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安徽省黄山市2013届高三第一次联考数学(理)试题 Word版含答案

黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测

数学（理科）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.

参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

3． m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四命题： ① 若γαβα//,//，则γβ//; ②若αβα//,m ⊥，则β⊥m ; ③ 若βα//,m m ⊥，则βα⊥; ④若α?n n m ,//，则α//m .

其中真命题的序号是（） A ．①③ B ．①④ C ．②③

D ．②④

4．设函数()3cos(2)sin(2)

(||)

2f x x x π

???=

+++<

，且其图象

关

于

直

线

x =对称，则

（）

()

y f x =的最小正周期为π，且在(0,

)

2π

上为增函数

B.()y f x =的最小正周期为π，且在

(0,

)

2π

上为减函数

C.()y f x =的最小正周期为2π

，且在

(0,

)

4π

上为增函数

D.()y f x =的最小正周期为2π

，且在

(0,

)

4π

上为减函数

5．如右图,若程序框图输出的S 是126,则判断框①中应为（） A ．?5≤n

B ．?6≤n

C ．?7≤n

D ．?8≤n

6．若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当[0,1]x ∈时，(),f x x =则方程

3()log ||

f x x =的解个数是（）

A ．0个

B ．2个

C ．4个

D ．6个

7．若{}

n a 是等差数列，首项公差0d <，10a >，且201320122013

()0a a a +>,则使数列{}n

a 的

前n 项和0

n S >成立的最大自然数n 是（）

A ．4027

B ．4026

C ．4025

D ．4024

8．已知00(,)

M x y 为圆

222

(0)

x y a a +=>内异于圆心的一点，则直线

00x x y y a

+=与

该圆的位置关系是（）

A 、相切

B 、相交

C 、相离

D 、相切或相交

9．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明

1111111

1...2(

...)2341

2n n n n -

+-++

+++ 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n =（）时等式成立

（）

A ．1n k =+

B ．2n k =+

C ．22n k =+

D ．2(2)n k =+

10. 已知向量α

、β

、γ

满足||1α= ，||||αββ-= ，()()0αγβγ-?-= ．若对每一确定的β

的最大值和最小值分别为m 、n ，则对任意

，m n -的最小值是（）

主视图俯视图

侧视图

A ．1

2 B ．1 C ．2

D ．2

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共共5小题，每小题5分，共25分

11.为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为万只．

12.二项式

22?

??? ??+x x 展开式中的第________项是常数项． 13．一个几何体的三视图如右图所示,主视图与俯视图都是一边长为3cm 的矩形,左视图是一个边长为2cm 的等边三角形,则这个几何体的体积为________．

14.已知z=2x +y ，x ，y 满足,

2,,

y x x y x a ≥??

+≤??≥?且z 的最大值是最小值

的4倍，则a 的值是． 15．给出如下四个结论：

① 若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；

② 命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b

≤-”；

③ 若随机变量~(3,4)N ζ，且(23)(2)P a P a ζζ<-=>+，则3a =； ④ 过点A （1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有2条．其中正确结论的序号是______________________________．

三、解答题：本大题共共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. （本小题满分12分）

已知函数()2

3sin cos cos f x x x x m =

-+()

R m ∈的图象过点π(

,0)

M .

（Ⅰ）求m 的值；

（Ⅱ）在△A B C 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围．

17．（本小题满分12分）

已知函数()e x

f x tx =+（e 为自然对数的底数）．

（Ⅰ）当e t =-时，求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，求实数t 的取值范围．

18．（本小题满分12分）

如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F 为CD 的中点．

（Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ；

（Ⅱ）求面ACD 和面BCE 所成锐二面角的大小．

19.（本小题满分12分）

某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过。已知6道备选题中考生甲

有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是32

，且每题正确完成与否互不影响。

（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；

（Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．

20.（本小题满分13分）

已知(1,0)F , P 是平面上一动点, P 到直线:1l x =-上的射影为点N ，且满足

1()0

2P N N F N F +?=

（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程;

（Ⅱ）过点(1,2)M 作曲线C 的两条弦,M A M B , 设,M A M B 所在直线的斜率分别为12k k

当

k k ,变化且满足

121

k k +=-时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点坐标．

21. （本小题满分14分）

已知数列{}n a 满足：

...2n

n a a a a n n

=+（其中常数*

0,n N λ>∈）．

（Ⅰ）求数列

{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求证：当4λ=时，数列{}n a 中的任何三项都不可能成等比数列；

（Ⅲ）设n

S 为数列

{}n a 的前n 项和．求证：若任意*n N ∈，(1)3

n n

S a λλ-+≥

参考答案

一、ACABB CDCB A

二、11,90；12，九；13，3

33cm ；14，1

4；15，②④

16.解：（Ⅰ）由

311

()sin 2(1cos 2)sin(2)2

2f x x x m x m π

=-++=-

……… 3分

因为点

(

,0)

M π

在函数()f x 的图象上，所以

1sin(2)0

m π

解得：

2m =

……………………5分

（Ⅱ）因为2c cos B b cos C a cos B +=，所以sin cos sin cos 2sin cos C B B C A B += 所以sin()2sin cos B C A B +=，即sin 2sin cos A A B =

又因为(0,)A π∈，所以sin 0A ≠,所以

cos 2B =

…………………… 9分

又因为(0,)B π∈，所以

2,3

3B A C π

π=

所以

270,236

6A A ππ

π<<

，所以

1sin(2),162A π

??-

∈- ???

所以()f A 的取值范围是1,12??

- ?

?? ……………………12分

17．解：（Ⅰ）当e t =-时，()e e x f x x =-，()e e x

f x '=-．

由

()e e >0

f x '=-，解得1x >；

()e e <0x

f x '=-，解得1x <．

∴函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞；单调递减区间是(,1)-∞． ……………… 5分（Ⅱ）依题意：对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，

即e 0x

tx +>即

t x >-

在(0,2]x ∈上恒成立．

令

()x

g x x =-

，∴

(1)e ()x

x g x x

-'=

．

当01x <<时，()0g x '>；当12x <<时，()0g x '<． ∴函数()g x 在(0,1)上单调递增；在(1,2)上单调递减．

所以函数()g x 在1x =处取得极大值(1)e g =-，即为在(0,2]x ∈上的最大值．

∴实数t 的取值范围是(,)e -+∞． …………………… 12分18．解：（Ⅰ）∵DE ⊥平面ACD ，AF ?平面ACD ，∴DE ⊥AF ．又∵AC=AD ，F 为CD 中点，∴AF ⊥CD ，

因CD ∩DE=D ，∴AF ⊥平面CDE. ……………… 4分（Ⅱ）取CE 的中点Q ，连接FQ ，因为F 为CD 的中点，则FQ ∥DE ，故DE ⊥平面ACD ，∴FQ ⊥平面ACD ，又由（Ⅰ）可知FD ，FQ ，FA 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图坐标系，

则F （0，0，0），C （1-，0，0），A （0，0，3），B （0，1，3），E （1，2，0）．

(1,1,3)

,(2,0)C B C E

………………6分

设面BCE 的法向量

(,,)

n x y z =

，则0,

0,n C B n C E ??=???=??

即30,

220,x y z x y ?++=??

+=??取(1,1,0)n =- ．

又平面ACD 的一个法向量为

(0,1,0)

FQ =

，

∴

0102cos ,2||||2

FQ n FQ n FQ n ?-+<>===

．

∴面ACD 和面BCE 所成锐二面角的大小为45°．

19，解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ的取值分别为1、2、3，η的取值分别,0、1、2、3，

42424233

131(1),(2),(3)5

C C C C C C P P P C C C ξξξ==

所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为： ξ

131()1232

E ξ=?+?+?

= (5)

分

因为2

~(3,)

3B η,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为： η

127

627

1227

827

16128()01232

2727

E η=?

= ………………8分

（Ⅱ）因为

31412820(2),(2)5

27P P ξη≥=

≥=

所以(2)(2)P P ξη≥>≥ ………………10分

从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强。 ………………10分 20解：（Ⅰ）设曲线C 上任意一点P(x,y), 又F(1,0)，N(－1,y),从而

(1,0),

P N x =--

(2,)N F y =- ,11(,)22P N N F x y +=-- ,2

11()02022P N N F N F x y +?=?-+=

化简得y2=4x, 即为所求的P 点的轨迹C 的对应的方程. ………………4分

（Ⅱ）设11,)

A x y （、

22,)

B x y （、

222

4:(21)

M B y k y x k ==

--、

2:(1)

M B y k x =-

将MB 与

4y x

=联立，得：

114480

k y y k --+=

∴11

y k =

- ①

同理 22

y k =

- ②

而AB 直线方程为: 211121

()

y y y y x x x x --=

--，即1212

4y y y x y y y y =

++ ③

………………8分

由①②:y1+y2=12121212

2()446444,4(

1)4(

k k k k y y k k k k k k k k k k ++--=

-=-

+=+

代入③，整理得

12(1)60

k k x y y ++++=恒成立………………10分

则

105

606x y x y y ++==?????

+==-?? 故直线AB 经过(5,-6)这个定点.. ………………13分 21．解：（Ⅰ）当n ＝1时，a1＝3．

当n ≥2时，因为a1＋a2λ＋a3λ2＋…＋an λn －1＝n2＋2n ， ①

所以a1＋a2λ＋ a3

λ2＋…＋an －1λn －2

＝(n －1)2＋2(n －1)． ②

－②得an

λn －1＝2n ＋1，所以an ＝(2n ＋1)·λn －1（n ≥2，n ∈N*）．……………… 3分

又 a1＝3也适合上式，

所以an ＝(2n ＋1)·λn －1 (n ∈N*)． …………………… 4分（Ⅱ）当λ＝4时，an ＝(2n ＋1)·4n －1．

（反证法）假设存在ar ，as ，at 成等比数列，

则[(2r ＋1) ·4r －1]· [(2t ＋1) ·4t －1]＝(2s ＋1)2 ·42s －2．整理得(2r ＋1) (2t ＋1) 4 r ＋t －2s ＝(2s ＋1)2．

由奇偶性知r ＋t －2s ＝0．

所以(2r ＋1) (2t ＋1)＝(r ＋t ＋1)2，即(r －t)2＝0．这与r≠t 矛盾，

故不存在这样的正整数r ，s ，t ，使得ar ，as ，at 成等比数列． ……… 8分（Ⅲ）Sn ＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n ＋1)λn －1．

当λ＝1时，Sn ＝3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＝n2＋2n ． ………… 10分当λ≠1时，Sn ＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n ＋1)λn －1， λSn ＝ 3λ＋5λ2＋…＋(2n －1)λn －1＋(2n ＋1)λn ．

(1－λ)Sn ＝3＋2(λ＋λ2＋λ3＋＋…＋λn －1)－(2n ＋1)λn ＝3＋2×λ(1－λn －1)

1－λ －(2n ＋1)λn ．

①当λ＝1时，左＝(1－λ)Sn ＋λan ＝an ＝2n ＋1≥3，结论显然成立；

②当λ≠1时，左＝(1－λ)Sn ＋λan ＝3＋2×λ(1－λn －1)

1－λ －(2n ＋1)λn ＋λan

＝3＋2×λ(1－λn －1)

1－λ

而0λ>，1λ-和11n λ--同号，故λ(1－λn －1) 1－λ

≥0

∴ (1)3

n n S a λλ-+≥对任意*

n N ∈都成立 ………… 14分

宁夏银川一中高三第四次月考数学理试题含答案

银川一中2020届高三年级第四次月考理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=，若}1{=B A I ，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2．设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z = A ．10 B ．9i -- C ．9i -+ D ．-10 3．已知向量)4,(),3,2(x b a ==，若)(b a a -⊥，则x = A ． 2 1 B ．1 C ． 2 D ．3 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若βαβα//,,??n m ，则n m // B ．若βαα//,?m ，则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ，则α//n D ．若βα??n m ,，l =βαI ，且l n l m ⊥⊥,，则βα⊥ 6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是 A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演 C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演 7．函数x e x f x cos )112 ( )(-+=（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是

高三数学第一次月考数学(理)试题

河南内乡一高高三数学第一次月考数学（理）试题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （注意：在试题卷上作答无效） 1..已知集合 {}1|23,|lg 4x x A y y B x y x -? ?==+==?? -??，则A B =（） A. ? B. ()3,+∞ C. ()3,4 D. ()4.+∞ 2. 若函数()(1)cos f x x x =， 02x π ≤< ，则()f x 的最大值为（） A ．1 B ．2 C 1 D 2 3.命题“存在0x ∈R ，0 2 x ≤0”的否定是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）（A ）不存在 0x ∈ R, 0 2x >0 （B ）存在0x ∈R, 0 2 x ≥0 （C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x >0 4.“α，β，γ成等差数列”是“sin(α+γ)＝sin2β成立”的（）条件 A.必要而不充分 B.充分而不必要 C.充分必要 D.既不充分又不必要 5.定义在R 上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A. B. C. D. 6.设＜b,函数的图像可能是（）（） 7.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则(2009)(2010)f f -+的值为 A ． B ． C ． D ． )(x f (4)()f x f x -=-(25)(11)(80)f f f -<<(80)(11)(25)f f f <<-(11)(80)(25)f f f <<-(25)(80)(11)f f f -<