当前位置：文档库 › 2、分数的裂项(裂和及裂积)

2、分数的裂项(裂和及裂积)

分数裂项求和方法总结

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1(1) n n +型分数求和分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数）所以有裂项公式：111(1)1 n n n n =-++ （二）用裂项法求 1()n n k +型分数求和分析：1() n n k +型。（n,k 均为自然数）因为11111()[]()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++ （三）用裂项法求() k n n k +型分数求和分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝() k n n k + 所以 () k n n k +＝11n n k -+

（四）用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和分析： 2()(2) k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ （五）用裂项法求1()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和分析：1()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六）用裂项法求 3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和分析：3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3) k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 记忆方法： 1.看分数分子是否为1； 2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一； 3.不是1时不用再乘； 4.裂项时首尾各领一队分之一相减。

分数裂项求和方法总结

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求 1 (1) n n +型分数求和分析：因为 111n n -+＝11 (1)(1)(1) n n n n n n n n +-= +++（n 为自然数）所以有裂项公式： 111 (1)1 n n n n =- ++ 【例1】求 111 ......101111125960+++???的和。 111111111 ()()......()101111125960106012 =-+-++-= -= （二）用裂项法求 1 () n n k +型分数求和分析： 1 () n n k +型。（n,k 均为自然数）因为 11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 。所以1111()()n n k k n n k =-++ 【例2】计算11111577991111131315++++ ????? 111111*********()()()()()25727929112111321315= -+-+-+-+- 111111********* [()()()()()][]2577991111131315251515 =-+-+-+-+-=-= （三）用裂项法求 () k n n k +型分数求和分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】求 2222 (1335579799) ++++????的和 1111111198 (1)()()......( )13355797999999 =-+-+-++-=-= （四）用裂项法求 2()(2) k n n k n k ++型分数求和分析： 2()(2)k n n k n k ++（n,k 均为自然数）则 211 ()(2) ()()(2) k n n k n k n n k n k n k = - +++++ 【例4】计算： 4444 (135357939597959799) ++++???????? 11111111()()......()()133535579395959795979799 1132001397999603 =-+-++-+-????????=-= ?? （五）用裂项法求 1 ()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和分析： 1 ()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111 ()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例5】计算：111 ......1234234517181920+++ ????????? 1111111 [()()......()] 3123234 2343451718191819201111139[]312318192020520 =-+-++-????????????=--=???? （六）用裂项法求 3()(2)(3) k n n k n k n k +++型分数求和分析： 3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）

分数裂项练习题1

分数裂项练习题1 1. 11111 1223344556 ++++= ????? 。 2. 111 ...... 101111125960 +++ ??? 3. 2222 109985443 ++++=???? L 4.1111 11212312100 ++++ ++++++ L L L 5. 1111 133******** ++++=???? L 6.计算： 1111 25 1335572325 ?? ?++++= ? ???? ?? L 7.251251251251251 4881212162000200420042008 +++++ ????? L

分数裂项练习题1详解 1. 11111 1223344556 ++++= ????? 。【解析】原式 111111115 122356166?????? =-+-++-=-= ? ? ? ?????? L 2. 111 ...... 101111125960 +++ ??? 【解析】原式 111111111 ()()......() 101111125960106012 =-+-++-=-= 3. 2222 109985443 ++++=???? L 【解析】原式 11111111 2 910894534 ?? =?-+-++-+- ? ?? L 11 2 310 ?? =?- ? ?? 7 15 = 4.1111 11212312100 ++++ ++++++ L L L 【解析】原式 2222120099 2(1)1 122334100101101101101 =++++=?-==???? L L 5. 1111 133******** ++++=???? L 【解析】 111111111150 (1 13355799101233599101101 ++++=?-+-++-= ???? L…） 6.计算： 1111 25 1335572325 ?? ?++++= ? ???? ?? L 【解析】原式 111111 251 23352325 ?? =??-+-++- ? ?? L 11 251 225 ?? =??- ? ?? 2524 225 =?12 = 7.251251251251251 4881212162000200420042008 +++++ ????? L 【解析】原式 25111111 16122334500501501502??=?+++++ ? ????? ?? L 2511111111 1 1622334501502 ?? =?-+-+-++- ? ?? L 25150150121 15 165023232 =?==

分数拆分(裂项法)

2008年10月4日六年级基本公式：()111n n+1n n 1-+＝；推广形式：()111n n+d d n n d ??-??+?? 1＝例1、计算：11111122334989999100+++++?????=（1－21）＋（21－31）＋（31－4 1）＋……＋（991－100 1）=1－1001=10099。例2、计算：1111112612203042+++++=7 6；例3、计算：1111111357911104088154238340+++++=20 336；例4、计算：=?+++?++?++?+200120002001200043433232212122222222 200120004000 注意：拆分未必拆成两个分数之差，有的时候，需要拆成两个分数之和；可以利用公式： 11m+n m n mn +＝例5、计算：1111(1)(1)(1(1)2233441010 -?-?-??-???? (1120) 提示：1n n 1(n 1)(n 1)1n n n n n n ?--+- ==???。解：原式＝1324359112233441010????????????……＝111210?＝1120 例6、计算：60 59605859586035343602423260131211+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ = 解答：因为()2 1211121-=-??=-+++n n n n n n n n ，所以 ()886 59212 112 592221160 59605859586035343602423260131211=+++?+=++++=+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ 【课堂练习】 1. 计算：111116425672-+++=9 8；

分数裂项求和

学生曹一诺学校年级六年级科目数学教师陈作谦日期16年4月24日时段15:00-17:00 次数第一次课题分数裂项求和教学重点难点重点：清楚掌握几种简单的裂项求和的方法及其解答过程。难点：能判断所处题目的特点，并用其对应的方法进行解答。教学步骤及教学内容一、作业检查：平时成绩中上，卓师的小升初模拟试题测试结果，数学为46分二、课前热身：与学生探讨小升初的意义，互动中令学生明白考试的应对方式。三、内容讲解：先做几个题目：（1）+ ? + ? + ?7 5 2 5 3 2 3 1 2……+ 11 9 2 ? ，（2）求 2222 ...... 1335579799 ++++ ???? 的和这种题目就是分数裂项求和的运用。分数裂项求和，分成减法裂项和加法裂项：减法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的差；加法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的和。（1）+ ? + ? + ?7 5 2 5 3 2 3 1 2……+ 11 9 2 ? ，

解：原式= +?+?+?7 55 -7533-5311-3……+11 99-11? =( + ??+??+??)7 55-757()533-535()311-313 ……+( 11911 ?-11 99?) )11 191()7151()5131()3111(-+??+-+-+-= 11 191715151313111-+??+-+-+-= 11 111-= 11 10= （2）求 2222 (1335579799) ++++????的和解：原式=+?+?+?7 55-75 33-53 11-3……+99 9797-99? 1111111 (1)()()......() 3355797991 1999899 =-+-+-++-=-= 再看一道例题：例1：计算：72 17561542133011209127651-+-+-+ - 解：原式=98988787767665655454434332321?+-?++?+-?++?+-?++?+- ）（）（）（）（）（）（）（9 1818171716161515141413131211+-+++-+++-+++-= 9 18 18 17 17 16 16 15 15 14 14 13 13 12 11--++--++--++--= 9 11-=

分数乘法与分数裂项法

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 分数乘法与分数裂项法分数乘法与分数裂项法【专题解析】我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为 1。进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。【典型例题】——乘法分配律的妙用 44 例 1．计算：（1）×37 4567 2003 44 44 44 分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的与 1 只相差 1 个分数单位，如果把写成（1－） 45 45 45 67 的差与 37 相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。同样，第（2）题中可以把整数 2004 写成（2003+1）的和与 2003（2）2004× 相乘，再运用乘法分配律计算比较简便。 1/ 10

【举一反三】43 56 56 ×37 （2）×37 （3）×56 44 57 57 17 1 4 1 例 2．计算：（1）72 × （2）73 × 17 24 15 8 4 4 1 分析与解：（1）72 把改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。（2）73 把 17 17 15 16 改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 15计算：（1）【举一反三】4 7 计算：（1）20 × 7 10（2）166 13 × 13 32（3）573 1 × 13 8（4）641 1 × 17 9【小试牛刀】

分数裂项计算

分数裂项计算本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2) n n n ?+?+，1(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标

分数裂项求和标准个性化教案

分数裂项求和标准个性化教案公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

变形裂项：先变形为直接裂项。【典型例题】例1 计算：观察：直接裂项2 11121121-=?= 31 2132161-=?= 41 31431121-=?= ............. = 201 ( )()=?1（）-（） ( )()=?= 1 301（）-（）解：原式 = 651 541431321211?+ ?+?+?+? = 1-61 5151414131312121-+-+-+-+ = 1-61 = 65 例2 计算：7217 561542133011209127651-+-+-+- 观察：直接裂项3121323265+=?+= 41 314343127+=?+= 920= =?+545451 41+ ............... ()() 115630+==?（）+（） ()( ) 136742+==?（）+（）解：原式）（）（）（）（）（）（）（9 18 18 17 17 16 16 15 151414131312 11+-+++-+++-+++-= 例3.+?+?+?7 52532312……+ 1192 ? 变形裂项： .............. 解：原式)11 1 91()7 15 1()5 13 13 1 11-++-+-+-= （）（例4 1111111 248163264128 +++ +++ 观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一”

解：原式128 1 12811281641321161814121 - +++++++=）（例5 1 101 1811611411212 2222-+-+-+-+- 由)()(2 2 b a b a b a +?-=-知，可以将原式变形为：解：原式11 91 971751531311?+ ?+?+?+?= 牛刀小试：【我能行】 1． +?+?+?1999 19981199819971199719961……+ 200220011 ?+20021 2．521?+851?+1181?+……+29 261? 分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求 1 (1)n n +型分数求和分析：因为11 1n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数）所以有裂项公式：111 (1)1 n n n n =-++ 【例1】求111 (101111125960) +++ ???的和。（二）用裂项法求1 () n n k +型分数求和分析：1 ()n n k +型。（n,k 均为自然数）因为11111 ()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111 () ()n n k k n n k =-++ 【例2】计算11111577991111131315++++ ????? （三）用裂项法求 () k n n k +型分数求和分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11 n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k +

小学奥数分数求和专题总结

分数求和分数求和的常用方法： 1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。 2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。 3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。 4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。 5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。典型例题一、公式法：计算： 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 分析：这道题中相邻两个加数之间相差20081，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 =（20081＋2008 2007）×2007÷2 =2 11003 二、图解法：计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 分析：解法一，先画出线段图：从图中可以看出：21 ＋41＋81＋161＋321＋641=1－641=64 63 解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此，只要添上一个加数641，就能凑成32 1，依次向前类推，可以求出算式之和。 21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 =21 ＋41＋81＋161＋321＋（641＋641）－64 1 =21 ＋41＋81＋161＋（321+32 1）－641

…… = 21 ×2－64 1 =6463 解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分。设x= 21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 ① 那么，2x=（21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1）×2 =1+21 ＋41＋81＋161＋321 ② 用②－①得 2x －x=1+ 21 ＋41＋81＋161＋321－（21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1） x=64 63 所以，21 ＋41＋81＋161＋321＋641=6463 三、裂项法 1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋110 1 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。再变数型：因为 21=211?=1－21，61=321?=21－31，121=431?=31－4 1，……，1101=11101?=101-111。这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。 21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋110 1 =1－21＋21－31＋31－41＋……＋91－101＋101-11 1 =1－11 1 =11 10 2、计算：511?＋951?＋13 91?＋……＋33291?＋37331?

六年级分数-裂项法

知识要点和基本方法 1.2分数计算(裂项法) 分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技巧。对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力, 都有很大的帮助。公式: (1)平方差公式：a2 b2(a b) (a b) (2)等差数列求和公式: a i a2 a3 a n 1 a n 1 a1 2 a n n (3)分数的拆分公式: n(n 1) 1 n(n d) 裂项法：例1. 计算: 例2. 计算: 10X 11 1 2 3 _1 +11X 12 1 ..... +—— 3 4 99 1 +……+59X 60 1 100 例7. 例8. 例3. 1111 计算：2 + 6 + / + 20 1 1 + — + — +30 +42 例9. 例4. 计算: —1——+ -—— 10X 11 11X 12 1 +……+19X 20 例10. 例5. 1 1 计算2X 3 + 3X4 + 1 1 +6X7 +7X8 例11. 1 1 1 1 1 1 1 6 + ' —+— +— + 12 + 20 + 30 + 矗+56 + 72 1 1 1 1 1 1 + —+ + —- + —+ 3 15 35 63 99 143 1 1 1 1 1 4 4 7 7 10 10 13 13 2 2 2 2 2 3 15 35 63 99 1 丄丄丄 1 1 8 24 48 80 120 168 计算: 1 计算: 计算: 计算: 计算: 16 例6. 计算: 例12. 计算: 例13. 计算: 112 11 +丄+土+丄+丄+ 1 2 2 1 + — + 1 2 2 3 1 ----------- F 1 2 3 2 3 2 1 + Y +仝+丄 3 3 3 3 1 例14. 计算: 2X( 1 —丄)X 2丿 20052-------------- +……+ 12 3 4 「-亠) 20042 100 +……+ + 100 100 1 旦+……+ 100 1 100 X( 1 2 3 2005 1 1 1 —2) X ......... X( 1 ---------- ) 2003222

分数裂项求和标准个性化教案

分数裂项求和标准个性化教案 This manuscript was revised on November 28, 2020

两数之差。直接裂项加法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之和。变形裂项：先变形为直接裂项。【典型例题】例1 计算：观察：直接裂项2 11121121-=?= 312132161-=?= 4131431121-=?= ............. =201()()=?1 （）-（） ( )()=?= 1 301（）-（）解：原式 = 651 541431321211?+ ?+?+?+? = 1-61 5151414131312121-+-+-+-+ = 1-61 = 6 5 例2 计算：72 17561542133011209127651-+-+-+- 观察：直接裂项3121323265+=?+= 4 1314343127+=?+= 920==?+54545141+ ............... ()() 1156 30+==?（）+（） ( )( ) 1367 42 += =?（）+（）解：原式）（）（）（）（）（）（）（9 18 18 17 17 16 16 15 15 14 14 13 13 12 11+-+++-+++-+++-= 例3. +?+?+?7 52532312 (1192) 变形裂项： ..............

解：原式)11 1 91 ()715 1()5 13 13 111- ++-+-+-= （）（例4 1111111 248163264128 +++ +++ 观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一” 解：原式128 1 1281128164132116181 4 12 1- +++++ ++=）（例5 1 101 18116114112122222-+ -+-+-+- 由)()(22b a b a b a +?-=-知，可以将原式变形为：解：原式11 91 971751531311?+ ?+?+?+?= 牛刀小试：【我能行】 1． +?+?+?1999 19981199819971199719961……+ 200220011 ?+20021 2．521?+851?+1181?+……+29 261? 分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求 1 (1)n n +型分数求和分析：因为11 1n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数）所以有裂项公式：111 (1)1 n n n n =-++ 【例1】求111 (101111125960) +++ ???的和。（二）用裂项法求1 () n n k +型分数求和分析：1 ()n n k +型。（n,k 均为自然数）因为11111 ()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111 () ()n n k k n n k =-++ 【例2】计算11111577991111131315++++ ?????

分数裂项法解分数计算

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+???（2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例 1】 111111223344556 ++++=?????。【巩固】计算：111125133557 2325???++++= ???????L 【巩固】计算：3245671255771111161622222929 ++++++=?????? 【例 2】计算：11111111()1288244880120168224288 +++++++?= 【巩固】 11111111612203042567290 +++++++=_______ 【巩固】计算：1111111112612203042567290 --------＝【巩固】 11111104088154238 ++++=。【例 3】计算：1111135357579200120032005 ++++????????L 【例 4】计算：11111123420261220420 +++++L 【巩固】计算：11111200820092010201120121854108180270 ++++=。【巩固】计算：1122426153577 ++++=____。【巩固】计算：1111111315356399143195 ++++++ 【巩固】计算：15111929970198992612203097029900 +++++++=L ．【巩固】计算：1111232349899100 +++??????L 【巩固】计算：1111135246357202224++++????????L

分数裂项求和方法总结

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求n（_i_）型分数求和 1 1 分析：因为------ ------- n n 1 n 1 n n(n 1) n(n 1) （n为自然数） n（n 1）所以有裂项公式: 1 1 1 n(n 1) n n 1 【例 1】10 11 1 11 12 的和。 59 60 1 1 10 60 丄 12 （二）用裂项法求乔七型分数求和分析: 型。（n,k均为自然数） n（n k）因为 1(1 所以【例 2】 n(n k)] n(n k) n(n k) ") 1 计算5 7 9 11 11 13 13 15 1 勺 1(1 9 2'9 1 1、，1 1 )( 丄(丄丄) 2 11 13 1 1 )( 丄(1 1) 2 5 7 111 -[( )( )( ,、 ,、 2 5 7 7 9 9 11 11 1 3 13 15

2[515] 丄 15 （三）用裂项法求—「型分数求和 n（n k）分析： k - 型（n,k均为自然数） n（n k） 1 1 _ n k n k n n k n(n k) n(n k) n(n k) 所以 k _ 1 1 n(n k) n n k 亠2 2 2 2 【例3】求2的和 1 3 3 5 5 7 97 99 （四）用裂项法求仝型分数求和 n(n k)(n 2k) 分析：2k 均为自然数）分析： n（n k)(n (n,k 2k) 2k 1 1 n(n k)( n 2k) n(n k) (n k)( n 2k) 【例4】计算：- 4 4 4 4 1 1 1 1 (1 3)( ) (- 3 5 5 1 1 99 98 99

小学六年级数学难题：分数计算(裂项法)

、裂项法小学数学课本在讨论分数加减法时曾指出：两个分母不同的分数相加减，自然数，公分母正好是它们的乘积.把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题例1 计算：分析与解此题按常规方法先通分后再求和，显然计算起来十分繁杂是 1 ，而分母又都是相邻两个自然数的积，符合上面等式的要求.如果按上面等式把题目中的前12 个加数也分别写成两个单位分数之差的形式，就得到下面12 个等式：

上面12 个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法. 例2 计算：分析与解这里的每一项的分子是1，分母不是相邻两个自然数的积，但都是从 1 开始的连续若干个自然数的和，这使我们联想到计算公式：1+

当n分别取1，2，3，?，100时，就有即题目中的每一项都变成了一个分子为2、分母为相邻两个自然数乘积的形式，略加变形就得到例 1 的形式，仿照例 1 的方法便可求出解来

分析与解猛一看，此题似乎无法下手，而且与裂项法也没关系.但小学数学课本上曾说过，减法是加法的逆运算.换句话说，任一加法算式都可以改为这个题的答案是否只有这一个呢？如果不只一个，怎样才能找出所有答案呢？为此，我们来讨论这类问题的一般情况.设n、x、y 都是自然数，且当t=1 时，x=7，y=42，当t=2 时，x=8，y=24，当t=3 时， x=9，y=18，当t=4 时，x=10，y=15，当t=6 时，x=12，y=12，当t=9 时，x=15，y=10，

分数裂项计算

分数裂项求和方法复习总结

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1 (1) n n+ 型分数求和分析：因为11 1 n n - + ＝ 11 (1)(1)(1) n n n n n n n n + -= +++ （n为自然数）所以有裂项公式： 111 (1)1 n n n n =- ++ 【例1】求 111 (101111125960) +++ ??? 的和。 111111 ()()......() 101111125960 11 1060 1 12 =-+-++- =- = （二）用裂项法求1 () n n k + 型分数求和分析： 1 () n n k + 型。（n,k均为自然数）因为11111 ()[] ()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k + -=-= ++++ 所以 1111 () () n n k k n n k =- ++ 【例2】计算 11111 577991111131315 ++++ ????? 111111********* ()()()()() 25727929112111321315 =-+-+-+-+-11111111111 [()()()()()] 2577991111131315 =-+-+-+-+-

111[]2515115 =-= （三）用裂项法求() k n n k +型分数求和分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝() k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】求2222 (1335579799) ++++????的和 1111111(1)()()......()335579799 1199 9899 =-+-+-++-=-= （四）用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和分析： 2()(2) k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ 【例4】计算：4444 (135357939597959799) ++++????????

★★分数裂项法专题

1 1 1)1(1+-=+n n n n 1、60 591 1211111101?+ +?+? 2、90 1 72156142130120112161+++++++ 3、★100 993211 4321132112111++++++ ++++++++++ 4、从1到100这100个自然数中任取10个数，使它们的倒数和等于1，这10个数分别是多少 5、90 19721856174216301520141213 6121++++++++ 6、120 1 10519117816615514513612812111511016131+ +++++++++++ + 7、56 15 42133011209127311- +-+- 8、★19800 1 40124112141+ ++++ ??? ??+-=+k n n k k n n 111)(1 ?? ? ??+-=+k n n k n n k 11 )( 1、 15 131 131111191971751?+ ?+?+?+? 2、 100 971 1071741411?+ +?+?+?

3、 17 141 11 141119118158513521?+?+?+?+? 4、99 1 63135115131+ +++ 5、 10 71 851741631521?+ +?+?+?+? 6、 22 201 641531421311?+ +?+?+?+? 7、120 1 80148124181 + +++ 8、★200 4321 432132121+++++ ++++++ 9、★100 6421 642142121+++++ ++++++ ??? ? ??++-+=++)2)((1 )(121)2)((1k n k n k n n k k n k n n 1、 50 49481 6541543143213211??+ +??+??+??+?? 2、 100 98961 1086186416421??+ +??+??+?? 3、 99 97951 975175315311??- -??-??-?? 4、84 1 2101120160124161+ ++++ 5、 100 99982 6542543243223212??+ +??+??+??+?? ??? ? ??+++-++=+++)3)(2)((1 )2)((131)3)2)((1k n k n k n k n k n n k k n k n k n n （

2、分数的裂项(裂和及裂积)

分数裂项求和方法总结

最新分数裂项法解分数计算

分数裂项求和方法总结

分数裂项练习题1

分数拆分(裂项法)

分数裂项求和

分数乘法与分数裂项法

分数裂项计算

分数裂项求和标准个性化教案

小学奥数分数求和专题总结

六年级分数-裂项法

分数裂项求和标准个性化教案

分数裂项法解分数计算

分数裂项求和方法总结

小学六年级数学难题：分数计算(裂项法)

分数裂项计算

分数裂项求和方法复习总结

★★分数裂项法专题