-,即(2)1y m x +=+………………………………………12分

故直线DE 过定点(1,2).--…………………………………………………14分

【深度剖析】

名校试题来源:2012-2013陕西省西安一中高三上学期期末测试 难度系数:★★★ 综合系数:★★★★★

名师思路点拨:(1)利用抛物线的定义可以求出p ,进而求出抛物线的方程;(2)先求出直线DE 的方程“x my n =+”,利用“2AD AE k k ?=”得到关于m 、n 的数量关系,进而得到定点的坐标.

【模拟训练2】已知椭圆,22)0(1:2222=>>=+e b a b

y a x C 的离心率左、右焦点分别为

F 1、F 2,点)3,2(P ,点F 2在线段PF 1的中垂线上。 】

(1)求椭圆C 的方程;

(2)设直线m kx y l +=:与椭圆C 交于M 、N 两点,直线F 2M 与F 2N 的倾斜角互补,求

证:直线l 过定点,并求该定点的坐标.

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【深度剖析】

名校试题来源:2012-2013辽宁省五校协作体高三第一学期期末考试 难度系数:★★★★ 综合系数:★★★★★

名师思路点拨:(1)“F 2在线段PF 1的中垂线上”说明“122||||F F PF ”,再结合题设条件建

立关于建立关于参数a 、b 、c 的方程组,进而求出椭圆的方程;(2)联立直线和椭圆的方程,利用“220F M F N k k +=”,找出直线MN 方程的参数关系,进而求出定点坐标.

【模拟训练3】已知椭圆C :)0(122

22>>=+b a b

y a x ,左、右两个焦点分别为1F 、2F ,

上顶点),0(b A ,21F AF ?为正三角形且周长为6. (1)求椭圆C 的标准方程及离心率;

(2)O 为坐标原点,P 是直线A F 1上的一个动点,求||||2PO PF +的最小值,并求出此时点P 的坐标.

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∵PM PO =,222MF PM PF PO PF ≥+=+,…… 10分

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【深度剖析】

名校试题来源:2012-2013广东省珠海市高三上学期期末考 难度系数:★★★★ 综合系数:★★★★★

名师思路点拨:(1)由题设条件可以列出“??

?

??+==++=222622c b a c a a c a ”,进而确定椭圆的方程;(2)

由平面几何知识可知“222MF PM PF PO PF ≥+=+”,将问题转化为去求2MF 的长度.

【模拟训练4】已知(2,0)A -,(2,0)B ,(,)C m n . (1)若1m

=,n =ABC ?的外接圆的方程;

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(2)若以线段AB 为直径的圆O 过点C (异于点,A B ),直线2x =交直线AC 于点R ,线段BR 的中点为D ,试判断直线CD 与圆O 的位置关系,并证明你的结论.

【详细解析】(1)法1:设所求圆的方程为2

2

0x y Dx Ey F ++++=,

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∴42

n

t m =

+,

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【深度剖析】

名校试题来源:2012-2013广东省佛山市高三上学期质量检测 难度系数:★★★★ 综合系数:★★★★★

名师思路点拨:(1)设出圆的一般方程,带入点坐标进行求解;(2)直线与圆相切,证明圆心到直线的距离等于半径即可.

【模拟训练5】椭圆E :()22

2210x y a b a b +=>> 的一个焦点1(2,0)F -,点P 在椭

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圆E 上.

(Ⅰ)求椭圆E 的方程;

(Ⅱ)设点C 的坐标为(1,0),椭圆E 的另一个焦点为2F .试问:是否存在椭圆上的点Q 及以C 为圆心的一个圆,使圆C 与直线12,QF QF 都相切,如存在,求出Q 点坐标及圆C 的方程, 如不存在,请说明理由.

【详细解析】

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因为点在椭圆上,所以822

02

0=+y x ,

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【模拟训练6】已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>

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(1)求椭圆C 的方程;

(2)已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点.

①若线段AB 中点的横坐标为1

2

-,求斜率k 的值; ②已知点7

(,0)3

M -,求证: MA MB ? 为定值.

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