立体几何复习

立体几何复习

1．已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )

A ．长方体

B ．圆柱

C ．四棱锥

D ．四棱台

2．某几何体的三视图如图所示，俯视图是边长为4的正三角形，则此几何体的表面积为（ ）

A. 24+

B.

C. 12+

D. 24+

3．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ）

A ．π12 B. π45 C. π57 D. π81

4．如图，在三棱锥S ABC -中，SA SC AB BC ===，则直线SB

与AC 所成角的大小是（ ）

(A)30o (B)45o (C)60o (D)90o 5．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为

A 、280

B 、

292

C 、360 D

、372 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

( ) (A)π34 (B)2 (C)π38 (D)π310 7．三角形ABC 中， 90,3,1B AB BC ∠=== ，以边AB 所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A. π B. 2π C. 3π .D. 3π 8．如下图右，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（ ） A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1角为60° 9．如图，在正方体ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱,BC C D 的中点，则EF 与平面BB 1D 1D 的位 俯视图 2

A 、//EF 平面11B

B D D

B 、EF 与平面11BB D D 相交

C 、EF 在平面11BB

D D 内

D 、EF 与平面11BB D D 的位置关系无法判断

10．（理科）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )

A 、直线AC

B 、直线A 1A

C 、直线A 1

D 1 D 、直线B 1D 1 11．设γβα,,是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题： ①若γββα⊥⊥,，则γα⊥； ②若βαβα⊥⊥则,//,l l

③若l 上存在两点到α的距离相等，则α//l ； ④若.//,//,,//βαββαl l l 则且?

其中正确的命题是（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．②④

D ．③④

12．如图1-1-13，用斜二测画法作△ABC 水平放置的直观图形得△A 1B 1C 1，其中A 1B 1=B 1C 1，A 1D 1是B 1C 1边上的中线，由图形可知在△ABC 中，下列四个结论正确的是( )

图1-1-13

A.AB=BC=AC

B.AD ⊥BC

13．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积为_____________2cm 。

14．一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为 .

15．①若a 垂直于α内的两条相交直线，则a ⊥α； ②若a 垂直于α内的无数多条直线，b 则a ⊥α；

③若b ∥β，则b 平行于β内的所有直线；

④若a α?、b β?，a ⊥b ，则β⊥α； ⑤若a α?、b β?，β∥α，则a ∥b ；

⑥若b β?，b ⊥α，则β⊥α；其中正确的是__________(只填序号)

16．设长方体的长、宽、高分别为2,1,1，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ▲ .

17．右图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为 ．

A 1

C

B A B 1

C 1

D 1 D

立体几何复习（二）

1．如图,在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中,1D D ⊥底面

ABCD ,1AD =,2CD =,60DCB ∠=?．

（1）求证:平面11A BCD ⊥平面11BDD B ；

（2）若1D D BD =,求四棱锥11D A BCD -的体积．

2． 已知正四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2 的正方形，高

．M 为线段PC 的中点．

(Ⅰ) 求证：P A∥平面MDB ；

(Ⅱ) N 为AP 的中点，求CN 与平面MBD 所成角的正切值．

3．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC BB ＝＝，D 为AC 的中点．(Ⅰ)

若AC 1⊥平面A 1BD ，求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，设AB ＝1，求三棱锥11B AC D -的体积．

4．已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=1，AB=2，M 是PB 的中点。 （I ）求AC 与PB 所成角的余弦值； （II ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值的大小。 5． 如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=PB=3，点E 在棱PA 上，且PE=2EA 。 （1）求直线PC 与平面PAD 所成角的余弦值； （2）求证：PC//平面EBD ； （3）求二面角A —BE —D 的余弦值.

参考答案

1．A

【解析】

试题分析：由几何体的三视图都是矩形，知该几何体是长方体. 解：∵该几何体的三视图都是矩形，∴该几何体是长方体，如图所示．故选A ．

考点：三视图还原几何体

点评：本题考查由几何体的三视图还原几何体，是基础题．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用

2．A

【解析】

试题分析：

由已知中的三视图，可判断出几何体是一个三棱柱，底面是一个边长为4的正三角形，高为2，代入棱柱表面积公式，可得答案. 解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个三棱柱,底面是一个边长为2

的正三角形244s ==，故可知侧面积是底面为高为2，长为4的三个矩形的面积为24，那么

表面积为24+ A. 考点：三视图 点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键 3．C 【解析】由题意可知该几何体是圆锥和圆柱的组合体，圆柱的高为5，底面半径为3，圆锥的高为4，底面半径为3，那么利用柱体和锥体的体积公式可知，该几何体的体积为π57，选C 4．D 【解析】 试题分析：如图，找AC 的中点D ，连接SC,BD, 因为SA=SC,所以SD ⊥AC,又因为AB=BC,所以BD ⊥AC, 所以AC ⊥平面SBD,所以AC ⊥SB. 考点：本小题主要考查空间中直线与平面、直线与直线垂直的判定，考查学生的空间想象能力和推理论

证能力. 点评：准确识图，灵活利用几何体的结构特征找出平面图形中的线线的平行与垂直关系是证明的关键. 5．C 【解析】解：该几何体由两个长方体组合而成， 其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和S=2（10×8+10×2+8×2）+2（6×8+8×2）=360． 故选C ． 6．A 【解析】 试题分析：由三视图可知，该几何体为一个圆锥和一个半球的组合体，所以该几何体的体积为：231144121.3233πππ???+???= 考点：本小题主要考查三视图及简单几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力和简单的计算能力. 点评：以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解.

7．A

【解析】

试题分析：因为直角边BC=1，那么可知圆锥的底面的半径为3，高为AB=3，那么结合旋转体的定义可知，圆锥的体积公式V=21133

?π??=π,故选A

考点：本试题主要考查了旋转体中圆锥体积的求解问题。是一道基础试题。

点评：解决该试题的关键是能理解以直角三角形AB 为一边，旋转得到是一个圆锥体，那么根据圆锥的体积公式得到。

8．D

【解析】解：A 中因为BD ∥B 1D 1，正确；B 中因为AC ⊥BD ，由三垂线定理知正确；

C 中有三垂线定理可知AC 1⊥B1D1，AC 1⊥B 1C ，故正确；

D 中显然异面直线AD 与CB1所成的角为45°

故选D

9．A

【解析】

试题分析：因为，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱11,BC C D 的中点，所以，取11B C 的中点G ，连GE,GF ，则GE//111,//BB GF B D ,即平面EFG//平面11BB D D ，从而可得//EF 平面11BB D D ，选A 。

考点：正方体的几何特征

点评：简单题，充分利用正方体中的平行关系、垂直关系，判断直线与平面的位置关系。

10．D

【解析】略 C S A B D

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11．C

【解析】

试题分析：①若γββα⊥⊥,，则γα⊥或//αγ，错误；③若l 上存在两点到α的距离相等，则l α与平行或相交，错误；故排除选项A 、B 、D ，选C

考点：本题考查了空间中的线面关系

点评：熟练掌握线面平行的判定和性质定理是解决此类问题的关键，属基础题 12．C

【解析】由直观图作法可知△ABC 是直角三角形，且AB=2BC ，AB ⊥BC ，因此AC>AD>AB>BC. 13．π12 【解析】

试题分析：正方体的对角线等于球的直径。求得正方体的对角线l =，则球的表面积为

2244(2S R ππ===π12 考点：球的表面积

点评：若长方体的长、宽和高分别为ａ、ｂ、ｃ，则球的直径等于长方体的对角线d = 14．1 【解析】

试题分析：根据“高平齐，长对正，宽相等”，该三棱锥底面是一直角三角形，直角边长分别为2,1，所以，其面积为1

2112??=，答案为1. 考点：三视图，面积计算。

15．①、⑥ 【解析】略

16．6π 【解析】长方体外接球直径=长方体体对角线长度。

2246R S R ππ====。

17

．4【解析】该组合体的侧视图是上面边长为2的正三角形，下面是边长为2的正方形

∴组合体的侧视图的面积为122242S =?+?=+18．（1）详见解析；（2）1V =. 【解析】

试题分析：（1）由1,BC BD BC BB ⊥⊥得：BC ⊥平面11BDD B ，进而证得面面垂直；（2）法1：做出底面的垂线，证明线面垂直，再利用体积公式；法2：分割法转化成两个三棱锥的体积之和，再利用转换顶点的求三棱锥的体积，再相加求四棱锥的体积（省去找底面的垂线） 试题解析：（1）证明： 在ABD ?中,

由余弦定理得：BD ==， 所以222

AD BD AB +=,所以90ADB ∠=?,即AD BD ⊥， 3分 又四边形ABCD 为平行四边形,所以BC BD ⊥，

又1D D ⊥底面ABCD ,BC ?底面ABCD ,所以1D D BC ⊥， 4

分 又1D D BD D = ,所以BC ⊥平面11BDD B , 5分

又BC ?平面11A BCD ,所以平面11A BCD ⊥平面11BDD B ．

6分

（2）法一：连结1BD

，∵1DD BD ==

，∴1BD =∵BC ⊥平面11BDD B ，所以1BC BD ⊥， 8分

所以四边形11A BCD

的面积111122A BCD S BC BD =???= 10分

取1BD 的中点M ，连结DM ，则1DM BD ⊥

，且DM =

，

又平面11A BCD ⊥平面1BDD ,平面11A BCD 平面1BDD 1BD =，

解法一图 D C A

A 1

B 1

C 1

D 1 M

所以DM ⊥平面11A BCD ， 13分

所以四棱锥11D A BCD -的体积： 11113A BCD V S DM =??=． 14分 法二: 四棱锥

11D A BCD -的体积111D A BD D BCD V V V --=+， 8分 而三棱锥11D A BD -与三棱锥1D BCD -底面积和高均相等， 10分 所以11112D A BD D BCD D BCD V V V V ---=+=1112213D BCD BCD V S DD -==???=． 14分 考点：1.面面垂直；2.线面垂直；3等体积法求锥体的体积 19．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)2. 【解析】 试题分析：(Ⅰ)证明：在四棱锥P －ABCD 中，连结AC 交BD 于点O ，连结OM ，因为在△PAC 中，M 为PC 的中点，O 为AC 的中点，所以OM 为△PAC 的中位线，得OM ∥AP ，又因为AP ?平面MDB ，OM ?平面MDB ，所以PA ∥平面MDB ． …………6分

(Ⅱ) 解：连结PO ．由条件可得PO

AC ＝

，

PA ＝PC ＝2，CO ＝AO

． 设NC ∩MO ＝E ，由题意得BP ＝BC ＝2，且∠CPN ＝90°． 因为M 为PC 的中点，所以PC ⊥BM ，

同理PC ⊥DM ，故PC ⊥平面BMD ．

所以直线CN 在平面BMD 内的射影为直线OM ，

∠MEC 为直线CN 与平面BMD 所成的角，

又因为OM ∥PA ，所以∠PNC ＝∠MEC ．

在Rt △CPN 中，CP ＝2，NP ＝1，所以tan ∠PNC ＝2CP NP

=， 故直线 CN 与平面BMD 所成角的正切值为2． …………14分 利用体积法相应给分 考点：本题考查线面平行的判断定理；空间线面角。 点评：熟练掌握线面平行的判定定理和性质定理以及线面角等知识点是解题的关键．利用三角形的中位线定理是证明线线平行常用的方法之一． 20．（I ）通过证明“线线垂直”，得到“线面垂直”，1A B ⊥面11AB C ，得到111

A B B C ⊥． 又在直棱柱111ABC A B C -中，111BB B C ⊥，得到11B C ⊥平面11ABB A ． （II ）三棱锥11B AC D -的体积1V 6

=

. 【解析】 试题分析：（I ）（I ）通过证明“线线垂直”，得到“线面垂直”，1A B ⊥面11AB C ，得到111A B B C ⊥．

又在直棱柱111ABC A B C -中，111

BB B C ⊥，得到11B C ⊥平面11ABB A ． （II ）为确定三棱锥的体积，应注意明确“底面”“高”，注意遵循“一作，二证，三计算”的解题步骤.通过证明“BD ⊥平面11DC A ”．明确BD 就是三棱锥11B AC D -的高． 解答此类问题，容易出现的错误是忽视证明，利用直观感觉确定高. 试题解析：（I ）直三棱柱111ABC A B C -中，∵1AB BC BB ＝＝，∴四边形11ABB A 为正方形，

∴11A B AB ⊥，

又∵1AC ⊥面1A BD ，∴11AC A B ⊥，∴1A B ⊥面11AB C ，∴111

A B B C ⊥． 又在直棱柱111ABC A B C -中，111

BB B C ⊥，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1． 解法二图 D

C A

A 1

B 1

C 1

D 1

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（II ）∵1AB BC BB ＝＝，D 为AC 的中点，∴BD AC ⊥．

∴BD ⊥平面11DC A ．

∴BD 就是三棱锥11B AC D -的高． 由（I ）知B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥平面ABB 1A 1．

∴BC AB ⊥．

∴ABC 是直角等腰三角形．

又∵AB BC 1

==，∴BD 2=，

∴11AC A C =

=

∴

三棱锥11B AC D -的体积111111111V BD A C AA 13322126A C D S =

??=????== . 考点：垂直关系、体积计算. 21．（I ）AC 与PB 所成的角的余弦值为5

10 （II ）面AMC 与面BMC 二面角的余弦值为3

2- 【解析】解：以A 为坐标原点AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为)21

,1,0(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,1(),0,2,0(),0,0,0(M P D C B A ………2分

（I ）因,2,5||,2||),1,2,0(),0,1,1(=?==-==PB AC PB AC PB AC 故

所以,510||||,cos =?>=

1,0,1(),21,1,0(-=-==， 设平面AMC 与面BMC 的法向量分别为),,(),,,(21v q p n z y x n ==，

则)2,1,1(,01111-==?=?=?n n n n 解得， 同理32||||cos ),2,1,1(2121`2=?==n n n θ ………………8分 由题意可知，二面角的平面角为钝角， 所以面AMC

与面BMC 二面角的余弦值为32- ………………10分 22．（

1）直线PC 与平面PAD 所成角的余弦值10. （2）见解析；（3 【解析】 试题分析：（1）一点B 为坐标原点，以BA 为x 轴，以BC 为y 轴，以BP 为z 轴，建立空间直角坐标至B-xyz ，根据条件求出CD,PD ，然后求出这两个向量的所成角即为异面直线CD 与PA 所成的角； （2）欲证PC ∥平面EBD ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PC 与平面EBD 内一直线平行连接AC 交BD 于G ，连接EG ，根据比例关系可知PC ∥EG ，而EG ?平面EBD ，PC ?平面EBD

，满足定理所需条件； （3）先求平面EBD 的法向量与平面ABE 的法向量，然后利用向量的夹角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D 的大小的余弦值． 解：（1）建立如图所示的直角坐标系.xyz B -……1分

,(0,3,0),(0,0,3),(3,3,0)(,0,0),(3,3,0),(3,3,3),,0,3(3)90.BC a A P D C a CD a PD CD PD CD PD a ==-=-⊥∴?=-+= 设则即 ∴ 6.a =………………2分

设平面PAD 法向量为(,,1)n x y = ， 则(,,1)(3,3,3)001(,,1)(3,0,0)0

n PD x y x y n AD x y ??=-==?????=?==??? ，所以(0,1,1)n = …3分

设直线PC与面PAD所成角为θ

，

||

sin

10

||||

PC n

PC n

θ

?

===

?

…4分

cosθ===…………………5分

所以，直线PC与平面PAD

所成角的余弦值

10

.……………………6分

（2）连结AC交BD于G，连结EG，

11

,,

22

AG AD AE AG AE

GC BC EP GC EP

∴===∴=

又，∴//.

PC EG……………8分

,

EG EBD PC EBD

??

又平面平面…………………………9分

∴//.

PC EBD

平面…………………………10分

（3）设平面)0,3,3(

),1,2,0(

),1,

,

(

1

=

=

=y

x

n

BED因为

的法向量为，由

1

1

1

2

12

1

,

0,210,11

2(,,1).11

330,122

0,.

2

(1,0,0),12

,cos,13

14

x

n BE y

n

x y

n BD y

ABE n

n n

A BE D

?

=

??

?=+=

?

??

=-

???

+=

?=?

??

?=-

??

=

<>==

∴--

得所以于是……分

又因为平面的法向量…………分

所以……………………分

二面角……………分

考点：本试题主要考查了直

线与平面的位置关系、两异面直线所成角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．

点评：解决该试题的关键是熟练的运用线面平行的判定定理和二面角概念的理解和求解的运用。

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

立体几何复习知识点汇总(全)

立体几何知识点汇总（全） 1．平面 平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 （1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 （2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。 （3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. （1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交 ③若直线a、b异面，a平行于平面α，b与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一．点．向这个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦b a,是夹在两平行平面间的线段，若 a,的位置关系为相交或平行或异面. a=，则b b ⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平 面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是

异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线） （2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 （直线与直线所成角]90,0[??∈θ）（向量与向量所成角])180,0[οο∈θ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. （3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. [注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能 叫1L 与2L 平行的平面） 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. （1）. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. （2）. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行?线面平行”） [注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之） ④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内） ⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑥直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交） （3）. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行?线线

小学六年级总复习之立体几何

一、习题精选。 1、一堆小麦堆成圆锥形，底面周长是18. 84米，高1.8米，这堆小麦的体积是（）。 2、用边长为1分米的小正方体，拼成一个较大的正方体，至少需要（）个这样的小正方体，把这些小正方体排成一行，它的长度是（）分米。 3、一个圆柱体比和它等底等高的圆锥体体积大18立方厘米，那么圆柱体和圆锥体体积的和是（）。 4、一根长3米，底面半径5厘米的圆柱形木料锯成两段，表面积增加（）平方厘米或（）平方厘米。 5、一个长方形长15厘米，宽10厘米，以长边为轴旋转一周，会得到一个圆柱形，它的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。 6、一个用立方块搭成的立体图形，淘气从前面看到的图形是，从上面看是，那么搭成这样一个立体图形最少要（）个小立方块。 7、一个半圆的周长是12.56厘米，将这个半圆扩大2倍，它的面积是（）平方厘米。 8、把一个棱长是0.5米的正方体钢坯，锻成横截面面积是10平方分米的长方体钢材。锻成的钢材长度为（）。 9、把一个高为18厘米的圆锥形容器盛满水，将这些水全部倒入和这个圆锥形容器等底的圆柱形容器里，水的高度是（）厘米。 二、判断题 1、圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍。（） 2、一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比2：1. （） 3、一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米（） 4、正方体的棱长缩小一半后,体积比原来少一半。（） 5、一个长方体和一个圆柱，它们的体积和高都相等，那么，它们的底面积也相等。（） 三、选择题。 1、甲圆柱形容器底面半径是乙圆柱形容器底面半径的2倍(容器直立放置)。现以相同的流量同时向这两个容器内注入水，经过一定的时间，甲、乙两个容器内水面的高度的比是？(容器内的水都未加满) （） A.1∶2 B.2∶1 C.4∶1 D.1∶4 2、.如果一个长方体的长、宽、高都扩大3倍，则它的体积扩大( )倍。 A.3 B.9 C.27 3、一个长方体油箱，里面长60厘米，宽50厘米，高40厘米，这个油箱可以装油（） A.120升 B. 12升 C. 1.2升

立体几何文10份

立体几何 第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图【高考会这样考】 1．考查空间几何体三视图的识别与判断． 2．三视图和其他的知识点结合在一起命题． 考点梳理 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体 ①棱柱：棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形． ②棱锥：棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形． ③棱台：棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形． (2)旋转体 ①圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到． ②圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥到． ③球可以由半圆或圆绕直径旋转得到． 2．三视图 (1)三视图的名称 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图． (2)三视图的画法 ①画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成线． ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图． ③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置． 3．直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半 两个重要概念 (1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 三个规则 (1)画法规则：长对正、高平齐、宽相等． (2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方． (3)线条的规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见轮廓线和棱用虚线画出． 考点自测 1．下列说法正确的是()． A．有两面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点 2．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个( ) A．棱台B．棱锥 C．棱柱D．都不对 3．用任意一个平面截一个几何 体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()． A圆柱B圆锥C球体D圆柱、圆锥、球体的组合体4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()． A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱 5.如图，过BC的平面截去 长方体的一部分，所得的 几何体________棱柱(填 “是”或“不是”)． 考向一空间几何体的结构特征 【例1】?给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()． A．0 B．1 C．2 D．3 【训练1】给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧

必修2立体几何复习(知识点+经典习题)

必修二立体几何知识点与复习题 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义：成? 90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是（） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行； （3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

最新高考文科立体几何大题

1．（2013年高考辽宁卷（文））如 图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点 (I)求证:BC PAC ⊥平面； (II)设//.Q PA G AOC QG PBC ?为的中点，为的重心，求证：平面 2.2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中 心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA == (Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积. O D 1 B 1 C 1 D A C A 1

3.（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =, 60PAD ∠=o .(1)当正视图方向与向量AD u u u r 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程); (2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面; (3)求三棱锥D PBC -的体积. 4. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点． （1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积．

5.（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中2BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23 AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 图 4G E F A B C D 图 5D G B F C A E 6．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证: (1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD

立体几何 人教版(文)

立体几何 一. 本周教学内容： 立体几何 二. 教学要求及重点难点： 1. 掌握线线、线面、面面、平行、垂直的判定定理和性质定理及其应用。 2. 掌握异面直线成角、线面成角、二面角的概念和求法。 3. 了解多面体的概念，掌握柱、锥、球的基本性质。 三. 知识串讲 直线与平面 （一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： a c //?αβ αγβγ//,// ==????a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=??? ? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ? ? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥⊥???? αα// a a ⊥⊥???αβα β // αβα β//a a ⊥⊥??? 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： ①过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行②过空间一点，有且只有一条直线与已知平面垂直③过空间一点，有且只有一个平面与已知直线垂直应用中常用于反 证法或同一法? ??? ?"""" （二）空间中的角 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

2010年高考立体几何专题复习-6

2010年高考立体几何专题复习 岱山中学 孙珊瑚 鲁纪伟 高考立体几何试题一般有选择、填空题, 解答题,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 2.判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。 4.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概 念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2π]，直线与平面所成的角θ∈0,2π?? ???? ， 二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0，π]． 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力． 如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－l －的平面角（记作）通常有以下几种方法： (1) 根据定义； (2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面，设∩＝OA ，∩＝OB ，则∠AOB ＝ ； (3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A ，分别作另一个平面的垂线AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C )，连结AC ，则∠ACB ＝ 或∠ACB ＝－； (4) 设A 为平面外任一点，AB ⊥，垂足为B ，AC ⊥，垂足为C ，则∠BAC ＝或∠BAC ＝－； (5) 利用面积射影定理，设平面内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面内的射影图形的面积为S ，则cos ＝S S ' . 5.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线

知识点-立体几何知识点常见结论汇总

知识点-立体几何知识点常见结论汇总

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O A B C D E F 垂 立体几何高考知识点和解题思想汇总 补充：三角形内心、外心、重心、垂心知识 四心的概念介绍： （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 若P 为ABC ?所在平面外一点, O 是点P 在 ABC ?内的射影，则： ①若PA PB PC ==或PA 、PB 、PC 与 所成角均相等, 则O 为ABC ?的外心； ②若P 到ABC ?的三边的距离相等, 则O 为△ABC 的内心； ③若PA 、PB 、PC 两两互相垂直, 或,PA BC PB AC ⊥⊥则O 为ABC ?的垂心． 常见空间几何体定义： 1 ．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，这两个面为底面，其他面为侧面。 棱柱具有下列性质： 1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等； 2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。 3）直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。 棱柱的分类： 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的各个侧面都是矩形； 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。 平行六面体:底面是平行四边形的棱柱。 直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。 长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体 2 ．棱锥：有一个面是多边形 ，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．(1) 如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面，这样的棱锥称为正棱锥．正棱锥具有性质：①正棱锥的顶点和底面中心的连线即为高线；②正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做这个正棱锥的斜高． (2) 底边长和侧棱长都相等的三棱锥叫做正四面体． A B C O 外 I K H E F D A B C M 内 A B C D E F G 重

高二数学期末复习题---立体几何

高二数学期末复习题---立体几何 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.) 1. ,αβ是两个不重合的平面，在α上取4个点，在β上取3个点，则由这些点最多可确定平面的个数为（） （A）30 （B）32 （C）35 （D）40 2. 一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一个底面为45? 均为1的等腰梯形，则原四边形的面积为（） （A）2（B）1（C） 2 2 + （D） 1 2 3.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为（） （A）（B）8π（C）（D）4π 4. 在直三棱柱 111 ABC A B C -中， 1 1,90 AB AC AA BAC? ===∠= 则 1 A C与 1 BC所成角的大小为（） （A） 6 π （B） 4 π （C） 3 π （D） 2 π 5. 点, M N是正方体 1111 ABCD A B C D -两棱 1 AA和 11 A B的中点，P是正方形ABCD的 中心，则MN与面 1 PCB的位置关系为（） （A）平行（B）相交（C） 1 MN PCB ?平面（D）上述三种情况均有可能 6.ABC ?中，5,6,,8 AB AC BC PA ABC PA ===⊥= 平面，则P到BC的距离是（） （A（B）（C）（D） 7．设,m n是不同的直线，,, αβγ是不同的平面，有以下四个命题 ① αβ βγ αγ ? ? ? ? P P P ②m m αβ β α ⊥? ?⊥ ? ? P ③ m m α αβ β ⊥? ?⊥ ? ? P ④ m n m n α α ? ? ? ?? P P A B C 1 A 1 B 1 C

高中数学立体几何知识点整理

三、立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到 截面距离与高的比的平方。 （3）棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图 是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变； ②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积rh S π2=圆柱侧'2 1ch S =正棱锥侧面积rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表()l r r S +=π圆锥表()22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱2V Sh r h π==圆柱13V Sh =锥h r V 231π=圆锥 '1()3 V S S h =台'2211()()33V S S h r rR R h π==++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π 4、空间点、直线、平面的位置关系 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用： 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

2020年高考数学试题分类汇编之立体几何

2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角

2020—2021年新高考总复习数学《立体几何》高考考点专项复习及答案解析.docx

2019届高三第二次模拟数学理试题分类汇编： 立体几何 一、填空、选择题 1、（崇明县2016届高三二模）已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为 15πcm 2，则此圆锥的体积为 cm 2 ． 2、（奉贤区2016届高三二模）在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，若点P 是棱上一点，则满足2PA PC '+=的点P 的个数_______． 3、（虹口区2016届高三二模）已知A 、B 是球O 的球 面上两点，90AOB ∠=o ，C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的 最大值为323， 则球O 的表面积为__________ 4、（黄浦区2016届高三二模）已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边 形和六个正方形构成，如右上图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，

则其体积V = 5、（静安区2016届高三二模）如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长为 23cm ，侧面积为 283cm ，则它的体积为 . 6、（闵行区2016届高三二模）若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍. 7、（浦东新区2016届高三二模）已知四面体ABCD 中，2==CD AB ，E ， F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3 π ，则 EF =________． 8、（普陀区2016届高三二模）若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（ ） （A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α?b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a // 9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）．如图，圆锥形容器的 高为,h 圆锥内水面的高为1,h 且11,3h h =若将圆锥倒置，水面高为2,h 则2h 等 于------------------------------------------------（ ） （A ）23h （B ）19 27h （C ）3 63h （D ）

立体几何知识点总结

立体几何知识点总结

立体几何知识点总结 1、 多面体（棱柱、棱锥）的结构特征 （1）棱柱： ①定义：有两个面互相平行，其余各面都是 四边形，并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行，由这些面所围 成的几何体叫做棱柱。 棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱； 四棱柱平行六面体直平行六面体 长方体正底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是正多边形 侧棱垂直于底面 侧棱不垂直于底面

棱长都相等 四棱柱正方体。 ②性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形；Ⅱ、两底面是全等多边形； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形； Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 （2）棱锥： ①定义：有一个面是多边形，其余各面是有 一个公共顶点的三角形，由这些面 围成的几何体叫做棱锥； 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥； ②性质： Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似， 截面的边长和底面的对应边边长的比 等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的 比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与 原棱锥的高的平方比；

截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的 比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高 的立方比； Ⅱ、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三 角形；通过四个直角三角形POH Rt ?，POB Rt ?， PBH Rt ?，BOH Rt ?实现边，高，斜高间的换算 2、 旋转体（圆柱、圆锥、球）的结构特征 A B C D O H P

（2）性质： ①任意截面是圆面（经过球心的平面，截得 的圆叫大圆，不经 过球心的平面截得 的圆叫 小圆） ②球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且 2d 2 =，其中R为球半径，r为截 r- R 面半径，d为球心的到截面的距离。 3、柱体、锥体、球体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

2019年高考试题汇编文科数学--立体几何

（2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案： 解答： 如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的 垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,PC PF == ，可得出1CF =，同 理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，OC = ， PO == （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案： 见解析 解答： （1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ， 由 MN ?平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE

（2） E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥，又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又 12,4AB AA ==， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)

高中数学必修二期末考试复习题(立体几何部分)

高中数学必修二期末考试复习题（立体几何部分） 1．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ） A .52+ B .2 53+ C .252+ D .53+ 【答案】D 考点：1.三视图；2.多面体的表面积与体积. 【名师点睛】本题考查空间几何体的三视图及几何体的表面积，意在考查学生的识图能力、空间想象能力以及技术能力；先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出该几何体各个表面的面积查加运算即可；本题属于中档题，是高考常考题型. 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）

A ．四棱柱 B ．四棱锥 C ．三棱台 D ．三棱柱 【答案】A 考点：三视图 【方法点睛】本题考查了三视图的问题，属于基础题型，三视图主要还是来自简单几何体，所以需掌握三棱锥，四棱锥的三视图，尤其是四棱锥的放置方法，比如正常放置，底面就是底面，或是以其中一个侧面当底面的放置方法，还有棱柱，包含三棱柱，四棱柱，比如各种角度，以及以底面当底面，或是以侧面当底面的放置方法，还包含旋转体的三视图，以及一些组合体的三视图，只有先掌握这些，再做题时才能做到胸有成竹. 3．在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BD 上，且 112BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ） A ．1 B ． 32 C ．92 D ．与M 点的位置有关 【答案】B 【解析】 试题分析：由于193322BCM S ?= ??=为定值，P 到平面11BCC B 的距离为高为，故体积为定值1931322 ??=. 考点：立体几何求几何体体积． 【思路点晴】画图立体几何图象如下图所示,由于P 是靠近B 的三等分点，故P 到平面11BCC B 的距离为正方形边长的三分之一，即高为.由图可知，由于M 在''B C 上运动，M 到BC 的距离是定值，这个值是正方形的边长为，由此可以知道，193322 BCM S ?=??=为定

(完整版)非常好高考立体几何专题复习

立体几何综合习题 一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①? ? ??????→?? ?????→? ? ?? L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3 ．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r（其中，球心到截面的距离为 d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. B

1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈??： 解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。