高数讲义(陈文灯)
第一讲函数、连续与极限
一、理论要求
1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）
几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）
2.极限极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
3.连续函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）
二、题型与解法
A.极限的求法（1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）
（3）变量替换法
（4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求
（6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.61
2arctan lim )21ln(arctan lim
3
030-
=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2
030)
(6lim
0)(6sin lim
x x f x x xf x x x +=+>->-，求
解：2
0303'
)(6cos 6lim )(6sin lim
x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72
)0(''06)0(''32166
'
''''36cos 216lim
6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x
362
72
2''lim 2'lim )(6lim
0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1
21)1
2(lim ->-+x x
x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x
x x x b a 3
0)2
(lim +>-求
解：令]2ln )[ln(3
ln ,)2(3
-+=+=x x x x x b a x
t b a t
2/300)()
ln(23)ln ln (3lim
ln lim ab t ab b b a a b a t x
x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)
1ln(1
2)
(cos lim x x x +>-
解：令)ln(cos )
1ln(1
ln ,)(cos 2)1ln(1
2
x x t x t x +=
=+
2/100
2
1
2tan lim
ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）
6.设
)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim
2
2
=?
?
>-x
x x dt
t f x
dt
t f
（洛必达与微积分性质） 7.已知
??
?=≠=-0
,0
,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 20
-==>-x x a
x （连续性的概念）
三、补充习题（作业）
1.3cos 11lim
-=---->-x
x x e x x （洛必达）
2.)1
sin 1(
lim 0
x
x ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim
2
20
=--->-?x x
t x e
dt
e x （洛必达与微积分性质）
第二讲 导数、微分及其应用
一、理论要求 1.导数与微分
导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程
2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题
3.应用
会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）
二、题型与解法 A.导数微分的计算
基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.
?
??=+-==5
2arctan )(2t e ty y t
x x y y 由决定，求dx dy
2.
x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求
1|0==x dx
dy
解：两边微分得x=0时
y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1
3.
y x x y y xy +==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==
B.曲线切法线问题
4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
解：1|'),,0(|),(,sin cos 2/2/2/-==?????====πθππθθ
θ
θ
θ
y e y x e y e x x e y -=-2/π
5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求
)1('),1()6('),6(f f f f 或，等式取x->0的极限有：f(1)=0
)6(22)1('8)1('4])1()1(3)1()1([lim sin )sin 1(3)sin 1(lim
0sin 0-=∴=∴==--+-+=--+>-=>-x y f f t f t f t f t f x x f x f t t x x
C.导数应用问题
6.已知
x e x f x x xf x x f y --=+=1)]('[2)('')(2满足对一切，
)0(0)('00≠=x x f 若，求),(00y x 点的性质。
解：令???<>>>===-0,00
,0)(''0001000
0x x x e e x f x x x x 代入，，故为极小值点。 7.2
3
)1(-=
x x y ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解：定义域),1()1,(+∞-∞∈ x
：斜
：铅垂；；拐点及驻点2100''3
00'+===?===?=x y x x y x x y
8.求函数
x e x y arctan 2/)1(+-=π的单调性与极值、渐进线。
解：101'arctan 2/2
2-==?++=+x x e x
x x y x 与驻点π，2)2(-=-=x y x e y 与渐：π
D.幂级数展开问题
9.?=-x
x dt t x dx d 0
22sin )sin( ???=???++-+???+-=-???++--+???+-=-+---+???+-+--=-???++--+???+---=----+-x n n n n
x
n n n n x n x x x dt t x dx d n n x x x t x n n t x t x t x dt t x n t x t x t x t x 02
)
12(26221
4730
2141
732
)
12(262
2
sin )!
12()1(!31)sin()!
12)(14()1(7!3131)sin()!
12)(14()()1()(7!31)(31)sin()!
12()()1()(!31)()sin(
或：20
202
sin sin )(sin x du u dx d du u dx d u t x x x ==-?=-?? 10.求
)0(0)1ln()()(2n f n x x x x f 阶导数处的在=+=
解：)(2
)1(32()1ln(
22
1322
2
---+--+???-+-=+n n n x o n x x x x x x x =)(2)1(321543
n n
n x o n x x x x +--+???-+-- 2
!
)1()0(1
)
(--=∴-n n f n n E.不等式的证明
11.设)1,0(∈x ，2
11)1ln(112ln 1)1(ln )122<-+<-<++x x x x x ，求证（
证：1）令0)0(,)1(ln )1()
(22=-++=g x x x x g
；得证。
单调下降，单调下降单调下降，时0)()(,0)(')(',0)
('')('')1,0(0
)0('')0(',0)1()
1ln(2)('''),(''),('2
<<<∈∴==<++-
=x g x g x g x g x g x g x g g x x x g x g x g
2）令单调下降，得证。,0)('),1,0(,1
)1ln(1)
(<∈-+=
x h x x
x x h
F.中值定理问题
12.设函数
]11[)(，在-x f 具有三阶连续导数，且1)1(,0)1(==-f f ，
0)0('=f ，求证：在（-1，1）上存在一点3)('''=ξξf ，使
证：
32)('''!
31
)0(''!21)0(')0()(x f x f x f f x f η++
+= 其中]1,1[),,0(-∈∈x x η
将x=1，x=-1代入有)
('''6
1
)0(''21)0()1(1)('''6
1
)0(''21)0()1(021ηηf f f f f f f f ++==-+
=-=
两式相减：
6)(''')('''21=+ηηf f
3)](''')('''[2
1
)('''][2121=+=?∈?ηηξηηξf f f ，，
13.2
e b a e <<<，求证：)(4ln ln 222a b e
a b ->-
证：)(')
()(:
ξf a
b a f b f Lagrange =-- 令
ξ
ξ
ln 2ln ln ,ln )(222
=
--=a b a b x x f
令2
2
22ln )()(0ln 1)(',ln )(e e t t t t t t >∴>∴<-==
ξξ?ξ???
)(4
ln ln 222a b e
a b ->
- （关键：构造函数） 三、补充习题（作业）
1.
23
)0('',11ln
)(2
-=+-=y x
x x f 求 2.曲线012)1,0(2cos 2sin =-+?????==x y t
e y t
e x t
t
处切线为在 3.
e
x y x x e x y 1)0)(1ln(+=>+=的渐进线方程为
4.证明x>0时22
)1(ln )1(-≥-x x x
证：令3
22
2
)
1(2)('''),(''),(',)1(ln )1()(x x x g x g x g x x x x g -=---=
02)1(''0)1(')1(>===g g g ，
00
'),,1(0
'),1,0(0''2'',0'''),,1(2'',0'''),1,0(>∴??
?>∞∈<∈?>????>>+∞∈><∈g g x g x g g g x g g x 第三讲 不定积分与定积分
一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系） 会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2.定积分
理解定积分的概念与性质
理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分
会用定积分求几何问题（长、面、体）
会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值
二、题型与解法 A.积分计算
1.
?
?
+-=--=-C x x dx x x dx 2
2
arcsin
)2(4)
4(2
2.
???+=+=+C x e xdx e xdx e dx x e
x x x x
tan tan 2sec )1(tan 222222
3.设
x
x x f )
1ln()(ln +=
，求?dx x f )( 解：
??
+=dx e e dx x f x
x )
1ln()(
?+++-=+-++=--C e e x dx e
e e e x
x x
x x
x
)1ln()1()11()1ln( 4.??∞
∞>-∞
+=+-+-=112
1
22ln 214)11(lim |arctan 1arctan b b dx x x x x x dx x x π B.积分性质
5.)(x f 连续，?=10)()(dt xt f x ?,且A x x f x =>-)
(lim
0，求)(x ?并讨论)('x ?在0=x 的连续性。 解：x
dy y f x xt y f x
?=
?===0
)()(,0)0()0(??
)0('2/)0('lim 2)0(')()()
('0
2
0????==∴=
-=
>-?A A
x
dy
y f x xf x x x
6.
??---=-x x x t d t x f dx d dt t x tf dx d 02
222022)()(2)( )()()(220
2
x xf y d y f dx d x
?== C.积分的应用
7.设
)(x f 在[0，1]连续，在（0，1）上0)(>x f ，且2
2
3)()('x a x f x xf +
=，又)(x f 与x=1,y=0
所围面积S=2。求
)(x f ，且a=?时S 绕x 轴旋转体积最小。
解：
?-=∴=+=?=102
42)(2
3)(23))((a c dx x f cx x a x f a x x f dx d
?-=∴==-+=
∴1022
50)'(')14(2
3)(a dx y V x x a x f π 8.曲线
1-=x y ，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x 轴所围图形绕x 轴旋转的表面积。
解：切线2/x y =绕x 轴旋转的表面积为ππ522
0=?yds
曲线
1-=x y 绕x 轴旋转的表面积为)155(6
22
1-=
?π
πyds
总表面积为
)1511(6
-π
三、补充习题（作业）
1.?+---=C x x x x dx x x
cot 2sin ln cot sin sin ln 2
2.?+-+dx x x x 13
65
2
3.
?
dx x
x
arcsin
第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何
一、理论要求 1.向量代数
理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模） 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示
2.多元函数微分
理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分 熟练掌握复合函数与隐函数求导法
3.多元微分应用 理解多元函数极值的求法，会用Lagrange 乘数法求极值
4.空间解析几何 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离
二、题型与解法 A.求偏导、全微分
1.
)(x f 有二阶连续偏导，)sin (y e f z x =满足z e z z x yy xx 2'
'''=+，求)(x f
解：
u u e c e c u f f f -+=?=-21)(0''
2.y
x z y x y xy f x z ???++=2)()(1，求
? 3.
决定由0),,(),()(),(=+===z y x F y x xf z x z z x y y ，求dx dz /
B.空间几何问题
4.求
a z y x =++上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。
解：a d a z z y y x x =?=++000///
5.曲面2132222
=++z y x
在点)2,2,1(-处的法线方程。
C.极值问题
6.设),(y x z z
=是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值
点与极值。
三、补充习题（作业）
1.y
x z
x y g y x xy f z ???+=2),(),(求
2.x
z x y g y x xy f z
??+=求)),(,
( 3.dz x
y
y x u u z
求,arctan
,ln ,22=+==?? 第五讲 多元函数的积分
一、理论要求 1.重积分
熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）
??
??????
???=D
r r b a x y x y rdr r f d dy y x f dx dxdy y x f 21)
(2)(1)(2)
(1),(),(),(θθθθθθ ???
????????????
?
?
??
=V
r r z z z z z r z r b a x y x y y x z y x z dr r r f d d rdr
z r f d dz dz z y x f dy dx dxdydz z y x f βαθ?θ??θ?θθθθθ??θ?θθθ)(2)(1)
,(2),(12
21)(2)(1),(2)
,(1)(2)(1)
,(2),(1sin ),,(),,(),,(),,( 会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）
??
++=?=D
y x dxdy z z A y x f z 2
2''1),(
2.曲线积分
理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法
?
?????
?
??
??+?=+????==+?==L
t t b
a x d r r r r f r r L dt y x t y t x f t y y t x x L dx y x y x f x y y L dl y x f βαβα
θ
θθθ22222')sin ,cos ()(:''))(),(()()
(:'1))(,()(:),(
熟悉Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件
3.曲面积分
理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉Gauss 与Stokes 公式，会计算两类曲面积分
????????????
???=???=?++==L S
S V
Dxy y x y x z z S S d F r d F Stokes dV E S d E Gauss dxdy z z y x z y x f dS z y x f 旋度）
通量，散度）
()(:(:''1)),(,,(),,(2
2),(:
二、题型与解法
A.重积分计算
1.Ω+=???Ω
,)(2
2
dV y x I 为平面曲线???==0
22x z
y 绕z 轴旋转一周与z=8的围域。
解：3
1024)(20
220
80
22
28
22
πθπ=
=+=?
?????≤+z
z
y x rdr r d dz dxdy y x dz I
2.
??
--+=D
D
dxdy y
x a y x I ,42
2
2
22为
)
0(22>-+-=a x a a y 与
x
y -=围域。
（)2
116(
2
2
-=πa I 3.
??
?≤≤≤≤=其他
,00,21,),(2x
y x y x y x f ， 求
??
≥+D
x y x D dxdy y x f 2:,),(22 (49/20)
B.曲线、曲面积分
4.?-++-=L
x x dy ax y e dx y x b y e I
)cos ())(sin (
)0,0(2)0,2(2O x ax y a A L 至沿从-= 解：令A y
O L 至沿从01=
3220
1
1
2
)22
(
)()(a b a dx bx dxdy a b I a
D
L L L π
π
-
+=---=-=
?????+
5.?
+-=L y x ydx
xdy I
2
24,为半径的圆周正向为中心，为以)1()0,1(>R L 。
解：取包含(0,0)的正向?
?
?==θθ
sin cos 2:1r y r x L ，
π==∴=-=?
??
??-1
1
1
0L L
L L
L L
6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S ，
)()(2=--??S x
zdxdy e
dzdx x xyf dydz x xf ，且
)
(x f 在x>0有连续一阶导数，
1)(lim 0=+
>-x f x ,求)(x f 。
解：????????Ω
Ω
--+=??=?=s
x
dV e x xf x xf x f dV F S d F ))()(')((02
)1(1)11('2-=
?=-+x
x x e x
e y e x y x y 第六讲 常微分方程
一、理论要求 1.一阶方程 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法 2.高阶方程
会求
))(')(',('')),(')(',(''),()(y p y y y f y x p y y x f y x f y n =====
3.二阶线性常系数
???
??+=→±=+=→=+=→≠?=++?=++)
sin cos ()(0
0'''2112112121121221x c x c e y i e x c c y e c e c y q p q py y x
x
x
x βββαλλλλλλλαλλλ(齐次) ??
?
??=→==→==→≠?=x n x
n x n x
n e x x Q y and xe x Q y or e x Q y e x P x f ααααλλαλλαλα22212212)()()()()((非齐次)
?????=+=→=±+=→≠±?+=)
,max((sin )(cos )((sin )(cos )(()
sin )(cos )(()(22j i n x x r x x q xe y i x
x r x x q e y i x x p x x p e x f n n x
n n x
j i x ββλβαββλβαββααα(非齐次) 二、题型与解法 A.微分方程求解
1.求0)2()23(222
=-+-+dy xy x dx y xy x
通解。（)322c x y x xy =--
2.利用代换
x
u
y cos =
化简
x
e x y x y x y =+-cos 3sin '2cos ''并求通解。
（x
e x c x x c y e u u x
x
cos 5sin 2cos 2cos ,4''21++==+）
3.设
)(x y y =是上凸连续曲线，),(y x 处曲率为
2
'
11y +，且过)1,0(处切线方程为y=x+1，求
)(x y y =及其极值。
解：
2ln 2
1
1,2ln 211|)4
cos(
|ln 01'''max 2+=+
+-=?=++y x y y y π
三、补充习题（作业）
1.已知函数)(x y y =在任意点处的增量)1(,)0(),(12
y y x o x
x
y y 求π=?++?=?。(4π
πe ） 2.求
x e y y 24''=-的通解。（x
x x xe e c e c y 222214
1+
+=-） 3.求0)1(),0(0)(22=>=-++y x xdy dx y x y 的通解。（)1(2
12
-=
x y ） 4.求
1)0(')0(,0'2''2===--y y e y y x 的特解。（x e x y 2)23(4
1
41++=
第七讲 无穷级数
一、理论要求 1.收敛性判别
级数敛散性质与必要条件
常数项级数、几何级数、p 级数敛散条件 正项级数的比较、比值、根式判别法 交错级数判别法
2.幂级数
幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法
幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分） Taylor 与Maclaulin 展开
3.Fourier 级数
了解Fourier 级数概念与Dirichlet 收敛定理 会求],[l l -的Fourier 级数与],0[l 正余弦级数
第八讲 线性代数
一、理论要求 1.行列式 会用按行（列）展开计算行列式
2.矩阵
几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随） 矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式 矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆 矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价 用初等变换求矩阵的秩与逆
理解并会计算矩阵的特征值与特征向量
理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法 掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
3.向量
理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示 掌握线性相关、线性无关的判别
理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩 了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法 了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质
4.线性方程组
理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件 理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解 掌握用初等行变换求解线性方程组的方法
5.二次型
二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换 二次型的标准形、规范形及惯性定理
掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法 了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法
第九讲 概率统计初步
一、理论要求 1.随机事件与概率
了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算 会计算古典型概率与几何型概率
掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式
2.随机变量与分布
理解随机变量与分布的概念
理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度
掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数
3.二维随机变量
理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 理解随机变量的独立性及不相关概念
掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度 会求两个随机变量简单函数的分布
4.数字特征 理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念 掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望
5.大数定理 了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理 了解隶莫弗-Laplace 定理与列维-林德伯格定理
6.数理统计概念
理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩 了解2
χ分布、t 分布、F 分布的概念和性质，了解分位数的概念 了解正态分布的常用抽样分布
7.参数估计
掌握矩估计与极大似然估计法
了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间
8.假设检验
掌握假设检验的基本步骤
了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验
第十讲 总结
1.极限求解
变量替换（∞
1作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换）
1.2
))1((...)2()[(1lim
a x n a n x n a x n a x n n +=-++++++∞>- (几何级数)
2.2//10
)
arccos 2(lim ππ
->-=e x x
x (对数替换) 3.2
tan
1
)
2(lim x
x x π-
>-
4.2
1)63(lim -∞>-++x x x
x
5.2
1)()()(lim a x a x na a x n n n a x ----->- 6.
?
???
?
????
>=<-=?)0(cos 0
,40,2cos 1)(02x x tdt
x x x x x f x
，求)(lim 0
x f x >- 2.导数与微分 复合函数、隐函数、参数方程求导 1.]')()()[(b
a x a
x x b b a 2.
0)sin(arctan =--+y x x x
y
，求dy/dx 3.?????==t
e y t e x t
t
sin cos 决定函数)(x y y =，求dy
4.已知1ln 22
=-y y x ，验证0')12(422=-+y y x xy
5.
bx x v v u e y u sin ,ln 31
,32===,求x y '
3.一元函数积分
1.求函数?+-+=x dt t t t x I 02
1
1
3)(在区间]1,0[上的最小值。（0） 2.?---2
22|
1|1
dx x x 3.
?-1
2
/32)1dx x （
4.
?
+dx x x )
1(1
5.?-1
2
t t
dt
6.
?
-+dx x
x 2
4141
4.多元函数微分
1.),(2xy
e y
x f z =，求y x z z ','
2.),(y x z z
=由0),(=++
x
z
y y z x F 给出，求证：xy z yz xz y x -=+'' 3.求xy y x y x u 2)
,(22+-=在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。
4.)ln(sin y x x u +=，求y
x u
???2
6.证明)(
2x
y
f x z n =满足nz yz xz y x =+'2' 7.求
18:44),(2222≤+---=y x D y x y x y x f 在内的最值。
5.多元函数积分
1.求证：b rot a a rot b b a div
-=?)(
2.??≤+--=D
y y x D dxdy y x I 2:,)4(22
3.??≤++=D
y y x D dxdy y x I
2:,)(22
4.改变积分次序
?
?
+-2
2
1
),(x dy y x f dx
5.??====D xy x y x D dxdy y x
I
1,2,2:,)(2围域。
6.常微分方程
1.求01ln 122=++++dx y dy xdx y 通解。
2.求x e y y y 325'2''=++通解。
3.求
x e y y y 265'2''=--通解。
4.求0)()(22
=++-dy x xy dx y y x 通解。
5.求
0)0()0('),2cos (2
1
4''==-=
+y y x x y y 特解。 6.求
1)0(',,0)0(,4''===-y y xe y y x 特解。
武大《高等数学》期末考试试题
2000～2001学年第二学期《 高等数学 》期末考试试题（180学时） 专业班级 学号_______________ 姓名 一、 已知一个二阶常系数线性齐次微分方程有相等的实根a ，试写出此微分方程及通解。 （8分） 二、 设幂级数∑∞=?0 )1(n n n x a 在x =3处发散，在x =1处收敛，试求出此幂级数的收敛半径。（8分） 三、 求曲面323 =+xz y x 在点（1，1，1）处的切平面方程和法线方程 。（10分） 四、 设)(,0x f x >为连续可微函数，且2)1(=f ，对0>x 的任一闭曲线L，有0)(43=+∫L dy x xf ydx x ，求)(x f 。 （10分） 五、 设曲线L （起点为A ，终点为B ）在极坐标下的方程为36(,2sin πθπθ≤≤= r ，其中θ=6π 对应起点A ，3 π θ=对应终点B ，试计算∫+?L xdy ydx 。（10分） 六、 设空间闭区域Ω由曲面222y x a z ??=与平面0=z 围成，其中0>a ，Σ为Ω的 表面外侧，且假定Ω的体积V 已知，计算： ∫∫Σ=+?.)1(2222dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x 。（10分） 七、 函数),(y x z z =由0),(=z y y x F 所确定，F 具有连续的一阶偏导数，求dz 。 （12分） 八、 计算∫∫∫Ω +,)(22dxdydz y x 其中Ω是由平面z =2与曲面2222z y x =+所围成的闭区域。（12分） 九、 已知级数 ∑∞=1n n U 的部分和arctgn S n =，试写出该级数，并求其和，且判断级数∑∞=1n n tgU 的敛散性。（12分） 十、 设)(x f 连续，证明∫∫∫??=?A A D dt t A t f dxdy y x f |)|)(()(，其中A 为正常数。D ：2||,2||A y A x ≤≤ 。（8分）
同济大学版高等数学期末考试试卷
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???
高等数学B(二)2012-2013(B)解答
第 1 页 共 4 页 上 海 海 事 大 学 试 卷 2012— 2013 学年第二学期期末B （B ）考试解答 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分) 1、C 2、C 3 D 4、A 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分) 1、{}1,2,3 2、??-1010),(x dy y x f dx 3、3 4、24x -e x - 三、 计算题（必须有解题过程） （本大题分11小题，共 76分） 1、(本小题7分) 求由e xyz e z =-确定的隐函数z z x y =(,)在点（0，1）处求d z 解：0,1)) 1.0()1.0())1.0()1.0(=-==-=xy e xz y z e xy e yz x z z z ???? 5分 dx e dz 1= 7分 2、(本小题7分) 设2 2)1()1(ln -+-=y x z ，试求：2222y z x z ????+ 2222222 2])1()1[()1(2-)1()1(1)1()1(1 -+---+-=-+--=y x x y x z y x x z xx x 解： 3分 --------------------------------------------------------------------------------------装 订 线 ------------------------------------------------------------------------------------
高等数学学期期末考试题(含答案全)
05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐 标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设y =求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?
5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22l n l n l n (1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分
(精选)大一高数期末考试试题
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim() x x x e x →-= .2． ()()1 2005 1 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程 2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导，且1 ()()x tf t dt f x =?，1)0(=f ， 则()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1．设常数0>k ，则函数 k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分 方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x *=; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ） x A y 2sin *=.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积, 则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0 x t f t dt ?也为奇函数.4. 设 ()x x e e x f 11 321++= , 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1． 计算定积分 2 30 x e dx - 2．2．计算不定积分dx x x x ? 5cos sin . 求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在 2π= t 处的切线的方程.
上海海事大学高数A-B卷试题 答案
高等数学A （一）B 试卷 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分) [][][]上的定积分，．在 差上的积分与一个常数之，．在 ．一个原函数 ．原函数一般表示式 的 是，则 连续，，在、设b a D b a C B A x f x F b x a t x f x F b a x f b x )( )()( )()()()(d )()()(1≤-≤=? - ( ) . 11 )(;)1(21arctan )(;1ln arctan )(;1ln arctan )(,d arctan 2222 2C x D C x x x C C x x x B C x x x A I x x I +++++++-++-==? 则、设 ( ) 2 112212121)()()()()(,,3s s D s s C s s B s s A dx x f s s b a ---+=? 则如图表示的面积和、 123)30(01343． ． ． ． ）内的实根的个数为（ ，在、方程D C B A x x =+- () 4 )(2)(1)(0)()cos 1)x 1ln(x 522 2 2 （、 D C B A dx x ?-=-+++π π 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分2小题, 每小题5分, 共10分) 1、.________________ln cot ln lim 的值等于x x x +→
2、已知 是的一个原函数cos (),x x f x =??x x x x f d cos )(则___________. 三、解答下列各题 ( 本 大 题8分 ) 在求过P 0423(,,)-与平面π:x y z ++-=100平行且与直线? ??=-=--+0100 52:1z z y x l 垂直的直线方程。 四、解答下列各题 (本大题共3小题，总计18分) 1、(本小题6分) ? .d )(ln 2 x x 求 2、(本小题6分) ． 求?-1 0221dx x x 3、(本小题6分) 设非零向量,满足25235b +⊥-+⊥-，求(,)∧ 。 五、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题7分) ).0()()1,0(:),()1()(,]1,0[)(00?='∈?-=?x f x x x x f x 使存在求证可导在设 2、(本小题6分) 的微分关于试求确定了函数 设参数方程x y x y y t e y t t x t ),(cos sin 2 =?????=+=。 六、解答下列各题 (本大题共2小题，总计15分) 1、(本小题7分) .12cos 22所围成公共部分面积和求由双纽线==r r θ
《高等数学B》本科期末考试试卷A卷
西南科技大学2013-2014-2学期 《高等数学B2》本科期末考试试卷（A卷） C.6 D.8 1 1)n的敛散性为（）
4、求函数3u xy z =在点(1,1,2)-处的梯度__________。 5、设,αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y 处的切向量的方向角，则平面曲线L 上的两类曲线积分的关系(________________)L L Pdx Qdy ds +=??。 三、解答题（1-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分） 1、求曲面22214x y z ++=上平行于平面2320x y z ++=的切平面方程。 2、设2 2 (,),z f x y xy =-，其中f 具有连续的二阶偏导数，求2z x y ???。 3、求函数4242z x xy y =-+的极值。 4、计算|1|D I x y dxdy =+-??，其中[0,1][0,1]D =?。 5、把二次积分4 2200 )dx x y dy +?化为极坐标形式，并计算积分值。 n n 的收敛半径与收敛域。的一段弧。西南科技大学《高等数学B2
000 123 x y z k ===令 ，代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分， 在点（1，2，3）处的切平面为2314x y z ++=-————----2分， 在点（-1，-2，-3）处的切平面为23140x y z +++=----————-2分。 2、解：122(3)z xf yf x ?'' =+?分。 3、解：3440,440x y z x y z x y =-==-+=求得驻点为（0，0），（1，1），（-1，-1）。（3分） 212,4,4xx xy yy A z x B z C z ====-==，在点（0，0）处2160AC B -=-<没有极值，（3分） 在点（1，1）和（-1，-1）处2320,0AC B A -=>>，所以有极小值(1,1) 1.z ±±=-（3分） 4、解： 5 、解3334 4cos 22 3 4 2200 )64cos 12dx x y dy d r dr d π π θ θθθπ+===??? ?分 分 分 。 6、解：131lim 3 31n n n n n ρ+→∞==+，所以收敛半径为3，收敛区间为323x -<-<，即15 x -<<（3分） 当5x =时11313n n n n n n ∞ ∞===∑∑发散（2分），当1x =-时11 (3)(1)3n n n n n n n ∞∞ ==--=∑∑收敛，（2分） 因此原级数的收敛域为[1,5)-。（2分） 7、解：42332,4,24Q P P xy y Q x xy x y x y ??=-=-==-??，所以该曲线积分和积分路径无关。（4分） 11 4 2 3 30 (23)(4)314)=3L xy y dx x xy dy dx y dy -++-=+-???（（5分） 8、解：由高斯公式得22322()2=()xy dydz x y z dzdx xydxdy x y dxdy ∑ Ω +-++?????（4分） 由柱面坐标2 24 2230028()3 r x y dxdydz d r dz ππ θΩ +== ?????（5分）
海大大一上学期(第一学期)高数期末考试题
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim e 的 六次方 . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 cos 方x/2x 方 .
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .
高等数学A(二)2009-2010(A)
第 1 页 共 5 页 上 海 海 事 大 学 试 卷 2009 — 2010 学年第二学期期末考试 《 高等数学A （二）》（A 卷） （本次考试不能使用计算器） 班级 学号 姓名 总分 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) 1、设f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则f y '(,)32=（ ） (A) 41 (B) 40 (C) 42 (D) 39 2、设圆域D ：x 2+y 2≤1,f 是域D 上的连续函数，则 答 ( ) 3、如果81 lim 1=+∞→n n n a a ,则幂级数∑∞ =03n n n x a (A)当2
第 2 页 共 5 页 4、设Ω为球体x 2+y 2+z 2≤1,f (x ,y ,z )在Ω上连续，I =x 2yzf (x ,y 2,z 3),则I = (A) 4x 2yzf (x ,y 2z 3)d v (B) 4 x 2yzf (x ,y 2,z 3)d v (C) 2 x 2yzf (x ,y 2,z 3)d v (D) 0 答 ( ) 5、设L 是圆周 x 2+y 2=a 2 (a >0)负向一周，则曲线积分 （ ） 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) 1、设)ln(),,(2 22z y x z y x f ++=，则=-)2,1,1(f d gra 2、=-=+++ dz z y x xyz 处全微分在)1,0,1(,2222 3、设L 为圆周122=+y x ，则? =L ds x 2 4、如果幂级数n n x a ∑在x = -2处条件收敛，则收敛半径为R= 5、曲面32=+-xy e z z 在（1，2，0）处切平面方程为 三 计算题（必须有解题过程） （本大题分7小题，共 60分） 1、（本小题8分） 已知2 2 )1()1(ln -+-=y x u ，试求：2222y u x u ????+ 2 222 222 2])1()1[() 1(2)1()1(1)1()1(1 -+--- -+-= -+--= y x x y x u y x x u ? xx x 解： 4分
同济大学版高等数学期末考试试卷
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点
．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +?
高等数学下册期末考试试题及答案
考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号 姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222 x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分）
抛物面22 z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 四、 （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 五、（本题满分10分） 求幂级数13n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 六、（本题满分10分） 计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ = ++-??， 其中∑为曲面2 2 1(0)z x y z =--≥的上侧． 七、（本题满分6分） 设()f x 为连续函数，(0)f a =，2 22()[()]t F t z f x y z dv Ω= +++???，其中t Ω 是由曲面z = 与z = 3 () lim t F t t + →． ------------------------------------- 备注：①考试时间为2小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。 高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】
高等数学上期末考试试题原题
一．选择与填空题（每小题3分, 共18分） 1．)(x f 在0x 处可微是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件. （A ）必要非充分； （B ）充分非必要； （C ）充分必要； （D ）无关条件. 2． ① 2sin 1a a x dx x -?+= +??___________ ②设32a i j k =--r r r r ，2 b i j k =+-r r r r ，数量积a b r r g = ，向量积2a b ?r r = ． 3．下列反常积分中收敛的是（ ）. A ．1+∞ ?； B ．1 2016 01dx x ?； C ．dx x ?101； D ．201611dx x +∞?. 4．比较积分值的大小： 1 20x dx ? 130 x dx ?;（注填：），=,<). 5. 曲线222016410x y z ?+=?=? 分别绕x 轴及y 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程分别 为 和 ． 6. 设函数()ln f x x =，则()f x 的可去间断点为（ ）． （A ）仅有一点0x =； （B ）仅有一点1x =-； （C ）有两点0x =及1x =-； （D ）有三点0x =，1x =及1x =-． 二．计算题（每小题6分，共60分） 1. ①求极限0tan sin lim arcsin ln(1) x x x x x x →-??+. ②11lim ln 1x x x x →??- ?-?? ． ③011lim 1ln(1)x x e x →??- ?-+? ? 2. ①讨论函数1ln 2+=x y 的单调性，极值点，及其图形的凹凸性与拐点. ②求曲线) (sin 12-= x x x y 的水平和垂直渐近线
大学高等数学期末考试试题与答案
（一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x = +-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ?? =??+? 000x x x <=> ，若0 lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 3 lim (1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21 ()1x f x x k ?-? =-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、2 0cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞ = B 、lim 0x x e →-∞ = C 、2 1 lim 1x x e →∞ = D 、1 lim 1x x e →∞ = 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、 ()sin 0x x x → B 、 ()cos x x x →∞ C 、 ()0sin x x x → D 、 ()cos x x x →∞ 3、0 lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3 y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B C 、3 - D 、 3 5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内（ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）.
高等数学试卷与答案第一学期期末考试上海海事大学高等数学A船(A)
1 上 海 海 事 大 学 试 卷 2009 — 2010学年第一学期期末考试 《 高等数学A （船） 》（A 卷） 班级 学号 姓名 总分 (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分) 或不存在 且 处必有在处连续且取得极大值则在点、函数0)()(0)(0)()(0)()(0)()() ()()(10000000='<''='<''='==x f D x f x f C ???x f B x f A ?????x x f x x x f y 2、设F (x)= ?-x a dt t f a x x )(2 ，其中)(x f 为连续函数，则)(lim x F a x →等于（ ） （A ）、2a (B)、)(2a f a (C)、 0 (D)、不存在 3、 已知函数)(x f 在1=x 处可导，且导数为2，则 =--→x f x f x 2) 1()31(lim 0 （ ） （A ）3 (B) -3 （C ）-6 （D ）6 4、x x x e e 110 11lim +-→的极限为 （ ） （A ）1 (B) -1 (C) 1或 -1 （D ）不存在 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分) 1、____________2 lim 2 0的值等于-+-→x x x e e x 2、__________________)sin (cos 2 ?2 32? =+π π－ ?dx x x -------------------------------------------------------------------------------------- 装 订 线------------------------------------------------------------------------------------
大一高等数学期末考试试卷及答案详
解 大一高等数学期末考试试卷 (一)一、选择题(共12分) x,2,0,ex,fx(),1. (3分)若为连续函数,则的值为( ). a,axx，,,0,(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 fhf(3)(3),,,2. (3分)已知则的值为( ). limf(3)2,,h,02h 1(A)1 (B)3 (C)-1 (D) 2 ,223. (3分)定积分的值为( ). 1cos,xdx,,,2 (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若在处不连续,则在该点处( ).xx,fx()fx()0 (A)必不可导(B)一定可导(C)可能可导(D)必无极限二、填空题(共12 分)23x1((3分)平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程(0,1)(,)xy 为. 124(sin)xxxdx，,2. (3分) . ,,1 12xlimsin3. (3分) = . x,0x 324. (3分)的极大值为. yxx,,23 三、计算题(共42分) xxln(15)，lim.1. (6分)求2x,0sin3x xe,y,,2. (6分)设求y. 2x，1 2xxdxln(1).，3. (6分)求不定积分, x,3,1,x,,fxdx(1),,4. (6分)求其中()fx,1cos，x,,0x,1,1.ex，,,1 yxt5. (6分)设函数由方程所确定,求edttdt，,cos0yfx,()dy.,,0026. (6分)设求fxdxxC()sin,,，fxdx(23).，,,
n3,,7. (6分)求极限lim1.，,,,,nn2,, 四、解答题(共28分) ,1. (7分)设且求fxx(ln)1,,，f(0)1,,fx(). ,,,,2. (7分)求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋 xxyxxcos,,,,,,22,, 转体的体积. 323. (7分)求曲线在拐点处的切线方程. yxxx,,，,32419 4. (7分)求函数在上的最小值和最大值. [5,1],yxx,，,1 五、证明题(6分) ,,设在区间上连续,证明fx()[,]ab bbba,1,, fxdxfafbxaxbfxdx()[()()]()()().,，，,,,,aa22 (二) 一、填空题(每小题3分，共18分) 2x,1x,1，，fx,，，1(设函数，则是的第类间断点. fx2x,3x，22,，，2(函数，则. y,y,ln1，x x2 x，1,,( 3 . ,lim,,x,, x,, 11,,y,4(曲线在点处的切线方程为. ,2,,x2,, 32,,,1,45(函数在上的最大值，最小值. y,2x,3x xarctandx,6(. ,21，x 2
高等数学期末考试试卷1
一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（） （A ）12ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = 2. 二元函数(3)z xy x y =--的极值点（） （A ）(0,0) (B)(0,3) (C)(3,0) (D)(1,1) 3. 设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（） （A ）()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C) ()()11f f >- (D)()()11f f <- 4. 若级数2111n sin kln n n ∞=????-- ???????∑收敛，则()k = (A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2 5. 设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A)T E αα-不可逆 (B)T E αα+不可逆 (C)2T E αα+不可逆 (D)2T E αα-不可逆 6. 已知矩阵200021001A ????=??????210020001B ????=??????100020002C ????=?????? ，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似 7. A B 、、C 为三个随机事件，A 、C 相互独立，B 、C 相互独立，则A B ?与C 相互独立的充要条件是 (A)A 与B 相互独立 (B)A 与B 互不相容 (C)AB 与C 相互独立 (D)AB 与C 互不相容 8. 设12,......(2)n X X X n ≥来自总体(,1)N μ的简单随机样本，1 1n i i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是： (A) 21()n i i X μ=-∑服从2χ分布 (B) 212()n X X -服从2χ分布
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