2016_2017学年高中数学1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1．使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律．(难点) 2．掌握二项式系数的性质及其应用．(重点)
3．掌握“赋值法”并会灵活运用．
[基础·初探]
教材整理1 “杨辉三角”
阅读教材P32～P35第三自然段，完成下列问题．
杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n＋1＝C r－1
n ＋C r n.
1．如图1-3-1是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为________．
1
3 3
5 6 5
7 11 11 7
9 18 22 18 9
……
图1-3-1
【解析】由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以a n＝2n－1.
【答案】2n－1
2．如图1-3-2，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.
1
1 1
1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
…… 图1-3-2
【解析】 设第n 行从左到右第14与第15个数之比为2∶3， 则3C 13
n ＝2C 14
n ， 即
3n ！13！n －
！＝
2n ！
14！n －
！
， 解得n ＝34. 【答案】 34
教材整理2 二项式系数的性质
阅读教材P 33第四自然段～P 35，完成下列问题． 1．二项式系数的性质
(1)对称性：在(a ＋b )n
的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0
n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －r
n .
(2)增减性与最大值：当k ＜
n ＋1
2
时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半
部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n
2n 取得
最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项各式系数C n －1
2
n
与C
n ＋1
2
n
相等，且同时取得最大
值．
2．各二项式系数的和 (1)C 0
n ＋C 1
n ＋C 2
n ＋…＋C n n ＝2n
； (2)C 0
n ＋C 2
n ＋C 4
n ＋…＝C 1
n ＋C 3
n ＋C 5
n ＋…＝2
n －1
.
1．已知(a ＋b )n
展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于________． 【解析】 因为只有第5项的二项式系数最大，所以n
2＋1＝5，
所以n ＝8. 【答案】 8
2．已知(ax ＋1)n
的展开式中，二项式系数和为32，则n 等于________． 【解析】 二项式系数之和为C 0
n ＋C 1
n ＋…＋C n n ＝2n
＝32，所以n ＝5. 【答案】 5
3．(2x －1)10
展开式中x 的奇次幂项的系数之和为________. 【导学号：97270024】 【解析】 因为(2x －1)10
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 10x 10
， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1， 再令x ＝－1，得
310
＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10，
两式相减，可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3
10
2.
【答案】 1－3
10
2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型]
与“杨辉三角”有关的问题
图1-3-3
如图1-3-3，在“杨辉三角”中斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n 项和为S n ，求S 19的值．
【精彩点拨】 由图知，数列中的首项是C 2
2，第2项是C 1
2，第3项是C 2
3，第4项是C 1
3，…，
第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.
【自主解答】S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14
＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝＋
2
＋220＝274.
“杨辉三角”问题解决的一般方法
观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：
[再练一题]
1．(2016·南充高二检测)如图1-3-4所示，满足如下条件：
①第n行首尾两数均为n；
②表中的递推关系类似“杨辉三角”．
则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．
图1-3-4
【解析】由图表可知第10行的第2个数为：
(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，
第n行的第2个数为：
[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n n －
2
＋1＝
n 2－n ＋2
2
.
【答案】 46
n 2－n ＋2
2
求展开式的系数和
设(1－2x )
2 017
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 017·x
2 017
(x ∈R )．
(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017的值； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017的值； (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 017|的值．
【精彩点拨】 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解． 【自主解答】 (1)令x ＝1，得
a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝(－1)2 017＝－1.①
(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＝32 017
.②
①－②得
2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝－1－3
2 017
， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝
－1－3
2 017
2
.
(3)∵T r ＋1＝C r
2 017(－2x )r
＝(－1)r
·C r
2 017·(2x )r
， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *
)，a 2k ＞0(k ∈N )． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＝3
2 017
.
1．解决二项式系数和问题思维流程．
2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
[再练一题]
2．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6
＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.
【解】 (1)令x ＝0，则a 0＝－1；
令x ＝1，得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27
＝128，① 所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.
(2)令x ＝－1，得－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7
，② 由①－②得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7
， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256.
(3)由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝128＋(－4)7， ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8 128.
[探究共研型]
二项式系数性质的应用
探究1 根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？
【提示】 对称性，因为C m
n ＝C n －m
n ，也可以从f (r )＝C r
n 的图象中得到． 探究2 计算C k
n
C k －1n ，并说明你得到的结论．
【提示】 C k n C k －1n ＝n －k ＋1
k
.
当k 2时，C k n C k －1n >1，说明二项式系数逐渐增大； 同理，当k > n ＋1 2 时，二项式系数逐渐减小． 探究3 二项式系数何时取得最大值？ 【提示】 当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项C n －1 2 n ，C n ＋1 2 n 相等，且同时取得最大值． 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 【精彩点拨】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二 项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号． 【自主解答】 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992. ∴(2n )2－2n －992＝0， ∴(2n ＋31)(2n －32)＝0， ∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32，∴n ＝5. (1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 25(x 2 3)3(3x 2)2＝90x 6 ， T 4＝C 35(x 23 )2(3x 2)3 ＝270x 22 3 . (2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·x 23(5＋2r )． 假设T r ＋1项系数最大， 则有????? C r 53r ≥C r －1 5·3r －1 ，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1 ， ∴? ???? 5！ －r ！r ！×3≥ 5！ －r ！r － ！ ，5！ －r ！r ！ ≥ 5！－r ！r ＋ ！ ×3， ∴????? 3r ≥16－r ，15－r ≥3 r ＋1. ∴72≤r ≤9 2 ，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45x 23(3x 2)4 ＝405x 263 . 1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项 式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得． [再练一题] 3．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于? ????165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2 ＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值． 【解】 由? ????165x 2＋1x 5 ，得 T r ＋1＝C r 5? ????16 5x 25－r ? ????1x r ＝? ?? ??1655－r ·C r 5·x 20－5r 2， 令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0， 所以r ＝4，常数项T 5＝C 4 5× 16 5 ＝16. 又(a 2 ＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ， 由此得到2n ＝16，n ＝4. 所以(a 2 ＋1)4 展开式中系数最大项是中间项T 3＝C 24a 4 ＝54，所以a ＝± 3. [构建·体系] 1．(1＋x ) 2n ＋1 的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( ) A ．n ，n ＋1 B ．n －1，n C ．n ＋1，n ＋2 D ．n ＋2，n ＋3 【解析】 该展开式共2n ＋2项，中间两项为第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项． 【答案】 C 2．已知C 0 n ＋2C 1 n ＋22 C 2 n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5 n 的值等于( ) 【导学号：97270025】 A ．64 B ．32 C ．63 D ．31 【解析】 C 0 n ＋2C 1 n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729， ∴n ＝6，∴C 1 6＋C 3 6＋C 5 6＝32. 【答案】 B 3．若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10 的展开式中二项式系数的和，则 n 的值为________． 【解析】 (7a ＋b )10 的展开式中二项式系数的和为C 0 10＋C 1 10＋…＋C 10 10＝210 ，令(x ＋3y )n 中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210 ，解得n ＝5. 【答案】 5 4．已知(a －x )5 ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a 5x 5 ，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________. 【解析】 (a －x )5 展开式的通项为T k ＋1＝ (－1)k C k 5a 5－k x k ，令k ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a 5x 5 ，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1. 【答案】 1 5．在? ?? ??x －2x 28的展开式中， (1)求系数的绝对值最大的项； (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项． 【解】 T r ＋1＝C r 8(x ) 8－r ? ?? ??－2x 2r ＝(－1)r C r 8 2r x 4－5r 2. (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大． 则? ???? C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1 ， C r 8·2r ≥C r －18·2r －1 ，∴????? 18－r ≥2 r ＋1， 2r ≥1 9－r . 解得5≤r ≤6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项． 所以T 5＝C 48·24·x 4－202 ＝1 120x －6 . (3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正． 则系数最大的项为T 7＝C 6 8·26 ·x －11 ＝1 792x －11 . (4)系数最小的项为 T 6＝(－1)5C 58·25 x － 17 2＝－1 792x －172 . 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．在(a －b )20 的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ) A ．第15项 B ．第16项 C ．第17项 D ．第18项 【解析】 第6项的二项式系数为C 5 20，又C 15 20＝C 5 20，所以第16项符合条件． 【答案】 B 2．(2016·吉林一中期末)已知? ?? ??x 2＋1x n 的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中 含x 项的系数是( ) A ．5 B ．20 C ．10 D ．40 【解析】 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32， 则有2n ＝32，可得n ＝5， T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )·x －r ＝C r 5x 10－3r ， 令10－3r ＝1，解得r ＝3， 所以展开式中含x 项的系数是C 3 5＝10，故选C. 【答案】 C 3．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) 【导学号：97270026】 A ．2n B.3n －1 2 C ．2 n ＋1 D.3n ＋12 【解析】 令x ＝1，得3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ，① 令x ＝－1，得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ，② ①＋②得3n ＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， ∴a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n ＋1 2.故选D. 【答案】 D 4．(2016·信阳六高期中)已知(1＋2x )8 展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b a 的值为( ) A.1285 B.2567 C. 5125 D.1287 【解析】 a ＝C 48＝70，设b ＝C r 82r ，则? ???? C r 82r ≥C r －182r －1 ，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1 ，得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826 ＝ C 2826＝7×28 ，所以b a ＝ 128 5 .故选A. 【答案】 A 5．在(x －2)2 010 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于( ) A ．23 015 B ．－23 014 C ．2 3 014 D ．－2 3 008 【解析】 因为S ＝x －2 2 010 －x ＋2 2 010 2 ，当x ＝2时，S ＝－ 2 3 015 2 ＝－2 3 014 . 【答案】 B 二、填空题 6．若(1－2x ) 2 016 ＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x 2 016 (x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 016 2 2 016的值为________． 【解析】 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0，所以a 12＋a 2 2 2＋…＋ a 2 016 2 2 016 ＝－1. 【答案】 －1 7．若n 是正整数，则7n ＋7n －1C 1 n ＋7 n －2C 2 n ＋…＋7C n －1 n 除以9的余数是________． 【解析】 7n ＋7 n －1C 1 n ＋7 n －2C 2 n ＋…＋7C n －1 n ＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝C 0n 9n (－1) ＋C 1n 9 n －1 (－1)1 ＋…＋C n n 90 (－1)n －1，∴n 为偶数时，余数为0；当n 为奇数时，余数为7. 【答案】 7或0 8．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1-3-5所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5. 【解析】 根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ， 使得连续三项C k －1n ，C k n ，C k ＋1n ，有C k －1 n C k n ＝34且C k n C k ＋1n ＝45 . 化简得 k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝4 5 ，联立解得k ＝27，n ＝62. 故第62行会出现满足条件的三个相邻的数． 【答案】 62 三、解答题 9．已知(1＋2x －x 2)7 ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a 13x 13 ＋a 14x 14 . (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13. 【解】 (1)令x ＝1， 则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27 ＝128.① (2)令x ＝－1， 则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝(－2)7 ＝－128.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝256， 所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝128. 10．已知? ?? ??14＋2x n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数 最大的项的系数． 【解】 由C 0n ＋C 1n ＋C 2 n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，得n ＝8.? ????14＋2x 8的展开式共有 9项，其中T 5＝C 48? ?? ??144(2x )4 ＝358x 4，该项的二项式系数最大，系数为358. [能力提升] 1．若(2－x )10 ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a 10x 10 ，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2 －(a 1＋a 3＋…＋a 9)2 ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 【解析】 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10 ， 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10 ， 故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2 －(a 1＋a 3＋…＋a 9)2 ＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10) ＝(2－1)10 (2＋1)10＝1. 【答案】 A 2．把通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N * )的数列{a n }的各项排成如图1-3-6所示的三角形数阵．记S (m ，n )表示该数阵的第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应于数阵中的数是( ) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 …… 图1-3-6 A ．91 B ．101 C ．106 D ．103 【解析】 设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n }，则b 1＝1，b n －b n －1＝2(n －1)，∴b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]＋1＝n 2 －n ＋1， ∴b 10＝102 －10＋1＝91，S (10,6)＝b 10＋2×(6－1)＝101. 【答案】 B 3．(2016·孝感高级中学期中)若(x 2＋1)(x －3)9＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3 ＋…＋a 11(x －2)11 ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________． 【解析】 令x ＝2，得－5＝a 0，令x ＝3，得0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11，所以a 1＋a 2 ＋a 3＋…＋a 11＝－a 0＝5. 【答案】 5 4．已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N * )的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2 的系数取最小值时n 的值； (2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次项的系数之和. 【导学号：97270027】 【解】 (1)由已知C 1 m ＋2C 1 n ＝11，所以m ＋2n ＝11， x 2的系数为C 2m ＋22C 2 n ＝ m m － 2 ＋2n (n －1)＝ m 2－m 2 ＋(11－m )·? ????11－m 2－1＝? ?? ??m －2142 ＋35116 . 因为m ∈N *，所以m ＝5时，x 2 的系数取得最小值22，此时n ＝3. (2)由(1)知，当x 2 的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3， 所以f (x )＝(1＋x )5 ＋(1＋2x )3 ， 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋a 3x 3 ＋a 4x 4 ＋a 5x 5 ， 令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25 ＋33 ， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1， 两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60， 故展开式中x 的奇次项的系数之和为30. 第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定 四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。 实用标准 —tanC。 例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6 初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a = 3.2 简单的三角恒等变换 一．教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向 使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三 角恒等变形在数学中的应用。 3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中 如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 三、教学设想： （一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式 （二）新课讲授： 1、由二倍角公式引导学生思考：2 αα与有什么样的关系？ 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222 sin ,cos ,tan 222α α α． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 2 2α α-=； 因为2cos 2cos 12α α=-，可以得到21cos cos 22 α α+=． 又因为222 sin 1cos 2tan 21cos cos 2α α ααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例2．已知135sin = α，且α在第二象限，求2tan α的值。 例3、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）、sin sin 2sin cos 22θ? θ? θ?+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手． ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβ?+=-=， 那么,22θ? θ? αβ+-==． 把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos 22θ?θ?θ?+-+=． 思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ 例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式， （数学4必修）第三章 三角恒等变换 [基础训练A 组] 一、选择题 1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．7 24- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A . 5π B .2 π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c = ， 则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 5．函数)cos[2()]y x x ππ= -+是（ ） A .周期为4π的奇函数 B .周期为4 π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2 π的偶函数 6．已知cos 2θ= 44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．9 7 D ．1- 二、填空题 1．求值：0000 tan 20tan 4020tan 40+=_____________。 2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα += 。 3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。 4．已知sin cos 223 θ θ +=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。 5．ABC ?的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2 B C A ++取得最大值，且这个最大值为 。 三、解答题 1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值. 2．若,2 2sin sin = +βα求βαcos cos +的取值范围。 3．求值：0 010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20 -+-- 4．已知函数.,2 cos 32sin R x x x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合； （2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象. （数学4必修）第三章 三角恒等变换 [综合训练B 组] 一、选择题 1．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 13a b c -=-==+则有（ ） A .a b c >> B .a b c << C .a c b << D .b c a << 高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值 (4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A 杨辉三角与二项式系数的性质 教学反思 本节课有以下几点值得一提： 一、目标定位准确 本节课，在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标基本符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生 把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学 本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径. 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;s in s in B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 1.3.2二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示： 表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？） 【提示】设这一数为r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： 1 1 01C C 02 C 12 C 2 2C 03 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 0 5C 1 5C 2 5C 35 C 4 5C 55 C 解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC ?中，已知a、b、A （1）若A为钝角或直角，则当b a>时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b< < sin时，三角形有两解； 当b a≥时，三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式 1．余弦定理：在ABC ?中，角C B A、 、的对边分别为c b a、 、，则有 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ，其变式为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3．三角形的面积公式 （1） c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? （ a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高）； （2）B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? （3）= ?ABC S C B A R sin sin sin 22（R为外接圆半径） （4） R abc S ABC4 = ? ； （5）) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = （6）l r S ABC ? = ?2 1 （r是内切圆的半径，l是三角形的周长） 1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数 表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成 以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =? ， 高中数学三角恒等变换精选题目（附答案） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（ ） A 0 B 12 C 2 D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. tan 20tan 4020tan 40? ? ? ? ++的值为（ ） A 1 B 3 C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A 47- B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（ ） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-= 的图像（ ） A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位 10. 函数sin 22x x y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A 、x =113π B 、x = 53π C 、53x π=- D 、3 x π =- 11. 已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则x tan 的值为 （ ） A 、34 B 、34- C 、43 D 、4 3- 12.若0,4πα? ? ∈ ?? ?()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1 tan 7 β=-,则=-βα2 （ ） A 、56π- B 、23π- C 、 712 π- D 、34π- 13. .在ABC ?中，已知tanA ,tanB 是方程2 3720x x -+=的两个实根，则tan C = 14. 已知tan 2x =，则 3sin 22cos 2cos 23sin 2x x x x +-的值为 15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ?面积的最小值为 。 16. 关于函数( )cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ?? - ???? 上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π?? ??? 成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移 512 π 个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上） 17. 已知02 π α<< ，15tan 2 2tan 2 α α + = ，试求sin 3πα? ?- ?? ?的值． 18. 求) 212cos 4(12sin 3 12tan 30 200--的值． 三角恒等变换公式 教学目标： 1、掌握二倍角公式、和差公式的应用； 2、掌握拼凑法在求解角度三角函数值的应用。 重难点分析： 重点：1、和差公式、二倍角公式的记忆； 2、公式变换与求解三角函数值。 难点：1、二倍角公式的灵活使用； 2、整体代换思想与求解三角函数值。 知识点梳理 1、和差公式 sin()__________________±=αβcos()________________±=αβtan()___________ ±=αβ。 2、二倍角公式 sin 2_______________α=； cos 2___________________________________α===； tan 2____________α=。 3、半角公式[升（降）幂公式] 2sin ____________α=、2cos _________α=、sin cos _________αα=。 4、合一公式[辅助角公式] sin cos ____________a b αα+=（?由,a b 具体的值确定）； )sin(cos sin 22?ααα++= +b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注意：公式中的α是角度代表，可以是α2、2 α 等。 知识点1：利用公式求值 （1）和差公式 【例1】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝【 】 A ．2 1 B ．1 C ． 2 2 D ． 2 3 【例2】sin 27cos63cos27sin63??+??=【 】 A ．1 B ．1- C ． 22 D ．2 2- 【随堂练习】 1、sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于【 】 A ．0 B ． 2 1 C ． 2 3 D ．1 2、cos12°cos18°－sin12°sin18°＝【 】 (A )2 1- (B )2 3- (C )2 1- (D ) 2 3 3、sin70°sin25°＋cos70°cos25°=________。 4、sin34sin 26cos34cos26??-??=【 】 A ．12 B ．1 2 - C ．32 D ．32- 5、式子cos cos sin sin 12 6 12 6 π π π π -的值为【 】 解三角形卷一 一．选择题 1．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为 A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－14 2、在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =o ，则sin A 的值为 A 、3 B 、2 C 、3 D 、2 3、在ABC △中，::1:2:3A B C =，则sin :sin :sin A B C = A 、1:2:3 B 、 C 、 D 、2 4、在ABC △中，sin :sin :sin 4:3:2A B C =，那么cos C 的值为 A 、14 B 、14- C 、78 D 、1116 5、在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为 A 、3π B 、6π C 、4 π D 、12π 6、在ABC △中，60,16,A b ==o 面积3220=S ，则c = A 、610 B 、75 C 、55 D 、49 7、在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A = A 、30o B 、60o C 、120o D 、150o 8、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C ===o o B 、60,48,60a c B ===o C 、7,5,80a b A ===o D 、14,16,45a b A ===o 二、填空题。 9．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ． 10．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 22 A ，则此三角形是__________三角形． 11. 在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ． 高中数学三角恒等式变形解题常用方法 一.知识分析 1. 三角函数恒等变形公式 （1）两角和与差公式 （2）二倍角公式 （3）三倍角公式 （4）半角公式 （5）万能公式 ，， （6）积化和差 ， ， ， （7）和差化积 ， ， ， 2. 网络结构 3. 基础知识疑点辨析 （1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？ 实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，是一个任意角， 可正可负。另外，公式虽然形式不同，结构不同，但本质相同： 。 （2）怎样正确理解正切的和差角公式？ 正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点： ①推导正切和角公式的关键步骤是把公式，右边的“分子”、“分母” 都除以，从而“化弦为切”，导出了。 ②公式都适用于为任意角，但运用公式时，必须限定，都不 等于。 ③用代替，可把转化为，其限制条件同②。 （3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？ ①不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三角函数值。 ②能由两个单角的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角的三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小（注意这两个条件缺一不可）。 ③能运用这些和（差）角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式，化简三角函数式，要注意公式可以正用，逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最小值。 （4）利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么？ 先用二倍角公式导出，再把两式的左边、右边分别相除， 得到，由此得到的三个公式：，， 分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号，由所在的象限来确定，如果没有给出限制符号的条件，根号前面应保持正、负两个符号。另外，容易 证明。 4. 三角函数变换的方法总结 三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中 解三角形 1．正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?= ???+-= ?? . 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用 ABC ?中A B C π ++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222 A B C A B C A B C +++===. 高一数学测试题———正弦、余弦定理与解三角形 一、选择题： 1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ） A ．60° B ．60°或120° C ．30°或150° D ．120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b= 2 ,∠A=30° C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45° 3、在锐角三角形ABC 中，有 （ ） A ．cosA>sin B 且cosB>sinA B ．cosA 高中数学必修四第三章《三角恒等变换》测试卷及答案2套 测试卷一 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( ) A ．0 B.12 C.3 2 D ．1 2．若函数f (x )＝sin 2 x －12 (x ∈R )，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π 2 的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数 3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π 4 )等于( ) A.17 B ．7 C ．－1 7 D ．－7 4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A ．[－π，－5π6] B ．[－5π6，－π 6 ] C ．[－π3，0] D ．[－π 6 ，0] 5．化简：sin 60°＋θ＋cos 120°sin θ cos θ 的结果为( ) A ．1 B. 3 2 C. 3 D ．tan θ 6．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )等于( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2x D ．3＋sin 2x 7．若函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π 2，则a 等于( ) A ．1 B. 3 C ．2 D ．3 8．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2 x ，x ∈R 的值域是( ) A ．[－12，32] B ．[－22＋12，22＋12 ] C ．[－32，12] D ．[－22－12，22－12 ] 9．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( ) A ．－75 B.75 C ．－35 D.35 10．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为( ) 第三章 三角恒等变换 一、选择题 1．函数y ＝sin ?＋cos ???? ? ? 2π ＜ ＜ 0α的值域为( )． A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(1，2] D ．(－1，2) 2．若0＜?＜?＜4π ，sin ?＋cos ?＝a ，sin ?＋cos ?＝b ，则( )． A ．a ＜b B ．a ＞b C ．ab ＜1 D ．ab ＞2 3．若θθtan ＋2tan 1－＝1，则θθ 2sin ＋12cos 的值为( )． A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－ 2 1 4．已知 ?∈??? ? ?2π3 ，π，并且sin ?＝－ 2524，则tan 2α等于( )． A ．34 B ．43 C ．－43 D ．－34 5．已知tan(?＋?)＝3，tan(?－?)＝5，则tan 2?＝( )． A ．－ 4 7 B ． 4 7 C ．－ 7 4 D ． 7 4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＞sin A sin B ，则该三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或直角三角形 7．若0＜?＜2π＜?＜?，且cos ?＝－31 ，sin(?＋?)＝97，则sin ??的值是( )． A ． 271 B ． 27 5 C ．3 1 D ． 27 23 8．若cos(?＋?)·cos(?－?)＝31 ，则cos 2 ?－sin 2 ??的值是( )． A ．－ 3 2 B ．3 1 C ．－3 1 D ． 3 2 9．锐角三角形的内角A ，B 满足tan A －A 2sin 1 ＝tan B ，则有( )． A ．sin 2A －cos B ＝0 B ．sin 2A ＋cos B ＝0 C ．sin 2A －sin B ＝0 D ．sin 2A ＋sin B ＝0 10．函数f (x )＝sin 2??? ??4π＋x －sin 2??? ? ?4π－x 是( )． A ．周期为 ??的偶函数 B ．周期为??的奇函数高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结
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