第七章 第四节 课时限时检测

(时间60分钟，满分80分)

一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)

1．(2010·湖南四县调研)平面α∥平面β的一个充分条件是()

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a?α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α

解析：A、B、C中α与β都有可能相交．

答案：D

2．(2010·江南十校)已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：

①若α∩β＝a，β∩γ＝b且a∥b，则α∥γ；

②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；

③若α⊥β，α∩β＝a，b?β，a⊥b，则b⊥α；

④若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.

其中正确的是()

A．①②B．②③

C．①④D．③④

解析：可通过公理、定理判定其正确，通过特例、反例说明其错误．①

在正方体A1B1C1D1－ABCD中，平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD.平面

A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，且CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面

A1B1C1D1不平行，①错误．②因为a、b相交，可设其确定的平面为γ，

根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③根据平面与平面垂直的判定定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，③正确．④当直线a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，得不出l⊥α，④错误．答案：B

3．下列命题正确的是()

A．直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行

B．如果两条直线在平面α内的射影平行，则这两条直线平行

C．垂直于同一直线的两个平面平行

D．直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直

解析：当直线a在平面α内时，它与平面α不平行，但a可以与平面α内的一些直线平行，故选项A错误；两条直线在平面α内的射影平行，则可以为异面直线，故选项B错

误；直线a 与平面α不垂直，但直线a 可以与平面α内的一些直线垂直，故选项D 错误，只有选项C 正确．

答案：C

4．（2011·攀枝花模拟）给出下列命题：

①若直线a ∥直线b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内；

②直线a ∥平面α，平面α内有n 条直线交于一点，那么这n 条直线中与直线a 平行的直线有且只有一条；

③a ∥α，b 、c ?α，a ∥b ，b ⊥c ，则有a ⊥c ；

④过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行；

其中错误的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：②④错误．

答案：C

5．(2010·无锡一模)下列命题中正确的个数是( )

①若直线a 不在α内，则a ∥α；

②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；

③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；

④若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点；

⑤平行于同一平面的两直线可以相交．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：a ∩α＝A 时，a ?α，∴①错；

直线l 与α相交时，l 上有无数个点不在α内，故②错；

l ∥α时，α内的直线与l 平行或异面，故③错；

l ∥α，l 与α无公共点，∴l 与α内任一直线都无公共点，④正确；

长方体中A 1C 1与B 1D 1都与面ABCD 平行，

∴⑤正确．

答案：B

6.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1

上有两个动点E 、F ，且EF ＝12

，则下列结论中错误的是( ) A ．AC ⊥BE

B ．EF ∥平面ABCD

C ．三棱锥A －BEF 的体积为定值

D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等

解析：由AC ⊥平面DBB 1D 1可知AC ⊥BE .故A 正确．

EF ∥BD ，EF ?平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，知EF ∥平面ABCD ，故B 正确． A 到平面BEF 的距离即为A 到平面DBB 1D 1的距离，为

22，且S △BEF ＝12BB 1×EF ＝定值，

故V A －BEF 为定值，即C 正确．

答案：D

二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)

7．已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：

①若m ∥α，则m 平行于平面α内的无数条直线；

②若α∥β，m ?α，n ?β，则m ∥n ；

③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β；

④若α∥β，m ∥α，则m ∥β.

其中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．

解析：由线面平行定义及性质知①正确．②中若m ?α，n ?β，α∥β，

则m 、n 可能平行，也可能异面，故②错，

③中由 ?????m ⊥αm ∥n ? ?????n ⊥αn ⊥β?α∥β知③正确．

④中由α∥β，m ∥α可得，m ∥β或m ?β，故④错．

答案：①③

8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为 ________.

解析：如图，连结AC 、BD 交于O ，连结EO ，则EO ∥BD 1

又EO ?面ACE ，故BD 1∥面ACE .

答案：平行

9．如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则当M 满足条件________________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.

解析：当M点满足在线段FH上有MN∥面B1BDD1.

答案：M∈线段FH

三、解答题(共3个小题，满分35分)

10．(2010·陕西宝鸡)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是AB的中点．求证：AC1∥平面CDB1.

证明：连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，则E是BC1的中点，连接DE.

∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.

∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1.

11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中

心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置

时，平面D1BQ∥平面PAO?

解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.

∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.

连结DB.

∵P、O分别为DD1、DB的中点，

∴D 1B ∥PO .

又D 1B ?平面PAO ，

QB ?平面 PAO ，

∴D 1B ∥面PAO ，QB ∥面PAO ，

又D 1B ∩QB ＝B ，

∴平面D 1BQ ∥平面PAO .

12．一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M 、N 分别是

AF 、BC 的中点)．

(1)求证：MN ∥平面CDEF ；

(2)求多面体A －CDEF 的体积．

解：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱

ADE －BCF ，且AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∴∠CBF ＝π2

. (1)证明：取BF 的中点G ，连接MG 、NG ，

由M 、N 分别为AF 、BC 的中点可得，NG ∥CF ，MG ∥EF ，

又MG ∩NG ＝G ，

MG ，NG ?平面MNG ，

EF ，CF ?平面DEFC

∴平面MNG ∥平面CDEF ，又MN ?平面MNG ，

∴MN ∥平面CDEF .

(2)取DE 的中点H .

∵AD ＝AE ，∴AH ⊥DE ，

在直三棱柱ADE －BCF 中，

平面ADE ⊥平面CDEF ，

平面ADE ∩平面CDEF ＝DE .∴AH ⊥平面CDEF .

∴多面体A －CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH ＝2.

S矩形CDEF＝DE·EF＝42，∴棱锥A－CDEF的体积为

V＝1

3·S矩形CDEF·AH＝

1

3×42×2＝

8

3.