1.(2010、山东)(本小题满分12分)
已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令b n =
2
11
n a -(n ∈N *
),求数列{}n b 的前n 项和n T . 2. (2010、天津)(本小题满分14分) 在数列{}n a 中,10a =,且对任意*k N ∈k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等差数列,其公差
为k d 。
(Ⅰ)若k d =2k ,证明21222,,k k k a a a -+成等比数列(*k N ∈); (Ⅱ)若对任意*k N ∈,21222,,k k k a a a -+成等比数列,其公比为k q .
(i )设1q ≠1.证明11k q ????-??
是等差数列;
(ii)若22a =,证明22322(2)2k n
k
k n n a ∑
-<-≤≥
3、(2009浙江)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,2
n S kn n =+,*
n N ∈,其中k 是常数.
(I ) 求1a 及n a ;
(II )若对于任意的*
m N ∈,m a ,2m a ,4m a 成等比数列,求k 的值.
4.(2009北京)设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *
=+∈>. 数列{}n b 定义如下:对于正整数m ,m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值. (Ⅰ)若11
,23
p q =
=-,求3b ; (Ⅱ)若2,1p q ==-,求数列{}m b 的前2m 项和公式;
(Ⅲ)是否存在p 和q ,使得32()m b m m N *
=+∈?如果存在,求p 和q 的取值范围;如果不存在,请说明理由.
5.(2009山东)等比数列{n a }的前n 项和为n S , 已知对任意的n N +
∈ ,点(,)n n S ,均
在函数(0x
y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. (1)求r 的值; (11)当b=2时,记 1
()4n n
n b n N a ++=
∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 6.(2009全国卷Ⅱ)已知等差数列{n a }中,,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s . 7.(2009安徽)已知数列{} 的前n 项和,数列{
}的前n 项和
(Ⅰ)求数列{}与{
}的通项公式;
(Ⅱ)设
,证明:当且仅当n ≥3时,
<
8.(2009江西)数列{}n a 的通项2
2
2(cos sin )33
n n n a n ππ
=-,其前n 项和为n S . (1) 求n S ; (2) 3,4n
n n
S b n =
?求数列{n b }的前n 项和n T . 9、 (2009天津)已知等差数列}{n a 的公差d 不为0,设1
21-+++=n n n q
a q a a S
*1121,0,)1(N n q q a q a a T n n n n ∈≠-++-=--
(Ⅰ)若15,1,131===S a q ,求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)若3211,,,S S S d a 且=成等比数列,求q 的值。
(Ⅲ)若*
2
222,1)1(2)1(1,1N n q
q dq T q S q q n n n ∈--=+--±≠)证明(
10. (2009全国卷Ⅱ理)设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ (I )设12n n n b a a +=-,证明数列{}n b 是等比数列 (II )求数列{}n a 的通项公式。
11. (2009辽宁)等比数列{n a }的前n 项和为n s ,已知1S ,3S ,2S 成等差数列 (1)求{n a }的公比q ;
(2)求1a -3a =3,求n s
12. (2009陕西)已知数列{}n a 满足, *1
1212,,2
n n n a a a a a n N ++=∈’+2==
. ()I 令1n n n b a a +=-,证明:{}n b 是等比数列;
(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。
13.(2009湖北)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列, 且满足a 3a 6=55, a 2+a 7=16. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式:
(Ⅱ)若数列{a n }和数列{b n }满足等式:a n ==)(2
...222n 33221为正整数n b
b b b n +++,求数列{b n }的前n 项和S n
14. (2009福建)等比数列{}n a 中,已知142,16a a == (I )求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项,试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。
15(2009重庆)(本小题满分12分,(Ⅰ)问3分,(Ⅱ)问4分,(Ⅲ)问5分) 已知1
12211,4,4,,n n n n n n
a a a a a a
b n N a *+++===+=∈. (Ⅰ)求123,,b b b 的值;
(Ⅱ)设1,n n n n c b b S +=为数列{}n c 的前n 项和,求证:17n S n ≥; (Ⅲ)求证:22
11
6417n n n b b --<
. 15.(2008四川卷). 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()21n
n n ba b S -=-
(Ⅰ)证明:当2b =时,{}
12n n a n --?是等比数列;
(Ⅱ)求{}n a 的通项公式
16.(2008江西卷)数列{}n a 为等差数列,n a 为正整数,其前n 项和为n S ,数列{}n b 为等比数列,且113,1a b ==,数列{}n a b 是公比为64的等比数列,2264b S =.
(1)求,n n a b ; (2)求证
1211134
n S S S +++< . 17..(2008湖北).已知数列{}n a 和{}n b 满足:
1a λ=,12
4,(1)(321),3
n n n n n a a n b a n +=
+-=--+其中λ为实数,n 为正整数. (Ⅰ)对任意实数λ,证明数列{}n a 不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列{}n b 是否为等比数列,并证明你的结论;
(Ⅲ)设0a b <<,n S 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ,使得对任意正整数n ,都有n a S b <
3
n n a S +=,n =1,2,3,……,求 (I )a 2,a 3,a 4的值及数列{a n }的通项公式; (II )2462n a a a a ++++ 的值.
19.(2005福建)已知{n a }是公比为q 的等比数列,且231,,a a a 成等差数列. (Ⅰ)求q 的值;
(Ⅱ)设{n b }是以2为首项,q 为公差的等差数列,其前n 项和为S n ,当n ≥2时,比较
S n 与b n 的大小,并说明理由.
.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当
20.(2006全国高考卷Ⅱ,理)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且方程x 2-a n x-a n =0有一根为S n -1,n=1,2,3,…. (1)求a 1,a 2;
(2)求{a n }的通项公式.
21.(2006北京高考,理20)在数列{a n }中,若a 1,a 2是正整数,且a n =|a n-1-a n-2|,n=3,4,5,…,则称{a n }为“绝对差数列”.
(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);
(2)若“绝对差数列”{a n }中,a 20=3,a 21=0,数列{b n }满足b n =a n +a n+1+a n+2,n=1,2,3,…,分别判断当n→∞时,a n 与b n 的极限是否存在,如果存在,求出其极限值; (3)证明任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 22.(2006天津,理)已知数列{x n }、{y n }满足x 1=x 2=1,y 1=y 2=2,并且
n n x x 1+=λ1-n n x x ,n n y y 1+≥λ1
-n n y y
(λ
为非零参数,n=2,3,4,…).
(1)若x 1、x 3、x 5成等比数列,求参数λ的值; (2)当λ>0时,证明
11++n n y x ≤n
n
y x (n ∈N *); (3)当λ>1时,证明
2211y x y x --+3322y x y x --+…+11++--n n n n y x y x <1
-λλ
(n ∈N *).
23.(2006辽宁,理)已知f 0(x)=x n ,f 1(x)=
)
1()(11--k k f x f .其中k≤n(n 、k ∈N *).设F(x)=0
n C f 0(x 2)+
1n C f 1(x 2)+…+k n C f n (x 2)+…+n n C f n (x 2),x ∈[-1,1].
(1)写出f k (1);
(2)证明:对任意的x 1、x 2∈[-1,1],恒有|F(x 1)-F(x 2)|≤2n-1(n+2)-n-1. 24.(2006江苏高考,21)设数列{a n }、{b n }、{c n }满足: b n =a n -a n+2,c n =a n +2a n+1+3a n+2(n=1,2,3,…),
证明{a n }为等差数列的充分必要条件是{c n }为等差数列且b n ≤b n+1(n=1,2,3,…). 25.(2006福建,理)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足1
12144--b b (1)
4
-n b =n b
n a )1(+(n ∈N *),证明{b n }是等差数列;
(3)证明
2n -31<21a a +3
2a a +…+1+n n a a <2n
(n ∈N *).
26,(2006湖北,理)已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x -2.数列{a n }
的前n 项和为S n ,点(n,S n )(n ∈N *)均在函数y=f(x)的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =13+n n a a ,T n 是数列{b n }的前n 项和,求使得T n <20
m
对所有n ∈N *都成立的最小正整
数m.
数列经典解题思路 求通项公式 一、观察法 例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式: (1)9,99,999,9999,… (2) K ,1716 4,1093,542,211 (3) K ,52,2 1,32 ,1 解:(1)110-=n n a (2);122++=n n n a n (3);12 +=n a n 二、公式法 例1. 等差数列{}n a 是递减数列,且432a a a ??=48,432a a a ++=12,则数列的通项公式是 ( D ) (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 例2. 已知等比数列{}n a 的首项11=a , 公比10< 数学基础知识例题 数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案 例1. 当1=n 时,111==S a ,当2n ≥时,34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 例2. 解:∵1--=n n n S S a ,∴ n n n S S 221=--,∴12 211 =---n n n n S S 设n n n S b 2= 则{}n b 是公差为1的等差数列,∴11-+=n b b n 又∵2 322111=== a S b , ∴ 212 +=n S n n ,∴12)12(-+=n n n S ,∴当2n ≥时 2 12)32(--+=-=n n n n n S S a ∴????+=-2 2 )32(3 n n n a (1)(2)n n =≥,12)12(-+=n n n S 例3 解:1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有11 1 -+-=n n a n n a ∵11=a ,∴312=a ,31423?=a ,3142534??=a ,3 1 4253645???=a , ∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=???-+????--=n n n n n n n a n ,∴122+==n n a n S n n . 例4.解:)111(2)1(23211+-=+=++++= n n n n n a n ∴12)111(2)111()3 1 21()211(2+= +-=??????+-++-+-=n n n n n S n 例5.A 例6. 解:1324321-+++++=n n nx x x x S ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ② ①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211 , 当1≠x 时,()()x nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n n n -++-=-+--=---=-++1111111111 ∴()() 2 1111x nx x n S n n n -++-=+; 当1=x 时,()2 14321n n n S n +=++++= 例7.C 例8.192 例9.C 例10. 解:14582 54 54255358-=-? =?==a a a q a a 另解:∵5a 是2a 与8a 的等比中项,∴25482-?=a ∴14588-=a 例11.D 例12.C 例13.解:12311=-==S a , 当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足 ∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n 例14. 解一:设首项为1a ,公差为d 则???? ????? = ??+??++=?+1732225662256)(635421112121 11d a d d a d a 5=?d 解二:??? ??==+27 32354 奇偶偶奇S S S S ???==?162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶5=?d 例15. 解:∵109181a a a a =,∴205 100 110918===a a a a 例16. 解题思路分析: 法一:利用基本元素分析法 设{a n }首项为a 1,公差为d ,则71151 76772 151415752 S a d S a d ?? =+=?????=+=??∴ 121a d =-??=? ∴ (1)22n n n S -=-+∴ 15 2222 n S n n n -=-+=-此式为n 的一次函数 ∴ {n S n }为等差数列∴ 21944n T n n =- 法二:{a n }为等差数列,设S n =An 2 +Bn ∴ 2 72 157******** S A B S A B ?=?+=??=?+=?? 解之得:12 5 2 A B ?=????=-??∴ 21522n S n n =-,下略 注:法二利用了等差数列前n 项和的性质 例17.解:设原来三个数为2,,aq aq a 则必有 )32(22-+=aq a aq ①,)32()4(22-=-aq a aq ② 由①: a a q 24+=代入②得:2=a 或9 5 =a 从而5=q 或13 ∴原来三个数为2,10,50或9 338 ,926,92 例18.70 例19. 解题思路分析: ∵ {a n }为等差数列∴ {b n }为等比数列 数列常见题型总结经典(超 级经典) -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 高中数学《数列》常见、常考题型总结 题型一 数列通项公式的求法 1.前n 项和法(知n S 求n a )???-=-11n n n S S S a ) 2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=,求数列|}{|n a 的前n 项和n T 1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=,求该数列的通项公式。 2、若数列}{n a 的前n 项和32 3-= n n a S ,求该数列的通项公式。 3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ,数列}{n S 的前n 项和为n T ,满足22n S T n n -=, 求数列}{n a 的通项公式。 2.形如)(1n f a a n n =-+型(累加法) (1)若f(n)为常数,即:d a a n n =-+1,此时数列为等差数列,则n a =d n a )1(1-+. (2)若f(n)为n 的函数时,用累加法. 例 1. 已知数列{a n }满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明2 13-=n n a 1. 已知数列{}n a 的首项为1,且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列}{n a 满足31=a ,)2() 1(11≥-+=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式. 3.形如)(1n f a a n n =+型(累乘法) (1)当f(n)为常数,即:q a a n n =+1(其中q 是不为0的常数),此数列为等比且n a =11-?n q a . (2)当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111 ,1-+==n n a n n a a )2(≥n ,求数列的通项公式。 1、在数列}{n a 中111 1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ,求n n S a 与。 1.(本题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =, (1)证明:数列{}n a 是等比数列; (2)若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=,12b =,求数列{}n b 的通项公式. ; 2.(本小题满分12分) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S 。 ~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式; (Ⅱ)设b n=(4﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n. % 5.已知数列{a n}满足,,n∈N×. (1)令b n=a n+1﹣a n,证明:{b n}是等比数列; (2)求{a n}的通项公式. { 、 ~ 、 1.解:(1)证:因为34-=n n a S (1,2,)n =,则3411-=--n n a S (2,3,)n =, 所以当2n ≥时,1144n n n n n a S S a a --=-=-, 整理得14 3 n n a a -=. 5分 由34-=n n a S ,令1n =,得3411-=a a ,解得11=a . 所以{}n a 是首项为1,公比为4 3 的等比数列. 7分 (2)解:因为14 ()3 n n a -=, ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=,得114 ()3 n n n b b -+-=. 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b 高中数列经典题型-大 全 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 高中数学:《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ,n n a a n n ++=+211,求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 例:已知31=a ,n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ,求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。 例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 变式:递推式:()n f pa a n n +=+1。解法:只需构造数列{}n b ,消去()n f 带来的差异. 类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。 (1n n n a pa rq +=+,其中p ,q, r 均为常数) 。 例:已知数列{}n a 中,651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ,求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 解法一(待定系数——迭加法):数列{}n a : ),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,,求数列{}n a 的通项公式。 解法二(特征根法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征方程是:02532=+-x x 。 32,121==x x Θ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,,于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 3 13212+=++,求n a 。 类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法:这种类型一般利用???≥???????-=????????????????=-) 2()1(11n S S n S a n n n 与 例:已知数列{}n a 前n 项和2214-- -=n n n a S .(1)求1+n a 与n a 的关系;(2)求通项公 式n a . 类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠,a 、p 解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令 )()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++,与已知递推式比较,解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。 例:设数列{}n a :)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ,求n a . 高中数学必修5数列题目精选精编 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 312n n a -= . 解:(1)2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . (2)证明:由已知1 13--=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++=L , 所以证得312n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{ }n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{ }n b 的各项为正, 其前n 项和为n T ,且315T =,又112233 ,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公比为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k * ∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由. 点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式, 可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=. 高中数列经典习题(含 答案) 1、在等差数列{a n }中,a 1=-250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和, (1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除. 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12>0,S 13<0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围; (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由. 3、数列{n a }是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项为正,从第7项开始变为负的,回答下列各问:(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值. 4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S . 5、已知数列{n a }的前n 项和3 1=n S n(n +1)(n +2),试求数列{n a 1}的前n 项和. 6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设 2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答:(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为i m ,求证111+m ,112+m ,113+m ,…, 1 1+n m ,…也成等差数列. 7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根, 当a 1=2时,试求c 100的值. 8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比. 数列百通 通项公式求法 (一)转化为等差与等比 1、已知数列{}n a 满足11a =,n a =,n N *∈2≤n ≤8),则它的通项公式n a 什么 2.已知{}n a 是首项为2的数列,并且112n n n n a a a a ---=,则它的通项公式n a 是什么 3.首项为2的数列,并且23 1n n a a -=,则它的通项公式n a 是什么 4、已知数列{}n a 中,10a =,112n n a a += -,* N n ∈. 求证:11n a ?? ??-?? 是等差数列;并求数列{}n a 的通项公式; 5.已知数列{}n a 中,13a =,1222n n a a n +=-+,如果2n n b a n =-,求数列{}n a 的通项公式 (二)含有n S 的递推处理方法 1)知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n +1)=n +1,求数列{a n }的通项公式. 2.)若数列{}n a 的前n 项和n S 满足,2 (2)8 n n a S +=则,数列n a 3 4)1a +求数列a (三) 累加与累乘 (1)如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a (2)已知数列}{n a 满足31=a ,)2() 1(1 1≥-+=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式 (3) 1a = (4 (四)一次函数的递推形式 1. 若数列{}n a 满足111 1,12 n n a a a -==+(2)n ≥,数列n a 2 .若数列{}n a 满足111 1,22 n n n a a a -==+ (2)n ≥,数列n a (1 (2 (六)求周期 16 (1) 121,41n n n a a a a ++==-,求数列2004a 高中数学:《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ,n n a a n n ++=+2 11 ,求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。 例:已知31=a ,n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ,求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。 例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 变式:递推式:()n f pa a n n +=+1。解法:只需构造数列{}n b ,消去()n f 带来的差异. 类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。 (1n n n a pa rq +=+, 其中p ,q, r 均为常数) 。 例:已知数列{}n a 中,65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ,求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。 解法一(待定系数——迭加法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,,求数列{}n a 的通项公式。 解法二(特征根法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征 方程是:02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,,于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++,求n a 。 精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数,4352,,4a a a 成等差数列,且2322a a =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设()()25 2123n n n b a n n += ++,求数列{}n b 的前n 项和n S . 2.已知数列{}n a 满足:11a =,且对任意∈n N *都有 n a ++ += . (Ⅰ)求2a ,3a 的值; (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式; n n a a ++∈n N *). 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ (1)求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ (2)设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证:121+=+n n b b ; (3)求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4.设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n .(1)求数列}{n a 的通项公 式;(2)证明:对于一切正整数n ,121+≤+n n b a . 5: 已知数列{}n a 是等差数列,() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 (1)判断数列{}n c 是否是等差数列,并说明理由;(2)如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ,试写出数列{}n c 的 通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{}n c 得前n 项和为n S ,问是否存在这样的实数k ,使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在,求出k 的取值范围; 强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1.{a n }是首项a 1=1,公差为d =3的等差数列,如果a n =2 005,则序号n 等于( ). A .667 B .668 C .669 D .670 2.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3+a 4+a 5=( ). A .33 B .72 C .84 D .189 3.如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,则( ). A .a 1a 8>a 4a 5 B .a 1a 8<a 4a 5 C .a 1+a 8<a 4+a 5 D .a 1a 8=a 4a 5 4.已知方程(x 2 -2x +m )(x 2 -2x +n )=0的四个根组成一个首项为4 1 的等差数列,则 |m -n |等于( ). A .1 B . 4 3 C . 2 1 D . 8 3 5.等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为( ). A .81 B .120 C .168 D .192 6.若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ). A .4 005 B .4 006 C .4 007 D .4 008 7.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列, 则a 2=( ). A .-4 B .-6 C .-8 D . -10 8.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若35a a =9 5 ,则59S S =( ). A .1 B .-1 C .2 D . 2 1 9.已知数列-1,a 1,a 2,-4成等差数列,-1,b 1,b 2,b 3,-4成等比数列,则2 1 2b a a 的值是( ). A . 2 1 B .- 2 1 C .- 21或2 1 D . 4 1 10.在等差数列{a n }中,a n ≠0,a n -1-2 n a +a n +1=0(n ≥2),若S 2n -1=38,则n =( ). A .38 B .20 C .10 D .9 《2.3 等差数列的前n项和》测试题 一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列,,,则该数列前10项和 等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的:考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案:B 解析:设的公差为. ∵,,∴两式相减,得,.∴,. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和,若,公差, ,则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的:考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案:D 解析:由得,,即,将, 代入,解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和,则下列命题错误的是( ) A.若,则数列有最大项 B.若数列有最大项,则 C.若数列是递增数列,则对任意,均有 D.若对任意,均有,则数列是递增数列 考查目的:考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案:C 解析:根据等差数列的前项和公式,可得,因为,所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时,该抛物线开口向下,所以这群孤立的点中一定有最高点,即数列有最大项;反之也成立,故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的,举出反例:等差数列-1,1,3,5,7,…满足数列是 递增数列,但.对于选项D的命题,由,得, 因为此式对任意都成立,当时,有;若,则,与矛盾,所以一定有,这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题 4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和,且,,则 . 考查目的:考查等差数列的性质及基本运算. 答案:81. 解析:设的公差为. 由,,得,. ∴,故. 5.(2008湖北理)已知函数,等差数列的公差为. 若 ,则 . 考查目的:考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质,考查运算求解能力. 答案:. 解析:∵是公差为的等差数列,∴,∴ ,∴,∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若,,则 ____. 考查目的:考查等差数列的性质及基本运算. 答案:10. 解析:设等差数列前项和为. ∵,∴;∵ ,∴. ∴,故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为,且,求: ⑴的通项公式及前项和; ⑵. 考查目的:考查等差数列通项公式、前项和的基本应用,考查分析问题解决问题的能力. 答案:⑴;.⑵ 解析:设等差数列的公差为,依题意,得,解得. ⑴; ⑵由,得.高中数学数列基础知识与典型例题
数列常见题型总结经典(超级经典)
高考文科数学数列经典大题训练(附答案)
高中数列经典题型-大全教学教材
高中数学必修5 数列经典例题集锦
高中数列经典习题(含答案)讲解学习
数列全部题型归纳(非常全面-经典!)(新)
高中数列经典题型 大全
精品高考数列经典大题
高一数学《数列》经典练习题-附答案
数列典型例题(含答案)
数列j经典大题讲解与训练(详细答案)