当前位置：文档库 › 24第24讲等腰三角形

24第24讲等腰三角形

第24讲等腰三角形

本讲重点：等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．

【考点链接】

1. 等腰三角形：

（1）定义：有边相等的三角形是等腰三角形.

（2）性质：等腰三角形的两底角__________；等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一.

（3）判定：有两个角相等的三角形是_________.

2. 等边三角形：

（1）定义：有边相等的三角形是等边三角形.

（2）性质：等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质.

（3）判定：三个角相等的三角形是________三角形，三边相等的三角形是_______三角形，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．

【典例探究】

考点1 等腰三角形性质和判定的应用

『例1』（2012广东省）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．

（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．

『解析』（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线：①以点B为圆心，

任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于1

EF为半径

画圆，两圆相较于点G，连接BG交AC于点D.（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角平分线的性质得出∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可.

解：（1）作图如下：

（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°.

∵AD 是∠A BC 的平分线，∴∠ABD=

∠ABC=

×72°=36°.

∵∠BDC 是△ABD 的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°. 『备考兵法』解答与等腰三角形有关的问题时，要注意以下几点：（1）注重“三线合一”定理的应用，利用它可以证明线段相等、角相等及直线垂直等；（2）证明在同一个三角形中的边或角相等时，常可利用“等角对等边”和“等边对等角”来实现．

考点2 等边三角形性质和判定的应用『例2』（2012常德模拟）如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．

（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；

（2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．

『解析』（1）CD =BE ．理由如下: ∵△ABC 和△ADE 为等边三角形

∴AB=AC ，AE=AD ，∠BAC=∠EAD =60o

∵∠BAE =∠BAC －∠EAC =60o －∠EAC ，∠DAC =∠DAE －∠EAC =60o －∠EAC ， ∴∠BAE=∠DAC ， ∴△ABE ≌ △ACD ，∴CD=BE . （2）△AMN 是等边三角形．理由如下：

∵△ABE ≌ △ACD ， ∴∠ABE =∠ACD ．

∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点，∴BM =

1122

B E

D C N =

=，

∵AB=AC ，∠ABE=∠ACD ， ∴△ABM ≌ △ACN ．

∴AM=AN ,∠MAB=∠NAC ．∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC =60o , ∴△AMN 是等边三角形．

设AD=a ，则AB=2a ．∵AD=AE=DE ，AB=AC ， ∴CE=DE ．∵△ADE 为等边三角形， ∴∠DEC=120 o ， ∠ADE=60o ，∴∠EDC =∠ECD =30o ，∴∠ADC =90o ．

∴在Rt △ADC 中，AD=a ，∠ACD =30 o ，∴ CD ．

∵N 为DC 中点， ∴2

D N a =

， ∴2

AN =

．

∵△ADE ，△ABC ，△AMN 为等边三角形， ∴S △ADE ∶S △ABC ∶S △AMN 7:16:44

4:1)2

:)2(:2

22===a a a .

解法二：△AMN 是等边三角形．理由如下：

∵△ABE ≌ △ACD ，M 、N 分别是BE 、CN 的中点，∴AM=AN ，NC=MB ． ∵AB=AC ，∴△ABM ≌ △ACN ，∴∠MAB=∠NAC ，

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC =60o ，∴△AMN 是等边三角形.

设AD=a ，则AD =AE =DE = a ，AB =BC =AC =2a ，

易证BE ⊥AC ，∴BE =a a a AE AB 3)2(2222=-=-， ∴32

a =

∴a

a a AE

AM 2

7)2

+=+=

∵△ADE ，△ABC ，△AMN 为等边三角形，

∴S △ADE ∶S △ABC ∶S △AMN 7:16:44

7:4:1)2

7(:)2(:222===a a a .

『备考兵法』证明题的思考方法有分析法、综合法．分析法是从结论入手，分析它成立需要具备什么条件，逐步逆推，直到所需要的条件与已知条件符合为止．综合法是从已知条件入手，分析它可能推出什么性质，逐步顺推，直到同结论符合为止．实际在证明的思考过程中经常是综合法与分析法并用．

考点3 综合应用

『例3』（2012北京市）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点E ，∠BAC=900，∠CED=450

，∠DCE=900

，DE=2，BE=22．求CD 的长和四边形ABCD 的面积．

『解析』利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD 的长，求出AC ，AB 的长即可得出四边形ABCD 的面积. 解：过点D 作DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，2，∴EH=DH=1. 又∵∠DCE=30°，∴DC=2，3∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，2， ∴AB=AE=2.∴AC=2+1+33∴AB C D 11933

S 2331332

??+

边四形（）（） .

『备考兵法』解几何证明题是深刻理解和牢固掌握平面几何的基本知识和基本技能的根本手

段，要能顺利地解证明题，必须掌握思考证明题的方法.

【当堂过关】

1. （2012宁夏区）一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是( ) A ．13 B ．17 C ．22 D ．17或22

『解析』若4为腰长，9为底边长，由于4+4＜9，则三角形不存在；9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边.∴这个三角形的周长为9+9+4=22. 『答案』C

2. （2012四川广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=1

BC，则△ABC底角的度数

为( )

A．45° B．75° C．45°或75° D．60°

『解析』若AB=AC，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1

BC，∠ADB=90°.∵AD=

BC，∴AD=BD. ∴∠B=45°.

即此时△ABC底角的度数为45°.若AC=BC，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°.∵AD=1

BC，∴AD=

AC，

∴∠C=30°.∴∠CAB=∠B=（1800－∠A）÷2=75°.即此时△ABC底角的度数为75°.综上所述，△ABC底角的度数为45°或75°.

『答案』C

3. （2012四川广元）已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是 . 『解析』分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为80°时，另外两个内角=（180°－80°）÷2=50°；（2）若等腰三角形的底角为80°时，顶角为180°－80°－80°=20°.∴等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是50°，50°或80°，20°.

『答案』50°，50°或80°，20°

4. （2012张家界模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C= ．

『解析』∵AB=CA，∴△ABC是等腰三角形，∵D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC，

∵∠BAD=20°．∴∠C=90°﹣20°=70°．

『答案』70°

5. （2012海南省）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 .

『解析』∵OB是∠B的平分线，∴∠DBO=∠OBC.又∵DE∥BC，∴∠OBC =∠BOD.∴∠DBO=∠BOD.∴DO=DB.同理，EO=EC.又∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长=AD＋DE＋AE=AD＋DO＋EO＋AE=AD＋DB＋EC＋AE=AB＋AC=5＋4=9.

『答案』9

6. （2012贵州贵阳）如图，在△ABA

1中，∠B=20°，AB=A

B，在A

B上取一点C，延长AA

到A

2，使得A

C；在A

C上取一点D，延长A

到A

，使得A

D；…，按此做法进行

下去，∠A

的度数为．

『解析』研究简单情形找规律即得.

『答案』

0 n1 80 2

7. （2012长春模拟）在正方形网格图①．图②中各画一个等腰三角形．要求：每个等腰三角形的一个顶点为格点A，其余顶点从格点B．C．D．E．F．G．H中选取，并且所画的两个三角形不全等．

解：如图：

8. （2012江苏常州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：∠DBC=∠DCB.

证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.又∵AB=AC，AD=AD，∴△BAD≌△CAD（SAS）. ∴BD=CD.∴∠DBC=∠DCB.

【浙江两年中考】

1. （2011舟山）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为

（）

（A ）32

（B ）33 （C ）34 （D ）36

『解析』根据等边三角形的性质求解. 『答案』B

2. （2012丽水）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是．

『解析』连接BO ，∵AB＝AC ，AO 是∠BAC 的平分线，∴AO 是BC 的中垂线.∴BO＝CO.∵∠BAC ＝50°，∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，∴∠OAB＝∠OAC＝25°.

∵等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°.∴∠OBC＝65°－25°＝40°.∴∠OBC＝∠OCB＝40°.∵点C 沿EF 折叠后与点O 重合，∴EO＝EC ，∠CEF＝∠FEO .∴∠CEF＝∠FEO＝（1800－2×400）÷2＝50°. 『答案』50°

3. （2011杭州）在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为．『解析』分两种情形，构造直角三角形求解.

4.（2012绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念. 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图1，若PA=PB ，则点P 为△ABC 的准外心.

应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD=

AB ，求∠APB 的

度数.

探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P 在AC 边上，试探究PA 的长

B C

解：应用：①若PB=PC ，连接PB ，则∠PCB=∠PBC，∵CD 为等边三角形的高，∴AD=BD，

∠PCB=30°.∴∠PBD=∠PBC=30°，3

AB.与已知PD=

AB 矛盾，∴PB≠PC .②

若PA=PC ，连接PA ，同理可得PA≠PC .③若PA=PB ，由PD=12

AB ，得PD=AD =BD ，

∴∠APD=∠BPD=45°.∴∠APB=90°.

探究：∵BC=5，AB=34=

①若PB=PC ，设PA=x ，则2223(4)x x +=-，∴78

x =，即PA=

②若PA=PC ，则PA=2.③若PA=PB ，由图知，在Rt△PAB 中，不可能.∴PA=2或78

【命题趋势提醒】

有关等腰三角形的性质的命题常以填空题、选择题、解答题的形式出现，考查基础知识. 等腰三角形的判定及性质是解决线段及角的等量关系常用的知识，题目上形式比较灵活，可以是开放性的填空题、选择题、也可以是证明题，或和其他知识综合在一起考查等.

【迎考精炼】

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）

1. （2012铜仁）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（） A 、等腰三角形两底角相等

B 、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合

C 、等腰三角形是中心对称图形

D 、等腰三角形是轴对称图形

『解析』等腰三角形不是中心对称图形．『答案』C

2. （2012四川攀枝花）已知实数x ，y 满足x 4-，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）

A ． 20或16面

B ． 20

C ．16

D ．以上答案均不对

『解析』若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20. 『答案』B

3. （2012呼和浩特模拟）如果等腰三角形两边长是6cm 和3cm ，那么它的周长是（） A 、9cm B 、12cm C 、15cm 或12cm D 、15cm

『解析』当6为腰，3为底时，6-3＜6＜6+3，能构成等腰三角形，周长为5+5+3=13；当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形．『答案』D

4. （2012青岛模拟）如图，将等腰直角△ABC 沿BC 方向平移得到△A 1B 1C 1．若，

△ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分面积为2，则BB 1=( )

『解析』设B 1C=2x ，则B 1C 边上的高为x ，∴12

×x×2x=2，解得（舍去负值），

∴BB 1=BC ﹣B 1 『答案』C

5. （2012沈阳模拟）如图，矩形ABCD 中，AB ＜BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，则图中的等腰三角形有（）

A 、2个

B 、4个

C 、6个

D 、8个

『解析』∵矩形ABCD 中，AB ＜BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OA＝OB ＝OC ＝OD ， ∴图中的等腰三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC 四个．

『答案』B

6. （2012河池模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于E ，下述结论错误的是（）

A 、BD 平分∠ABC

B 、△BCD 的周长等于AB+BC

C 、AD=BD=BC

D 、点D 是线段AC 的中点

『解析』∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=

=72°，

∵AB 的垂直平分线是DE ，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD ，∴BD 平分∠ABC ，故A 正确；∴△BCD 的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB ，故B 正确；∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴AD=BD=BC，故C 正确；∵BD＞CD ，∴AD＞CD ，∴点D 不是线段AC 的中点，故D 错误．

『答案』D

7. （2012湖北荆门）如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF=2，则PE 的长为( )

A ． 2

B ． 2

C ．

D ． 3

『解析』∵△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，∵BF=2，FQ⊥BP

，∴BQ=BF?cos30°=2×

.∵FQ 是BP

在Rt△BEF 中，∵∠EBP=30°，∴PE=

『答案』C

8. （2012凉山模拟）如图，在A B C △中，13A B A C ==，10B C =，点D 为B C 的中点，D E A B ⊥，垂足为点E ，则D E 等于（）

A ．

1013

B ．

1513

C ．

6013

D ．

7513

E D

『解析』连接AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝ 2

1×10＝5，∴AD ＝

513- ＝12．∵△ABC 的面积是△ABD 面积的2倍．∴2?

1AB ?DE ＝ 2

1?BC ?AD ，

∴ DE ＝

21210??＝

60．

『答案』C

9. （2012巴彦淖尔模拟）如图，在△ABC 中，AB=20cm ，AC=12cm ，点P 从点B 出发以每秒3cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ 是等腰三角形时，运动的时间是（）

A 、2.5秒

B 、3秒

C 、3.5秒

D 、4秒

『解析』设运动的时间为x ，在△ABC 中，AB=20cm ，AC=12cm ，点P 从点B 出发以每秒3cm

的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，

当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，即20﹣3x=2x，解得x=4．

『答案』D

10. （2012十堰模拟）如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长

均为1个单位长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有（）

A．4个 B．6个 C．7个 D．9个

『解析』易知：以原三角形每条边为底边分别可以画出两个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，故3×2=6，同时，还可以以原直角三角形斜边为腰画出一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，∴符合要求的新三角形有7个．

『答案』C

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在横线上）

11. （2012泉州模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠A= ．

『解析』∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∴∠A=180°﹣40°﹣40°=100°．

『答案』100°

12. （2012山东滨州）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=°．

『解析』根据等腰三角形的性质计算.

『答案』40

13. （2012江苏淮安）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC=700，则∠BAD=°.

『解析』由AB=AC ，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，得∠BAD=∠CAD；由∠BAC=700

，得∠BAD=350

. 『答案』35

14. （2012烟台模拟）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .

『解析』当腰是4时，则另两边是4，6，且4+4＞6，6﹣4＜4，满足三边关系定理，当底边是4时，另两边长是5，5，5+4＞5，5﹣4＜5，满足三边关系定理，∴该等腰三角形的底边为4或6．『答案』4或6

15. （2012茂名模拟）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且

CG=CD ，DF=DE ，则∠E= 度．

『解析』∠ACB =60°，∠ACD =120°，∵CG=CD ，∴∠CDG=30°，∠FDE =150°， ∵DF=DE ，∴∠E=15°．『答案』15

16. （2012山东东营）在平面直角坐标系xOy 中，点A 1，A 2，A 3，···和B 1，B 2，B 3，···分别在直线y=kx+b 和x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…都是等腰直角三角形，如果A 1

（1，1），A 27

2??

??? ，

，那么点n A 的纵坐标是．

『解析』∵A 1（1，1），A 27322?? ??? ，在直线y=kx+b 上，∴ k b 1 73 k b 2

2+=???+=?? ，解得1 k

54b 5?

=??

∴直线解析式为14y x 5

.如图，设直线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为A 、D.

当x=0时，y=

，当y=0时，1

4x 05

=，解得x=－4.

∴点A 、D 的坐标分别为A （－4，0 ），D （0，

）.∴4

D O

15tan D AO AO 45

∠=

==. 作A 1C 1⊥x 轴与点C 1，A 2C 2⊥x 轴与点C 2，A 3C 3⊥x 轴与点C 3，∵A 1（1，1），A 2732

2??

???

，

∴OB 2=OB 1+B 1B 2=2×1+2×

=2+3=5，33333

A C A C 1tan DAO AC 45

C 5

∠=

++.

∵△B 2A 3B 3是等腰直角三角形，∴A 3C 3=B 2C 3.∴2

339

3A C 42

==（）. 同理可求，第四个等腰直角三角形34427

3A C 82=

=（）.依次类推，点An 的纵坐标是n 1

-（）

『答案』n 1

-（）

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 17.（6分）（2012山东济南）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分线，求∠BDC 的度数．

解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=12

（180°－40°）=70°，

又∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC=12

∠ABC=35°.

∴∠BDC=180°－∠DBC－∠C=75°.

18.（8分）（2012株洲模拟）如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．

解：（1）∵DE 垂直平分AC ，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；

（2）∵A B=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，

∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．

19.（8分）（2012扬州模拟）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC. （1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由.

解：（1）∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，

∴∠BEC=∠BDC=90°，∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，

∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；

（2）连接AO并延长交BC于E，∵AB=AC，OB=OC，∴AE是BC的垂直平分线，

∴∠BAE=∠CAE，∴点O在∠BAC的角平分线上．

20.（8分）（2012四川达州）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：

小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.

根据以上情境，解决下列问题：

①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是_________.

②小聪的作法正确吗？请说明理由.

③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法.（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）

解：(1)SSS.(2)小聪的作法正确.理由如下：∵PM⊥OM , PN⊥ON，∴∠OMP=∠ONP=90°. 在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵OP=OP，OM=ON，

∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）.∴∠MOP=∠NOP.∴OP平分∠AOB.

（3）如图.

步骤：①利用刻度尺在OA 、OB 上分别截取OG=OH ；②连接GH ，利用刻度尺作出GH 的中点Q ；③作射线OQ.则OQ 为∠AOB 的平分线. 21.（8分）（2012广安模拟）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边

长为6m 、8m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．解：分三类情况讨论如下：（1）如图1所示，原来的花圃为Rt △ABC ，其中BC ＝6m ，AC ＝8m ，∠ACB ＝90°．由勾股定理易知AB ＝10m ，将△ABC 沿直线AC 翻折180°后，得等腰三角形ABD ，此时，AD ＝10m ，CD ＝6m ．故扩建后的等腰三角形花圃的周长为12＋10＋10＝32（m ）．

（2）如图2，因为BC ＝6m ，CD ＝4m ，所以BD ＝AB ＝10m ，在Rt △ACD 中，由勾股定理

得AD ＝2

284 ＝45，此时，扩建后的等腰三角形花圃的周长为45＋10＋10＝20＋

45（m ）．

（3）如图3，设△ABD 中DA ＝DB ，再设CD ＝x m ，则DA ＝(x ＋6)m ，在Rt △ACD 中，由勾股定理得x 2

＋82

＝(x ＋6)2

，解得x ＝

∴扩建后等腰三角形花圃的周长＝10＋2(x ＋6)＝

80（m ）．

46C

图3

x 6C

22.（8分）（2012杭州市模2）如图1，点P 、Q 分别是边长为4cm 的等边?ABC 边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s.

（1）连接AQ 、CP 交于点M ，则在P 、Q 运动的过程中，∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时?PBQ 是直角三角形？

（3）如图2，若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点

为M ，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

Q C

图1

解：（1）060=∠CMQ 不变.0

60=∠=∠=CAP B AC AB ，等

边三角形中， .

又由条件得AP=BQ ，∴ABQ ?≌CAP ?(SAS)，∴ACP BAQ ∠=∠， ∴060=∠=∠+∠=∠+∠=∠BAC CAM BAQ CAM ACP CMQ . （2）设时间为t ，则AB=BQ=t ，PB=4-t ，

当3

4,24,2,60900

=-=∴=∠=∠t t t BQ PB B PQB 得时， .

当2),4(22,2,60900

0=-==∴=∠=∠t t t PQ BQ B BPQ 得时， .

∴当第

4秒或第2秒时，?PBQ 为直角三角形.

（3）0120=∠CMQ 不变. 0

60=∠=∠=CAP B AC AB ，等

边三角形中，，∴0120=∠=∠ACQ PBC .

又由条件得BP=CQ ，∴PBC ?≌ACQ ?(SAS).

∴MQC BPC ∠=∠.又MCQ PCB ∠=∠ ，∴0120=∠=∠PBC CMQ .

2019届高考生物二轮复习第二部分第6讲遗传信息的传递和表达教案(适用全国)

第6讲遗传信息的传递和表达 [考试要求] 1.DNA分子的复制(b/b)。2.活动：探究DNA的复制过程(c/c)。 3.DNA的功能(a/a)。 4.DNA与RNA的异同(b/b)。 5.转录、翻译的概念和过程 (b/b)。 6.遗传密码(b/b)。 7.中心法则(b/b)。 8.复制、转录和翻译的异同( /b)。 9.基因的概念(b/b)。考点1DNA复制方式的探究 1.最初时科学家对于DNA的复制方式有三种假设：全保留复制、半保留复制、弥散复制，如图甲。为了探究DNA复制的方式，1958年，科学家设计了DNA 合成的同位素示踪实验：先将大肠杆菌放入以15NH4C1为唯一氮源的培养液中培养若干代，使其DNA都被同位素15N标记，然后将上述大肠杆菌转至以14NH C1为唯一氮源的培养液中培养，每隔20 min(相当于分裂繁殖一代的时间) 4 取样一次，收集并提取不同世代大肠杆菌的DNA，做密度梯度超速离心，结果如图乙。下列有关说法正确的是() A.通过图乙世代1的DNA离心结果，可以证明DNA进行半保留复制

B.若DNA进行全保留复制，则世代1的DNA离心结果与图乙世代2的DNA离心结果相同 C.若DNA进行弥散复制，每一世代的DNA超速离心后，均出现在离心管的同一位置，但位置逐代上移 D.根据图乙的离心结果，可推测世代4的DNA离心结果是1/16中带、15/16轻带解析通过图乙世代1的DNA离心结果，可以排除全保留复制，可能是半保留复制，也可能是弥散复制，A错误；若DNA进行全保留复制，则世代1的DNA 离心结果应该是1/2重带、1/2轻带，与图乙世代2的DNA离心结果不相同，B 错误；若DNA进行弥散复制，每一世代的DNA相对分子质量相同，超速离心后，应出现在离心管的同一位置，但每一世代的DNA相对分子质量逐代变小，离心后位置逐代上移接近轻带，但不会达到轻带位置，C正确；根据图乙的离心结果，证明DNA进行半保留复制，所以世代4的DNA离心结果是1/8中带、7/8轻带。答案 C 2.(2018·浙江4月选考)某研究小组进行“探究DNA的复制过程”的活动，结果如图所示。其中培养大肠杆菌的唯一氮源是14NH4Cl或15NH4Cl，a、b、c表示离心管编号，条带表示大肠杆菌DNA离心后在离心管中的分布位置。下列叙述错误的是() A.本活动运用了同位素示踪和密度梯度离心技术 B.a管的结果表明该管中的大肠杆菌是在含14NH4Cl的培养液中培养的 C.b管的结果表明该管中的大肠杆菌的DNA都是15N—14N—DNA

第19讲等腰三角形

第19讲等腰三角形考点1 等腰三角形的性质 1．(2019·攀枝花)如图，AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠1＝50°，则∠2的度数是(C) A ．55° B ．60° C ．65° D ．70° 2．(2019·广西北部湾)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠A ＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG 的度数为(C) A ．40° B ．45° C ．50° D ．60° 3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线．若AB ＝13，AD ＝12，则BC 的长为(B) A ．5 B ．10 C ．20 D ．24 4．(2019·宁夏)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE.连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行．若∠C ＝40°，则∠GAD 的度数为(C) A ．40° B ．45° C ．55° D ．70° 5．(2019·广安)等腰三角形的两边长分别为6 cm ，13 cm ，其周长为32cm. 6．(2019·兰州)在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，则∠B ＝70°． 7．(2019·毕节)如图，以△ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD.若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的大小为34°． 8．(2019·白银)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝85或1 4 . 考点2 等腰三角形的判定 9．在△ABC 中，其两个内角的度数如下，则能判定△ABC 为等腰三角形的是(C) A ．∠A ＝40°，∠B ＝50° B ．∠A ＝40°，∠B ＝60° C ．∠A ＝20°，∠B ＝80° D ．∠A ＝40°，∠B ＝80° 10．(2018·桂林)如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形的个数是3.

总复习第19讲三角形的基本认识

1 总复习第19讲三角形的基本认识一、考点诠释㈠三角形的分类 1、按角的大小关系分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 2、按边的大小关系分：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形）㈡三角形的角 1、内角：三角形的内角和=180° 2、外角：三角形的外角和=360° 3、内外角的关系：如图，①∠1+∠2=180°；②∠1=∠3+∠4；③∠1>∠3、∠1>∠4 ㈢三角形的边 1、三角形的两边之和大于第三边 2、三角形的两边之差小于第三边㈣三角形的三条重要线段 1、角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交，顶点与交点的连线（线段）注：①内心（三角形三条角平分线的交点）到三角形各边的距离相等 ②外心（三角形三边中垂线的交点）到三角形各顶点的距离相等 2、中线：顶点与对边中点的连线（线段） 3、高线：从三角形的一个顶点向它的对边所作的垂线段（线段）注：①三角形的三线各有三条，并且都是线段 ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，“三线合一” ㈤三角形的中位线： 1、定义：三角形两边中点的连线（共有三条） 2、定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半二、考题精练㈠选择题： 1、以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（） A 、（4、5、6） B 、（2、3、5） C 、（4、4、9） D 、（12、5、6） 2、已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（） A 、12或9 B 、12 C 、9 D 、7 A B C D 1 2 3 4

2 3、到三角形三条边的距离相等的点是这个三角形的（） A 、三条中线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条边的垂直平分线的交点 D 、三条角平分线的交点 4、如图，在Rt △ADB 中，∠D=90°，C 为AD 上一点，则x 可能是（） A 、10° B 、20° C 、30° D 、40° 5、如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（） A 、∠A=∠1+∠2 B 、2∠A=∠1+∠2 C 、3∠A=2∠1+∠2 D 、3∠A=∠1+2∠2 6、下列各图中，∠1大于∠２的是（）㈡填空题： 7、如图，AB ∥CD ，则∠1= 。 8、在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC ＝10，则DE ＝ 9、如图，D 、E 为△ABC 两边AB 、AC 的中点，将△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，若∠B=55°，则∠BDF= 。 10、如图，在△ABC 中，BC=5cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，且PD ∥AB 、PE ∥AC ，则△PDE 的周长是 cm 。 11、如图，AF 、AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=36°、∠C=76°，则∠DAF= 12、如图，已知∠1＝100°，∠2＝140°，那么∠3＝ A C D B x 6 第4题 1 2 1l 2l （A ） 2l 1l 1 2 (l 1∥l 2) （B ） 1 2 （C ） A B C 1 2 (AB =AC ) （D ） A B E D 1 2 第5题 40° 60° A B C D 1 第7题 A D B F C E 第9题 A B D E P C 第10题 A B D F C 第11题 1 2 3 第12题

人教版数学八年级上册第十三章13.3.1-等腰三角形说课稿

《13.3.1等腰三角形的性质》说课稿教学内容：义务教育课程标准试验教科书八年级数学上册第十三章第三节等腰三角形的性质,下面我从六个方面对本课的教学设计进行说明: 一、说教材本节课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用，它是对三角形的性质的呈现。通过等腰三角形的性质反映在一个三角形中“等边对等角”的边角关系，并且是对轴对称图形性质的直观反映（三线合一）。它所倡导的“观察---发现---猜想---论证”的数学思想方法是今后研究数学的基本思想方法。因此，本节内容在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。二.说教学目标 1．探索并证明等腰三角形的两个性质。 2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等。 3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。说重点：探索并证明等腰三角形的性质。说难点：性质1证明中辅助线的添加和对性质2的理解。三.说教法在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”，“教必有法而教无定法”，只有方法得当，才会有效。根据本课内容特点和初二学生思维活动的特点，我采用了教具直观教学法，联想发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法和师生交际相结合的方法。使学生全面参与、全员参与、全程参与，真正确立其主体地位。而教师只是作为数学学习的组织者、引导者、合作者，及时地给以引导、点拨、纠正。四.说学法只有好的学习方法才能培养能力，在学生探索知识的过程中培养他们掌握好的学习文教解题方法，并且通过自己动手操作、动脑思考，动口表述，培养学生的观察、猜想、概括、表述、论证的能力。五.课标对本节课的要求探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。六.如何利用学案是为了让学生在课前预习时有方向、有目标地进行自主预习，是辅助课堂学习的一种方式。七.说教学过程（一）知识回顾，导入新课（多媒体出示）学生独立思考，然后回答。设计意图：通过问题，了解等腰三角形的相关概念，复习等腰三角形的轴对称性，为突破教学难点（探究及证明等腰三角形的性质）做铺垫，分解教学难度。（二）探究新知【活动一】动手操作如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折后，剪去阴影部分，再把它展开,得到的三角形有什么特点。它是轴对称图形吗? ②折叠过程中重合的线段和角有哪些?

绝对值指数对数三角不等式的解法

不等式的解法绝对值不等式例1 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．｛x ｜x>1｝．例2 对任意实数x ，若不等式｜x+1｜-｜x-2｜>k 恒成立，则实数k 的取值范围是（） A ．k<3 B ．k<-3 C ．k≤3 D ．k≤-3 选B ．例3 解不等式｜3x-1｜>x+3．｛x ｜ x<- ，或x>2｝．例4 解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜<1 ｛x ｜x<-7或 x> ｝｜x+3｜+｜x-3｜>8．例5 解不等式1≤｜2x-1｜<5．｛x ｜-2????≥ ≥?> )()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型例1.解不等式0343>-- -x x 二.???<≥?? ???>≥≥?>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型例2.解不等式x x x 34232->-+- }256| {≤≥?<2)]([)(0 )(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型例3.解不等式24622+<+-x x x

指数不等式例1、解不等式（1）12>x （2） ) 1(332)21(22--->+-a a a a x x x 且（4）x x -->4)21(3 2 （5）222223 2≤+-x x （6）2931831>?+-+x x {x |x >2或32 log 3x （2） 1log 2 1->x （3）6 24log log >x （4）)102(log )43(log 312 31+>--x x x 三角不等式（1）21 cos >x （2） 3sin 2+πx

第二十一章信息的传递(教案)

第二十一章信息的传递 1．了解电话是怎样把信息传递到远方的；了解模拟通信和数字通信的根本区别． 2．了解电磁波的应用及其对人类生活和社会发展的影响． 3．知道电磁波在真空中的传播速度，会用波速公式进行简单的计算． 4．了解无线电广播和电视的工作过程，知道手机和卫星通信都是电磁波技术的应用．5．常识性了解现代通信技术．这一章通过介绍通信技术的基本常识，开拓学生的视野，激发学生学习物理的兴趣，本章属于介绍性的科普常识，知识比较浅显，要求不高，学生通过学习，可以了解一些通信技术的初步知识，这对他们将来学习更深的物理知识和其他自然科学知识是必要的，同时也是现代生活中必备的科学常识．经过将近两年的物理学习，学生已经积累了一些必要的物理知识，尽管不够深入，但是在理解一些简单的物理应用上应该没有问题，本章主要的教学在于向学生介绍一些应用或是前沿的物理知识，扩大学生的知识面，这一章的物理现象又与现实生活密切相关，学生不会陌生，必然会有一定的兴趣，这些都是本章内容的优势所在．教学时应当多列举具体实例，在可能的情况下尽量让学生有体验的机会．例如，进行一些学生可以参与的实验，或是使用多媒体来展示通信技术的基本概念，让学生在互动的教学中学到丰富的知识。在学习过程中，教师应当以讲解为主，探讨为辅，重在提出问题并且适当引导学生积极地思考与分析．第1节现代顺风耳——电话知识与技能 1．了解电话是怎样把信息传递到远方的． 2．了解电话交换机的用处． 3．了解模拟通信和数字通信的根本区别．过程与方法 1．通过多媒体、老师的演示、实物剖析，了解电话是如何传递信息的． 2．通过学生讨论，说明电话交换机的作用． 3．通过学生活动，展示什么是数字通信．情感、态度与价值观 1．通过讲述贝尔发明电话的过程，培养学生不怕困难、积极探索的精神，了解技术改革对人类社会发展的作用． 2．通过学生讨论和学生活动，培养学生的学习主动性及合作的意识．重点 1．电话是怎样把信息传递到远方的．

认识等腰三角形

认识等腰三角形一、填空。 1、（）是等腰三角形。 2、等腰三角形中有两条( )是相等的，有两个( )是相等的。 3、用32厘米的绳子围成一个腰长10厘米的等腰三角形，底长( )厘米，若围成的等腰三角形底长10厘米，腰长( )厘米。 4、一个等腰三角形的一个底角是36°，它的顶角是( )。 5、一个等腰三角形的顶角是102°，它的底角是( )。 6、一个等腰三角形的底边长是12厘米，腰长是15厘米，它的周长是( )厘米。 7、把一根长15厘米的铁丝做成一个腰长6厘米的等腰三角形，它的底边长是( )厘米。 8、一个等腰三角形有两条边的长度分别是3分米和7分米。这个三角形的周长是（）分米。 9、一个等腰三角形顶角度数是一个底角的3倍，这个等腰三角形底角是()0，顶角是()0。 10、一个等腰三角形的周长是19厘米，其中一边长5厘米，其余两条边长（）厘米和（）厘米。二、判断。 1、底角是600的等腰三角形是等边三角形。( ) 2、一个等腰三角形中有一个角是800，它一定是锐角三角形。( ) 3、一个等腰三角形中有一个角200，它一定是一个钝角三角形。( )

4、用一根18厘米的绳围成一个等腰三角形，底是10厘米，腰一定是4厘米。( ) 5、有一个角是60°的等腰三角形一定是等边三角形。( ) 6、2厘米、2厘米、11厘米这三根小棒可以围成一个等腰三角形。( ) 三、选择。 1、把一个等腰三角形分成2个完全一样的三角形，每个三角形的内角和是() A、900 B、1800 C、2700 D、3600 2、底角是440的等腰三角形也是() A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形 3、下面（）组的三条线段能围成一个等腰三角形。 A、2厘米、2厘米、5厘米 B、5厘米、10厘米、5厘米 C、6厘米、6厘米、4厘米 D、3厘米、3厘米、7厘米 4、等腰三角形相邻两条边的长分别是10厘米和8厘米，它的周长（） A、一定是28厘米 B、一定是26厘米 C、可能是28厘米，也可能是26厘米 5、把12厘米的小棒截成3段，围成一个等腰三角形，下面（）是正确的。 A、3厘米、4厘米、5厘米 B、 8厘米、2厘米、2厘米 C 2厘米、5厘米、5厘米

备战中考--第20讲等腰三角形--(附解析答案)

备战2019中考初中数学导练学案50讲第20讲等腰三角形【疑难点拨】 1.与等腰三角形有关的问题，要分析问题的全面性和思考问题的周密性．（1）腰和底不分:解决等腰三角形求边长或周长问题时，解题关键是要分情况讨论，明确已知边是腰还是底，并根据三角形的三边关系定理检验各情况是否成立．（2）顶角和底角不分:根据等腰三角形的性质求角的度数时，要分是顶角还是底角两种情况进行讨论．另外，若角度改变时还要考虑利用三角形的内角和定理验证三角形是否存在．（3）顶角顶点和底角顶点不分:判定一个三角形是否为等腰三角形，关键是将三角形的三个顶点分别作为顶角顶点进行讨论，把情况考虑完整．（4）锐角三角形和钝角三角形不分:等腰三角形为锐角三角形或钝角三角形时，一腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外，要注意分两种情况讨论．解决此类问题的关键是注意等腰三角形的顶角为锐角和钝角时一腰的垂直平分线与另一腰的交点位置不同，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论． 2. 巧用轴对称构等腰三角形解题：在几何解题中,若遇有高线、角平分线、线段的垂直平分线,可根据图形的轴对称性,巧妙构造等腰三角形,借助等腰三角形的有关性质,往往能够迅速找到解题途径,直观易懂,简捷明快. （1）图形含有垂线（或高线）, 以垂线（或高线）为对称轴构等腰三角形（2）图形含有角平分线, 以角平分线为对称轴构等腰三角形[ （3）图形含有线段的垂直平分线, 以垂直平分线为对称轴构等腰三角形根据图形的轴对称,巧妙构造等腰三角形,可迅速找到解题途径,构思新颖,方法独特,不仅能使问题化难为易,迎刃而解,而且有助于培养同学们探索求新的学习习惯,提高数学思维能力和几何解题能力．【基础篇】

(完整版)2019中考数学等腰三角形

等腰三角形一、选择题 1．（2018?山东枣庄?3 分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ ABP为等腰直角三角形的点P 的个数是（） A．2 个B． 3 个C．4 个D．5个【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．【解答】解：如图所示，使△ ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，故选：B．点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P 是解题的关键．2 2018?山东枣庄?3 分）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分 ∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）分析】根据三角形的内角和定理得出∠ CAF+∠CFA=90°，∠ FAD+∠AED=90°，根据角平分和对顶角相等得出∠ CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， C． A．B．

∴∠ CDA=9°0 ， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠ FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=C，F ∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG， ∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， = = ∵AC=3，AB=5，∠ ACB=90°， ∴BC=4， FC=F G，解得：FC= ，即CE ．故选：【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠ CEF=∠CFE． 3. （2018?山东淄博?4 分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B， C 的距离分别为3，4，5，则△ ABC的面积为（）三角形的内角和定理以及相

2021年中考数学一轮复习第19讲等腰三角形-课后作业

第19讲等腰三角形 1．(2020·青海)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(D) A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40° 2．(2019·衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是(D) A．60°B．65° C．75°D．80° 3．(2019·台湾)如图，△ABC中，AC＝BC＜AB.若∠1，∠2分别为∠ABC，∠ACB的外角，则下列角度关系何者正确(C) A．∠1＜∠2 B．∠1＝∠2 C．∠A＋∠2＜180° D．∠A＋∠1＞180°

4. (2019·宁夏)如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC 上，且AD＝AE.连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD 的度数为(C) A．40° B．45° C．55° D．70° ,第4题图),第5题图) 5．(2020·宁波)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB 至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF.若AC＝8，BC＝6，则BF的长为(B) A．2 B．2.5 C．3 D．4 6. (2020·铜仁)已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于(B) A．7 B．7或6 C．6或－7 D．6 7．(2019·齐齐哈尔)等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD＝1 2AC，则等腰△ABC底角的度数为_15°或45°或75° _． 8．(2020·铜仁)已知等边三角形一边上的高为23，则它的边长为_4_．9．(2019·绥化)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC ＝AD，则∠A＝__36___度．

13.3.1等腰三角形(第二课时)教案

等腰三角形教案（第二课时）一、内容和内容解析 1、内容等腰三角形的判定。 2、内容解析本节课是在学生已经学习了轴对称和等腰三角形的性质的基础上，进一步探索等腰三角形的判定方法，这为我们提供了证明两条线段相等的新方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明等腰三角形判定。二、教学目标 1、知识与技能（1）探索等腰三角形判定定理．（2）理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．（3）了解等腰三角形的尺规作图. 2、过程与方法（1）探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念；（2）通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解。 3、情感态度价值观目标：（1）学生通过积极参与分析，体验到学习知识的乐趣，思考的魅

力，增强应用数学的意识。（2）经历运用等腰三角形的性质和等腰三角形判定定理解决问题的过程，体会数学的应用价值，提高运用知识和解决问题的能力。三、教学重点与难点 1、重点：理解和运用等腰三角形的判定定理； 2、难点：等腰三角形判定的利用作中线的证明方法。四、教学方法和教学手段 1、教学方法：师生问答探究教学法数形结合法 2、教学手段：多媒体教学（PPT）、圆规直尺作图分析五、教学过程（一）、教学流程设计。 1、复习旧知，回顾思考: 通过对等腰三角形性质的复习提出问题，引发学生思考； 2、讨论分析，论证性质: 通过探索，归纳等腰三角形的判定并予以证明； 3、课堂练习，师演生学：在解题过程中加深对判定的理解，学会判定的运用及等腰三角形的画法； 4、梳理反思，布置作业：回顾反思，从知识、方法、情感态度等方面谈收获。

人教版九年级全册第二十一章信息的传递测试与解析

人教版九年级全册第二十一章信息的传递测试与解析一﹨选择题(每小题4分，共10×4分＝40分) 1．1876年发明电话的科学家是() A．爱迪生B．伏特C．赫兹D．贝尔 2．下列关于电话的说法，不正确的是() A．最早的电话线路是在美国架设的 B．专线保密电话一般只靠金属导线把电话机相连 C．电话只能传递声音信息 D．程控电话交换机是指用电脑控制的电话交换机 3．某地区有7部电话，要使这7部电话都能互相通话，如果使用交换机需要多少对电话线() A．5对B．7对C．8对D．14对 4．移动电话与基地台之间的信息传递是利用了() A．光能够传输信号B．电流能够传输信号 C．电磁波能够传输信号D．振荡的电流能够传输信号 5．关于电磁波，下列说法中正确的是() A．当导体中有电流时，在它的周围就会产生电磁波 B．电磁波虽然看不见，摸不着，但可以通过我们的感觉直接观察它的存在 C．当导体中有迅速变化的电流时，在它的周围就会产生电磁波 D．电磁波是电磁场在空间的传播，只能在介质中传播，不能在真空中传播 6．下列不属于数字信号的特点是() A．形式简单B．由不同符号组合而成 C．可以编码加密D．信号传递时容易失真 7．在收音机中，调谐器的作用是() A．把变化的电流还原成声音 B．把声音信号从高频电流中取出来 C．从接收到的各种电磁波中，选出我们需要的某一频率的电磁波 D．调节收音机音量的大小

8．赵刚同学家里刚刚买了DVD机，想用DVD机观看光碟，可是在连接导线时发现DVD机后部有很多插孔，其中有一个插孔上标着“AUDIO OUT”，那么这个插孔应该接() A．视频信号输入线B．视频信号输出线 C．音频信号输出线D．音频信号输入线 9．下列说法中不正确的是() A．光是一种高频电磁波 B．网络通信是数字通信，手机是模拟通信 C．大多数长途电话采用光纤通信 D．在光纤通信中，激光是信息的载体 10．关于信息高速公路，下列描述不正确的是() A．信息高速公路可以传播声音B．信息高速公路可以传播图像 C．信息高速公路可以传播文字D．信息高速公路可以传播实物二﹨填空题(每空1分，共32分) 11．最简单的电话由__________和__________组成，话筒把声音变成__________，电流沿着导线把__________传到远方，在另一端，听筒把__________变成声音。 12．早期，如果有5部电话，每两部间就要有一对电话线，共要__________对电话线才能保证5部电话间可以相互通话，如果电话较多，则需要大量的电话线。这样做不仅极为不方便，而且线路成本很高。因此人们发明了__________，通过它的作用，5 部电话通话只需__________对电话线就行。 13．信号电流的频率﹨振幅变化情况与声音的频率﹨振幅变化情况完全一样，模仿声信号的电信号，叫做________信号；利用数字的组合来代表信息的信号叫做_________信号。 14．电话分为__________和数字两种。现代的电话已经全部采用__________信号进行传输和处理，只是在交换机和用户之间一两千米的距离上，还在使用模拟信号。 15．现在所讲的数字电视机，其实在电视信号的传递过程中用的是__________，只是在电视机内部应用了部分的__________；只有电视台用_________传输的电视才是真正的数字电视。 16．登上月球的宇航员如果要相互交谈，不能直接进行，而是要用__________来传递信号。这说明声波的传播__________介质；而电磁波的传播__________介质(选填“需要”或

2019-2020年中考数学真题汇编详解19：等腰三角形

一、选择题 1. (2015年湖南衡阳，7，3分)已知等腰三角形的两边长分别为5和６，则这个等腰三角形的周长为 A.11 B.16 C.17 D.16或17 【答案】D 【解析】解：分两种情况：当三边长为5，5，6时，周长为16；当三边长为5，6，6时，周长为17.故选D. 2.（2014江苏省苏州市，7，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（） A．35°B．45°C．55°D．60° 2019-2020年中考数学真题汇编详解19：等腰三角形【答案】C 【解析】因为AB=AC，D为BC中点，所以∠BAC=2∠BAD=70°，所以∠C的度数为55°. 二、填空题 1. (2015浙江省绍兴市，13，5分)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是▲ cm。【答案】18 【解析】本题考查了等边三角形的判定方法和性质，解题的关键是正确把握等边三角形的判定方法，将生活实际问题进行适当的数学建模．由条件可知△AOB中，OA=OB=18cm，∠AOB=60°，则△AOB是等边三角形，所以AB=18cm，即A，B两点之间的距离是18cm。 2.（2015义乌13，4分）由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm．若衣架收拢时，∠AOB==60°，如图2，则此时AB= cm．【答案】18 3.（2015湖南省永州市，17，3分）在等腰△ABC中，AB＝AC，则有BC边上的中线、高线和∠BAC的平分线重合于AD（如图一）.若将等腰△ABC的顶点A向右平行移动后，得到△A'BC（如图二）．那么，此时BC 边上的中线、BC边上的高线和∠BA′C的平分线应依次分别是________，________，________ (填A′D、A′F、A′E)

2013年中考数学专题复习第18讲：等腰三角形与直角三角形(含详细参考答案)

2013年中考数学专题复习第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形 1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形 2、等腰三角形的性质： ⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为 ⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为 ⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是 3、等腰三角形的判定： ⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等 2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】 4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于 ⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴 1、等边三角形的判定： ⑴有三个角相等的三角形是等边三角形 ⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质 2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线 1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线 2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等 3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线： 1、性质：角平分线上的点到得距离相等 2、判定：到角两边距离相等的【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的 2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形： 1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合 2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据， 3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】 2、直角三角形的性质：

等腰三角形和最短路径

等腰三角形和最短路径温故知新 1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 2．如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是（） A．AB∥DF B．∠B=∠E C．AB=DE D．AD的连线被MN垂直平分 3．如图，在△ABC中，AB=14厘米，BC=9厘米，E为AC的中点，DE⊥AC，则△BDC 的周长是（） A．23厘米B．16厘米C．19厘米D．无法确定 4．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．（1）画出△ABC关于直线BM对称的△A1B1C1；（2）写出AA1的长度．

课前热身一、等腰三角形性质与判定 1、一个三角形有两条边相等，这个三角形一边等于5cm，一边等于10cm，则另一边等于（）A．5cm B．10cm C．15cm D．12cm 2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC垂足为D，∠A=40°，∠DBC=（） A．40°B．30°C．20°D．50° 3、下列条件中，不能得到等边三角形的是（） A．有两个内角是60°的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形 4、已知a、b、c是三角形的三边长，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|=0，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等边三角形 C．钝角三角形D．等腰直角三角形 5、等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（） A．30°B．45°C．60°D．75° 6、在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，AB=12cm，则BC边的长为（） A．6 cm B．12 cm C．24 cm D．无法确定二、最短路径问题 7、如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是． 8、要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，保留作图痕迹．

第1讲-等腰三角形

第1讲-等腰三角形 3．（10广州）如图，BD 是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°， ∠C＝72°，则图中的等腰三角形有个．

【等腰三角形的性质和判定】 7．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AC，AD＝2cm，则BC ＝．（2）如图2，在△ABC中，AB＝ AC ，点D在BC上，且AD＝BD，AC＝CD，则∠B＝°． 8．如图，已知E为等腰△ABC的底边BC上一动点，过E作EF⊥BC交AB于D，交CA的延长线于F，问：（1）∠F与∠ADF的关系怎样？说明理由；（2）若E在BC延长线上，其余条件不变，上题的结论是否成立？若不成立，说明理由；若成立，画出图形并给予证明．图1 A B C D 图2

9．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，DE ∥AB 交BC 于E ，交AC 于F ，∠CDE ＝ ∠ACB ＝30°，BC ＝DE ．（1）求证：△FCD 是等腰三角形；（2）若AB ＝4，求CD 的长．【等边三角形的性质和判定】 10．如图，△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 边上，且AE ＝CD ，AD ，BE 相交于点P ．（1）求证：△ABE ≌△CAD ；（2）求∠BPD 的度数；（3）若BQ ⊥AD 于Q ，PQ ＝3，PE ＝1，求AD 的长． 11．已知：如图，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，AB 平分∠DAE ，AE ⊥BE ，垂足为E ．（1）求证：AD ＝AE ．（2）若BE ∥AC ，试判断△ABC 的形状，并说明理由． A B C D E P Q

北师大版七年级下册第13讲等腰三角形--尖子班

第13讲等腰三角形知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值 1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等. 2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半. 【典例】 1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角. 【解析】解：①如下图，当高在三角形内部时，12 BD AB =， ∴∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°， ②如下图，当高在三角形外部时，12 BD AB =，则∠BAD=30°， ∴∠BAC=150°， ∴∠ABC=∠ACB=15°，

所以此三角形的底角等于75°或15°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三角形的边上），解题时注意需要分类讨论． 2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长. 【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，根据题意，得2x+x﹣12=27，解得x=13， ∴腰长为13，此时底边长为13-12=1，满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当底边长为x+12时，根据题意，得2x+x+12=27，解得x=5，此时底边长为5+12=17，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13. 【方法总结】

已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：一种是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值. 【随堂练习】 1．（2017秋?北京期末）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为______．【解答】解：当为锐角时，如图 ∵∠ADE=40°，∠AED=90°， ∴∠A=50°，当为钝角时，如图 ∠ADE=40°，∠DAE=50°， ∴顶角∠BAC=180°﹣50°=130°．故答案为：50°或130°．

高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式

高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式知识、方法、技能三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律. 三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于2 tan x t =的代数恒等式的证明问题. 要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础. 此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器. 三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角

形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式 )](2 1 [))()((c b a p c p b p a p p S ++= ---=其中，大家往往不甚熟悉，但十分有用. 赛题精讲例1：已知.cos sin )tan(:,1||),sin(sin A A A -= +>+=ββ βαβαα求证【思路分析】条件涉及到角α、βα+，而结论涉及到角βα+，β.故可利用 αβαβββαα-+=-+=)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A ” 入手. 【证法1】 ),sin(sin βαα+=A ),sin()sin(βαββα+=-+∴A ), cos(sin ))(cos sin(), sin(sin )cos(cos )sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A A . cos sin )tan(, 0)cos(, 0cos ,1||A A A -= +≠+≠-∴>ββ βαβαβ从而【证法2】 αβαβββαβααββββ sin )sin(cos sin )sin() sin(sin cos sin sin sin -++= +- = -A ). tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαβ βαββαβαββ βα+=++=-+-++= 例2：证明：.cos 64cos 353215cos 77cos 7x x x ocs x x =+++ 【思路分析】等号左边涉及角7x 、5x 、3x 、x 右边仅涉及角x ，可将左边各项逐步转化为x sin 、 x cos 的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 【证明】因为,cos 33cos cos 4,cos 3cos 43cos 3 3 x x x x x x +=-=所以从而有x x x x x 226cos 9cos 3cos 63cos cos 16++= = )2cos 1(2 9 )2cos 4(cos 326cos 1x x x x +++++

24第24讲 等腰三角形

2019届高考生物二轮复习第二部分第6讲遗传信息的传递和表达教案(适用全国)

第19讲 等腰三角形

总复习第19讲 三角形的基本认识

人教版数学八年级上册第十三章13.3.1-等腰三角形说课稿

绝对值指数对数三角不等式的解法

第二十一章 信息的传递(教案)

认识等腰三角形

备战中考--第20讲等腰三角形--(附解析答案)

(完整版)2019中考数学等腰三角形

最新人教版初中物理九年级上册第21章《信息的传递》习题练习

2021年中考数学一轮复习 第19讲 等腰三角形-课后作业

13.3.1等腰三角形(第二课时)教案

人教版九年级全册第二十一章信息的传递测试与解析

2019-2020年中考数学真题汇编详解19：等腰三角形

2013年中考数学专题复习第18讲：等腰三角形与直角三角形(含详细参考答案)

等腰三角形和最短路径

第1讲-等腰三角形

北师大版七年级下册 第13讲等腰三角形--尖子班

高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式

24第24讲等腰三角形

第19讲等腰三角形

总复习第19讲三角形的基本认识

第二十一章信息的传递(教案)

2021年中考数学一轮复习第19讲等腰三角形-课后作业

北师大版七年级下册第13讲等腰三角形--尖子班