§8 用Mathematica求重积分以及相关的应用练习解答

§5 用Mathematica 求重积分以及相关的应用练习解答

1 计算下列重积分： (1)

??-D

dxdy x y )2(,其中D =[3,5]×[1,2];

解 In[1]:= Integrate[y-2x,{x,3,5},{y,1,2}] Out[1]= -13 (2)

??+D

dxdy y x Cos )(，其中D =[0,

2

π

]×[0,π]; 解 In[1]:= Integrate[Cos[x+y],{x,0,Pi/2},{y,0,Pi}] Out[1]= -2

(3) ??

D

dxdy xy 2

，其中D 由抛物线px y 22=与直线)0(2

>=p p

x 所围成的区域；

解 In[1]:= a=Plot[Sqrt[2x],{x,0,2},DisplayFunction->Identity];

b=ParametricPlot[{2,y},{y,0,4}, DisplayFunction->Identity]; Show[a,b,PlotRange->{0,4}, DisplayFunction->$ DisplayFunction]

Out[1]= -Graphics-

In[2]:= Integrate[x*y^2,{x,0, 2},{y,0,2px}]

Out[2]= 3

163

px

(4)

??

D

dxdy xy ||，其中D 为圆域222a y x ≤+；

解 In[1]:= ParametricPlot[{Sin[t],Cos[t],{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic}

Out[1]= -Graphics-

In[2]:= Integrate[Abs[x*y],{x,-1,1},{y,-Sqrt[a^2-x^2],Sqrt[a^2-x^2] }] Out[2]= 2

π (5)

???V

zdxdydz y x cos cos ，其中V =[0,1]×[0,

2π]×[0,2

π]; 解 In[1]:= Integrate[x*Cos[y]*Cos[z],{x,0,1},{y,0,Pi/2 },{ z,0,Pi/2 }] Out[1]= 2

1

(6)

???+V

dxdydz z x y )cos(，其中V 是由x y =，0y =，0z =及x z +=

2

π所围成的区域。

解 In[1]:= a=ParametricPlot3D[{x,y,Pi/2-x},{x,0,2},{y,0,2},

DisplayFunction->Identity];

b=ParametricPlot3D[{x,Sqrt[x],z},{x,0,2},{y,0,2},

DisplayFunction->Identity];

c=Plot3D[0,{x,0,2},{y,0,2},DisplayFunction->Identity]; d= Plot3D [0,{x,0,2},{z,0,2}, DisplayFunction->Identity];

Show[a,b,c,d,AxesLabel->{“x ”,”y ”,”z ”}, AspectRatio->Automatic,

PlotRange->{0,2},DisplayFunction->$DisplayFunction, ViewPoint->{1,-2,0}]

Out[1]= -Graphics3D-

In[2]:= Integrate[y*Cos[x+z],{x,0, Pi/2},{y,0, Sqrt[x]},{ z,0,Pi-x}] Out[2]= 2

1-

2 求下列曲面所围成立体V 的体积。

(1) V 是由22y x z +=和z x y =+所围成的立体； 解 In[1]:= a=Plot3D[x^2+y^2,{x,-2,2},{y,-2,2},

DisplayFunction->Identity];

b=Plot3D[x+y,{x,-1,2},{y,-1,2},

DisplayFunction->Identity];

Show[a,b,AxesLabel->{“x ”,”y ”,”z ”},PlotRange->{-2,5},

DisplayFunction->$DisplayFunction,ViewPoint->{0,2,0} Shading->False]

Out[1]= -Graphics3D-

In[2]:= x=r*Cos[t]+1/4

y=r*Sin[t]+1/4

Integrate[x^2+y^2-x-y,{x,0, Pi/2},{y,0,1/2}]

Out[2]=

8

π (2) V 是由曲面2222y x z --=和22y x z +=所围成的立体； 解 In[1]:= a=Plot3D[2-x^2-y^2,{x,-1,1},{y,-1,1},

DisplayFunction->Identity];

b= ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],u^2},{u,-1,2},{v,-Pi,Pi},

DisplayFunction->Identity];

Show[a,b,AxesLabel->{“x ”,”y ”,”z ”},PlotRange->{0,2},

DisplayFunction->$DisplayFunction]

Out[1]= -Graphics3D-

In[2]:= ParametricPlot[{Sin[t],Cos[t]},{t,0,2Pi}, AxesLabel->{“x ”,”y ”,”z ”},

AspectRatio->Automatic]

Out[2]= -Graphics-

In[3]:= Integrate[2-x^2-y^2,{x,0,1},{y,0,Sqrt[1-x^2]}] Out[3]= 4

50Mathematica线性代数运算命令与例题

50Mathematica线性代数运算命令与例题

第五章 线性代数运算命令与例题 线性代数中常用的工具是矩阵(向量)和行列式。用这些工具可以表示工程技术，经济工作中一些需要用若干个数量从整体上反映其数量关系的问题。用这些工具可以简明凝练而准确地把所要研究的问题描述出来，以提高研究的效率。在线性代数课程中我们看到了用这些工具研究齐次和非齐次线性方程组解的理论和解的结构，矩阵的对角化，二次型化标准形等问题的有力，便捷. 5.1向量与矩阵的定义 数学上矩阵是这样定义的: 由n m ?个数排成m 行n 列的数表 mn m m n n a a a a a a a a a Λ M M M Λ Λ21 2222111211 称为m 行n 列矩阵，特别，当m=1时就是线性代数中的向量。

记作: ????? ?? ?????=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛM M M ΛΛ2122221 11211 两个n m ?矩阵称为同型矩阵。 线性代数中的运算对象是向量和矩阵，因此首先介绍向量和矩阵的输入。 5.1.1输入一个矩阵 命令形式1:Table[f[i,j]，{i ，m}，{j ，n}] 功能: 输入n m ?矩阵，其中f 是关于i 和j 的函数，给出[i ， j]项的值. 命令形式2:直接用表的形式来输入 功能:用于矩阵元素表达式规律不易找到的矩阵的输入。 注意: 1.Mathematica 是采用一个二重表的形式来表示矩阵的，即用 {{…},{…},…,{…}} 其中表中的每个表元素都是等长的一维表，第一

个表元素是矩阵的第一行，第二个表元素是矩阵的第二行，一般，第n 个表元素是矩阵的第n 行。要看通常的矩阵形式可以用命令: MatrixForm[%] 2. 对应上述命令形式，输入一个向量的命令为 Table[f[j]，{j,n}]或直接输入一个一维表{a1,a2,…,an}，这里a1,a2,…,an 是数或字母。 例题 例 1.输入矩阵A=???? ??????---41381639121458561203 12、向量 b={1,4,7,-3}。 解:Mathematica 命令 In[1]:= a={{12，-3，0，2，1}，{56，-8，-45，21，91}，{3，6，81，13，4}} Out[1]:= {{12，-3，0，2，1}，{56，-8，-45，21，91}，{3，6，81，13，4}} In[2]:=b={1, 4, 7, -3} Out[2]:= {1, 4, 7, -3}

Mathematica数学实验——随机变量的概率分布

教师指导实验7 实验名称：随机变量的概率分布 一、问题：求二项分布、几何分布、正态分布在给定区间上的概率。 二、实验目的： 学会使用Mathematica求二项分布、几何分布、正态分布在给定区间上的概率及期望和方差。 三、预备知识：本实验所用的Mathematica命令提示 1、BinomialDistribution[n,p] 二项分布； GeometricDistribution[p] 几何分布； NormalDistribution[μ,σ] 正态分布； 2、Domain[dist] 求分布dist的定义域； PDF[dist,x] 求点x处的分布dist的密度值； CDF[dist,x] 求点x处的分布dist的函数值； Mean[dist] 求分布dist的期望；Quantile[dist,x] 求x，使CDF[dist,x]=q Variance[dist] 求分布dist的方差；StandardVariance[dist] 求分布dist的标准差； 四、实验的内容和要求： 1、取50个在1到20的随机整数，求这组数的极差、中位数、均值、方差及标准差； 2、对以上数据绘制样本频率分布直方图； 3、data1={1, 3, 4, 5, 3.5, 3}, data2={3, 2, 5, 3}，在同一图表中绘制data1和data2的条形图，并作一定的修饰。 五、操作提示 1、取50个在1到20的随机整数，求这组数的极差、中位数、均值、方差及标准差； In[1]:=<

考研试题分析十(重积分的应用)

考研试题分析十（重积分的应用） 例1.(1989年高数一) 设半径为R 的球面的球心在定球面上,问当R 取何值时,球面在定球面内部的那部分面积最大? Σ)0(2222>=++a a z y x Σ[答案]a R 3 4=. [分析] 球面在定球面内部的那部分面积属于曲面面积。欲求空间曲面面积， 必须建立曲面方程， 并且明确曲面在坐标面上的投影区域。球面Σ在定球面内部的那部分可视为球面Σ0),,(=z y x F Σ与定球面相交而成，因此明确所求曲面在xoy 坐标面上的投影区域，必须考察球面Σ与定球面的交线。 [解答] 设球面方程为：两球面的交线在xoy 面上的投影为Σ.)(2222R a z y x =?++?????=?=+0 )4(42222 22z R a a R y x 设投影曲线所围平面区域为，球面xy D Σ在定球面内部的那部分方程为： 222y x R a z ???=，这部分的面积为 ∫∫∫∫∫∫??=??=++= 224202*********)(R a a R D D y x dr r R rR d dxdy y x R R dxdy z z R S xy xy πθ )20(,23 2a R a R R <0） ，求球体的重心。 0P 0P [答案] 重心为)4 ,0,0(R 。

不定积分例题及参考答案

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?

思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?

Mathematica线性代数运算命令与例题

第五章 线性代数运算命令与例题 线性代数中常用的工具是矩阵(向量)和行列式。用这些工具可以表示工程技术，经济工 作中一些需要用若干个数量从整体上反映其数量关系的问题。用这些工具可以简明凝练而准 确地把所要研究的问题描述出来，以提高研究的效率。在线性代数课程中我们看到了用这些 工具研究齐次和非齐次线性方程组解的理论和解的结构，矩阵的对角化，二次型化标准形等 问题的有力，便捷. 5.1向量与矩阵的定义 数学上矩阵是这样定义的: 由n m ?个数排成m 行n 列的数表 mn m m n n a a a a a a a a a 21222 21 11211 称为m 行n 列矩阵，特别，当m=1时就是线性代数中的向量。 记作: ????????????=mn m m n n a a a a a a a a a A 21 2222111211 两个n m ?矩阵称为同型矩阵。 线性代数中的运算对象是向量和矩阵，因此首先介绍向量和矩阵的输入。 5.1.1输入一个矩阵 命令形式1:Table[f[i,j]，{i ，m}，{j ，n}] 功能: 输入n m ?矩阵，其中f 是关于i 和j 的函数，给出[i ， j]项的值. 命令形式2:直接用表的形式来输入 功能:用于矩阵元素表达式规律不易找到的矩阵的输入。 注意: 1.Mathematica 是采用一个二重表的形式来表示矩阵的，即用 {{…},{…},…,{…}} 其中表中的每个表元素都是等长的一维表，第一个表元素是矩阵的第一行，第二个表元素是 矩阵的第二行，一般，第n 个表元素是矩阵的第n 行。要看通常的矩阵形式可以用命令: MatrixForm[%] 2. 对应上述命令形式，输入一个向量的命令为 Table[f[j]，{j,n}]或直接输入一个一维表{a1,a2,…,an}，这里a1,a2,…,an 是数或字母。

重积分及其应用

重积分及其应用： ?????? ?????????????? ????++-=++=++==>=== = == ? ?? ? ????+??? ????+===' D z D y D x z y x D y D x D D y D x D D D a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M M y d y x d y x x M M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2 3 22 2 2 3 22 2 2 3 22 2 22D 2 2 ) (),() (),() (),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ ρσ ρσ ρσρσρσ ρσ ρσ ρσ ρθ θθ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面 柱面坐标和球面坐标： ????????????????????????????????????Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω ΩΩ+=+=+==== = = ===???=?? ???=====??? ??===dv y x I dv z x I dv z y I dv x M dv z M z dv y M y dv x M x dr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z z r y r x z y x r ρρρρρρρ?θ?? θθ??θ?θ ??θ???θ?θ?θθθθθθθπ πθ?)()()(1,1,1sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin ) ,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220 ) ,(0 2 2 2 ， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中： 柱面坐标： 曲线积分： ?? ?==<'+'=≤≤? ? ?==? ?)()()()()](),([),(),(,)()(),(22t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L ?βαψ?ψ?βαψ?β α 特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）： 第一类曲线积分（对弧

Mathematica使用教程

【Mathematica 简介】 Mathematica 软件是由沃尔夫勒姆研究公司（Wolfram Research Inc.）研发的。Mathematica 版发布于1988年6月23日。发布之后，在科学、技术、媒体等领域引起了一片轰动，被认为是一个革命性的进步。几个月后，Mathematica 就在世界各地拥有了成千上万的用户。今天，Mathematica 已经在世界各地拥有了数以百万计的忠实用户。 Mathematica 已经被工业和教育领域被广泛地采用。实际上，Mathematica 负责将高级的数学和计算引入了传统上非技术的领域，极大的增加了科技软件的市场。一个包含应用、咨询、书籍、和课程软件的行业支持着国际化的 Mathematica 用户群，这个行业还在不断地膨胀。随着沃尔夫勒姆研究公司不断地扩大和 Mathematica 的使用被不断地扩展到不同的领域，将会看到 Mathematica 在全世界范围内对未来产品、重要研究发现、和教学的巨大影响。 数学软件是现在科研工作者的必备的工具，个人比较喜欢用Mathematica，因为它是最接近数学语言的。Mathematica 在15日发布，其最显著的变化是允许自由形式的英文输入，而不再需要严格按照Mathematica语法，这类似于Wolfram|Alpha搜索引擎。Mathematica 8允许用户按照自己习惯的思考过程输入方程式或问题，最令人激动的部分是软件不是逐行执行命令，而是能理解上下文背景。 1. Enter your queries in plain English using new free-form linguistic input 2. Access more than 10 trillion sets of curated, up-to-date, and ready-to-use data 3. Import all your data using a wider array of import/export formats 4. Use the broadest statistics and data visualization capabilities on the market 5. Choose from a full suite of engineering tools, such as wavelets and control systems 6. Use more powerful image processing and analysis capabilities 7. Create interactive tools for rapid exploration of your ideas 8. Develop faster and more powerful applications Wolfram Research 的 CEO 和创立者斯蒂芬·沃尔夫勒姆表示：“传统上，让计算机执行任务必须使用计算机语言或者使用点击式界面：前者要求用户掌握它的语法；而后者则限制了可访问函数的范围。”“自由格式语言学能够理解人类的语言，并将其转化为具有特定语法结构的语言。这是产品适用性上的一个突破。 Mathematica 8 是这种创新思想下的第一个产品，但是它已经能够大幅度提高用户的工作效率。” Mathematica简明教程 第1章Mathematica概述 运行和启动：介绍如何启动Mathematica软件，如何输入并运行命令

Mathematica入门教程含习题与答案

Mathematica入门教程 第1篇 第1章MATHEMATICA概述 (3) 1.1 M ATHEMATICA的启动与运行 (3) 1.2 表达式的输入 (4) 1.3 M ATHEMATICA的联机帮助系统 (6) 第2章MATHEMATICA的基本量 (8) 2.1 数据类型和常数 (8) 2.2 变量 (10) 2.3 函数 (11) 2.4 表 (14) 2.5 表达式 (17) 2.6 常用的符号 (19) 2.7 练习题 (19) 第2篇 第3章微积分的基本操作 (20) 3.1 极限 (20) 3.2 微分 (20) 3.3 计算积分 (22) 3.4 无穷级数 (24) 3.5 练习题 (24) 第4章微分方程的求解 (26) 4.1 微分方程解 (26) 4.2 微分方程的数值解 (26) 4.3 练习题 (27) 第3篇 第5章MATHEMATICA的基本运算 (28) 5.1 多项式的表示形式 (28) 5.2 方程及其根的表示 (29) 5.3 求和与求积 (32) 5.4 练习题 (33) 第6章函数作图 (35) 6.1 基本的二维图形 (35) 6.2 二维图形元素 (40) 6.3 基本三维图形 (42) 6.4 练习题 (46)

第4篇 第7章MATHEMATICA函数大全 (48) 7.1 运算符和一些特殊符号，系统常数 (48) 7.2 代数计算 (49) 7.3 解方程 (50) 7.4 微积分 (50) 7.5 多项式函数 (51) 7.6 随机函数 (52) 7.7 数值函数 (52) 7.8 表相关函数 (53) 7.9 绘图函数 (54) 7.10 流程控制 (57) 第8章MATHEMATICA程序设计 (59) 8.1 模块和块中的变量 (59) 8.2 条件结构 (61) 8.3 循环结构 (63) 8.4 流程控制 (65) 8.5 练习题 (67) --------------习题与答案在68页-------------------

重积分的应用word版

第四节 重积分的应用 1 求半径为a 的球的表面积。 解 取上半球面方程为z=222y x a --，则它在x0y 面上的投影区域D=(){}222,a y x y x ≤+。 由 x z ??=222y x a x --- , x z ??=222y x a y --- 得 2 2 1??? ? ????+??? ????+y z x z = 2 2 2 y x a a --- 因为这函数在闭区域D 上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。所以先取区域D 1=(){}222,b y x y x ≤+(0

6400km ） 解 取低心为坐标原点，低心到通讯卫星中心的连线为z 轴，建立坐标系，如图9-40所示。 通讯卫星覆盖的曲面∑是上半球面被半顶角为a 的圆锥面所截得的部分。 的方程为 ????--=? ??? ????+??? ????+=xy D Dxy dxdy yy x R R dxdy y z x z A 2222 2 1 其中∑是曲面在xOy 面上的投影区域，(){}α2222sin ,R y x y x D xy ≤+= 利用极坐标 得 () απρ ρ ρ πρρρ θπ α α cos 122220sin 0 sin 0 2 2 2 2 -=-=-=?? ? R d R R d R R d A R R 由于h R R += αcos ，代入上式 得 h R h R h R R R A +? =??? ? ?+- =2 2212ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 ()()5.42104.63621036246 6 2≈?+?=+=h R h R A π% 又以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔π3 2 角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面。 3．求位于两圆θρsin 2=和θρsin 4=之间的均匀薄片的质心（图9-41） 解 因为闭区域D 对称于y 轴，所以质心C ()y x ,必位于y 轴上，于是

mathematica数学实验报告

高等数学实验报告 实验一 一、实验题目 1：作出各种标准二次曲面的图形 ParametricPlot3D Sin u Sin v,Sin u Cos v,Cos u ,u,0,Pi ,v,0,2Pi,P Graphics3D ParametricPlot3D u Sin v,u Cos v,u^2,u,0,2,v,0,2Pi,PlotPoints30

Graphics3D ParametricPlot3D u,v,u^2v^2,u,2,2,v,2,2,PlotPoints30 Graphics3D ParametricPlot3D Sec u Sin v,Sec u Cos v,Tan u,u,Pi4,Pi4,v,0,2

Graphics3D t1ParametricPlot3D u^21Sin v,u^21Cos v,u,u,1,5,v,0,2Pi t2ParametricPlot3D u^21Sin v,u^21Cos v,u,u,5,1,v,0,2 show t1,t2 Graphics3D

Graphics3D show Graphics3D,Graphics3D ParametricPlot3D u Cos v,u Sin v,u,u,6,6,v,0,2Pi,PlotPoints60 Graphics3D 2：作出曲面所围的图形 t1ParametricPlot3D Sin u Sin v,Sin u Cos v,Cos u, u,Pi2,pi2,v,0,2Pi,PlotPoints60 t2ParametricPlot3D0.5Cos u12,0.5Sin u, u,0,2Pi,v,0,2Pi,PlotPoints60 t3Plot3D0,PlotPoints60 show t1,t2,t3

重积分的应用

重积分的应用

为了研究重积分的应用，以及重积分在学习生活中的应用，运用重积分的基本概念和应用解决问题. 通过探索重积分在各个领域中的应用,提高解题的效率,改进用基本方法解重积分问题的思想,和处理重积分在各个领域的应用能力．结果表明,重积分的应用非常广泛,不仅在数学的相关领域有重要的应用,而且在实际问题中也发挥着重要作用．由于重积分的重要地位,进而对重积分及其应用进行更深层次的研究和探讨是十分必要的． 关键词: 重积分；转动惯量；不等式 Abstract In order to research the applications of multiple integral，and the applications in learning and life，use the concept and application to solve the problem．Through exploring the various methods of multiple integral in various areas of application, improve the efficiency of the problem solving, improve the basic ways to solve problems with the thought of multiple integral, and processing multiple integral application in all fields ability. The results show that the application of multiple integral is very wide, not only in the related fields of mathematics has an important application, but in the actual problem also plays a role． Because of the important role of the multiple integral, and multiple integral and its application in a better research and discussion is very necessary． Keywords: multiple integral; moment of inertia; inequality 引言 重积分在数学中是一个知识独特、应用广泛的重要内容,是近代数学的 重要基础,是高等数学最基本的内容,也是高等院校其它专业知识联系紧密的部分,它的引入为解决数学中的问题提供了新的视野．

Mathematica语言

附录Mathematica 软件简介 Mathematica是一个功能强大的数学软件.它集数值计算、符号运算,绘图功能于一身,堪称众多数学软件中的佼佼者.加之其语法规则简单,操作使用方便,深受广大科技工作者的喜爱,得到广泛的使用. 数学函数和常数 Mathematica提供了大量的数学函数，给运算带来很大方便． 下面列出一些常用的函数． 注：Mithematica提供的函数，其名称中的字母大小写是固定的（特别开头字母均为大写），不得误用；函数的自变量以方括号[ ]括起来． Mathemaica还提供了许多数学常数，下面列出了一些常数（均以大写字母开头）．Pi -------------------π; E---------------------e ; Infinity--------------∞ I----------------------1 函数和常数均可参与运算，下面是一些运算的例子．

In[ l]：＝Pi^2 Out[ 1]＝π2 In[2]：＝N[ Pi,11] Out[2]＝3.1415626535 In[3]：＝Log[E^8] Out[3]＝8 In[4]：＝Sin[Sqrt[％1]/6] Out[4]=1/2 用户不仅可以使用Mathemaica提供的函数和常数，还可以自定义函数和常数．方法如下： 形式功能 f[x_]:= expr-------------定义函数f f[x_,y_]:=exp r-----------定义多变量的函数f ？f------------------------显示函数的定义 Clear[f]-----------------清除f的定义 x＝value-------------给变量x赋值 x＝．清除变量x的值 注：定义函数时，在等式左端的方括号中的变量必须跟随下到线符号“＿”；定义的函数或变量的名称不要使用大写字母开头，以免和Mathemaica的函数或常数混淆．例： In[1]：＝f[x_]:=x^5；f[x_,y_]:=Sqrt[x^2+y^2］；z＝3； 其中输入语句后的分号“；”表示不显示输出结果，定义了函数、变量以后，便可以在运算中使用． In[4]：＝f[2] Out[4]=32 In[5]：＝f[1+b] Out[5]=(1+b)2 In[6]：＝g[z,4] Out[6]=5 如果忘记了已定义的函数的容，可以使用？f查询f的定义．当函数或变量使用完以后，最好将其清除，以免带来麻烦． 3．符号运算 符号运算即代数式的运算．它是Mathemaica的重要功能．下面简介符号运算的主要功能． （1）符号赋值 Mathemaica不仅可以把一个常值赋给一个符号，还可以把一个表达式赋给一个符

数学文化复习题201305

复习题 1、数学科学按其内容可分成五个大学科： 1）纯粹（基础）数学（Pure mathematics） 2）应用数学（Applied mathematics） 3）计算数学（Computational mathematics） 4）运筹与控制（Operational research and control） 5）概率论与数理统计（Probability theory and mathematical statistics） 1+、数学进展的大致情况：两千多年来，数学的发展大体可以分为三个阶段：17世纪以前是数学发展的初级阶段（初等数学阶段），其内容主要是常量数学，如初等几何、初等代数；从文艺复兴时期开始，数学发展进入第二个阶段，即变量数学阶段，产生了微积分、解析几何、高等代数；从19世纪开始，数学获得了巨大的发展，形成了近代数学阶段，产生了实变函数、泛函分析、非欧几何、拓扑学、近世代数、计算数学、数理逻辑等新的数学分支． 2、代数之父是亚力山大后期的丢番图，代表作《算术》. 16世纪末，法国数学家韦达，开创了符号数学的先河,其代表作为《分析引论》。現在我们所用的加号“＋”及减号“－”就是他所创用的。 1859年，李善兰和英国传教士伟烈亚力合译英国数学家狄摩根的代数著作Elements of algebra 時，首次把“algebra”翻译为“代数”。 3、公理化方法 非欧几何的出现，使数学家注意到古希腊把公理当作自明的真理的局限性。分析的算术化研究不断深入，逐渐形成了科学的公理化方法。 构造一个公理体系并不容易，要求满足以下条件： ?相容性：即由公理导出的定理，没有哪两个是相互矛盾的； ?完备性：即理论系统中的定理都可以从公理导出，也就是公理组有最少个数，不能有多余的； ?独立性：即由公理导出的定理中中没有一个是另一个的逻辑结果。 3+、演绎法（公理化方法）的基本构件：定义、公理和定理。 3++、公理化方法的例子：欧几里德《几何原本》. 4、归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。 归纳法的特点：1）立足于观察和实验; ；2）结论具有猜测的性质；3）结论超越了前提所包括的内容。 数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题， 如果（1）P(n)当n=1时成立；（2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。 那么P(n)对任意自然数n都成立。 这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。

mathematica 数学实验报告 实验一

数学实验报告 实 验 一 数学与统计学院 信息与计算科学(1)班 郝玉霞 0107

数学实验一 一、实验名：微积分基础 二、实验目的：学习使用Mathematica的一些基本功能来验证或观察得出微积分学的几个基本理论。 三、实验环境：学校机房，工具：计算机,软件：Mathematica。 四、实验的基本理论和方法：利用Mathematica作图来验证高中数学知识与大学数学内容。 五、实验的内容和步骤及结果 内容一、验证定积分 dt t s x ?= 1 1 与自然对数 x b ln= 是相等的。 步骤1、作积分 dt t s x ?= 1 1 的图象； 语句：S[x_]:=NIntegrate[1/t,{t,1,x}] Plot[S[x],{x,,10}] 实验结果如下： 图1 dt t s x ?= 1 1 的图象 步骤2、作自然对数 x b ln= 的图象 语句：Plot[Log[x],{x,,10}]实验结果如下： 图2 x b ln= 的图象 步骤3、在同一坐标系下作以上两函数的图象语句：Plot[{Log[x],S[x]},{x,,10}] 实验结果如下： 图3 dt t s x ?= 1 1 和 x b ln= 的图象

内容二、观察级数与无穷乘积的一些基本规律。 （1）在同一坐标系里作出函数和它的Taylor展开式的前几项构成的多项式函数，，的图象，观察这些多项式函数的图象向的图像逼近的情况。 语句1： s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,2]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,0,1]}] 实验结果如下： 图4和它的二阶Taylor展开式的图象 语句2： s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,3]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,1,1]}] 实验结果如下： 图5和它的三阶Taylor展开式的图象 语句3： s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,4]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,1,0]}] 实验结果如下： 图6和它的四阶Taylor展开式的图象 语句4： s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,5]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[1,0,0]}] 实验结果如下： 图7和它的五阶Taylor展开式的图象 语句5： s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,2],s[x,3],s[x,4],s[x,5] },{x,-2Pi,2Pi}] 实验结果如下： 图8 和它的二、三、四、五阶Taylor展开式的图象 （2）分别取n=10，20，100，画出函数在区间[-3π，3π]上的图像，当n→∞时，这个函数趋向于什么函数 语句1： f[x_,n_]:=Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}] Plot[f[x,10],{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,0,1]}]

[整理]三重积分的计算方法小结与例题76202

三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲

Mathematica简介

Mathematica简介 §1 引言 Mathematica软件是一个功能强大的数学软件。 利用Mathematica软件可以完成许多数值计算与符号演算的工作。它可以做任意位精确度 的数值计算，可以做有理式的各种演算，可以求有理式与超越方程的精确解，可以做一般表 达式的向量与矩阵的各种运算，可以求一般表达式的极限`导数`积分以及幂级数展开，可以求 解微分方程等等。 利用Mathematica软件可以非常方便地绘制图形。它可以做出一元和二元的散点图等等。 Mathematica软件的命令系统本身构成了一种功能强大的程序设计语言，用这种语言可以 比较方便地定义用户需要的各种函数和程序包，系统本身也提供了许多应用程序包。 §2 Mathematica 软件的基本命令 双击Mathematica软件的图标即可启动Mathematica软件。 在命令窗口中输入命令，如Sin[Pi/2],然后同时按下Shife与Enter键即可执行相应的命令。 在输入的命令前出现提示符“In[1]:=”，其中“In”表示“输入”，数字“1”表示输入命令的序号；在运行结果之前会自动出现提示符“Out[1]=”，其中“Out”表示“输出”。 2．1 算术运算 Mathematica软件的算术运算是指加减乘除及乘方`开方运算。 例1In[1]:= 3*(5-2)+4^(6-3)/2 Out[1]= 41 在Mathematica软件中，乘法用“*”或“”（空格）表示，除法用“/”表示，乘法用“^” 表示。 例2In[2]:= 3^(1/3) Out[2]= 31/3 In[3]:= 1/3+2/5 11 Out[3]= 15 在Mathematica软件中，若输入的数据是精确的，计算结果保留精确数字。若要计算近似值，可用下面的命令： 例3 In[4]:= N[3^(1/3)] Out[4]= 1.44225 函数N[x]表示x的近似值。 若采用浮点数输入，则计算结果为近似值，见例4。 例4In[5]:= 1./3+2/5 Out[5]= 0.733333 例5In[6]:= 2^100 （*计算2的100次方的精确值*）

§9 用Mathematica求曲线积分与曲面积分练习解答

§7 用Mathematica 求曲线积分与曲面积分练习解答 1. 计算曲线积分ds xyz C ?，其中C 是)10(2 1,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段。 解 In[1]:= x[t_]:=t; y[t_]:=2Sqrt[2t^3]/3; z[t_]:=t^2/2; dx=D[x[t],t]; dy=D[y[t],t]; dz=D[z[t],t]; ds=Sqrt[dx^2+dy^2+dz^2]; Integrate[x[t]*y[t]*z[t]*ds,{t,0,1}] Out[1]= 143 216 2. 计算曲线积分?++C zdz ydy xdx ，其中C 是从（1,1,1）到（2.3.4）的直线段。 解 In[1]:= x[t_]:=t+1; y[t_]:=2t+1; z[t_]:=3t+1; dx=D[x[t],t]; dy=D[y[t],t]; dz=D[z[t],t]; Integrate[x[t]*dx+y[t]*dy+z[t]*dz,{t,0,1}] Out[1]=13 3. 计算??S zdS ,其中S 为旋转抛物面4 122≤ +=z y x z 在的部分。 解 In[1]:= ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],u^2},{u,-1,2},{v,-Pi,Pi}, AxesLabel->{“x ”,”y ”,”z ”}]

Out[1]:= -Graphics- In[2]:=ParametricPlot[{Sin[t]/2,Cos[t]/2},{t,0,2Pi}, AxesLabel->{“x ”,”y ”,”z ”}, AspectRatio->Automatic] Out[2]= -Graphics- In[3]:= z[x_,y_]=x^2+y^2; dzx=D[z[x,y],x]; dzy=D[z[x,y],y]; sxy=z[x,y]*Sqrt[1+dzx^2+dzy^2]/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]}; Integrate[sxy*r,{t,0,2Pi},{r,0,1/2}] Out[3]= π)21(601 +