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函数的定义域与值域 知识点与题型归纳

函数的定义域与值域 知识点与题型归纳
函数的定义域与值域 知识点与题型归纳

了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.

★备考知考情

定义域是函数的灵魂,高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现,难度不大;有时也在解答题的某一小问当中进行考查;值域是定义域与对应法则的必然产物,值域的考查往往与最值联系在一起,三种题型都有,难度中等.

一、知识梳理《名师一号》P13

知识点一常见基本初等函数的定义域

注意:

1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则!!!

2、定义域必须写成集合或区间的形式!!!

(1)分式函数中分母不等于零

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R

(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R

(5)y=log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0,+∞)

(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x≠0}

1

2

(7)实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有意 义外,还要考虑实际问题对函数自变量的制约. (补充)

三角函数中的正切函数y =tan x 定义域为

{|,,}2

∈≠+∈x x R x

k k Z π

π 如果函数是由几个部分的数学式子构成的,

那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.

知识点二 基本初等函数的值域 注意:

值域必须写成集合或区间的形式!!! (1)y =kx +b (k ≠0)的值域是R .

(2)y =ax 2+bx +c (a ≠0)的值域是:

当a >0时,值域为{y |y ≥4ac -b 2

4a };

当a <0时,值域为{y |y ≤4ac -b 2

4a

}

(3)y =k

x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}

(4)y =a x (a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0} (5)y =log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . (补充)三角函数中

正弦函数y =sin x ,余弦函数y =cos x 的值域均为[]1,1- 正切函数y =tan x 值域为R

3

《名师一号》P15

知识点二 函数的最值

注意:《名师一号》P16 问题探究 问题3 函数最值与函数值域有何关系?

函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素;任何一个函数,其值域必定存在,但其最值不一定存在.

1、温故知新P11 知识辨析1(2)

函数21=+x y x 的值域为11,,22????

-∞+∞ ? ?????

( )

答案:正确

2、温故知新P11 第4题

4

函数(]()

1122,,222,,2--?-∈-∞?=?-∈-∞??x x x y x 的值域为( ) 3.,2??-+∞ ???A ().,0-∞B 3.,2?

?-∞- ??

?C (].2,0-D

答案:D

注意:牢记基本函数的值域

3、温故知新P11 第6题 函数()=y f x 的值域是[]1,3,则函数()()

123=-+F x f x 的值域是( )

[].5,1--A [].2,0-B [].6,2--C [].1,3D

答案:A

注意:图像左右平移没有改变函数的值域

二、例题分析:

(一)函数的定义域 1.据解析式求定义域 例1. (1)《名师一号》P13 对点自测1

5

(2014·山东) 函数()

=

f x

为( )

A.? ????

0,12 B .(2,+∞) C.? ????0,12∪(2,+∞) D.? ????

0,12∪[2,+∞)

解析 要使函数有意义,应有(log 2x )2>1,且x >0, 即log 2x >1或log 2x <-1,

解得x >2或0

2

.

所以函数f (x )的定义域为? ??

??

0,12∪(2,+∞).

例1. (2)《名师一号》P14 高频考点 例1(1)

函数f (x )=1-2x +1

x +3

的定义域为( )

A .(-3,0]

B .(-3,1]

C .(-∞,-3)∪(-3,0]

D .(-∞,-3)∪(-3,1]

6

解析:由题意得?

??

1-2x

≥0,

x +3>0,解得-3

注意:

《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法(1) 求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集. 函数的定义域一定要用集合或区间表示

例2. (补充)

若函数2

()lg(21)f x ax x =++的定义域为R 则实数a 的取值范围是 ;

答案:()1,+∞

变式:2()lg(21)=++f x ax ax ?

练习:(补充)

若函数2

7

()43

kx f x kx kx +=++的定义域为R

7

则实数k 的取值范围是 ;

答案:30,

4??

????

2.求复合函数的定义域 例3.(1)《名师一号》P14 高频考点 例1(2)

(2015·北京模拟)已知函数y =f (x )的定义域为[0,4],则函数y =f (2x )-ln(x -1)的定义域为( )

A .[1,2]

B .(1,2]

C .[1,8]

D .(1,8]

解析:由已知函数y =f (x )的定义域为[0,4]. 则使函数y =f (2x )-ln(x -1)有意义,需 ???

0≤2x ≤4,x -1>0,解得1

例3. (2)《名师一号》P13 对点自测2

已知函数f (x )=1

x +1

,则函数f (f (x ))的定义域是( )

A .{x |x ≠-1}

B .{x |x ≠-2}

C .{x |x ≠-1且x ≠-2}

D .{x |x ≠-1或x ≠-2}

8

解析 ????

?

x ≠-1,1

x +1

+1≠0,解得x ≠-1且x ≠-2.

注意:

《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法(2) (P13 问题探究 问题1 类型二)

已知f (x )的定义域是[a ,b ],求f [g (x )]的定义域, 是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围,

而已知f [g (x )]的定义域是[a ,b ],指的是x ∈[a ,b ].

例4.(补充)已知2

(1)f x +的定义域是[]

0,1,求()f x 的定义域。

答案:[]

1,2

注意: 《名师一号》P13 问题探究 问题1 类型三 若已知()f g x ????的定义域为[]

,a b ,求()f x 的 定义域相当于当[]

,x a b ∈时,求()g x 的值域

9

(即()f x 的定义域)

练习:(补充)

已知()f x 的定义域是[]

0,1,求函数2

()()g x f x =的定义域。

已知2

()()g x f x =的定义域是[]

1,1-,求函数()f x 的定义域。

如:

()=

f x []0,1

,

2()()==g x f x []1,1-

练习:(补充)

1、设函数1()ln 1+=-x

f x x , 求函数1()2????

=+ ? ?????

x g x f f x 的定义域。

答案:112

111?

-<

?

?-<

x

x

得()()2,11,2--

10

2、设函数2(23)--f x x 的定义域为[]

0,3,求函数

()f x 的定义域。

答案:[]

0,3∈x 得[]2

234,0--∈-x x

3.实际问题中函数定义域的确定 注意:

实际问题中函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义

(二)求函数值域

注意:求函数的值域先求定义域!

(1)确定函数值域的原则

①当函数y =f (x )用表格给出时,

函数的值域是指表格中y 的值的集合. ②当函数y =f (x )的图象给出时,

函数的值域是指图象在y 轴上的投影对应的y 的 值的集合.

③当函数y =f (x )用解析式给出时,

函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定. ④当函数由实际问题给出时,

函数的值域应结合问题的实际意义确定. (2)基本初等函数的值域

11

(3)求函数值域的方法

求函数的值域是高中数学的难点,它没有固定的方法和模式.常用的方法有:

《名师一号》P14 问题探究 问题2

怎样求解函数的值域? 求函数值域的基本方法

(1)观察法:一些简单函数,通过观察法求值域. (2)配方法:“二次函数类”用配方法求值域.

(3)换元法:形如y =ax +b ±cx +d (a 、b 、c 、d 均为常数,且a ≠0)的函数常用换元法求值域,形如y =ax +a -bx 2的函数用三角函数代换求值域.

(4)分离常数法:形如y =cx +d

ax +b

(a ≠0)的函数可用此法求值

域.

(5)单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域. (6)数形结合法:画出函数的图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围.

《名师一号》P17 高频考点 例3 规律方法 (3)、(4) 基本不等式、导数法

例1. 《名师一号》P14 高频考点 例

2(1) 求函数4=-y

12

答案: []

2,4

小结: 求函数值域的基本方法

1.配方法: 《名师一号》P14 问题探究 问题(2) ——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法,形如F (x )=af 2(x )+bf (x )+c 的函数的值域问题,均可使用配方法,要特别注意自变量的范围;

二次函数在给定区间上的最值有两类: (1)求闭区间[]

,m n 上的最值;

(2)求区间定(动),对称轴动(定)的最值 ----二次函数专题

例2. (1)(补充)

求函数()2

2211log log 5,,42??

=-+∈????

y x x x 的值域

答案: []

7,11

例2. (2)《名师一号》P14 高频考点 例2(2)

13

求函数y =2x -1-2x 的值域

方法1:令 1-2x =t (t ≥0),则x =1-t 2

2

.

∴y =1-t 2-t =-? ????t +122+5

4

.

∵二次函数对称轴为t =-1

2

∴在[0,+∞)上,y =-? ????t +122+5

4

是减函数.

故y max =-? ????0+122+5

4

=1,

故函数有最大值1,无最小值,其值域为(-∞,1]. 方法2:∵y =2x 与y =-1-2x 均为定义域上的增

函数,故y =2x -1-2x 是定义域为{x |x ≤1

2

}上的增函数,

故y max =2×12- 1-2×1

2

=1,无最小值.

故函数的值域为(-∞,1].

变式:求函数2=+y x 的值域

14

分析:

令()0=≥t t

答案: 5,4

??-∞ ??

?

形如y =ax +b ±cx +d (a 、b 、c 、d 均为常数,且a ≠0)的函数

令=t

例2. (3)(补充)

求函数=+y x

分析:令,2sin 2

-≤??= ???≤x t t π

π

答案:

?-?

15

练习:

求函数3

=+y 的值域

分析:

令,2

2??=-≤≤ ???x t t π

π

答案: []1,2-

小结: 求函数值域的基本方法 2.换元法:《名师一号》P14 问题探究 问题(3) 运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易确定 的另一函数,从而求得原函数的值域. 例如:

形如y =ax +b ±cx +d (a 、b 、c 、d 均为常数,且a ≠0)的函数

令=t

,可以利用三角代换, 令[]

cos ,0,=∈x a θθπ,

或令sin ,,22??

=∈-

????

x a ππθθ转化为三角函数

16

强调:换元后要确定新元的取值范围!

例3. (1)《名师一号》P14 高频考点 例2(3) 求函数4

=+

y x x

的值域

例3. (2)(补充) 求函数()2

301

=

<++x

y x x x 的值域

()2330111

==<++++x y x x x x x

11

211+≤-∴++≤-x x x x

17

3

3011

-≤<++x x

答案:[

)3,0-

变式1:求函数231

x

y x x =++的值域

答案:[]

3,1-

变式2:求函数()()2

31133

x y x x x +=

<-++的值域

答案:[

)3,0-

小结: 求函数值域的基本方法 3.不等式法:

《名师一号》P17 高频考点 例3 规律方法 (3) 利用基本不等式:a +b ≥2ab (a 、b ∈R +)求函数的值域. 用不等式法求值域时,要注意均值不等式的使用条件

18

“一正、二定、三相等”.

例4. (1)(补充)

求函数2=y 的值域

答案:5,2

??+∞????

例4. (2)

求函数2y x =- (前面换元法已讲解)

答案:(]

,1-∞

小结: 求函数值域的基本方法 4.利用函数单调性: 《名师一号》P14 问题探究 问题(5) 根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域.

(补充)注意双勾函数()()0k

f x x k x

=+>的单调性!

函数在区间(

单调递减;

19

函数在区间)

+∞单调递增.

例5. (1)温故知新P11 知识辨析1(2)

函数21=+x y x 的值域为11,,22????

-∞+∞ ? ?????

( )

答案:正确

例5. (2)(补充) 求函数()122

-=+x

f x x 的值域.

值域{}

2≠-y y

小结: 求函数值域的基本方法

5.分离常数法: 《名师一号》P14 问题探究 问题(5) 形如()0cx d

y a ax b

+=≠+的函数的值域可使用此法

20

练习:1、()125-=+x f x x 2、()1212-=+x

x

f x 3、()2245

34

--=--x x f x x x

答案:1、12?

?≠-???

?y y 2、()1,1-

3、()()()()()()51541414-+-==≠≠--+-x x x f x x x x x x 且 615?

?≠≠???

?y y y 且

例6.《名师一号》P14 高频考点 例2(4)

求函数331

=+x

x y 的值域

法一:换元+分离常数法 ※法二:利用函数有界性

由y =3x 3x +1,得3x

=y 1-y

.

函数定义域值域求法十一种

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 x 2 2x 15 0 ① 11 或 x>5。 3且x 11} {x |x 5}。 1 例2求函数y ' 定义域。 *16 x 2 解:要使函数有意义,则必须满足 sinx 0 ① 16 x 2 0 ② 由①解得2k x 2k ,k Z ③ 由②解得 4x4 ④ 由③和④求公共部分,得 4 x 或 0 x 故函数的定义域为(4, ] (0,] 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域,求f [g(x)]的定义域。 (2)其解法是:已知f (x)的定义域是]a , b ]求f [g(x)]的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。 例3已知f(x)的定义域为[—2, 2],求f (x 2 3 x 3,故函数的定义域是{x | x (2)已知f [g(x)]的定义域,求f(x)的定义域。 其解法是:已知f [g(x)]的定义域是]a , b ],求f(x)定义域的方法是:由 a x b ,求 g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。 例4已知f(2x 1)的定义域为]1,2],求f(x)的定义域。 解:因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。 即函数f(x)的定义域是{x 13 x 5}。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求 参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析:函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立,由x 2项 例1求函数y ,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。 |x 3| 8 0 ② 由①解得 x 3或x 5。 由②解得 x 5或x 11 解:令 2 x 2 1 2 ,得 1 x 2 3,即 0 x 2 3,因此0 | x | 3,从而 1)的定义域。 3}。 ③和④求交集得x 3且x 故所求函数的定义域为 {x |x

高一数学知识点总结之函数定义域 值域

高一数学知识点总结之函数定义域值域【】数学的学习不像文科要死记硬背,学好高中数学最主要的是要掌握好课本上的基本公式,熟练运用,才能解考试过程中的各种题型。 定义域 (高中函数定义)设A,B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x属于集合A。其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域。 值域 名称定义 函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。 常用的求值域的方法 (1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方 法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等 “师”之概念,大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰:“师教人以道者之称也”。“师”之含义,现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习

者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称,隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》,有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制,老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”,其只是“老”和“师”的复合构词,所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称,虽能从其身上学以“道”,但其不一定是知识的传播者。今天看来,“教师”的必要条件不光是拥有知识,更重于传播知识。 关于函数值域误区 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技 巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本元件。平时数学中,实行定义域优先的原则,无可置疑。然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化了,对值域问题的探究,造成了一手硬一手软,使学生对函数的掌握时好时坏,事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄

求函数的定义域和值域的方法

解:求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一,已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ , k ∈z }和余切函数y=cotx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠k π,k ∈z }等。 例题一 求下列函数的定义域: (1) y=2)0+㏒(x —2)x 2 (2) 解:(1)欲使函数有意义,须满足 2≠0 x —1≥0 x —2>0 解得:x >2 且 x ≠3 ,x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞) x ≠0 (2) 由已知须满足 tanx ﹥0 解得: k π ﹤x ﹤2 k π π+ (k ∈z ) x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为(-π,2 π - )∪(0, 2 π )∪(π,4) 二,复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二(1)已知函数f (x )的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f (x 2-1)的定义域。 (2)已知函数y=f (2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f (x )的定义域。 (3)已知函数f (x )的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f (x+1)—f (x 2-1)的定义域。 (4)已知函数y=f (tan2x )的定义域为〔0, 8 π 〕,求函数f (x )的定义域。 分析:(1)是已知f (x )的定义域,求f 〔g (x )〕的定义域。其解法是:已知f

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

高中函数值域求法小结

函数值域求法小结 一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数) 1、求242-+-=x y 的值域。 由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得: )[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以 2、求函数1 11 y x = ++的值域。 分析:首先由1x +≥0,得1x ++1≥1,然后在求其倒数即得答案。 解: 1x +≥0∴1x ++1≥1,∴0< 1 11 x ++≤1,∴函数的值域为(0,1]. 二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域) 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 设:)0)((4)(2 ≥+-=x f x x x f 配方得:][)4,0(4)2()(2 ∈+--=x x x f 利用二次函数的 相关知识得][4,0)(∈x f ,从而得出:][2,2-∈y 。 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为:0)(≥x f 。 2、求函数3 42-+-=x x e y 的值域。 解答:此题可以看作是u e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数,对u 配方可得: 1)2(2+--=x u ,得到函数u 的最大值1=u ,再根据u e y =得到y 为增函数且0>y 故 函数3 42-+-=x x e y 的值域为:],0(e y ∈。 3、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。 本题可看成一象限动点),(y x p 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线,作出图象易得: 2 )1(2lg[)]24(lg[lg lg lg ),2,0(),4,0(2+--=-==+∈∈y y y xy y x y x 而,y=1时,y x lg lg +取最大值2lg 。 三、反函数法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易

函数定义域值域求法(全十一种)

创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ???>-≥②①0 x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π, ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分,得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--,, 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域。 (2)其解法是:已知)x (f 的定义域是[a ,b ]求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为[-2,2],求)1x (f 2-的定义域。 解:令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤ ≤-。

高中数学求函数值域的方法十三种审批稿

高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

高中数学:求函数值域的十三种方法 一、观察法(☆ ) 二、配方法(☆) 三、分离常数法(☆) 四、反函数法(☆) 五、判别式法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 七、函数有界性 八、函数单调性法(☆) 九、图像法(数型结合法)(☆) 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥, ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是: ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1- =f f,()1 1- f所以: = 2 0= f,()()0 ∈ 3 x,而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x∈,则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二.配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题,均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时,故函数的值域是:[4,8] 【变式】已知,求函数的最值。 【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。函数的最小值为,最大值为。 图2

函数定义域值域求法总结

、函数定义域、值域求法总结

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函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下,括号内整体的取值范围相同。 一般地,若已知 f(x)的定义域为[a,b],求函数f[g(x)]的定义域时,由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用,从而范围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。 一般地,若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求函数 f(x)的定义域时,由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时,g(x)的取值范围。 定义域是X 的取值范围,g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响,所以它们的范围相同。 ()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 ():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域 ()():f g x ,f (x)????题型二已知的定义域求的定义域 ()[]():f g x ,f h(x)????题型三已知的定义域求的定义域()[]()[] )x (h f x f x g f →→

(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ???≠-≥+0201x x ? ???≠-≥2 1 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②214 3)(2-+--=x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-= x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3- ]

定义域和值域的求法

定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域 方法是:若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈,则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域,求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域,再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下,供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。

求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一)

求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一) 求值域 一、直接法:(从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围)例1.求函数2+=x y 的值域。 二、配方法(是求二次函数值域的基本方法,如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法)例2.求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 三、分离常数法(分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法)例3.求函数125 x y x -=+的值域。 四、换元法(运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函 数的值域,如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数,且0a ≠)的函数常用此法 求解。例4.求函数2y x = 五、函数的单调性法(确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域,形如求函数()0>+=k x k x y 的值域(k x <<0时为减函数;k x >时为 增函数))例5.求函数y x = 六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)例6求函数2211 x y x -=+的值域。 七、数型结合法(函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法)例7.求函数11-++=x x y 的值域。 除此之外,还有反函数法(即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域)和判别式法(即把函数转化成关于x 的二次方程()0,=y x F ,通过方程有实根,0≥?,从而求得原函数的值域,需熟练掌握一元二次不等式的解法),在今后的学习中,会具体讲述。 周期 一.定义:若T 为非零常数,对于定义域内的任一x ,使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期。 二.重要结论 1、()()f x f x a =+,则()y f x =是以T a =为周期的周期函数; 2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、 若函数()()f x a f x a +=-,则()x f 是以2T a =为周期的周期函数

函数的定义、定义域、值域

函数的概念 教学目的: 1.理解函数的定义;明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素; 2.理解静与动的辩证关系,激发学生学习数学的兴趣和积极性 教学重点:理解函数的概念; 教学难点:函数的概念 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 函数是数学的重要的基础概念之一论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程,其他学科如物理学等学科也是以丰富的辩证思想,是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中 函数是中学数学的主体内容它与中学数学很多内容都密切相关,初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容,高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体,通过这些函数的研究,能够认识函数的性质、图象及其初步的应用后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容数列可 以看作整标函数,等差数列的通项反映的点对(n ,a n )都分布在直线y =kx+b 的图象上,等差数列的前n 项和公式也可以看作关于n(n ∈N)的二次函数关系式,等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数与函数内容有关 本节的函数是用初中代数中“对应”来描述的函数概念,高一学生的数学知识较少,接受能力有限,用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的 教学过程: 一、复习引入: 初中(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数? 设在一个变化过程中有两个变量x 和y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域,和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1:1=y (R x ∈)是函数吗?

求函数的定义域与值域的常用方法完整版

求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

求函数的定义域与值域的常用方法 引入: 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 (一)解析式的表达形式 (解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。) 1、一般式 (是大部分函数的表达形式) 例:一次函数:b kx y +=)0(≠k 二次函数:c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数:x k y = )0(≠k 正比例函数:kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==,那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ,则[]=)(x g f , []=)(x f g 。 解:[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f (二)解析式的求法 (根据已知条件求函数的解析式,常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值(式)法、方程法等。) 1. 配凑法 例1.已知 :23)1(2+-=+x x x f ,求f(x); 解:因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知:221)1(x x x x f +=+,求)(x f 。 解: 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意:使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知:x x x f 2)1(+=+,求f(x); 解:令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知:11)11(2-=+x x f ,求)(x f 。

求函数定义域和值域方法和典型题归纳

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义:设集合A 和B 是非空数集,按照某一确定的对应关系f ,使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f ),②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是: (1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。 (2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用“列举法”;一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域:是由定义域和对应关系(f )共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 (1)明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合:{y|y=f(x),x ∈A}。 (2)明白定义中集合B 是包括值域,但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 (一)求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 (1)常见要是满足有意义的情况简总: ①表达式中出现分式时:分母一定满足不为0; ②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下满足大于或等于0(非负数)。 ③表达式中出现指数时:当指数为0时,底数一定不能为0. ④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有x ,必须满足指数底数大于0且不等于1.(0<底数<1;底数>1) ⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于 1. (2 ()log (1)x f x x =-) 注:(1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。 (2)求定义域时,尽量不要对函数解析式进行变形,以免发生变化。(形

求解函数定义域,值域,解析式讲义(精华版)

求解函数定义域、值域、解析式 【课堂笔记】 知识点一 定义域、值域的定义 在函数)(x f y =中,x 叫做自变量,x 的取值范围的集合A 叫作函数的定义域;与x 的值相对应的值y 叫作函数值,函数值的集合})({A x x f ∈叫作函数的值域。 下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。 (1)当函数是以解析式的形式给出的时候,其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。 (2)当函数是由实际问题给出时,其定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要有实际意义。 注意:(1)求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,要注意逻辑连接词的恰当使用。 (2)定义域是一个集合,其结果可用集合或区间来表示。 (3)若函数)(x f 是整式型函数,则定义域为全体实数。 (4)若函数)(x f 是分式型函数,则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。 (5)若函数)(x f 是偶次根式,则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。 (6)由实际问题确定的函数,其定义域由自变量的实际意义确定。 (7)如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使其各部分有 意义的公共部分的集合。 (8)复合函数的定义域问题: ①若已知)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域可由不等式b x g a ≤≤)(解出; ②若已知))((x g f 的定义域为],[b a ,则函数)(x f 的定义域,即为当],[b a x ∈时函数)(x g 的值域。 【例1】求下列函数的定义域 (1)1+= x y (2)x y -= 21 (3)0)1(21-+-= x x y 【例2】 求下列函数的定义域 (1)x y ++ = 11 11; (2)1 42 --= x x y ;

5、函数的定义域和值域答案

函数定义 映射 一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射(mapping ).记作“:f A B →” 函数的概念 1.定义:如果A ,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数,记作 )(x f y =,A x ∈。 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性,B 中元素具有唯一性; 区别:函数是一种特殊的映射,它要求两个集合中的元素必须是数,而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体,分别称为定义域.值域和对应法则.当我们认识一个函数时,应从这三方面去了解认识它. 例 函数y =x x 2 3与y =3x 是不是同一个函数?为什么? 练习 判断下列函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数,说明理由? ① f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ; g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ;g ( x ) = 2x 重点一:函数的定义域各种类型例题分析

函数定义域、值域求法总结(精彩)

函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 常用的求值域的方法:(1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式21 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-3 2 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式 x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ?? ?≠-≥+020 1x x ?? ?≠-≥2 1 x x

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

求函数值域的解题方法总结(16种) 在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、观察法: 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例:求函数()x 323y -+=的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出 ()x 3-2的值域。 解:由算术平方根的性质知()0x 3-2≥,故()3x 3-23≥+。 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)、被开方数的非负性,(2)、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧发。 练习:求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。(答案:{}5,4,3,2,1,0) 二、反函数法: 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例:求函数2 x 1x y ++=的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数2 x 1x y ++=的反函数为:y y --=112x ,其定义域为1y ≠的实数,故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数x -x -x x 10101010y ++=的值域。(答案:{}1y 1-y |y 或)。 三、配方法: 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求函数的值域。 例:求函数() 2x x -y 2++=的值域。 点拨:将被开方数配方成平方数,利用二次函数的值求。 解:由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。此时2x x -2++=

函数的定义域与求法讲解

函数 一、函数的定义域及求法 1、分式的分母≠0;偶次方根的被开方数≥0; 2、对数函数的真数>0;对数函数的底数>0且≠1; 3、正切函数:x ≠ kπ + π/2 ,k∈Z;余切函数:x ≠ kπ ,k ∈Z ; 4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R; 5、定义域的相关求法:利用函数的图象(或数轴)法;利用其反函数的值域法; 6、复合函数定义域的求法:推理、取交集及分类讨论. [例题]: 1、求下列函数的定义域

3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R,求实数m的取值范围.[解析]:[利用复合函数的定义域进行分类讨论] 当m=0时,则mx2-4mx+m+3=3,→ 原函数的定义域为R; 当m≠0时,则 mx2-4mx+m+3>0, ①m<0时,显然原函数定义域不为R; ②m>0,且△=(-4m)2-4m(m+3)<0 时,即0<m<1,原函数定义域为R, 所以当m∈[0,1) 时,原函数定义域为R.

4、求函数y=log x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域. 2 [解析]:[求原函数的值域] 由题意可知,即求原函数的值域, ∵x≥4,∴log x≥2∴y≥3 2 x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域是[3,+∞).所以函数y=log 2 x)的定义域. 5、函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(log 2 [解析]:由题意可知2-1≤2x≤21→ f(x)定义域为[1/2,2] x≤2→ √ ̄2≤x≤4. → 1/2≤log 2 所以f(log x)的定义域是[√ ̄2,4]. 2 二、函数的值域及求法 1、一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R; 2、二次函数的值域:当a>0时,y≥-△/4a ,当a<0时, y≤-△/4a ; 3、反比例函数的值域:y≠0 ; 4、指数函数的值域为(0,+∞);对数函数的值域为R; 5、正弦、余弦函数的值域为[-1,1](即有界性);正切余切函数的值域为R; 6、值域的相关求法:配方法;零点讨论法;函数图象法;利用 求反函数的定义域法;换元法;利用函数的单调性和有界性法;分离变量法. [例题]::求下列函数的值域

函数定义域-值域求法以及分段函数

(一)函数的概念 1.函数的概念: 设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B 的一个函数(function). 记作:y=f(x),x∈A. 其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域(range). 注意: ○1“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x.2.构成函数的三要素: 定义域、对应关系和值域 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 (二)映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射(mapping). 记作“f:A→B” 说明: (1)这两个集合有先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述. (2)“都有唯一”什么意思? 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。1.例题分析:下列哪些对应是从集合A到集合B的映射? (1)A={P | P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应; (2)A={ P | P是平面直角体系中的点},B={(x,y)| x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角体系中的点与它的坐标对应; (3)A={三角形},B={x | x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆; (4)A={x | x是新华中学的班级},B={x | x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生. 思考: 将(3)中的对应关系f改为:每一个圆都对应它的内接三角形;(4)中的对应关系f 改为:每一个学生都对应他的班级,那么对应f:B→A是从集合B到集合A的映射吗? (三)函数的表示法 常用的函数表示法:(1)解析法; (2)图象法; (3)列表法.

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