微积分习题课一(多元函数极限、连续、可微及偏导)题目_777705511

习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）

一．累次极限与重极限

例.1 ()y x f ,=

?

?=?≠?+0,00,1sin 1sin y x y x x

y y x

例.2

???

??=+≠++=0

03),(22222

2y x y x y x xy

y x f

例.3 22

222(,)()

x y f x y x y x y =+-，证明：()()0,lim lim ,lim lim 0000==→→→→y x f y x f y x x y ，而二重极限()y x f y x ,lim 0

→→不存在。

一般结论：

二．多元函数的极限与连续，连续函数性质

例.4 求下列极限：

（1）

1

1

)

0,1(),()

(lim -+++→+y x y x y x y x ； （2）

)ln()(lim 22)

0,0(),(y x y x y x ++→;

（3）

(,)(0,0)sin()

lim

x y xy x

→；

（4）22lim

x y x y

x xy y →∞→∞

+-+；

（5）2

2

()

lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞

+。

例.5 证明：极限0)

(

lim 2

2

2)

,(),(=+∞∞→x y x y x xy ．

例.6

若()y x f z ,=在2

R 上连续, 且

()22

lim ,x y f x y +→+∞

=+∞, 证明 函数f 在2R 上一

定有最小值点。

例.7 )(x f 在n R 上连续,且

(1) 0x ≠时, 0)(>x f (2) ,0>?c )()(x x cf c f =

例.8

若),(y x f 在)0,0(点的某个邻域内有定义，0)0,0(=f ，且

a y

x y x y x f y x =++-→2

2

2

2)

0,0(),(),(lim

a 为常数。证明：

（1）),(y x f 在)0,0(点连续；

（2）若1-≠a ，则),(y x f 在)0,0(点连续，但不可微； （3）若1-=a ，则),(y x f 在)0,0(点可微。

例.9 函数??

???=+≠+++=0,00),sin(),(2

22

2222

2y x y x y x y x xy

y x f 在)0,0(点是否连续?

(填是或否)；在)0,0(点是否可微? (填是或否)．

三．多元函数的全微分与偏导数

例.10 有如下做法：

设),()(),(y x y x y x f ?+=其中),(y x ?在)0,0(点连续, 则

[][]

dy y x y x y x dx y x y x y x y x df y x ),()(),(),()(),(),(????+++++= 令0,0==y x , ))(0,0()0,0(dy dx df +=?.

(1)指出上述方法的错误； (2)写出正确的解法.

例.11

设二元函数),(y x f 于全平面2

?上可微，),(b a 为平面2

?上给定的一点，则极限

=--+→x

b x a f b x a f x )

,(),(lim

。

例.12

设函数),(y x f 在)1,1(点可微，1)1,1(=f ，2)1,1(='x f ，3)1,1(='y f ，

)),(,()(x x f x f x g =，求)1(g '。

例.13 设),,(2

x y y x f z =其中2

C f ∈，求x z ??和y

x z ???2。

例.14 设()y x z ,定义在矩形区域(){}

b y a x y x D ≤≤≤≤=0,0,上的可微函数。证明: （1）()()()0,

,,≡??∈??=x

z

D y x y f y x z ; （2）()()()()0,,,2≡???∈??+=y

x z

D y x y g y f y x z

例.15

n 为整数，若任意0,t >(,)(,)n f tx ty t f x y =，则称f 是n 次齐次函数。证明：

(,)f x y 是零次齐次函数的充要条件是

0.f f x y x y

??+=?? 例.16

下列条件成立时能够推出),(y x f 在),(00y x 点可微,且全微分0=df 的是

（ ）.

(A) 在点),(00y x 两个偏导数0,0='='y x f f (B)),(y x f 在点),(00y x 的全增量2

2y

x y x f ?+???=?,

(C)),(y x f 在点),(00y x 的全增量2

2

22)sin(y

x y x f ?+??+?=

?

(D) ),(y x f 在点),(00y x 的全增量2

222

1

sin )(y

x y x f ?+??+?=?

例.17 设xy y x f =

),(,则在)0,0(点( B )

(A) 连续,但偏导数不存在； (B) 偏导数存在,但不可微； (C) 可微； (D) 偏导数存在且连续.

例.18 设y

x

z arcsin

=，求dz . 例.19

y

x y

x u +-=arctan

，则=u d

例.20

设函数)2(cos 22

y x z -=，证明02222=??+???y

z

y x z ．

例.21

设函数xy y x z )2(+=，求

x z ??及y

z

??． 例.22

若函数)(u f 有二阶导数，设函数)()(1y x yf xy f x z ++=，求y

x z

???2．

例.23

设函数y x y x z -+=arctan ，求x z ??，y z ??，y x z

???2

例.24

设),,(2

x y y x f z =其中2

C f ∈，求x z ??和y

x z ???2。

*多元复合函数

设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点

),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数

)),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且

()()()()

x y x v v v u f x y x u u v u f x

z y x ?????+?????=

00000000)

,(,,,,00??()()()()y

y x v v v u f y y x u u v u f y

z

y x ?????+?????=

00000000)

,(,,,,00??

*多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微，则将

z 看成y x ,的函数，有

dy y

z dx x z dz ??+??=

计算

y

v

v f y u u f y z x

v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v

f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??=

???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+???

??????+????=??+??=

我们将dv v

f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??=叫做微分形式不变性。 例.25 设??

?

??

=x y xy f x z ,

3，求y z x z ????,。

例.26 已知 )

1(1

x

y x

-=，求

dy dx

. 例.27

设),(y x f 定义在2R 上, 若它对x 连续,对y 的偏导数在2

R 上有界, 证明)

,(y x f 连续．

第二章极限习题及答案：函数的连续性

函数的连续性 分段函数的极限和连续性 例 设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间． 分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续． 解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续． （3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）． 说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在． 函数的图象及连续性 例 已知函数2 4)(2 +-= x x x f ， （1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；

（2）求）x f (的不连续点0x ； （3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数． 分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图． （2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数． 说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致． 利用函数图象判定方程是否存在实数根 例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根．

第十六章多元函数的极限与连续习题课

第十六章 多元函数的极限与连续习题课 一 概念叙述题 1.叙述0 lim ()P P f P A →=，其中0,P P 的坐标为00(,),(,)x y x y ． lim ()0,0,P P f P A εδ→=??>?>当00(;)P U P D ∈I δ时，有()f P A ε-< （方形邻域）0,0,εδ??>?>当0x x δ-<，0y y δ-<， 00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-< （圆形邻域）0,0,εδ??>?>当0δ<，有(,)f x y A ε-<． 2. 叙述 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=+∞，00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=-∞，00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=∞的定义． 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=+∞??>?>-<-<≠>当时，有 0,0,0(,)G f x y G δδ??>?>< <>当时，有000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=-∞??>?>-<-<≠<-当时，有 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=∞??>?>-<-<≠>当时，有． 3.叙述 0(,)(,) lim (,)x y y f x y A →+∞=的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y y f x y A M x M y y f x y A εδδε→+∞=??>?>?>>-<-<当时，有 4.叙述 0(,)(,) lim (,)x y x f x y →-∞=+∞的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y x f x y G M x x y M f x y G δδ→-∞=+∞??>?>?>-<<->当时，有 5. 叙述 (,)(,) lim (,)x y f x y →-∞+∞=-∞的定义． (,)(,) lim (,)0,0,,(,)x y f x y G M x M y M f x y G →-∞+∞=-∞??>?><-><-当时，有． 注：类似写出(,)(,) lim (,)x y f x y →=VW d 的定义，其中d 取,,,A ∞+∞-∞，?取0,,,x ∞+∞-∞， W 取0,,,y ∞+∞-∞． 6.叙述f 在点0P 连续的定义． f 在点0P 连续?ε?， 0δ?>，只要0(;)P U P D δ∈I ，就有0()()f P f P ε-< ?ε?， 0δ?>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-< ?ε?， 0δ?>，δ，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<．

高等数学函数极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

函数与极限测试题及答案(一)

函数与极限测试题（一） 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????， 则()lim x f x →∞ 为（ ） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在

例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明： 在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案（一） 一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ； 二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==；

(完整版)函数极限与连续习题含答案,推荐文档

基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。 函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（1）若在点连续，则在点必有极限 )(x f 0x )(x f 0x x →（2）若在点有极限，则在点必连续 )(x f 0x x →)(x f 0x （3）若在点无极限，则在点一定不连续 )(x f 0x x →)(x f 0x x =（4）若在点不连续，则在点一定无极限。 )(x f 0x x =)(x f 0x x →其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若，则下列说法正确的是（ C ） a x f x x =→)(lim 0A 、在处有意义 B 、)(x f 0x x =a x f =)(0 C 、在处可以无意义 D 、可以只从一侧无限趋近于)(x f 0x x =x 0 x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续 0x 0x B 、函数在点处连续，则)(x f 0x )lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数有)(x f )()(lim 00 x f x f x x =→4、已知，则的值是（ C ）x x f 1)(= x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0A 、 B 、 C 、 D 、21x x 21x -x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、 B 、 C 、 D 、1lim 0=→x x x 1)1(21lim 21=--→x x x 111lim 1=---→x x x 0lim 0=→x x x 6、，则的值分别为（ A ）51lim 21=-++→x b ax x x b a 、A 、 B 、 C 、 D 、67和-67-和67--和6 7和7、已知则的值是（ C ）,2)3(,2)3(-='=f f 3)(32lim 3--→x x f x x A 、 B 、0 C 、8 D 、不存在4-8、（ D ） =--→33lim a x a x a x

习题课—函数极限

第二次习题课（函数极限、无穷小比较） 一、内容提要 1.函数极限定义，验证21lim 3 =+→x x . 2.极限性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式）. 3.极限四则运算.求x e e x x x 230lim -→-. 4.收敛准则（迫敛准则、柯西收敛准则、归结原则）. 5.无穷小与无穷大（无穷小比较、等价无穷小替换定理、渐近线的求法）. 6.重要极限与常用等价无穷小. 二、客观题 1.当0→x 时，下列四个无穷小中，（ ）是比其它三个更高阶的无穷小.为什么？ （A ）2x ； (B)x cos 1-； (C)112--x ； (D)x x sin tan - 2.已知5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则), (=a ) (=b . 3.的是时，当 sin 02x x x x -→（ ）. )(A 低阶无穷小；)(B 高阶无穷小；)(C 等价无穷小；)(D 同阶无穷小但非等价无穷小. 4. 则它的连续区间是（ ）. 5.当x →0时下列变量中与x 是等价无穷小量的有 [ ]. )(A x 2 1 sin ； )(B )1ln(x +； )(C 2x ； )(D x x -22. 7.设x x x f 11)(2-+=，则0=x 是)(x f 的间断点，其类型是．____________ 三、解答题 1利用重要极限求下列函数极限 （1）17lim 1x x x x -→∞+?? ?+?? （二重），（2）设n n n n n a x !=，求极限n n n x x 1lim +∞→，（3）求极限()210cos lim x x x →， 解：()()321cos 1cos 1010)1(cos 1lim cos lim x x x x x x x x -?-→→-+=211 cos lim 30--==→e e x x x 2.利用等价无穷小的性质求下列极限：

函数及极限习题及答案

第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2 x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f == ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ；

函数与极限测试题及答案一

函数与极限测试题（一） 一、 填空题 二、 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 三、 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 四、 3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。 五、 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则 ()f x 的间断点为x =_____。 六、 单选题 七、 1、当0x →时，变量 211 sin x x 是（ ） 八、 A 、无穷小 B 、无穷大 九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、 2、设函数()bx x f x a e = +在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） 十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） 十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则 ()lim x f x →∞ 为（ ） 十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在 十九、 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+=+ ++ 二十、 求下列极限 二十一、 1、 2 241lim sin x x x x x +-+、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+??

函数极限连续单元测试与答案

函数单元测试（A ） 一、填充题： 1、设的定义域为[]1,0，则)2(+x f 的定义域是________________。 2、1sin )(,)(2 +==x x q x x f ，则[]=)(x q f ________,()[]=x f q __________。 3、设()2212 ++=+x x x f ，则()=x f _____________。 4、 ()_________ )2(_________,)4(,1 ,01 ,sin =-=?????≥=ππf f x x x x f π。 5、已知函数()x f 是偶函数，且在()+∞,0上是减函数，则函数()x f 在()0,∞-上必 是____________函数。 6、设x v v u u y arccos , 1 ,3 =+==，则复合函数()_____________==x f y 。 7、______________,cos sin )(2 2其周期为设函数x x x f -=。 二、选择题： 1、函数??? ??? ? > ≤+=2,sin 2,)1ln()(ππx x x x x f 则) 4(π f 等于（ ） （A ） ) 41ln(π + （B ）22 （C ）2π （D ）4π 2、设x e x g x x f ==)(,)(2，则=)]([x g f （ ） （A ）2 x e （B ）x e 2 （C ）2 x x （D ）x e 3、设函数()x f 的定义域是]1,0[，则()2 x f 的定义域是（ ） （A ）[-1，1] （B ）[0，1] （C ）[-1，0] （D ）（- ∞，+∞） 4、函数()x x x f -+=1010是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函 数 （C ）非奇非偶函 （D ）既是 奇函数又是偶函数 5、函数()[]2 13arcsin +=x y 的复合过程是（ ） ()()13sin ,sin ,(D) 13,arcsin ,)(13,arcsin B) ( 13arcsin ,)(2222+===+===+==+==x v v u u y x v v u u y C x u u y x u u y A 6、3 4x y -=的反函数是（ ） ()()33334(D) 4C) ( 4(B) 4)(x y x y x y x y A -=-=-=-= 7、下列函数中为基本初等函数的是（ ） 1 23)()( )15arctan()()( 0,10 ,0)()( 1)ln()()(-=+=???≥=+=x x f D x x f C x x x f B x x f A π

函数、极限和连续试题与答案

极限和连续试题（A 卷） 1.选择题（正确答案可能不止一个）。 （1）下列数列收敛的是（ ）。 A. n n x n n 1) 1(--= B. n x n n 1)1(-= C. 2 sin πn x n = D. n n x 2= （2）下列极限存在的有（ ）。 A. x x sin lim ∞ → B. x x x sin 1lim ∞→ C. 121lim 0-→x x D. 121lim 2+∞→n n （3）下列极限不正确的是（ ）。 A. 2)1(lim 1=+-→x x B. 11 1lim 0=+→x x C. ∞=-→2124lim x x D. +∞=+→x x e 2 lim （4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（ ）。 A. )0(12 →--x x B. )0(sin →x x x C. )(+∞→-x e x D. )0()1sin 2(12→-+x x x x （5）如果函数.0;0;0,1sin ,,sin 1)(>=

（1）)13(lim 231+-→x x x ； （2）)523(lim 2 2 -+-→x x x ； （3）)311(lim 0-+→x x ； （4）x x x x +-→223lim ； （5）38lim 23--→x x x ； （6）4 16lim 24--→x x x ； （7）121lim 221---→x x x x ； （8）2 2lim 2--→x x x ； （9）x x x 11lim 0-+→； （10）x x x cos lim ∞→； （11）x x x x x --+∞→33313lim ； （12）x x x x x --+∞→44513lim ； （13）x x x x x --+∞→43133lim ； （14）1 139lim 23--+∞→x x x x ； （15）x x x 33sin lim 0→. 3.设2320()21013(1)1x x f x x x x x -

函数连续极限测试题

函数极限与连续测验题 姓名 学号 计分 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1 ．(lim sin sin x →+∞ = 。 2．已知2 1 lim 31 x x bx c x →++=-，则常数b = ，c = 。 3．已知cos ,||1 ()2 |1|,||1x x f x x x π? ≤?=??->? ，则x = 为()f x 的间断点，且为第 类间断点。 4．已知函数sin ,0(),0x e x f x x x β α?+>? =??≤? 连续，则常数α= ，β= 。 5．当0x + → 是x 的 阶无穷小。 6．2 3 6 3 4 (21)(34) lim (61) x x x x →∞ --=+ 。 二、选择题（每小题2分，共20分） 1、在区间(,)-∞+∞内方程1 1 42||||cos 0x x x +-=（ ） （A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根 （C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根 2．设数列的通项为* 1 ,21(),2n n k x k N n n n k ?=+?=∈??=? ，则当n →+∞时，n x 为（ ） （A ）无穷小量 （B ）无穷大量 （C ）有界量 （D ）无界量 3．当0x →时，tan sin x x -是3x 的（ ） （A ）低阶无穷小 （B ）高阶无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）同阶无穷小 4．已知()f x 与()g x 在()x -∞<<+∞上连续，且()()f x g x <，则有（ ） （A ）()()f x g x ->- （B ）lim ()lim ()x x f x g x →∞ →∞ <

考研数学习题课--1 极限与连续总结

考研数学习题课讲义 第一讲 函数、极限与连续 2016年大纲解读 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数, 基本初等函数的性质及其图形, 初等函数函数关系的建立; 数列极限与函数极限的定义及其性质, 函数的左极限与右极限; 无穷小量和无穷大量的概念及其关系, 无穷小量的性质及无穷小量的比较; 极限的四则运算, 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： ll ll ll xx→00 ssll ss xx xx =11, ll ll ll nn→∞ ?11+11nn ?nn =ll ll ll xx→∞ ?11+11xx ?xx =ee . 函数连续的概念, 函数间断点的类型, 初等函数的连续性, 闭区间上连续函数的性质. 考试要求 1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。 2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。 6. 掌握极限的性质及四则运算法则。 7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 知识细节： 1. 确定函数的几种方式: (1) 显函数 (2) 隐函数 (3) 参数方程 (4) 幂指函数(对数恒等式) yy =ff (xx )gg (xx )=ee gg (xx )ll ss ff (xx ) (5) 变限积分函数 yy =∫ff (tt )ddtt xx aa 或 yy =∫ff (tt )ddtt φφ(xx ) aa (6) 由极限确定的函数: yy =ll ll ll nn→∞ff (xx ,nn ) 或 yy =ll ll ll tt→xx ff (xx ,tt )

函数极限与连续习题加答案(供参考)

第一章 函数、极限与连续 第一讲：函数 一、是非题 1．2x y = 与x y =相同； （ ） 2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. )0(2 >=x x y 是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ） 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ ） 7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ） 8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。 （ ） 二、填空题 1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 对称； 2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2 +x f 的定义域是 ； 3.1 22+=x x y 的反函数是 ； 4.1)(+=x x f ，2 11 )(x x += ?，则]1)([+x f ?＝ ， ]1)([+x f ?＝ ； 5.)2(sin log 2+=x y 是由简单函数 和 复合而成； 6.1)(2 +=x x f ，x x 2sin )(=?，则)0(f ＝ ，___________)1(=a f ， ___________)]([=x f ?。 三、选择题 1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ）

A 、x 3sin B 、13+x C 、x x +3 D 、x x -3 2.设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（ ） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、－2 3.)sin()(2x x x f -=是（ ） A 、有界函数 B 、周期函数 C 、奇函数 D 、偶函数 四、计算下列各题 1.求定义域5 23arcsin 3x x y -+-= 2.求下列函数的定义域 (1)342+-=x x y (2)1 142++ -=x x y (3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg = 3.设2 )(x x f =，x e x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g x f f x f g x g f ；

函数极限连续单元测试及答案.docx

函数单元测试（ A ） 一、填充题： 1、设的定义域为 0,1 ，则 f (x 2) 的定义域是 ________________。 2、 f ( x) x 2 , q(x) sin x 1，则 f q( x) ________, q f x __________。 3、设 f x 1 x 2 2x 2 ，则 f x _____________。 f x sin x , x 1 ) _________, f ( ) _________ 0, x , f ( 4、 1 4 2 。 5、已知函数 f x 是偶函数，且在 0, 上是减函数，则函数 f x 在 ,0 上必 是 ____________函数。 6、设 y u 3 , u 1 v , v arccos x ，则复合函数 y f x _____________ 。 7、 设函数 f x sin 2 x cos 2 x 其周期为 __________ ____ 。 ( ) , 二、选择题： ln(1 x) , x f (x) 2 1、函数 sin x , x 2 （ A ） ln(1 ) 2 4 （B ） 2 2、设 f (x) x 2 , g(x) e x ，则 （ A ） e x 2 2 x （B ） e f ( ) 等于（ ） 则 4 （ C ） 2 （D ） 4 f [ g( x)] （ ） （C ） x x 2 （ D ） e x 3、设函数 f x 的定义域是 [ 0,1] ，则 f x 2 的定义域是（ ） （ A ） [-1 ，1] （B ）[0 ，1] （C ）[-1 ， 0] （ D ）（- ∞， +∞） 4、函数 f x 10x 10 x 是（ ） （ A ）奇函数 （B ）偶函 数 （ C ）非奇非偶函 （D ）既是 奇函数又是偶函数 5、函数 y arcsin 3x 1 2 的复合过程是（ ） ( A)y u 2 , u arcsin 3x 1 ( B) y arcsin 2 u, u 3x 1 (C ) y u 2 ,u arcsin v, v 3x 1 (D) y u 2 ,u sin v,v sin 3x 1 6、 y 3 4 x 的反函数是（ ） ( A)y x 3 4 (B) y x 4 3 ( C) y 4 x 3 (D) y 4 x 3 7、下列函数中为基本初等函数的是（ ） ( A) f ( x) ln( x 3 1) ( B) f ( x) 0, x 0 1, x (C) f ( x) arctan(5x 1) ( D ) f ( x) x 2 1 三、判断题： 1、确定函数的两个要素是定义域和对应关系。 （ ）

(完整版)函数、极限与连续习题及答案

第一章 函数、极限与连续 (A) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞<

第二章极限与连续基础练习题含解答

第二章 极限与连续 基础练习题（作业） § 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限： 1．468 2, ,,357 极限为1 2．1111 1,,,,,2345 --极限为0 3．21 2212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 § 函数的极限 一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞ x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π- 4．0 lim ln x x + → 无极限，趋于-∞ 二、设2 221, 1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？ 2 1 1 lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11 lim ()lim(21)3x x f x x -- →→=+= 1 lim () 3.x f x →∴=

2 2 2 lim ()lim(1)3x x f x x ++ →→=-=；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。 三、设()1 11x f x e = +，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在． ()10 1lim lim 01x x x f x e ++ →→==+ ()1 1 lim lim 11x x x f x e -- →→==+ lim ()x f x →∴不存在。 四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 § 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由： 1．1 sin x x 是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当0x →时，1sin 0x x →；当1x →时，1 sin sin1x x →不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量． 对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量． 对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量： 1．22 1 x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。 2．1ln tan x , k Z ∈

函数与极限测试题及答案

函数与极限测试题（三） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 当0x →+时，（ ）无穷小量。 A 1sin x x B 1 x e C ln x D 1 sin x x 2、点1x =是函数31 1()1131x x f x x x x -? 的（ ）。 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（ ）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 4、已知极限22 lim()0x x ax x →∞++=，则常数a 等于（ ）。 A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限2 01 lim cos 1 x x e x →--等于（ ）。 A ∞ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x →∞ -=_______。 2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常 数A=_______。 3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2 1()2 x f x -=， 则函数值(0)f =_______。 4、 111lim[ ]1223(1) n n n →∞+++??+L =_______。 5、 若lim ()x f x π →存在，且sin ()2lim ()x x f x f x x ππ→= +-，lim ()x f x π→=_______。

三、解答题 1、（7分）计算极限 222 111lim(1)(1)(1)23n n →∞---L 2、（7分）计算极限 30tan sin lim x x x x →- 3、（7分）计算极限 1 23lim()21 x x x x +→∞++ 4、（7分）计算极限 1 x x e →-5、（7分）设3214lim 1 x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值 6、（8分）设3 ()32,()(1)n x x x x c x αβ=-+=-，试确定常数,c n ，使得 ()()x x αβ: 7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin 0()0 x x f x x a x x ? >?=??+≤? 在(,)-∞+∞内连续 8、（10分）设函数()f x 在开区间(,)a b 内连续，12a x x b <<<，试证：在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使得 11221212()()()() (0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>> 函数与极限测试题答案（三） 一、1－5 ACDAD 二、1. 2 e -； 2. 3； 3 . 0； 4. 1； 5. 1； 三、1、解：原式=1324 11111 lim()()( )lim 223322 n n n n n n n n →∞ →∞-++???=?=L

函数极限连续单元测试及答案

函数极限连续单元测试及答案

函数单元测试（A ） 一、填充题： 1、设的定义域为[]1,0，则)2(+x f 的定义域是________________。 2、1sin )(,)(2+==x x q x x f ，则[]=)(x q f ________,()[]=x f q __________。 3、设()2212++=+x x x f ，则()=x f _____________。 4、()_________ )2(_________,)4(,1 ,01 ,sin = -=?????≥=π πf f x x x x f π。 5、已知函数()x f 是偶函数，且在()+∞,0上是减函数，则函数()x f 在()0,∞-上必是____________函数。 6、设x v v u u y arccos , 1 ,3=+==，则复合函数()_____________==x f y 。 7、______________,cos sin )(22其周期为设函数x x x f -=。 二、选择题： 1、函数?? ?????>≤ +=2,sin 2 ,)1ln()(ππ x x x x x f 则)4(π f 等于（ ） （A ）)41ln(π+ （B ）22 （C ）2π （D ）4π 2、设x e x g x x f ==)(,)(2，则=)]([x g f （ ） （A ）2x e （B ）x e 2 （C ）2x x （D ）x e 3、设函数()x f 的定义域是]1,0[，则()2x f 的定义域是（ ） （A ）[-1，1] （B ）[0，1] （C ）[-1，0] （D ）（- ∞，+∞） 4、函数()x x x f -+=1010是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函 数 （C ）非奇非偶函 （D ）既是 奇函数又是偶函数 5、函数()[]213arcsin +=x y 的复合过程是（ ） ()()13sin ,sin ,(D) 13,arcsin ,)(1 3,arcsin B) ( 13arcsin ,)(2222+===+===+==+==x v v u u y x v v u u y C x u u y x u u y A 6、34x y -=的反函数是（ ） ()()33334(D) 4C) ( 4(B) 4)(x y x y x y x y A -=-=-=-= 7、下列函数中为基本初等函数的是（ ） 123)()( )15arctan()()( 0,10 ,0)()( 1)ln()()(-=+=???≥=+=x x f D x x f C x x x f B x x f A π 三、判断题： 1、确定函数的两个要素是定义域和对应关系。 （ ）