2015西城区中考二模数学试题及答案
北京市西城区2015年初三二模试卷
一、选择题(本题共30分，每小题3分)
1．2015年羊年除夕夜的10点半，在央视春晚送红包的活动中，微信“摇一摇”峰值的摇动次数达到8.1亿次/分钟，送出微信红包120 000 000个．将120 000 000用科学记数法表示应为 A. 90.1210? B. 71.210? C. 81.210? D. 71210? 2．如图，BD ∥AC ，AD 与BC 交于点E ，如果∠BCA =50°，∠D =30°， 那么∠DEC 等于
A. 75°
B. 80°
C. 100°
D. 120° 3．64的立方根是
A. 8±
B. 4±
C. 8
D. 4
4．函数y =中，自变量x 的取值范围是
A.2x ≠
B. x ≥2
C. x ＞2
D. x ≥2-
5．如图，△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，且DE ∥BC ，
如果
2
3
AD AB =，AC =6，那么AE 的长为 A. 3 B. 4 C. 9 D. 12
A. 35
B. 26
C. 25
D. 20 7. 若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于
A. 2
B. 1
C.
D.
8．如图，△ABC 的边AC 与⊙O 相交于C ，D 两点，且经过圆心O ， 边AB 与⊙O 相切，切点为B ．如果∠A =34°，那么∠C 等于 A ．28° B ．33° C ．34° D ．56°
9．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系xOy 中，O 是原点，
若点A 的坐标为，则点C 的坐标为
A ．
B ．(-
C ．(
D ．(1)-
10．在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(,1)m ．如果以原点为圆心，半径为1的⊙O
上存在点N ，使得45OMN ∠=?，那么m 的取值范围是
A ．1-≤m ≤1 B. 1-＜m ＜1 C. 0≤m ≤1 D. 0＜m ＜1 二、填空题(本题共18分，每小题3分)
11．若2
(2)0m ++ 则m n -= ．
12．若一个凸n 边形的内角和为1080?，则边数n = ．
13．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如下装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20cm ，光屏在距小孔30cm 处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm ，则光屏上火焰所成像的高度为______cm ． 14．请写出一个图象的对称轴是直线1x =，且经过(0,1)点的二次函数的表达式： ______． 15．如图，在平面直角坐标系x Oy 中，直线3y x =与双曲线
n
y x =
（n ≠0）在第一象限的公共点是(1,)P m ．小明说：“从图象上可以看出，满足3n
x x
>的x 的取值范围是1x >．”你同
意他的观点吗？答： ．理由是 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点D 为直线2y x =上且在第
一象限内的任意一点，1DA ⊥x 轴于点1A ，以1DA 为边在1DA 的右侧作正方形111A B C D ；直线1OC 与边1DA 交于点2A ，以2DA 为边在2DA 的右侧作正方形222A B C D ；直线2OC 与边1DA 交于点3A ，以3DA 为边在3DA 的右侧作正方形333A B C D ，……，按这种方式进行下去，则直线1OC 对应的函数表达式为 ，直线3OC 对应的函数表达式为 .
三、解答题(本题共30分，每小题5分)
17．如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 两点分别在AB ，BC 的延长线上，BD =CE ，连接AE ，CD ．求证：∠E ＝∠D ．
18．计算：101
2cos 30()1(3)3
π-++--.
19．已知2540x x --=，求代数式(2)(2)(21)(2)x x x x +----的值．
20．解方程：
2
312
33x x x x
-=--．
21．列方程（组）解应用题：
某超市的部分商品账目记录显示内容如下：
求第三天卖出牙膏多少盒．
22．已知关于x 的函数 2
(3)3y mx m x =+--．
（1）求证：无论m 取何实数，此函数的图象与x 轴总有公共点；
（2）当m ＞0时，如果此函数的图象与x 轴公共点的横坐标为整数，求正整数m 的值．
四、解答题(本题共20分，每小题5分)
23．如图，将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与点A 重合，点D 的落点记为点D ′ ，折痕为EF ，连接CF ．
（1）求证：四边形AFCE 是菱形；
（2）若∠B =45°，∠FCE =60°，AB =D ′F 的长．
24.1949年以来，北京市人口结构变迁经历了5个阶段，从2001年至今已进入第五个阶段 ——人口膨胀增长阶段.以下是根据北京市统计局2015年1月的相关数据制作的统计图.
根据以上信息解决下列问题：
（1）以下说法中，正确的是 （请填写所有正确说法的序号）
① 从2011年至2014年，全市常住人口数在逐年下降； ② 2010年末全市常住人口数达到近年来的最高值；
③2014年末全市常住人口比2013年末增加36.8万人；
④从2011年到2014年全市常住人口的年增长率连续递减.
（2）补全“2014年末北京市常住人口分布图”，并回答：2014年末朝阳、丰台、石景山、海淀四区的常住人口总数已经达到多少万人？
（3）水资源缺乏制约着北京市的人口承载能力，为控制人口过快增长，到2015年底，北京市要将全市常住人口数控制在2180万以内（即不超过2180万）.为实现这一目标，2015年的全市常住人口的年增长率应不超过．（精确到0.1%）
25．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交⊙O于点G，在CD的延长线上取一点P，使PF=PG．
（1）依题意补全图形，判断PG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当E为半径OA的中点，DG∥AB，且OA时，求PG的长．
26．（1）小明遇到下面一道题：
如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90o，∠ACB =30o，BE ⊥AC 于点E ，且=CDE ACB ∠∠．如果AB =1，求CD 边的长．
小明在解题过程中发现，图1中，△CDE 与△ 相似，CD 的长度等于 ，线段CD 与线段 的长度相等；
他进一步思考：如果ACB α∠=（α是锐角），其他条件不变，那么CD 的长度可以表示为CD = ；（用含α的式子表示）
（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题： 在Rt △OMN 中，∠MON =90o，OM ＜ON ，OQ ⊥MN 于点Q ，直线l 经过点M ，且l ∥ON ．请在直线l 上找出点P 的位置，使得NPQ ONM ∠=∠．请写出你的画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画出一个即可，保留画图痕迹，不要求证明）
五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．
已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数
2224y x ax =-+（其中a ＞2）．
（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若2
5
=
a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a
的取值范围．
28．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.
（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；
（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立
给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．
29．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：在图形G 上若存在两点M ，N ，使△PMN 为正三角形，则称图形G 为点P 的τ型线，点P 为图形G 的τ型点， △PMN 为图形G 关于点P 的τ型三角形．
（1）如图1，已知点(0,A ，(3,0)B ，以原点O 为圆心的⊙O 的半径为1．在A ，B 两点中，⊙O 的τ型点是____，画出并回答⊙O 关于该τ型点的τ型三角形；（画出一个即可） （2）如图2，已知点(0,2)E ，点(,0)F m （其中m ＞0）．若线段EF 为原点O 的τ型线，
且线段EF 关于原点O 的τm 的值； （3）若(0,2)H -是抛物线2y x n =+的τ型点，直接写出n 的取值范围．
北京市西城区2015年初三二模
数学试卷参考答案及评分标准
2015. 6
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
17.证明：如图1.
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AC =BC ，∠ACB ＝∠ABC =60°．……………………………………………… 1分
∵
D ，
E 两点分别在AB ，BC 的延长线上， ∴ ∠ACE ＝∠CBD =120°． …………………2分
在△ACE 和△CBD 中，
,,AC CB ACE CBD CE BD =??∠∠?
=?
?，＝ ……………………… 3分
∴ △ACE ≌△CBD ．……………………… 4分
∴ ∠E ＝∠D ． (5)
分
18．解： 101
2cos 30()1(3)3
π-++--
2311=++- ………………………………………………………………4分 1=. ………………………………………………………………………… 5分 19．解： (2)(2)(21)(2)x x x x +----
=224(252)x x x ---+………………………………………………………………2分 =224252x x x --+-
=256x x -+-．………………………………………………………………………3分
∵ 2540x x --=，
∴ 254x x -=．…………………………………………………………………… 4分 ∴ 原式=2(5)64610x x ---=--=-．……………………………………………5分 20．解：去分母，得 3(3)2x x --=．…………………………………………………… 1分 去括号，得 332x x -+=． ………………………………………………………2分 整理，得 21x =-．……………………………………………………………… 3分
解得 1
2x =-． …………………………………………………………………… 4分
经检验，1
2
x =-是原方程的解． …………………………………………………5分
所以原方程的解是1
2
x =-．
21．解：设牙膏每盒x 元，牙刷每支y 元．…………………………………………………1分
由题意，得 713121,
1415187.x y x y +=+=???
…………………………………………………… 2分
解得 85.x y ==???，
……………………………………………………………………… 3分
(124125)
88
-?=（盒）
． ………………………………………………………… 4分 答：第三天卖出牙膏8盒．………………………………………………………………5分
22．解：（1）当m =0 时，该函数为一次函数33y x =--，它的图象与x 轴有公共点.
……………………… 1分
当m ≠0 时，二次函数2(3)3y mx m x =+--．
2(3)4(3)m m ?=--?-26912m m m =-++2269(3)m m m =++=+．
∵ 无论m 取何实数，总有2(3)m +≥0，即?≥0， ∴ 方程2(3)30mx m x +--=有两个实数根．
∴ 此时函数2(3)3y mx m x =+--的图象与x 轴有公共点．……………2分 综上所述，无论m 取何实数，该函数的图象与x 轴总有公共点．
（2）∵m ＞0，
∴ 该函数为二次函数，它的图象与x 轴的公共点的横坐标为
(3)(3)
2m m x m --±+=
．
∴ 11x =-，23
x m
=．……………………………… 3分
∵ 此抛物线与x 轴公共点的横坐标为整数，
∴正整数m =1或3．………………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：如图2．
∵点C 与点A 重合，折痕为EF ，
∴12∠=∠，AE =EC ．
∵ 四边形ABCD 为平行四边形， ∴ AD ∥BC ． ∴ 32∠=∠． ∴ 13∠=∠． ∴ AE =AF ．……………………………………
∴ AF =EC ． 又∵ AF ∥EC ，
∴ 四边形AFCE 是平行四边形．…………… 2分 又AE =AF ，
∴ 四边形AFCE 为菱形．………………………… 3分
（2）解：如图3，作AG ⊥BE 于点G ，则∠AGB=∠AGE=90°． ∵
点D 的落点为点D ′ ，折痕为EF ，
∴D F DF '=.
∵ 四边形ABCD 为平行四边形， ∴ AD =BC ．
又∵AF =EC ，
∴AD AF BC EC -=-，即DF BE =．
∵在Rt △AGB 中，∠AGB=90°，∠B =45°，AB =
∴ AG =GB =6.
∵ 四边形AFCE 为平行四边形， ∴ AE ∥FC . ∴ ∠4=∠5=60°.
∵ 在Rt △AGE 中，∠AGE =90°，∠4=60°，
∴ tan 60AG
GE =
=?
∴ 6BE BG GE =+=+
∴ 6D F '=+…………………5分 24.解：（1）③④.………………………………… 2分
（2）补全统计图见图4. ………………… 3分 1055万人. ………………………… 4分
（3）1.3%.………………………………… 5分
25. 解：（1）补全图形如图5所示.…………………… 1分 答：PG 与⊙O 相切.
证明：如图6，连接OG .
∵ PF =PG ， ∴ ∠1=∠2.
又∵OG =OA ， ∴ ∠3=∠A .
∵ CD ⊥AB 于点E ， ∴ ∠A +∠AFE =90°. 又∵∠2 =∠AFE ， ∴ ∠3+∠1=90°. ……………………… 2分
即 OG ⊥PG .
∵ OG 为⊙O 的半径，
∴ PG 与⊙O 相切. …………………… 3分
（2）解：如图7，连接CG . ∵ CD ⊥AB 于点E ，
∴ ∠OEC =90°. ∵ DG ∥AB ，
∴∠GDC =∠OEC =90°. ∵∠GDC 是⊙O 的圆周角， ∴ CG 为⊙O 的直径. ∵ E 为半径OA 的中点，
∴ 22
OA OC
OE =
=. ∴ ∠OCE =30°即∠GCP =30°.
又∵∠CGP =90°，2CG OA ==， ∴tan 4PG CG GCP =?∠==. …………………………… 5分 26.解：（1）CAD ，，BC . ……………………………… 3分
1
tan α
.……………………………………………4分 （2）方法1：如图8，以点N 为圆心，ON 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点 1P ，2P 为符合题意的点.………………………… 5分
方法2：如图9，过点N 画NO 的垂线1m ，画NQ 的垂直平分线2m ，直线1m 与
2m 交于点R ，以点R 为圆心，RN 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，
则点1P ，2P 为符合题意的点.……………… 5分
五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．解：（1）∵ 一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，
∴ 20,4 1.
k b k b +=??+=?
解得1,
21.k b ?
=???=-?…………………………… 1分
∴ 12
1
1-=
x y ．…………… 2分 ∵ 22224)(42a a x ax x y -+-=+-=，
∴ 二次函数图象的顶点坐标为2
(,4)a a -．………… 3分
（2）①当2
5
=
a 时，4522+-=x x y ．………… 4分 如图10，因为10y >且2y ≤0，由图象得2＜x ≤4．…… 6分
②
136
≤a ＜5
2．……………………………7分
28．解：（1）CH=AB ． ………………………………… 1分 （2）结论成立．………………………………… 2分 证明：如图11，连接BE ． 在正方形ABCD 中，
AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°．
∵ DE=DF ， ∴ AF=CE ．
在△ABF 和△CBE 中，
,,,AB CB A BCE AF CE =??
∠=∠??=?
∴ △ABF ≌△CBE ．
∴ ∠1=∠2．…………………………………………3分 ∵ EH ⊥BF ，∠BCE =90°，
∴ H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上． ∴ ∠3=∠2． ∴ ∠3=∠1． ∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC =90°， ∴ ∠4=∠HBC ．
∴ CH=CB ．………………………………………………………………… 5分 ∴ CH=AB ．………………………………………………………………… 6分
（3
）3．………………………………………………………………………7分
29．解：（1）点A ．………………………………………1分 画图见图12．（画出一个即可）………… 2分
△AMN （或△AJK ）. …………………… 3分
（2）如图13，作OL ⊥EF 于点L .
∵ 线段EF 为点O 的τ型线，
∴ OL 即为线段EF 关于点O 的τ型三角形的高.
∵线段EF 关于点O 的τ
∴OL . ……………………………… 4分 ∵ 2OE =，OF m =，
∴
EL =
. ∴ cos 1EL OE ∠=
∴ cos 2cos 1
OL OL
OF =
=∠∠
∴m =……………………6分
（3）n ≤5
4
-.………………………8分