线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习
第一章 行列式
一、单项选择题
1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).
(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351
2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)
k n -2
! (D)k n n --2)1(
3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.
(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n
4．
=0
00100100
1001
000( ).
(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
5.
=0
00110000
0100
100( ).
(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
6．在函数1
3232
111
12)(x x x
x
x f ----=
中3x 项的系数是( ).
(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2
1
33
32
31
232221
131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32
3133
31
2221232112
111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若
a a a a a =22
2112
11，则
=21
11
2212ka a ka a ( ).
(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-
9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为
x ,1,5,2-, 则=x ( ).
(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2
10. 若5
7341111
1
326
3
478
----=
D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0
11. 若2
23
5
001
01
11
10
403
--=
D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0
12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组???
??=++=++=++0
00321
321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.
( )
(A)1- (B)2- (C)3- (D)0
二、填空题
1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.
2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.
3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是
.
4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于
.
5. 行列式
=
10011101
0100
111.
6．行列式
=-0
0010000
200
0010
n n .
7．行列式
=--0
01)
1(2211)
1(111
n n n n a a a a a a .
8．如果M a a a a a a a a a D ==3332
31232221
13
1211
，则=---=32
32
3331
2222232112121311
133333 3a a a a a a a a a a a a D .
9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为
.
10．行列式
=
--+---+---11
1
1
111111111111x x x x .
11．n 阶行列式
=+++λ
λλ
11
11
11111
.
12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为
.
13．设行列式5
67812348
7654
321=
D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，
则=
+++44434241234A A A A .
14．已知d
b c a c
c a b b a b c a c
b a D =
， D 中第四列元的代数余子式的和为.
15．设行列式62
21176514
4334
321-==
D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则
=+4241A A ，=
+4443A A .
16．已知行列式n
n D
0010301
021
12531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为
.
17．齐次线性方程组???
??=+-=+=++0
0202321
2
1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.
18．若齐次线性方程组???
?
?=+--=+=++0
230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.
三、计算题
1.
c
b a d b a d
c a
d c b d
c
b
a
d c b a d c b a
++++++++3
3
3
3
2222; 2．y
x
y
x x y x y y x y x +++；
3．解方程00
110
111011
1
0=x x x
x ； 4．1
111
11
32
1321221221
221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a x
a a a a x
；
5. n
a a a a 1
11111
1
11111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. b
n b b ----)1(11
11
21111131111
7. n a b b b a a b b a a a b 3
21222
111111111； 8．x
a a a a x a a a a x a a a a x n n
n
3
2
1212121;
9.
2
21
22
21212
121111n
n n n
n
x x x x x x x x x x x x x x x +++
; 10. 2
100012000002100
1
2
1
00012
11．a
a a a
a a a a a
D ---------=110
11000110
0011
0001.
四、证明题
1．设1=abcd ，证明：
01
111111111112
22
22
222=++++
d
d
d
d c c c c b b b b a a a a .
2．3
3
3
222
11123
333322
22211
111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x
b a -=++++++.
3．))()()()()()((1111
4
4
4
4
2222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.
4．
∏∑≤<≤=----=n
j i i j
n
i i
n
n
n n
n n
n n n
n
a a
a a a a a a a a a a a a a 11
2
122221222
212
1)(111
.
5．设c b a ,,两两不等，证明01
1
1
3
33=c b a c b
a 的充要条件是0=++c
b a .
参考答案
一．单项选择题
A D A C C D A
B
C
D B B 二．填空题
1.n ;
2.”“-;
3.43312214a a a a ;
4.0;
5.0;
6.!)1(1n n --;
7.1)1(212
)1()
1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;
13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)1
1(!1∑=-n
k k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k
三．计算题
1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.
∏-=-1
1
)(n k k
a
x
5.
)1
1
1()1(00
∑
∏==-+-n
k k n
k k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;
7. ∏=--n
k k k
n
a b
1
)()
1(; 8. ∏∑==-+n
k k n
k k a x a x 1
1
)()(;
9. ∑=+n
k k x 1
1; 10. 1+n ;
11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)
第二章 矩阵
一、单项选择题
1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。 (a)
2
2A
A =(b)
)
)((22B A B A B A +-=- (c)
AB A A B A -=-2)(
(d)T T T B A AB =)( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( )时，B=C 。
(a) AB =BA (b) 0≠A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=kA ( )。 (a) A k (b)
A k (c) A k n (d)
A k n
4.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则( )。
(a) A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合
(c) A 中至少有一行元素全为零 (d) A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A ，B 为n 阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。 (a) 111)(---+=+B A B A (b) B A AB T =)(
(c) B A B A T +=+--11)( (d) 111)(---+=+B A B A 6.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则( )。 (a) (a) 1*-=A A (b) A A =* (c) 1
*+=n A
A (d) 1
*-=n A
A
7. 设A 为3阶方阵,行列式1=A ,*A 为A 的伴随矩阵,则行列式
=--*12)2(A A ( )。 (a) 827-
(b) 278- (c) 827 (d) 27
8
8. 设A ，B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是( )。
(a) B A = (b) B A -= (c) B A = (d) 2
2
B A = 9. 设A ，B 均为n 阶方矩阵,则必有( )。
(a) B A B A +=+ (b) BA AB = (c) BA AB = (d) 2
2
B A = 10.设A 为n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ）。 （a ）T A A 22= (b) 112)2(--=A A
(c) 111])[(])[(---=T T T A A (d) T T T T A A ])[(])[(11--=
11.如果???
?
?
??---=?????
??3332
31
232221
331332
1231
113332
31
232221
131211
333a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A ，则=A （ ）。 （a ）????? ??-103010001 (b) ????? ??-100010301 (c) ????? ??-101010300 (d) ?????
??-130010001 12.已知???
?
?
??=113022131A ，则（ ）。
（a ）A A T = (b) *1A A =-
（c ）????? ??=????? ??113202311010100001A （d ）???
?
? ??=????? ??113202311010100001A
13.设I C B A ,,,为同阶方阵，I 为单位矩阵，若I ABC =，则（ ）。
（a ）I ACB = （b ）I CAB = （c ）I CBA = （d ）I BAC = 14.设A 为n 阶方阵，且0||≠A ，则（ ）。 （a ）A 经列初等变换可变为单位阵I
（b ）由BA AX =，可得B X =
（c ）当)|(I A 经有限次初等变换变为)|(B I 时，有B A =-1
（d ）以上（a ）、（b ）、（c ）都不对 15.设A 为n m ?阶矩阵，秩n m r A <<=)(，则（ ）。
（a ）A 中r 阶子式不全为零 （b ）A 中阶数小于r 的子式全为零
（c ）A 经行初等变换可化为???
? ??00
0r I （d ）A 为满秩矩阵 16.设A 为n m ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，AC B =，则( )。 (a)秩(A )> 秩(B ) (b) 秩(A )= 秩(B )
(c) 秩(A )< 秩(B ) (d) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 17.A ，B 为n 阶非零矩阵，且0=AB ，则秩(A )和秩(B )( )。
(a)有一个等于零 (b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n ，一个等于n
18.n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是( )。
(a)n r A r <=)( (b) A 的列秩为n
(c) A 的每一个行向量都是非零向量 (d)伴随矩阵存在 19.n 阶矩阵A 可逆的充要条件是( )。 (a) A 的每个行向量都是非零向量 (b) A 中任意两个行向量都不成比例
(c) A 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示
(d)对任何n 维非零向量X ，均有0≠AX
二、填空题
1.设A 为n 阶方阵,I 为n 阶单位阵,且I A =2,则行列式=A _______
2.行列式=---0
00
c b c a b
a
_______
3.设2???
?? ??=100020101A ，则行列式)9()3(21I A I A -+-的值为_______
4.设????
?
?
?
?-
=212
32321A ，且已知I A =6，则行列式=11A _______ 5.设A 为5阶方阵，*A 是其伴随矩阵，且3=A ，则=*A _______ 6.设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为_______
7.非零矩阵??
?
?
?
?
?
??n n n n n n b a b a b a b a b a b
a b a b a b a 212221
212111的秩为________
8.设A 为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X ，均有0≠AX ，则A 的秩
为_______
9.若)(ij a A =为15阶矩阵，则A A T 的第4行第8列的元素是_______
10.若方阵A
与I 4相似，则=A _______ 11.=?
???
??
??+∞→K K K K
K K 3111221
lim _______ 12.=?
????
?
?
?
??--∞→n
n 410013
1
212
1
lim _______ 三、计算题
1.解下列矩阵方程(X 为未知矩阵).
1) 223221103212102X ???? ? ?-= ? ? ? ?--???? ； 2) 0101320100211100110X ????
?? ? ?
=- ? ? ?
-?? ? ????? ； 3) 1()T T X I B C B I --=,其中310404422B ?? ?= ? ??? ； 101212121C ??
?
= ?
??? ； 4) 2AX A X I =+-,其中101020101A ??
?
= ? ???；
5) 2AX A X =+,其中423110123A ??
?
= ?
?-??；
2.设A 为n 阶对称阵,且20A =,求A .
3.已知110021101A -?? ?
= ? ?-??
,求21(2)(4)A I A I -+-.
4.设11201A ??= ???,23423A ??= ???,30000A ??= ???,41201A ??
= ?
??
,求1234A A A A ??
???
.
5.设112224336A ?? ?
= ? ???
,求一秩为2的方阵B ,使0AB =.
6.设211011101,121110110A B ???? ? ?
== ? ? ? ?????
,求非奇异矩阵C ,使T A C BC =.
7.求非奇异矩阵P ,使1P AP -为对角阵.
1) 2112A ??= ??? 2) 112131201A -??
?
=-- ?
?
--??
8.已知三阶方阵A 的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为(0,0,1),(1,1,0),(2,1,1)T T T --,求矩阵A .
9.设532644445A -??
?=- ?
?-??
,求100
A .
四、证明题
1. 设A 、B 均为n 阶非奇异阵,求证AB 可逆.
2. 设0k A =(k 为整数), 求证I A -可逆.
3.设12.,
,k a a a 为实数,且如果0k a ≠,如果方阵A 满足1110k k k k A a A a A a I --++
++=,求证A 是非奇异阵.
4. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA .
5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.
6. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.
7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.
8. 证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.
9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.
10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。
第二章参考答案
一：1. a ；2. b ；3.c ；4.d ；5.b ；6.d ；7.a ；8.d ；9.c ；10.d ；11.b ；12.c ；13.b ；14.a ；15.a ；16.b ；17.c ；18.b ；19.d.
二．1. 1或-1；2. 0；3. -4；4. 1；5. 81；6. 0；7. 1；8. 100；9. i815
1i i4a a ∑=?；
10. I ；12. 0；11. ???
?
??0020.
三、1.1）、?????
?
?---0162
130
10；2）、?
??
?
??
?
??-0
2
132121
；3）、????? ??-----461351341；4）、?????
??201030102； 5）、????? ??------9122692683. 2. 0；3. ????? ??---010131130
；4.??????
? ??---10002100121001
21； 5.????? ??---001111113不唯一；6.????? ??100001010；7. 1）、????
??-1111. 2)、????? ??--221112311；
8.????? ??---111001023
；9.????
? ??-------+----+13231213213232244322133221223100100100100100100100100100100100100100）（）（）（）（）（）（）（.
第三章 向量
一、单项选择题
1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式
m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式
)(
21321=+ββααα
n m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(
2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（ ）。
成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (
3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，则在A 的n 个行向量中（ ）。
个行向量线性无关
必有r a )(
个行向量线性无关任意r )b (
性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(
个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (
4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）
n r A r a <=)()( n A b 的列秩为)(
零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d
5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( )
)(a s ααα,,,21 都不是零向量
)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关
6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( )
)(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量 s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例
s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示
7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( )
s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关
s c ααα,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关
8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ,则( )
s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关
9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( )
)(a 若02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性相关 )(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关
)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211=++s s k k k ααα
)(d 若000021=++s ααα ,则s ααα,,,21 线性无关
10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ ）
14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关
11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示，则（ ）
)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211
)(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一
12. 下列说法正确的是（ ）
)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=++s s k k k ααα ，则
s ααα,,,21 线性无关
)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211≠++s s k k k ααα ，则
s ααα,,,21 线性无关
)(c 若s ααα,,,21 线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关
13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α，T )0,1,0(2=α的线性组合，则β=（ ）
T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)((
14. 设有向量组()T
4,2,1,11-=α，()T
2,1,3,02=α，
()T 14,7,0,33=α，()T
0,2,2,14-=α，()T 10,5,1,25=α，则该
向量组的极大线性无关组为（ ）
321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd
15. 设T a a a ),,(321=α，T b b b ),,(321=β，T a a ),(211=α，T b b ),(211=β，下列正确的是（ ）
;
,,)(11也线性相关线性相关，则若βαβαa
也线性无关；线性无关，则若11,,)(βαβαb 也线性相关；线性相关，则若βαβα,,)(11c
以上都不对)(d
二、填空题
1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=▁▁▁▁。
2. n 维零向量一定线性▁▁▁▁关。
3. 向量α线性无关的充要条件是▁▁▁▁。
4. 若321,,ααα线性相关，则s ααα,,,21 )3(>s 线性▁▁▁▁关。
5. n 维单位向量组一定线性▁▁▁▁。
6. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r,则 s ααα,,,21 中任意r 个▁▁▁▁的向量都是它的极大线性无关组。
7. 设向量T )1,0,1(1=α与T a ),1,1(2=α正交，则=a ▁▁▁▁。 8. 正交向量组一定线性▁▁▁▁。
9. 若向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价，则s ααα,,,21 的秩与
t βββ,,,21 的秩▁▁▁▁。
10. 若向量组s ααα,,,21 可由向量组t βββ,,,21 线性表示，则
),,,(21s r ααα ▁▁▁▁),,,(21t r βββ 。
11. 向量组()T
a 0,0,1,11=α，()T
a 0,1,1,22=α，()T
a 1,1,1,33=α的
线性关系是▁▁▁▁。
12. 设n 阶方阵(),,,,21n A ααα =321ααα+=,则=A ▁▁▁▁. 13. 设T y )2
1,,
0(1-
=α，T x )0,0,(2=α，若βα和是标准正交向量，则x
线性代数考试题库及答案(五)
线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似
二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。
线性代数模试题试题库(带答案)
第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+ 《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ， （3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号： 一．单项选择题 1. A 2. B 3．A 4． A 5. D 6. C 7．C 8．B 9..D 10．A 11．C 12．D 13．D 14．C 15．D 16．D 17．C 18．B 19．B 20．B 21．A 22．B 23．A 24．D 25．B 26． C 27．D 28．A 29．D 30．Ｂ 31．B 32．D 33．A 34．D 35．C 36． D 37．C 38．C 39．A 40．C 41．A 42． D 43．A 44．A 45． B 46．D 47．B 48．Ｂ 49．A 50．C 51．B 52．D 53．C 54．B 55．D 56．C 57．A 58．D 59．D 60．D 61．B 62．B 63．D 64．C 65．B 66．A 67．C 68．A 69．C 70．A 二．填空题 1．653010422-?? ? - ? ?--?? 2．0 3．0 4．125 5．4 6．9 7． ()()()y x z x z y --- 8．17 9．0 10．1 11． 1002011032?? ? ?- ? - ??? 12．()0,1,2T 13．3 14．2 15．0 16．3λ=- 17．-2 18．120220003?? ? ? ?-?? 19． 40 三、简答题 1．按行列式的定义，展开式的每项都是不同行不同列元素的乘积，所以具有3 x 的项只 有两项：3 443322115x a a a a -=；和3 2 1 43342211331x x x a a a a =--=)()(； 所以3 x 系数是：—2。 2．显然2121 2αααα-+,都是方程组的解。所以只要讨论它们线性无关。 任取两数21c c ,，使得02212211=-++)()(ααααc c 即 02221121=-++αα)()(c c c c ，因21αα,线性无关，所以 ?? ?=-=+.,0022 121c c c c ，而 ,031121≠-=-，所以021==c c 即2121 2αααα-+,线性无关，所以它们仍是这个方程组的基础解系。 3．按行列式的定义，展开式的每项都是不同行不同列元素的乘积，所以具有3 x 的项只 有两项：3 443322115x a a a a -=；和3 2 1 43342211331x x x a a a a =--=)()(； 所以3 x 系数是：—2。 4．显然2121 2αααα-+,都是方程组的解。所以只要讨论它们线性无关。 任取两数21c c ,，使得02212211=-++)()(ααααc c 即 02221121=-++αα)()(c c c c ，因21αα,线性无关，所以 ?? ?=-=+. , 0022121c c c c ，而 ,031121≠-=-，所以021==c c 即21212αααα-+,线性无关，所以它们仍是这个方程组的基础解系。 四．计算题 WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … … (A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。 线性代数考试练习题带答案 说明：本卷中，A -1 表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设行列式33 32 31 2322 21131211a a a a a a a a a =4，则行列式33 3231232221 13 1211 333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36 D.48 2.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1 CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -1 3.已知A 2 +A -E =0，则矩阵A -1 =（ ） A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E 4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ） A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关 C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示 D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0 第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。 4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c 线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ； 线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512312 123122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式. 线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?--- 线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。 《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件； 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 8线性代数练习题(带解题过程) ０ 线性代数试题 一 填空题 ◆1． 设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ； 【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推 你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意： 为什么是3 )1(- ◆2． 设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β， 如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘 １ 法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==， 切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定 是方阵！！ ◆3． 设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是 它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不 唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数） 是多少，通解是如何构造的。其次要知 道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性 《线性代数(经济数学2）》课程习 题集 西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有 习题 【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。 一、计算题1 1. 设三阶行列式为2 310211 01--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13． 2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式 125 34327641549916 573 4 1111 4--=D 3. 求解下列线性方程组： ???????=++++=++++=++++---11113221 12132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ΛΛΛΛΛΛ 其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i Λ=≠≠ 4. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组1231231 230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解？ 5. 问λ取何值时, 齐次线性方程组12312312 3(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=??+-+=??++-=?有非零解？ 二、计算题2 6. 计算61 4230 21510 3212 1----=D 的值。 7. 计算行列式5241 421 3183 2052 1------=D 的值。 8. 计算01111 0111 1011 110=D 的值。 9. 计算行列式199119921993 199419951996199719981999 的值。 10. 计算4124 1202 10520 0117的值。 11. 求满足下列等式的矩阵X 。 2114332X 311113---????-= ? ?----???? 线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线………………………………………………… 8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+《线性代数》习题集(含答案)
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