初二数学第17章分式教案

第17章 分式 §17.1.1 分式的概念

●教学目标： (一)知识目标

1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式的概念。

2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 （二）能力目标：

1、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。 （三）情感与价值观目标：

1.通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力 ●教学重点：

探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 ●教学难点：

能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 ●教学方法

引导、启发、探索讨论 教学设计：

一、新课导入：------想一想：（填空）

1、被除数÷ 除数 =

除数

被除数

（ ）如：3 ÷ 4 =

注意:(0不能作除数) 整数 整数 分数 2、类比：被除式÷除式 = （商式） 7 ÷P=

a ÷ 3b= (a - b) ÷ 4= t ÷ (a-x) = 整式 整式 ( ？)

3 、做一做

（1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； （4）正n 边形的每个内角为__________度.

（5）一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为m kg ，箱子的质量为n kg ，则每千克苹果的售价是 元？

（6）有两块棉田，有一块x 公顷，收棉花m 千克，第二块y 公顷，收棉花n 千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是 ？

请将刚才所写的代数式你认为分母有共同特征进行分类，并将同一类填入一个圈内，并说明理由。

特征： 特征; 二、新课教学： （一）分式的概念： 形如B

A (A 、

B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式

的分母.

整式和分式统称有理式, 即有理式

整式，分式.

注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式a

S

中，a ≠0；在分式

n

m -9

中，m ≠n. （二）、典型例题学习：

例1

下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？

（1）

x 1； （2）2

x

； （3）

y x xy +2； （4）

3

3y

x -.(5)0 解：属于整式的有：（2）、（4）.(5)；属于分式的有：（1）、（3）. 例2、当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）

11－x ； （2）3

22

+-x x . (3)

2)1(-x x

分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1.

所以，当x ≠1时，分式

1

1

－x 有意义. （2）分母23+x ≠0，即x ≠-2

3

.

所以，当x ≠-23时，分式3

22

+-x x 有意义.

例3、已知 分式 ① 和②

求：当 1.分式①的值为正？2.分式②的值为负？3.两分式的值相等

时求x 的取值范围？ 练习 ：讨论探索

当x 取什么数时，分式2||24x x -- （1）有意义 （2）值为零？

三、课内达标：

1、把下列各式的题号分别填入表中

xy x z x ab b a x x ，

）），（）（2131322212

2-

1

1-+x x x

x -12

(8) (9)

(10)

π

x

2、当x 时，分式 有意义。

3、当x 时，分式 没有意义，

4、当x 时，分式 的 值为零。

7、当x 时，代数式3

2--x x 有意义；当x 时，代数式

2

3--x x 的值为零。

四、课内小结：

谈一谈这一节课的收获和体会 。

分式的概念

分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义 当分子为零且分母不为零时，分式值为零。 五、板书设计：

课题§17.1.1 分式的概念

1、分式的概念:

2、 整式和分式统称有理式, 即有理式

整式，分式

分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义 当分子为零且分母不为零时，分式值为零。 六、作业：

A 组：P5习题17.1第1、2题，第3题

B 组：1、写出一个分式，使得 （1）不管x 取何值分式都不会为零 （2）不管x 取何值分式都有意义 2、 编写一个实际生活背景，使所列的分式为

七、教学反思：

§17.1.2 分式的基本性质（1）

7)

(p n m +2

1+-x x x 5.当x____________时，分式 的值为正。

5

1+x 2-x x 1

41+-x x 1

1+-x x 3

21

b a -+6. 当 时，分式 的值为负？ b

a m +

●教学目标： （一）知识目标

1. 掌握分式的基本性质.

2.利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形.

3.了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法.

4.使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式. （二）能力目标：

1.能类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质.

2.培养学生类比数学思想，提高数学思维能力. （三）情感与价值观目标：

通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣.

●教学重点 1.分式的基本性质.

2.利用分式的基本性质约分.

3.将一个分式化简为最简分式. ●教学难点

分子、分母是多项式的约分.

突破方法：是通过复习分数的约分、通分类比出分式的约分、通分。 ●教学方法

讨论——自主探究相结合 教学设计： 一、新课导入：

1.将下列各分数化成最简分数:

189= 93= 14

70 = 6418 =

与同学交流体会。

（化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将分数化简.） 2.上题实质是分数的 ；它的依据是 分数的基本性质是： 二、新课教学：

（一）分式的基本性质探究：

分析;（1）将

6的分子、分母同时除以它们的最大公约数3得到.即6=36÷=2

. 依据是分数的基本性质：分数的分子与分母同乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变. （2）分式

a a 2与21相等，在分式a a 2中，a ≠0，所以a a 2=a a a a ÷÷2=2

1;

分式

mn

n 2

与m

n 也是相等的.在分式

mn n 2

中，n ≠0，所以mn n 2=n mn n n ÷÷2=

m

n

.

［师］由此，你能推想出分式的基本性质吗？

分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可推想出分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示是：

M

B M A B A M B M A B A ÷÷=

??=, （ 其中M 是不等于零的整式）。

［师］在运用此性质时，应特别注意什么？

［生］应特别强调分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”.

［师］我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形.同样我们利用分式的基本性质也可以对分式进行等值变形.

（二）典型例题学习：

下面我们就来看一个例题（出示投影片） ［例1］下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1）

x b 2=

xy

by

2（y ≠0）；（2）

bx ax =b

a

. 分析在（1）中，因为y ≠0，利用分式的基本性质，在

x

b

2的分子、分母中同乘以y ，即可得到右边，即x b 2=y x y b ??2=

xy

by 2；

［师］在（1）中，题目告诉你y ≠0，因此我们可用分式的基本性质直接求得.可（2）中右边又是如何从

左边得到的呢？

分析在（2）中，

bx ax 可以分子、分母同除以x 得到，即bx ax =x bx x ax ÷÷=b

a . “x ”如果等于“0”，就不行.

在

bx

ax

中，x 不会为“0”，如果是“0”，

bx ax 中分母就为“0”，分式bx

ax

将无意义，所以（2）中虽然没有直接告诉我们x ≠0，但要由bx

ax 得到b a ，bx ax

必须有意义，即bx ≠0由此可得b ≠0且x ≠0.

练习1、利用分式的性质填空：

(1)()33222+=+x x x x （2）()33

23386a b

b a =

（3）()cn an C a b +=++1 （4） ()()

y

x y x y x -=+-222 2.分式的约分.

［师］利用分数的基本性质可以对分数进行化简.利用分式的基本性质也可以对分式化简. 例2 约分

（1）

4

3

22016xy y x -；

（2）4

44

22+--x x x

分析 分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出分子与分母的公因式.

解（1）

43

22016xy y x -＝－y xy x xy 544433??＝－y x 54. （2）44422+--x x x ＝2)2()2)(2(--+x x x ＝2

2-+x x .

说明：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.

约分后，分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式称为最简分式．．．．. 练习：约分：

2232axy y ax ；)(3)(2b a b b a a ++-；

32

)()(a x x a --；y xy x 24

2+-； 2239m m m -- ； 299198

-。 2改错；解：（1）

y x xy 2205=)5()4(5xy x xy ?=x

41

;

例3：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

a

b 56--， y x 3-， n m --2， n m 67--， y x 43---。

[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.

解

：

a

b 56--=

a

b 56，

y

x 3-=

y

x 3-

，

n

m --

2=

n

m 2，

n m 67--

=n

m

67 ， y x 43---=

y x 43。

注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。

（2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。 练习:不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：

（1）

2

1x x

-； （2）

3

22

+--x x

. 例4将分式

y

x x

+2中的X,Y 都扩大为原来的3倍,分式的值怎么变化? 解:

()y

x x

y x x y x x +=+=+?2363332 所以分式中的X Y 都扩大原来的3倍,但分式的值不变

练习:1若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则分式

2

32y x 的值如何变化？若x 、y 的值均变为原来的一半呢？

2若X,Y,Z 都扩大为原来的n 倍,下列各式的值是否变化?为什么 ? (1)

z y x + (2)z

y yz + 三、课内达标： 1.填空：（1）

y x x -2=)

)(()

(y x y x +-;（2）)(1422=-+y y

2.化简下列分式：（1）ab bc a 2;（2）121

22+--x x x .（3）

2

33

2912y x y

x ;（4）

3

)(y x y x --.

四、课内小结：

1分式的基本性质：

M

B M A B A M B M A B A ÷÷=

??=, （ 其中M 是不等于零的整式）。

2.应特别注意分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”.

3. 约分的关键是找准公因式.

4. 分子与分母没有公因式称为最简分式．．．．. 五、板书设计：

六、作业：1，见教材p 21复习题A 组5.6题

B 、应用拓展：1、“因为

x

x 2

=x ，而x 取任何实数等号右边都有意义，所以使分式2

x x 成立的条件是x 为

任意实数”你认为这种说法对吗？为什么？ 2、使得等式

1(1)

(1)(1)

a b a b a b +=+++成立的条件是什么？说明理由！ 七、教学反思：

§17.1.2 分式的基本性质（2）

●教学目标：

1．进一步理解分式的基本性质.

2、使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤。 重点: 理解分式的基本性质. 掌握通分。 难点: 几个分式最简公分母的确定。

突破的方法是通过复习分数的通分类比出分式的通分。 ●教学方法

探索讨论——讲练结合 教学设计： 一、新课导入：

1．判断下列约分是否正确： （1）

c b c a ++=b

a

（2）22

y x y x --=

y x +1 （3）n

m n

m ++=0 2.-16x 2y 3

；20xy 4

的公因式是 ：x 2

-4;x 2

-4x+4的的公因式是 利用分数的基本性质可以对分数进行通分.利用分式的基本性质也可以对分式通分。 二、新课教学：

（一）、分式的通分含义： （1）．把分数

6

5

,43,21通分。 解126261621=??=，129433343=??=，12

10625265=??= （2．）什么叫分数的通分？

答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。

师：和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。 通分的关键是确定几个分式的公分母。 （二）探索讨论： （1）求分式

4

322361

,

41,21xy y x z y x 的（最简）公分母。

分析：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x 为底的幂的因式，取其最高次幂x 3

，字母y 为底的幂的因式，取其最高次幂y 4

，再取字母z 。所以三个分式的公分母为12x 3y 4

z 。 （2） 求分式

2

241x x -与

4

1

2-x 的最简公分母。

分析：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即

4x —2x 2

= —2x （x-2），x 2

—4=（x+2）（x —2），

把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即2x （x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。

提问：请同学概括求几个分式的最简公分母的步骤？

1．取各分式的分母中系数最小公倍数； 2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到； 3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；

4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。 ．练习：1填空：

（1）

()z

y x z y x 43231221

=

； （2）

()z

y x y x 43321241=

；

（3）

()z

y x xy 4341261=

。 2求下列各组分式的最简公分母： （1）

2

2265,

41,32bc c a ab ； （2）；

2

)3(21

,

)3)(2(1,)2(31++--x x x x x

（3）

1

1

,1,222

2-++x x x x x

（三）典型例题：

例1 通分： （1）

4

322361

,

41,21xy y x z y x （2）

b a 21，

2

1ab ； （3）

y x -1，

y

x +1；

（4）

2

241x x - ；

412-x （5）

221

y x -，

xy

x +21

[分析] 通分要想确定各分式的公分母，再利用分式的性质通分.

解：（2）

b a 21与

2

1

ab 的最简公分母为a 2b 2

，所以

b a 21＝b b a b ??21＝

2

2b a b ，

2

1ab ＝

a a

b a ??21＝

2

2b a a

.

（3）

y x -1与

y

x +1的最简公分母为（x -y ）(x +y )，即x 2

－y 2

，所以

y x -1＝))((1y x y x y x +-+?）（＝2

2

y x y x -+，

y

x +1＝

))(()(1y x y x y x -+-?＝2

2

y x y

x --.

三、课内达标： 1．通分： （1）

3

21ab 和

c

b a 2252

（2）

xy a 2和

2

3x b

（3）

2

23ab c 和2

8bc a -

（4）

1

1-y

和1

1+y

2求下列各组分式通分：

（1）

2

2265,

41,32bc c a ab ； （2）；

2

)3(21

,

)3)(2(1,)2(31++--x x x x x

（3）

1

1

,1,222

2-++x x x x x 四、课内小结：

1、把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

2、分式通分，依据是分式基本性质，通分前后分式的值没有改变。

3、通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

4、确定公分母的方法，

（1）．取各分式的分母中系数最小公倍数； 2)．各分式的分母中所有字母或因式都要取到； 3)．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；

4)．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。 五、板书设计：

六、作业

1题：（1）

2

31

x ，

xy 125；（2）x x +21，x

x -21

（3）4,)2(122—x x x -.

2题见教材p 21复习题A 组7题

七、教学反思：

§17.1.2 分式的乘除法（一）

●教学目标 （一）知识目标：

1.分式乘除法的运算法则，

2.会进行分式的乘除法的运算. （二）能力目标：

1.类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则.

2.用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识. （三）情感与价值观目标：

1.通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力

2.培养学生的创新意识和应用数学的意识. ●教学重点

让学生掌握分式乘除法的法则并能运用. ●教学难点

分式的乘除法、混合运算，以及分式乘法，除法、运算中符号的确定。 ●教学方法

引导、启发、探索讨论 一、教学设计：

(一)、.创设情境，探索发现：

［师］上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？

探索、交流——观察下列算式：

32×54=5342??, 75×92=9725??, 32÷54=32×45=4352??, 75÷92=75×29=2

795??. 猜一猜a b ×c d =? a b ÷c

d =?与同伴交流.

分析：观察上面运算，可知：

两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘.

这里字母a ,b ,c ,d 都是整数，但a ,c ,d 不为零.

［师］如果让字母代表整式，那么就得到类似于分数的分式的乘除法. （二）.讲授新课 1.分式的乘除法法则

分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似：

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. 2、尝试探究计算： ［例1］计算： （1）y x 34·

3

2x y ; （2）

22-+a a ·a

a 21

2+.

分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.

解：（1）

y x 34·32x y =3234x y y x ??=23222x xy xy ??=

2

32

x ;

（2）

22-+a a ·a a 212+=)2()2(2+??-+a a a a =a

a 21

2-.

［例2］计算 ⑴

4

9

322

2--?+-x x x x

分析提问：①本题是几个分式在进行什么运算？ ②每个分式的分子和分母都是什么代数式？

③在分式的分子、分母中的多项式是否可以分解因式，怎样分解？ ④怎样应用分式乘法法则得到积的分式？

解 原式＝

)2)(2()3)(3(32-+-+?+-x x x x x x ＝2

3

+-x x . ［例3］计算

（1）3xy 2÷

x

y 2

6;（2）441

2+--a a a ÷4

122--a a

分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路.

解：（1）3xy 2÷

x

y 2

6=3xy 2

·2

6y x =2263y x xy ?=2

1

x 2

; （2）4412+--a a a ÷4122--a a =441

4+--a a a ×1422--a a =)

1)(44()4)(1(222-+---a a a a a

=

)1)(1()2()2)(2)(1(2+---+-a a a a a a =)

1)(2(2

+-+a a a

概括：①分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.

②分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. ③分式的分子、分母是多项式的要分解因式便于约分。 .

三、课内达标：

1.计算：（1）b a ·2

a

b

;（2）（a 2

－a ）÷1

-a a

;（3）y x 12-÷21y x +

2.化简：

（1）362--+x x x ÷x x x --+632; ( 3))3(2

962

y y y y -÷++-

（2）（ab －b 2

）÷

b

a b a +-2

2 (4)4

411242222++-?

+--a a a a a a

解：1.（1）

b a ·2a b =2ba ab =a ab ab ?=a

1; （2）（a 2

－a ）÷1-a a =（a 2

－a ）×a a 1-=

a

a a a )

1)(1(--=（a －1）2=a 2

－2a +1

（3）y x 12-÷2

1y

x +=y x 12-×12+x y =)1()1)(1(2

+-+x y y x x =（x －1）y =xy －y .

2.（1）362--+x x x ÷x x x --+632=3

)2)(3(--+x x x ×36

2+--x x x

=

)

3)(3()

2)(3)(2)(3(+-+--+x x x x x x =（x －2）（x +2）=x 2

－4.

（2）（ab －b 2

）÷

b

a b a +-2

2=（ab －b 2

）×

22b a b a -+=)

)(()

)((b a b a b a b a b +-+-

四、课内小结：

同学们这节课有何收获呢？

五、板书设计：

六、作业：

1、P9习题17.2第1题

2、（1）???

? ??-?y x y x 132 （2）??? ??-÷a bc ac b 2110352

（3）()

y x a xy 28512-÷ （4）b a ab ab

b a 2342

2

2-?

- （5）)4(12x x x

x -÷-- （6）3222)

(35)(42x y x x y x --?- 七、课后反思：

§17.1.2分式的乘除(二)

●教学目标 （一）知识目标：

1.巩固分式乘除法的运算法则，

2. 熟练地进行分式乘除法的混合运算. （二）能力目标： 1.提高学生的计算能力。

2.用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识. （三）情感与价值观目标：

1.通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，引导学生通过分析、归纳，培养学生探索能力

2.培养学生的创新意识和应用数学的意识. ●教学重点

熟练地进行分式乘除法的混合运算. ●教学难点

分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算 关键是运算中“-”符号的正确处理. ●教学方法

师讲授、引导、启发学生讨论相结合，讲练结合。 教学设计：

一、复习引入：

1、分式乘除法的法则是 。

2、尝试计算：（1）)(x y y x x y -?÷ (2) )21()3(43x y x y x -?-÷

二、新课教学： 例1.计算

(1))

4(3)98(23232b x

b a xy y x ab -÷-? =x

b b a xy y x ab 34)98(23232-?-? (先把除法统一成乘法运算)

=x

b b a xy y x ab 349823232?? （判断运算的符号） =

3

2916ax b （约分到最简分式）

随堂练习1：计算

(1)

)2(216322b a a bc a b -?÷ （2）10

332

6423020)6(25b a c c ab b a c ÷-÷

例2、计算：

x x x x x x x --+?

+÷+--3)

2)(3()3(44622

[分析] 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.

=x x x x x x x --+?+?+--3)

2)(3(3

144622

(先把除法统一成乘法运算) =x x x x x x --+?+?--3)

2)(3(3

1)2()3(22

(分子、分母中的多项式分解因式) =

)3()

2)(3(3

1)2()3(22---+?+?--x x x x x x （判断运算的符号）

=2

2

--x （约分到最简分式）

随堂练习2计算：

（1）x y y x x y y x -÷

-?--9)()()(34

3

2 （2）22222)(x y x xy y xy x x xy -?+-÷-

（3）)3(4126

446222

+÷--+?+--x x

x x x x x 例3、通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d ，已知球的体积公式为V=

3

4

πR 3

（其中R 为球的半径），那么 （1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？ （2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？ （3）买大西瓜合算还是买小西瓜合算？

［生分析：］我们不妨设西瓜的半径为R ,根据题意，可得： （1）整个西瓜的体积为V 1=

3

4

πR 3

;

西瓜瓤的体积为V 2=

3

4

π（R －d ）3

. （2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比为：

12V V =33

34)(3

4R d R ππ-=33)(R d R -

=（R d R -）3

=（1－R

d ）3

.

（3）我认为买大西瓜合算. 由

1

2V V =（1－

R

d ）3

可知，R 越大，即西瓜越大，

R

d 的值越小，（1－

R

d

）的值越大，（1－

R

d

）3

也越大，

则

1

2V V 的值也越大，即西瓜瓤占整个西瓜的体积比也越大，因此，买大西瓜更合算.

三、课内小结：

通过这节课的学习，你知道怎样进行分式乘除法的混合运算？

1、先把除法统一成乘法运算。

2、分子、分母中的多项式要分解因式。

3、 正确判断运算结果的符号。

4、 约分到最简分式 四、板书设计：

五、作业： 1、计算

(1))6(43826

42

z y

x y

x y x -÷?- (2)93234962

2

2-?+-÷-+-a a b a b

a a (3)229612316244y y

y y y y --÷

+?-+- (4)xy

y xy

y x xy x xy x -÷+÷-+2

22)(

（5）??

????

-+-?+÷+--63)3(44182222x x x x x x x 六、课后反思：

§17.1.2分式的乘除(三)

●教学目标 （一）知识目标：

1、.巩固分式乘除法的运算法则，

2、理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算.

3、 熟练地进行分式乘除法、乘方的混合运算. （二）能力目标：

1.进一步提高学生的计算能力。 （三）情感与价值观目标：

1.通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，引导学生通过分析、归纳，培养学生探索能力

2.培养学生的创新意识和应用数学的意识. ●教学重点

熟练地进行分式乘除法、乘方的混合运算. ●教学难点

1、正确运用分式乘除法、乘方的运算法则。

2、关键是运算中“-”符号的正确处理. ●教学方法

师讲授、引导、启发学生讨论相结合，讲练结合。 教学设计：

一、复习引入： 1、计算：-m ÷m ×

m

1=

2、计算下列各题：

（1）2

)2(a -= (2) 3

)3

2(-= （3）4

)2

(a -

= . . . =（ ） 二、探索发现：

怎样进行分式的乘方呢？试计算： （1）（

m n

）

3

（2）（

m

n

）k

（k 是正整数）

（1）（m

n ）3

=

m n

m n m n ??＝

)()

(m m m n n n ????＝________；

（2）（

m

n

）4

=

m

n

m n m n ?? ＝

)()(m m m m n n n n ??????＝________； （3）（

m

n ）k

=

个

k m n

m n m n ???＝)()(m m m n n n ?????? ＝___________. 即 n

b

a )(

= （n 为正整数） 三、探索实践：

分

析]第（1）

（2）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.

练习：1．判断下列各式是否成立，并改正.

（1）23)2(a b =25

2a b （2）2)23(a

b -=

22

49a b -

（3）3)32(x

y -=3

3

98x y （4）2

)3(b

x x -=22

29b x x -

2．计算

(1) 22)35(y x （2）3

3

2)23(c b a -

[分析]第（3）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除. 解略

练习：2．计算

(1）3

2223)2()3(x ay xy a -÷ （2） 23322)(

)(z x z y x -÷- （3） )()()(422xy x y y x -÷-

?- (4)2

32)23()23()2(ay

x y x x y -÷-?- 三、课内小结：

1、分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.

2、分式的乘除与乘方的混合运算，应注意运算顺序：先做乘方，再做乘除. 四、板书设计：

五、课后作业：

1计算

(1) 3

32)

2(a b - (2) 2

12)(+-n b

a

(3)4234223)()()(c a b a c b a c ÷÷ (4) )()()(223

2b a a

b a ab b a -?--?-

(5)、2

2

22

22

??

?

??????????

?????????????? ??-÷???? ??-a a b a b a b .

六、教学反思：

1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算。

2、通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分式通分，培养学

生分式运算的能力。

3、教学重点 让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。 教学难点

§17.2.2 分式的加减法（-）

●教学目标 （一）教学知识点

1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减，

2、能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算；培养学生分式运算的能力。

3、渗透类比、化归数学思想方法，培养学生的能力。 （二）能力目标：

1.经历用字母表示数量关系的过程，进一步发展符号感.

2.并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考及其语言表达能力.

（三）情感与价值观目标;

1.从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识.

2.结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气. ●教学重点 1. 让学生掌握同分母、异分母分式的加减法法则。

初二数学 分式的计算

初二数学 分式的性质 题型1：分式、有理式概念的理解应用 1．（辨析题）下列各式a π，11x +，15x+y ，22 a b a b --，-3x 2，0?中，是分式的有 ；是整式的有 ；是有理式的有 ． 题型2：分式有无意义的条件的应用 2．（探究题）下列分式，当x 取何值时有意义． （1）2132x x ++； （2）2 323 x x +-． 3．（辨析题）下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ） A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2 221 x x + 4．（探究题）当x______时，分式2134 x x +-无意义． 题型3：分式值为零的条件的应用 5．（探究题）当x_______时，分式2212 x x x -+-的值为零． 题型4：分式值为±1的条件的应用 6．（探究题）当x______时，分式 435x x +-的值为1； 7．使分式||1 x x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±1 拓展创新题 8．（学科综合题）已知y=123x x --，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（?3）y 的值是零；（4）分式无意义． 题型1：分式基本性质的理解应用 9．（辨析题）不改变分式的值，使分式115101139 x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．90 10．（探究题）下列等式：① ()a b c --=-a b c -;②x y x -+-=x y x -;③a b c -+=-a b c +; ④m n m --=-m n m -中,成立的是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④

苏教版八年级数学下册教案--10.1 分式

10.1 分式 教学目标1、经历“列分式”的过程，理解分式的意义，会确定分式何时有意义； 2、能分析出一个简单分式有、无意义的条件； 3、经历“分式与分数的比较”过程，体验分式与分数的联系与区别，加深对分式的理解，了解类比的数学思想． 重点分式的有关概念．难点怎样确定分式何时有意义． 教法教具自主先学当堂检测交流展示检测反馈小结反思教具：多媒体等 教学过程 教学内容个案调整教师主导活动 学生主体活 动 一、情境引入 1、计算玻璃的长． 一块长方形玻璃的面积为2m2，如果长是3m，那么 宽是 2 3 m． 如果它的宽是a m，那么这块玻璃的长是 2 a m． 2、小丽买瓜子的情境． 小丽用n元人民币买了m袋相同包装的瓜子， 你能写出每袋瓜子的价格吗？ （是（n÷m）元，通常用 n m 元来表示．） 二、自主先学 1、自学内容：P98--99 2、自学指导： （1）分式的形式。 （2）分式有无意义的情况。 （3）分式的值为零的情况。 3、自学检测： 思考回顾。

教学（1）、下列各式哪些是分式，哪些是整式？ ① 3 8n m+ ＋m2②1＋x＋y2－ z 1 ③ π2 1 3- x ④ x 1 分式有，整式有。 （2）、当x= 时，分式 1 3 5 - + x x 无意义。 （3）、当x= 时，分式 1 2 3 - + x x 的值为零； 当分式 2 3 + - x x =0时，x= 。 （4）、当x 时，分式 1 2 1 + - x x 有意义。 三、交流展示 （一）展示一 分组展示自主先学中的问题，归纳所学知识。 讲清： 1、如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母， 那么代数式 A B 叫做分式（fraction），其中A是分式 的分子，B是分式的分母． 2、赋予a与b不同的含义， a b－1 可以表示不同的 意义． （二）展示二（例题） 例1.试解释分式 2 a b+ 所表示的实际意义. 例2.求分式 3 2 a a - + 的值： (1)1 a=-；(2)3 a=；(3) 2 3 a=. 例3.当x取什么值时，分式 24 1 x x + - (1)没有意义？ (2)有意义？ (3)值为零. 自学教材内 容 完成检测题 交流问难

人教版初二数学上册15.3分式方程(20210204030455)

15.3 分式方程 第1课时 【教学目标】 知识目标 1. 理解分式方程的意义. 2. 了解解分式方程的基本思路和解法. 3. 理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握分式方程的验根方法. 能力目标 经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识. 情感目标在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值. 【教学重难点】 重点:解分式方程的基本思路和解法. 难点:理解解分式方程时可能无解的原因. 【教学过程】 一、创设情境,导入新课 问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析:设江水的流速为v km/h,则轮船顺流航行的速度为(30+v) km/h,逆流航行的速度为(30-v) km/h,顺流航行90 km所用的时间为小时，逆流航行60 km所用的时间为小时?可列方程=. 这个方程和我们以前所见过的方程不同,它的主要特点是:分母中含有未知数,这种方程就是 我们今天要研究的分式方程? 二、探究新知 1?教师提出下列问题让学生探究： (1) 方程=与以前所学的整式方程有何不同? (2) 什么叫分式方程? (3) 如何解分式方程=呢?怎样检验所求未知数的值是原方程的解? (4) 你能结合上述探究活动归纳出解分式方程的基本思路和做法吗? (学生思考、讨论后在全班交流) 2?根据学生探究结果进行归纳： (1) 分式方程的定义(板书): 分母里含有未知数的方程叫分式方程?以前学过的方程都是整式方程练 习:判断下列各式哪个是分式方程? (1)x+y=5; (2)=; (3); (4)=0 在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程,(3)是分式,(4)是分式方程? (2) 解分式方程=的基本思路是:将分式方程化为整式方程?具体做法是: “去分母”,即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般思路和做法. 3.仿照上面解分式方程的做法,尝试解分式方程=,并检验所得的解,你发现了什么?与你的同

初二上册数学分式(谷风教育)

第十六章 分式 一、知识总览 本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习． 知识点一：分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二： 与分式有关的条件：①分式有意义：分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（?? ?≠=0 0B A ） 经典例题 1、在 2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24 x y -中，分式的个数为（ ） A .1 B .2 C .3 D .4 2、当1a =-时，分式211a a +-（ ）A .等于0 B .等于1 C .等于－1 D .无意义 3、已知分式1-x 的值是零，那么x 的值是（ ）A ．-1 B ．0 C ．1 D ． 1± 4、当x 时，分式1 1+x 有意义． 5、下列命题中，正确的有（ ） ①A 、B 为两个整式，则式子 A B 叫分式； ②m 为任何实数时，分式13m m -+有意义 ③分式2116 x -有意义的条件是4x ≠； ④整式和分式统称为有理数. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

(完整版)初中数学分式计算题及答案

2014寒假初中数学分式计算题精选 参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．（2012?台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程 中正确的是（） A．B．C．D． 解答：解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时， 根据回来时路上所花时间比去时节省了，得出回来时所用时间为：×， 根据题意得出=×，故选：A． 2．（2011?齐齐哈尔）分式方程=有增根，则m的值为（） A．0和3 B．1C．1和﹣2 D．3 考点：分式方程的增根；解一元一次方程． 专题：计算题． 分析：根据分式方程有增根，得出x﹣1=0，x+2=0，求出即可．D 二．填空题（共15小题） 3．计算的结果是． 4．若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=3 分析： 分别将去分母，然后将所得两式相加，求出yz+xz+xy=3xyz，再将xy+yz+zx=kxyz 代入即可求出k的值．也可用两式相加求出xyz的倒数之和，再求解会更简单． 点评：此题主要考查学生对分式的混合运算的理解和掌握，解答此题的关键是先求出yz+xz+xy=3xyz．5．（2003?武汉）已知等式：2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，10+=102×，（a，b均为正整数），则a+b= 109． 解答： 解：10+=102×中，根据规律可得a=10，b=102﹣1=99，∴a+b=109． 6．（1998?河北）计算（x+y）?=x+y．

初二数学分式的教案

《分式》的教案 班级：初二2班 科目：数学 任课教师：*** 教学时数：1节 上课日期：2011年10月17日 第七周 第一节 教学目的： 1、引导学生熟练掌握分式的概念及分式的性质等知识； 2、经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质，发展学生思维能力、分析问题、解决问题能力、实际操作能力、 语言表达能力、自学能力、合情推理能力与代数恒等能力等； 3、引导学生学习劳动人民的优良品德；尊重客观、尊重事实的良好品德；刻苦顽强品德等； 4、激发学生热爱劳动人民的情感；热爱科学、热爱生活的情感； 5、通过学习，能获得学习代数知识的常用方面，能感受代数学习的价值。 教学重点： 1、分式的概念 2、分式的性质 教学难点： 1、分式的有意义的条件 2、分子、分母是多项式的分式约分 教学方法：讲授法、谈话法、讨论法、练习法、读书指导法 教具：多媒体课件 ppt 教学过程： 一、复习旧课（时间5~10分钟） 同学们，我们一起来复习一下上一节课学习的内容： 提问 1：我们上节课学习的什么知识啊？ 生（一起回答）：学习了完全平方公式。 提问2：那什么叫做完全平方公式? 生（一起回答）：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方，这样的式子就叫做完全平方公式. 提问3：那有没有同学愿意上来，在黑板上默写完全平方公式的公式？ 好，第四组举手的那位同学上来默写一下公式。 生：()()b a b a b a _22+=- ()2 222b a b ab a +=++ ()2 222b a b ab a -=+- 二、学习新课（时间20~25分钟）（重点）

人教版初二数学上册分式方程的解法

教材版本：新人教版八年级数学上册15．3 分式方程 课题：15．3 分式方程 备课人：遵义市第十九中学江金财 教学目标： 知识与技能目标 1．了解分式方程的定义； 2．会解可化为一元一次方程的分式方程； 3．掌握解分式方程验根的方法，方法了解解分式方程产生增根的原因。过程与方法目标经历解分式方程中的过程，感受由分式方程转化为整式方程的过程，渗透转化、归纳的数学思想，发展学生分析问题和解决问题的能力。 情感与态度目标 1．通过背景材料引入，体会数学来源于生活，激发学生对生活的热爱；2．通过创设问题串，让学生仔细观察、对比、归纳，体会数学学习中的探索性和创造性，培养学生合作、交流以及数学的应用意识。 教学重点与难点 教学重点： 1．分式方程的解法。 2．转化、归纳思想在解分式方程（数学学习）中的重要运用。 教学难点： 理解解分式方程时可能无解的原因； 教学准备：粉笔、视频材料、PPT。 问题解决： 1．分式方程转化为整式方程的方法； 2．分式方程解的检验方法。 教学过程 课前背景展示： “我解决过的每一个问题都成为日后用以解决其他问题的法则．”——笛卡尔（著名数学家、物理学家、哲学家）。 播放视频：曹冲称象的故事。 一、问题导入 问题1 刚刚大家看了这个故事，大家知道吗？曹冲为何没有直接给大象称重？ 追问为何称得石头的重量，就能得到大象的重量？教师故事引入，以此说明“转化”思想在生活中的重要运用，过渡到

“转化”思想在数学学习中的重要运用 教师启头：今天就用转化的思想来学习解分式方程。 问题2认真观察，回答问题： x +1 x 3 2 1 4 1 3x 4; 2 2x=4; 3 ； 4 ； 5 厂二 3 2 x+1x x-2x-4 1. 哪些是方程? 2. 哪些是整式方程、哪些是分式方程？ 3. 在上述的方程之中，哪些方程的解为 x=2? 借助上述问题巩固分式方程、整式方程的定义、方程的解的定义。 二、问题探究 (1)复习巩固，建立新知 2 (x+1) =3x 去括号得：2x+2=3x 移项得：2x-3x=-2 合并同类项得：-x=-2 系数化为1得：x=2 问题 解一元一次方程的步骤是怎样的？ 师生总结：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化为 1。 问题你们都会解一元一次方程了，那么你们能解这样一个分式方程: 3 2 吗？ x 1 x 转化为分母不含字母的方程吗？ 解：方程两边同时乘以2x (x+3)，得 x+3=2? (2x ) 解这个整式方程，得x=1 检验：x=1 时，2x (x+3)工 0 所以，x=1是原分式方程的解。 追问 假如解得x=- 1，他是原方程的解吗? 解整式方程: X +1 = X 3 2 解：去分母(两边同时乘以 6）得: 追问 洙彳与宁.I 的分母区别是什么？你能不能将 3 =2 x 1 x

新人教版数学八年级上册分式练习题

分式练习题 一、选择题： 1、下列式子：,,1,1,32,32π n m b a a b a x x --++ 中是分式的有（ ）个 A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 2、下列等式从左到右的变形正确的是（ ） A 、11++=a b a b B 、22a b a b = C 、b a b ab =2 D 、am bm a b = 3、下列分式中是最简分式的是（ ） A 、a 24 B 、112+-m m C 、1 22+m D 、m m --11 4、下列计算正确的是（ ） A 、m n n m =? ÷1 B 、111=÷?÷m m m m C 、1134=÷÷m m m D 、n n m n 1=?÷ 5、计算32)32()23(m n n m ?-的结果是（ ） A 、m n 3 B 、m n 3- C 、m n 32 D 、m n 32- 6、计算y x y y x x ---的结果是（ ） A 、1 B 、0 C 、 y x xy - D 、y x y x -+ 7、化简n m m n m --+2 的结果是（ ） A 、n m B 、n m m --2 C 、n m n --2 D 、m n - 8、下列计算正确的是（ ） A 、1)1(0-=- B 、1) 1(1=-- C 、2233a a =- D 、235)()(a a a =-÷-- 9、如果关于x 的方程8778=----x k x x 无解，那么k 的值应为（ ） A 、1 B 、-1 C 、1± D 、9 10、甲、乙两人做某一工程，如果两人合作，6天可以完成，如果单独工作，甲比乙少用5天，两人单独工作各需多少天完成？设乙单独工作x 天完成，则根据题意列出的方程是（ ） A 、61511=++x x B 、61511=-+x x C 、61511=--x x D 、6 1511=+-x x 二、填空题： 11、分式a a -2，当a______时，分式的值为0；当a______时，分式无意义，当a______时，分式有意义

初二下册数学分式计算题题目

一、分式方程计算： （1） 21)2(11+-?+÷-x x x x （2）32232)()2(b a c ab ---÷ （3）2323()2()a a a ÷- （4）0142)3()101( )2()21(-++-----π （5）222)()()(b a a b ab ab b a b a b -?-+-÷- （6 ）(3103124π--????-?-÷ ? ????? （7）2211y x xy y x y x -÷???? ??++- 二、分式方程 1、（1）3513+=+x x ； （2) 11322x x x -+=--- (4)512552x x x =--- (5) 25231x x x x +=++. （6） （7） （8） 三、1、先化简，再求值)1121(1 222+---÷--x x x x x x ，其中31-=x 1 211422+=+--x x x x x 233321122--=++-x x x x x x x x 231392---++

2、若使 互为倒数，求x 的值。 3、若分式方程 3234=++x m mx 的解为1=x ，求m 的值。 2 3223+---x x x x 与

四、二元一次方程组 解方程组：

五、可化为一元二次方程的分式方程、二元二次方程组 56556--=--x x x 22(1)(5)2511 x y x y ?++-=?+=? 226232x x x x +---=0 |a + b + 7| + a 2b 2–10ab + 25＝0 2123x x x ++-+2226x x x -+-=2632x x x --+

人教版八年级数学上册从分数到分式 优秀教学设计2

从分数到分式 教学目标 一、知识与技能目标 1．使学生了解分式的概念，明确分母不得为零是分式概念的组成部分． 2．使学生能够求出分式有意义的条件． 二、过程与方法目标 能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号感，通过类比分数研究分式的教学，引导学生运用类比转化的思想方法研究解决问题． 三、情感与价值目标 在土地沙化问题中，体会保护人类生存环境的重要性。培养学生严谨的思维能力． 教学重点和难点 准确理解分式的意义，明确分母不得为零既是本节的重点，又是本节的难点． 教学方法:分组讨论． 教学过程 1、 情境引入：面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务，原计划每月固沙造林多少公顷？ （1）这一问题中有哪些等量关系？ （2）如果设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月；根据题意，可得方程 ； 2、解读探究： x 2400，302400+x ，430 24002400=+?x x 认真观察上面的式子，方程有什么特点？ 做一做1.正n 边形的每个内角为 度 2一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为mkg ，箱子的质量为nkg ，则每千克苹果售价是多少元？ 上面问题中出现的代数式x 2400，302400+x ，n n 180)2(??；它们有什么共同特征？ (1)由学生分组讨论分式的定义，对于“两个整式相除叫做分式”等错误，由学生举反例一一加以纠正，得到结论： 的分母． (2)由学生举几个分式的例子． (3)学生小结分式的概念中应注意的问题． ①分母中含有字母．

八年级上册数学-分式的概念

1.1 分式 1.1.1分式的概念 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论） （1）每位小朋友分3 4 （2）分法： ①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这 六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（36 = 48 ，即： 3326 == 4428 ? ? ）由此表明了什 么？ 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为：3 n ， 3 3n n ÷、相等吗？（ 3 3= n n ÷）这里的n

可以是实数吗？（n不能为0） (2) 33 4n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分 式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二合作交流，探究新知 1 分式的概念填空： （1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。 （2）一个梯形木板的面积是6 2 m，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式： 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整 式，分母含有字母） 一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f g 叫分 式。 说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考：33a 44a 与分式相等吗？ 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗？ 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义，那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗？ 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。 用式子表示为：设h≠0,则f f h g g h ?= ?

八年级数学-分式与分式计算

八年级数学：分式和分式的计算 一.填空题： 1、分式的定义是 2、x 时，分式42-x x 无意义； 当x 时，分式122 3+-x x 有意义； 3、当x= 时，分式2 152x x --的值为零；当x 时，分式x x --11 2的值等于零. 二.选择题： 1.在31x+21y, xy 1 ,a +51 ,—4xy , 2x x , πx 中，分式的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2.如果把 y x y 322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ） A 、扩大5倍 B 、不变 C 、缩小5倍 D 、扩大4倍 3.下列各式：()x x x x y x x x 2 225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（ ）个。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4.下列判断中，正确的是（ ） A 、分式的分子中一定含有字母 B 、当B=0时，分式B A 无意义 C 、当A=0时，分式B A 的值为0（A 、B 为整式） D 、分数一定是分式 5.下列各式正确的是（ ） A 、11++=++b a x b x a B 、22x y x y = C 、()0,≠=a ma na m n D 、a m a n m n --= 6.下列各分式中，最简分式是（ ） A 、()()y x y x +-8534 B 、y x x y +-22 C 、2 22 2xy y x y x ++ D 、() 222y x y x +- 7.下列约分正确的是（ ） A 、 313m m m +=+ B 、212y x y x -=-+ C 、1 23369+=+a b a b D 、 ()()y x a b y b a x =-- 8.下列约分正确的是( ) A 、3 26x x x = B 、 0=++y x y x C 、x xy x y x 12=++ D 、2 14222=y x xy 9.下列分式中，计算正确的是( ) A 、32)(3)(2+=+++a c b a c b B 、b a b a b a += ++1 22 C 、1)()(22-=+-b a b a D 、x y y x xy y x -=---1222

八年级数学：分式的基本性质(教案)

初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订：XX文讯教育机构

分式的基本性质(教案) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 第一课时 （一）教学过程 【复习提问】 1．分式的定义？ 2．分数的基本性质？有什么用途？ 【新课】 1．类比分数的基本性质，由学生小结出： 分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即： ， （其中是不等于零的整式．） 2．加深对分式基本性质的理解： 例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？

（1）； 由学生口述分析，并反问：为什么？ 解：∵ ∴． （2）； 学生口答，教师设疑：为什么题目未给的条件？（引导学生学会分析题目中的隐含条件．）解：∵ ∴． （3） 学生口答． 解：∵， ∴． 例2 填空： （1）； （2）； （3）；

（4）． 把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据．例3 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）； 分析学生讨论：①怎样才能不改变公式的值？②怎样把分子分母中各项系数都化为整数？ 解：． （2）． 解：． 例4 判断取何值时，等式成立？ 学生分组讨论后得出结果： ∴． （二）随堂练习 1．当为何值时，与的值相等（） A．B．C．D． 2．若分式有意义，则，满足条件为（）

初二数学分式的运算练习题

初二数学分式的运算练习题 本文是数学分式的运算同步练习题 【一】选择题:(每题5分,共30分) 1.以下各式计算正确的选项是( ) A. ; B. C. ; D. 2.计算的结果为( ) A .1 B.x+1 C. D. 3.以下分式中,最简分式是( ) A. B. C. D. 4.x为整数,且分式的值为整数,那么x可取的值有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.化简的结果是( ) A.1 B. C. D.-1 6.当x= 时,代数式的值是( ) A. B. C. D. 【二】填空题 :(每题6分,共30分) 7.计算的结果是____________. 8.计算a2÷b÷ ÷c× ÷d× 的结果是__________. 9.假设代数式有意义,那么x的取值范围是__________. 10.化简的结果是___________.

11.假设 ,那么M=___________. 12.公路全长s千米,骑车t小时可到达,要提前40分钟到达,每小时应多走____千米. 【三】计算题:(每题5分,共10分) 13. ; 14. 【四】解答题:(每题10分,共20分) 15.阅读以下题目的计算过程: =x-3-2(x-1) ② =x-3-2x+2 ③ =-x-1 ④ (1)上述计算过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:______ . (2)错误的原因是____ _____ _. (3)此题目的正确结论是__________. 16.x为整数,且为整数,求所有符合条件的x值的和. 上文是数学分式的运算同步练习题

初中数学分式教案

第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x

初二数学上册分式方程100

2x＋6 5 ———＝——— x2＋x 3x＋3 1 1 3 —－———＝———4 4x＋1 8x＋2 6 ———＋a＝7 x＋5 m 2 —－———＝0 x x＋3 30 90 ———＝———40＋v 70－v 1 8 —＝—— x x＋6 1 7 ———＝———x＋6 x－6 2 9 ———＝— x＋1 x

x 6 ———＋7＝———————x－5 (x－5)(x－3) 3 7 —＝—— 6x x＋7 x 9 ———＝————－6 x－3 3x＋12 7 8 ———＝——— x＋3 x2－9 8 4 ———＝———x2－7x x2＋7x 1 1 1 —＋—＋——＝3 4 5 2x 70 70 ———＝———30＋v 70＋v 9 8 —＝—— x x－5

x 5 ———＝———－4 x＋2 3x＋6 4 2 ———＝————6x－1 36x2－1 6 9 ———－———＝4 x2＋9x x2－9x x x＋8 ———＝——— x＋2 x－1 x＋6 4 ———－4＝———x＋2 2＋x 3x－3 6 ———＝——— x2－x 4x－4 1 2 5 —－———＝———2 2x－3 4x－6 8 ———＋a＝2 x－7

m 8 —＋———＝0 x x＋9 60 30 ———＝———40－v 60－v 5 6 —＝—— x x＋9 5 9 ———＝———x＋3 x＋3 5 8 ———＝— x－4 x x 4 ———＋4＝———————x＋9 (x－9)(x－5) 4 6 —＝—— 6x x－4 x 9 ———＝————＋4 x＋3 3x－15

最新初二数学分式的加减法练习题

17.2分式的运算 17.2.2 分式的加减法（1） 同步练习 一、请你填一填(每小题4分,共36分) 1. 异分母分式相加减，先________变为________分式，然后再加减. 2. 分式xy 2,y x +3,y x -4的最简公分母是________. 3. 计算：2223 2 1xyz z xy yz x +-=_____________. 4. 计算：)11(1x x x x -+-=_____________. 5. 已知22y x M -=2222y x y xy --+y x y x +-,则M=____________. 6. 若（3－a ）2与|b －1|互为相反数，则b a -2的值为____________. 7. 如果x ＜y ＜0，那么x x ||+xy xy ||化简结果为____________. 8. 化简y x y x --2 2的结果为____________. 9. 计算22+-x x －2 2-+x x =____________. 二、判断正误并改正: (每小题4分,共16分) 1. a b a b a a b a a b a --+=--+=0（ ） 2. 1 1)1(1 )1(1 )1()1(1 )1(22222-=--=---=-+-x x x x x x x x x （ ） 3. )(21 21 21 2222y x y x +=+（ ） 4.2 22b a c b a c b a c +=-++（ ） 三、认真选一选:(每小题4分,共8分) 1. 如果x ＞y ＞0,那么x y x y -++11的值是（ ）

(完整版)人教版八年级数学上分式教案

15．1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系． 2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件． 3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件． 教学重点 分式的意义． 教学难点 准确理解分式的意义，明确分母不得为零． 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： ) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ，它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等．江水的流速是多少？ 提示：顺流速度＝水速＋静水中的速度；逆流速度＝静水中的速度－水速． ●自主学习 指向目标 1．自学教材第127至128页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一 分式的概念 活动一：阅读教材思考问题：式子S a ，V S 以及式子10020＋v 和6020－v 有什么共同特点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 展示点评：如果A ，B 表示两个________(整式)，并且B 中含有________(字母)，那么式子A B 叫做分式． 小组讨论：如何判断一个式子是否为分式？分式与整式有什么区别？

反思小结：判断一个式子是否为分式，可根据：①具有分数的形式；②分子、分母都是整式；③分母中含有字母，分式与整式的区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含字母． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二：(1)当x ≠0时，分式23x 有意义； (2)当x ≠1时，分式x x －1 有意义； (3)当b ≠53时，分式15－3b 有意义； (4)x ，y 满足__x≠y __时，分式x ＋y x －y 有意义． 展示点评：教师示范解答的一般步骤，强调分母不为零． 小组讨论：归纳分式有意义的条件． 反思小结：对于任何分式，分母均不能为零，即当分母不为零时，分式有意义；反之，分母为零时，分式无意义． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．知识小结——(1)学习了分式，知道了分式与分数的区别．(2)知道了分式有意义和值为零的条件． 2．思想方法小结——类比、转化等数学思想． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式①2x ，②x ＋y 5，③12－a ，④x π－1 中，是分式的有( C ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2．当x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是( C ) A.x －1x 2 B.x ＋1x 2－1 C.x －1x 2＋1 D.x －1x ＋2 3．某食堂有煤m t ，原计划每天烧煤a t ，现每天节约用煤b(b

最新人教版八年级数学上册《分式》教案

第十五章 分式 15.1分式 15.1.1从分数到分式 一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同 点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x x x 57+x x 3217-x x x --221

人教版八年级上册分式方程练习及解析

第八讲 分式方程 考点综述： 中考对于分式方程的主要要求包括分式方程的概念以及解法，会检验分式方程的根，分式方程的应用也是中考考查的重点和热点。 典型例题： 例1：解方程： （1）（2007连云港） 11322x x x -=--- （2）（2007德州）解方程：120112x x x x -+=+- （3）（2007宁波）解方程21124x x x -=-- 解：（1）方程两边同乘(2)x -，得1(1)3(2)x x =----． 解这个方程，得2x =． 检验：当2x =时，20x -=，所以2x =是增根，原方程无解 （2）两边同乘以(1)(12)x x +-， 得(1)(12)2(1)0x x x x --++=； 整理，得510x -=； 解得 15 x = ． 经检验，15x =是原方程的根． （3）方程两边同乘(x-2)(x+2)，得 x(x+2)-(x 2-4)=1， 化简，得2x=－3 x=－3/2， 经检验，x=－3/2是原方程的根． 例2：（2007沈阳）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队 单独完成此项工程所需天数的45 ，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 解：设甲施工队单独完成此项工程需x 天， 则乙施工队单独完成此项工程需45 x 天， 根据题意，得 10x ＋1245x ＝1

解这个方程，得x ＝25 经检验，x ＝25是所列方程的根 当x ＝25时，45 x ＝20 答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天． 实战演练： 1.（2008安徽）分式方程112 x x =+的解是（ ） A . x=1 B . x =－1 C . x=2 D . x =－2 2.（2008荆州）方程21011x x x -+=--的解是（ ） A .2 B .0 C .1 D .3 3.（2008西宁）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ） A ．12012045x x -=+ B ． 12012045x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045x x -=- 4.（2008襄樊）当m = 时，关于x 的分式方程213 x m x +=--无解． 5.（2008大连）轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同．已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列方程为_________________________________． 6.（2008泰州）方程 22123=-+--x x x 的解是=x __________. 7.解方程： （1）（2008赤峰）2112323x x x -=-+ （2）（2008南京）22011 x x x -=+- 8.（2008咸宁） A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？