2017届人教A版 直线与圆锥曲线的位置关系 三年高考两年模拟题
第六节 直线与圆锥曲线的位置关系
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.(2015·四川，10)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) A.(1,3)B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)
2.(2016·新课标全国Ⅱ，21)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E
于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积. (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3 3.(2016·新课标全国Ⅲ，20)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ； (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 4.(2016·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，过点A (2，0)，B (0，1)两点. (1)求椭圆C 的方程及离心率； (2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值. 5.(2016·山东，21)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2. (1)求椭圆C 的方程； (2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B . ①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k ′ k 为定值. ②求直线AB 的斜率的最小值. 6.(2016·四川，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的 三个顶点，点P ????3，1 2在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程； (2)设不过原点O 且斜率为1 2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ， 直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |. 7.(2015·天津，19)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55. (1)求直线BF 的斜率； (2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |. ①求λ的值； ②若|PM |sin ∠BQP ＝75 9，求椭圆的方程. 8.(2015·北京，20)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M . (1)求椭圆C 的离心率； (2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率； (3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由. 9.(2015·江苏，18)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 2 2 ，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程. 10.(2015·湖北，22)一种画椭圆的工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3，当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1) 求椭圆C 的方程； (2) 设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点.若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由. 11.(2015·山东，21) 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32， 且点????3，1 2在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程； (2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2 4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ， B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP | 的值； (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值. 12..(2015·湖南，20)已知抛物线C 1：x 2 ＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的一个 焦点.C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD → 同向. (1)求C 2的方程； (2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率. 13.(2014·山东，21)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3 2， 直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为410 5. (1)求椭圆C 的方程； (2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点).点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点. ①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2.证明：存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值； ②求△OMN 面积的最大值. 14.(2014·江西，20)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点). (1)证明：动点D 在定直线上； (2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值. 15.(2014·北京，19)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率； (2)设O 为原点.若点A 在直线y ＝2上,点B 在椭圆C 上,且OA ⊥OB ,求线段AB 长度的最小值. B 组两年模拟精选(2016～2015年) 1.(2016·东北四校联考)设P 是椭圆x 225+y 29＝1上一点,M ,N 分别是两圆：(x +4)2+y 2＝1和 (x -4)2+y 2=1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A.9，12 B.8，11C.8，12 D.10，12 2.(2016·四川成都第二次诊断)已知抛物线y ＝x 2的焦点F ，过点(0，2)做直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点F 关于直线OA 的对称点为C ，则四边形OCAB 面积的最小值为( ) A.23B.3C.32 D.3 3.(2016·山东东营第二次质量检测)已知抛物线y 2 ＝8x 的准线与双曲线x 2a 2－y 2 16 ＝1相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，△ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为( ) A.3 B.2C.6D. 3 4.(2016·湖北八校联考)点A 是抛物线C 1：y 2 ＝2px (p ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( ) A.2B.3C.5D. 6 5.(2015·太原模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若|AB |＝|AF 2|，∠F 1AF 2＝90°，则双曲线的离心率为( ) A. 6＋32 B.6＋3C.5＋22 2 D.5＋2 2 6.(2015·马鞍山模拟)以双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的中心O (坐标原点)为圆心，焦距为直径 的圆与双曲线交于M 点(第一象限)，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，过点M 作x 轴垂线，垂足恰为OF 2的中点，则双曲线的离心率为( ) A.3－1 B.3C.3＋1 D.2 7.(2016·云南师大附中适应性月考)已知点P (x ，y )在椭圆x 264＋y 239＝1上，若定点A (5，0)，动点 M 满足|AM →|＝1，且PM →2AM →＝0，则|PM → |的最小值是________. 8.(2015·广西南宁三模)已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，以抛物线y 2＝16x 的焦点为其中一个焦点，以双曲线x 216－y 2 9＝1的焦点为顶点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若E ，F 是椭圆上关于原点对称的两点，则当直线PE ，PF 的斜率都存在，并记为k PE ，k PF 时，k PE 2k PF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 9.(2015·巴蜀中学一模)已知椭圆的焦点坐标是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过点F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|PQ |＝3. (1)求椭圆的方程； (2)过F 2的直线与椭圆交于不同的两点M ，N ，则△F 1MN 的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 答案精析 A 组三年高考真题（2016～2014年） 1.解析设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0)，则? ????y 21＝4x 1， y 22＝4x 2，相减得(y 1+y 2)(y 1-y 2)＝4(x 1-x 2)， 当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条； 当l 的斜率存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 222y 1－y 2 x 1－x 2＝2，即y 02k ＝2， 由CM ⊥AB 得k ·y 0－0 x 0－5 ＝－1，y 0k ＝5－x 0，2＝5－x 0，∴x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，有－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 2 0＋4＜12＋4＝16， 又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4，故选D. 答案D 2.解(1)设M (x 1,y 1),则由题意知y 1>0,由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (-2,0),因此直线AM 的方程为y =x +2.将x ＝y －2代入x 24＋y 2 3＝1得7y 2－12y ＝0,解得y ＝0 或y ＝127,所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449 . (2)证明将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 2 3＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， 由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝2（3－4k 2）3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2 ＝121＋k 23＋4k 2. 由题设，直线AN 的方程为y ＝－1 k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k 23k 2＋4 . 由2|AM |＝|AN |，得 23＋4k 2＝k 3k 2 ＋4 ，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0， 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8,则k 是f (t )的零点,f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0,所以f (t )在(0,＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3 3.(1)证明由题设F ????12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ????a 22，a ，B ????b 2 2，b ，P ????－12，a ， Q ????－12，b ，R ??? ? －12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2 －ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ . (2)解设过AB 的直线为l ,设l 与x 轴的交点为D (x 1,0),则S △ABF ＝12|b -a |·|FD |＝1 2|b -a |????x 1－12,S △PQF ＝|a －b | 2 . 由题设可得|b －a |????x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)， 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ). 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y .所以y 2＝x －1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1. 4.(1)解由椭圆过点A (2，0)，B (0，1)知a ＝2，b ＝1. 所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1，又c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆离心率e ＝c a ＝3 2 . (2)证明 设P 点坐标为(x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 2 0＝4，由B 点坐标(0，1)得直线PB 方程为：y －1＝y 0－1x 0(x －0)，令y ＝0，得x N ＝x 01－y 0，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1， 由A 点坐标(2，0)得直线P A 方程为y －0＝y 0 x 0－2(x －2)， 令x ＝0，得y M ＝2y 02－x 0，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0 x 0－2， 所以S 四边形ABNM ＝1 2|AN |2|BM | ＝1 2????2＋x 0y 0－1????1＋2y 0x 0 －2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2） ＝ 2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4 x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝2. 即四边形ABNM 的面积为定值2. 5.(1)解设椭圆的半焦距为c .由题意知2a ＝4，2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2 －c 2 ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2 2 ＝1. (2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0).由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m ). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3m x 0. 此时k ′k ＝－3.所以k ′ k 为定值－3. ②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).直线P A 的方程为y ＝kx ＋m . 直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立?????y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2 2＝1， 整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2） （2k 2＋1）x 0， 所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2） （2k 2＋1）x 0 ＋m . 同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2） （18k 2＋1）x 0 ＋m . 所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2） （18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0 ， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2） （2k 2 ＋1）x 0－m ＝－8k （6k 2＋1）（m 2 －2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0 ， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1 ＝6k 2＋14k ＝14????6k ＋1 k ， 由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝6 6时取“＝”. ∵P (x 0，2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，∴x 0＝4－8m 2，故此时2m －m 4－8m 2－0＝6 6， 即m ＝ 147，符合题意.所以直线AB 的斜率的最小值为6 2 . 6.解(1)由已知，a ＝2b ，又椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)过点P ????3，12，故3 4b 2＋1 4b 2＝1,解得b 2＝1.所以椭圆E 的方程是x 24 ＋y 2 ＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝1 2 x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由方程组???x 24 ＋y 2 ＝1，y ＝1 2x ＋m ， 得x 2 ＋2mx ＋2m 2 －2＝0，① 方程①的判别式为Δ＝4m 2－4(2m 2－2)，由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2 所以M 点坐标为????－m ，m 2，直线OM 方程为y ＝－12x ， 由方程组? ??x 24＋y 2 ＝1，y ＝－1 2 x ， 得C ????－2，22，D ????2，－2 2. 所以|MC |·|MD |＝ 52(－m ＋2)·52(2＋m )＝5 4 (2－m 2). 又|MA |·|MB |＝1 4 |AB |2 ＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝5 16[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝5 4(2－m 2). 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |. 7.解 (1)设F (-c ，0).由已知离心率c a ＝5 5及a 2＝b 2＋c 2,可得a ＝5c ,b ＝2c ,又因为B (0,b )， F (-c ,0)，故直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2c c ＝2. (2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M ). ①由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2＋y 2 4c 2＝1，直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c .将直线方程与椭圆方程 联立，消去y ，整理得3x 2＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c 3 . 因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－1 2x ＋2c ,与椭圆方程联立,消去y ， 整理得21x 2－40cx ＝0，解得x Q ＝40c 21 . 又因为λ＝|PM | |MQ |，及x M ＝0，可得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝78 . ②由①有|PM ||MQ |＝78，所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝715，即|PQ |＝15 7|PM |. 又因为|PM |sin ∠BQP ＝75 9 ， 所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝157|PM |sin ∠BQP ＝55 3. 又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－4 3 c ，所以|BP |＝ ????0＋5c 32＋????2c ＋4c 32 ＝553 c ， 因此553c ＝553，得c ＝1.所以，椭圆方程为x 25＋y 2 4 ＝1. 8.解 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2 ＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2. 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝6 3 . (2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)， 直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)，令x ＝3，得M (3，2－y 1)， 所以直线BM 的斜率k BM ＝ 2－y 1＋y 1 3－1 ＝1. (3)直线BM 与直线DE 平行，证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝ 1－0 2－1 ＝1，所以BM ∥DE ， 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1 x 1－2 (x －2). 令x ＝3，得点M ? ????3，y 1＋x 1－3x 1－2，由?????x 2 ＋3y 2 ＝3，y ＝k （x －1）， 得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝6k 2 1＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k 2， 直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3 x 1－2 －y 2 3－x 2 ， 因为k BM －1＝k （x 1－1）＋x 1－3－k （x 2－1）（x 1－2）－（3－x 2）（x 1－2） （3－x 2）（x 1－2） ＝ （k －1）[－x 1x 2＋2（x 1＋x 2）－3] （3－x 2）（x 1－2） ＝ （k －1）? ?? ??－3k 2＋31＋3k 2＋12k 2 1＋3k 2－3（3－x 2）（x 1－2） ＝0， 所以k BM ＝1＝k DE .所以BM ∥DE ， 综上可知，直线BM 与直线DE 平行. 9.解(1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2 c ＝3， 解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2 ＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意. 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，C 的坐标为? ?? ??2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且 AB ＝（x 2－x 1）2 ＋（y 2－y 1）2 ＝（1＋k 2 ）（x 2－x 1）2 ＝22（1＋k 2） 1＋2k 2 . 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意. 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ?? ??x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为? ????－2，5k 2 ＋2k （1＋2k 2）， 从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2 |k |（1＋2k 2） . 因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2） 1＋2k 2， 解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1. 10.解 (1)因为|OM |≤|MN |＋|NO |＝3＋1＝4，当M ，N 在x 轴上时，等号成立； 同理|OM |≥|MN |－|NO |＝3－1＝2，当D ，O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立. 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216＋y 2 4 ＝1. (2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝1 23434＝8. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ? ???k ≠±12， 由?????y ＝kx ＋m ， x 2＋4y 2 ＝16， 消去y ，可得(1＋4k 2)2x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4.① 又由? ????y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ????2m 1－2k ，m 1－2k ； 同理可得Q ? ?? ? ?－2m 1＋2k ，m 1＋2k . 由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝ |m |1＋k 2 和|PQ |＝1＋k 2 |x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12|PQ |2d ＝12|m ||x P －x Q |＝122|m |2????2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝????2m 21－4k 2.② 将①代入②得，S △OPQ ＝????2m 2 1－4k 2＝8|4k 2 ＋1||4k 2 －1|. 当k 2 >14时，S △OPQ ＝8? ????4k 2＋14k 2－1＝8? ???1＋24k 2－1>8； 当0≤k 2 <14时，S △OPQ ＝8? ????4k 2＋11－4k 2＝8? ???－1＋21－4k 2. 因0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8????－1＋21－4k 2≥8， 当且仅当k ＝0时取等号.所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8. 综合①②可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8. 11.解 (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1.又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2 ＝1. (2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 2 4 ＝1. (ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ | |OP | ＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0). 因为x 204＋y 2 0＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24????x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. (ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，① 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2. 所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 2 1＋4k 2 . 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝1 2|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2 ＝2（16k 2＋4－m 2）m 21＋4k 2 ＝2 ????4－m 2 1＋4k 2m 2 1＋4k 2 . 设m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0＜t ≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23， 当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3. 12.解 (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2－b 2＝1.① 又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为????±6，32，所以94a 2＋6 b 2＝1.② 联立①，②得a 2 ＝9，b 2 ＝8.故C 2的方程为y 29＋x 2 8 ＝1. (2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4). 因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD → ，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4， 于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由?????y ＝kx ＋1， x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0. 而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④ 由?????y ＝kx ＋1，x 28＋y 2 9＝1 得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0. 而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2 ，⑤ 将④，⑤代入③，得16(k 2 ＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋43649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝16239（k 2＋1）（9＋8k 2）2 ， 所以(9＋8k 2)2＝1639，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±6 4 . 13.解 (1)由题意知a 2－b 2a ＝3 2，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2. 将y ＝x 代入可得x ＝± 5a 5，因此2325a 5＝4105 ，可得a ＝2.因此b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24 ＋y 2 ＝1. (2)①设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1 x 1， 又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1 y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ， 由题意知k ≠0，m ≠0.由?????y ＝kx ＋m ，x 2 4＋y 2 ＝1可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m 1＋4k 2. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝ y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 1 4x 1. 所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝ y 1 4x 1 (x ＋x 1). 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1，0).可得k 2＝－y 1 2x 1. 所以k 1＝－12k 2，即λ＝－1 2. 因此存在常数λ＝－1 2 使得结论成立. ②直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝－3 4y 1， 即N ? ???0，－3 4y 1.由①知M (3x 1，0)， 可得△OMN 的面积S ＝1233|x 1|334|y 1|＝9 8 |x 1||y 1|. 因为|x 1||y 1|≤x 2 14＋y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值9 8 ， 所以△OMN 面积的最大值为98 . 14.证明(1)依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2,代入x 2＝4y ,得x 2＝4(kx ＋2),即x 2－4kx －8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8， 直线AO 的方程为y ＝y 1 x 1 x ；BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为?????x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1. 注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1 ，则有y ＝y 1x 1x 2x 21 ＝－8y 1 4y 1＝－2， 因此D 点在定直线y ＝－2(x ≠0)上. (2)依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0， 由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2.故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2. 分别令y ＝2、y ＝－2得N 1、N 2的坐标为N 1????2a ＋a ，2，N 2????－2 a ＋a ，－2， 则|MN 2|2 －|MN 1|2 ＝????2a －a 2 ＋42－??? ?2 a ＋a 2 ＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8. 15.解 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2 2＝1. 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2 2 . (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →2OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0 .又x 2 0＋2y 20＝4， 所以|AB |2 ＝(x 0-t )2 ＋(y 0-2)2 ＝????x 0＋2y 0x 02 ＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 2 +4＝x 2 02＋8x 20 ＋4(0＜x 20≤4). 因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2 ≥8. 故线段AB 长度的最小值为2 2. B 组两年模拟精选(2016～2015年) 1.解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|P A |＋|PB |＝2a ＝10， 连接P A ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|P A |＋|PB |－2R ＝8；连接P A ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|＋|PN |最大，最大值为|P A |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8，12.] 答案C 2.解析不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<0 满足题意，故可设直线方程为y ＝kx ＋2，联立抛物线方程可得x 2－kx －2＝0，故???? ?x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2，y 1y 2＝4 ∴S OCAB ＝S △OAB ＋S △OF A ＝12×2×(x 2－x 1)＋12×14×(－x 1)＝x 2＋9 8(－x 1)≥2 9 8 （－x 1x 2）＝3. 答案 D 3.解析由题意知，抛物线的准线x ＝－2，△ABF 是等腰直角三角形， 如图易知A (－2，4)，代入x 2a 2－y 2 16 ＝1， 即得a ＝2，∴双曲线的离心率为e ＝c a ＝a 2＋16a ＝18 2＝3. 答案 A 4.解析不妨设点A 在第一象限，A 的坐标为????p 2，p ，C 2的渐近线为y ＝±b a x ，得b a ·p 2＝p ，即b a ＝c 2－a 2 a ＝2，e ＝ 5. 答案C 5.解析设|AF 1|＝x ，|AF 2|＝y ，则有y －x ＝2a ①，又因为∠F 1AF 2＝90°，所以x 2＋y 2＝4c 2 ②，F 2A ⊥BF 1，又因为|AB |＝|AF 2|＝y ，所以BF 2＝2y ，则|BF 1|－|BF 2|＝x ＋y －2y ＝2a ③，联立①②③得e 2 ＝c 2a 2＝33－22 ，所以e ＝6＋3，故选B. 答案B 6.解析过点M 作x 轴垂线，交x 轴于点A ，由|MF 2|2＝|F 2A |·|F 1F 2|得|MF 2|＝c ，由双曲线定义|MF 1|－|MF 2|＝2a ，得|MF 1|＝2a ＋c ，由|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，得c 2－2ac －2a 2＝0，即e 2－2e －2＝0，得e ＝3＋1. 答案C 7.解析由|AM → |＝1可知点M 的轨迹为以点A 为圆心，1为半径的圆，过点P 作该圆的切线，则|P A |2＝|PM |2＋|AM |2，得|PM |2＝|P A |2－1，所以要使|PM →|的值最小，则要|P A →|的值最小，而|P A → |的最小值为a －c ＝3，此时|PM → |＝2 2. 答案2 2 8.解(1)由抛物线y 2 ＝16x 的焦点为(4，0)可得c ＝4.可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0). ∵双曲线x 216－y 2 9 ＝1的焦点为(±5，0).∴由题意知a ＝5，b 2＝a 2－b 2＝25－16＝9. 故椭圆标准方程为x 225＋y 2 9＝1. (2)k PE ·k PF 为定值，该定值为－9 25 . 理由：E ，F 是椭圆上关于原点对称的两点. 设E (m ，n )，则F (－m ，－n )，又设P 点坐标为(x ，y ).则m 225＋n 29＝1，x 225＋y 2 9＝1. 两式相减可得x 2－m 225＋y 2－n 29＝0，即y 2－n 2x 2－m 2＝－9 25. (由题意知x 2－m 2≠0). 又k PE ＝y －n x －m ，k PF ＝y ＋n x ＋m ，则k PE ·k PF ＝y 2－n 2x 2－m 2＝－925.∴k PE ·k PF 为定值，且为－925. 9.解(1)设椭圆的方程是x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由交点的坐标得c ＝1,由|PQ |＝3,可得2b 2a ＝3,解得a ＝2,b ＝3,故椭圆的方程是x 24＋y 2 3＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，不妨设y 1＞0，y 2＞0， 设△F 1MN 的内切圆半径是R ，则△F 1MN 的周长是4a ＝8， S △F 1MN 最大，R 就最大， S △F 1MN ＝1 2 |F 1F 2||y 1－y 2|＝y 1－y 2， 由题知，直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1， 由?????x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1， 得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 解得y 1＝－3m －6m 2＋13m 2＋4，y 2＝－3m ＋6m 2＋13m 2＋4，则S △F 1MN ＝12m 2＋13m 2＋4， 令t ＝m 2＋1，则t ≥1，则S △F 1MN ＝12 3t ＋ 1t ， 令f (t )＝3t ＋1t ，f ′(t )＝3－1 t 2， 当t ≥1时，f ′(t )≥0，f ′(t )在[1，＋∞)上单调递增， 有f (t )≥f (1)＝4，S △F 1MN ≤124＝3，即当t ＝1，m ＝0时，S △F 1MN ≤12 4＝3，S △F 1MN ＝4R ，所 以R max ＝34，此时所求内切圆面积的最大值是9π 16， 故直线l ：x ＝1，△F 1MN 内切圆的面积最大值是9π 16 . 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题 ★★★高考要考什么 1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)． ②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)． ③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离． ④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近． (2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解． (3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法． (4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解． 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数， 通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是 均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 ★★★突破重难点 【练习】1、点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+|PF| 取得最小值，求点P 的坐标。若A （1，3）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+d|取得最小值，其中d 是点P 到准线的距离，求点P 的坐标 2．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 22 259 1+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（） A ．10 B ．105- C ．105+D ．1025+ 3．已知双曲线22 1169 x y -=，过其右焦点F 的直线l 交双曲线于AB ，若|AB |=5，则直线l 有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 4．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x +2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为（） 直线与圆锥曲线位置关系 一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定， 下面以直线y kx m =+和椭圆：()22 2210x y a b a b +=>>为例 （1）联立直线与椭圆方程：222222 y kx m b x a y a b =+??+=? （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：() 2 22 2 22b x a kx m a b ++=，整理可得： ()22 222222220a k b x a kxm a m a b +++-= （3）通过计算判别式?的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ 0?>为例： （1）联立直线与双曲线方程：22 2 2 22 y kx m b x a y a b =+?? -=?，消元代入后可得： ()()2 2222222220b a k x a kxm a m a b ---+= （2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2 2 2 0a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为2 2 2 b a k -，有可能为零。所以要分情况进行讨论 圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y 高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 数学圆锥曲线测试高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线 x 2a 2－ y 2 b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D , 1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是 椭圆22 154 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴=== 设P （x ，y ），则1),1(),1(2 221-+=--?---=?y x y x y x PF 35 1 1544222+=-- +x x x ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3； 当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不 存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y 由方程组22 22221(54)5012520054 (5)x y k x k x k y k x ?+ =?+-+-=??=-? ，得 依题意220(1680)0k k ?=-><< ，得 当5 5 55< <- k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4 5252,455022 2102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4 520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F 与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件 9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 聚焦考点直线和圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力。在近几年的高考中，每年风格都在变换，考查思维的敏捷性，在探索中求创新。 具体来说，这些问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题。与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向。 纵观近几年高考和各类型考试，可以发现： 1．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。 2．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便。 3．充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用。灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题。 热点透析 题型1：直线与圆锥曲线的交点个数问题 例1已知双曲线C:2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点. (2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在. 解:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 .(*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点. ②当Δ＞0,即k＜,又k≠±, 故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点. ③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点. 圆锥曲线的综合问题 [知识能否忆起] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1 －x 2|或 1＋1 k 2|y 1－y 2|. [小题能否全取] 1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 2 16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－ x 23＝1 B.y 23 －x 2 ＝1 C.34x 2－3 8 y 2＝1 D.34y 2－3 8 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2， c a ＝2，c ＝2， 得a ＝1，b ＝ 3. 故双曲线方程为y 2－ x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直 第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 第六节 圆锥曲线综合 考纲解读 1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题. 2.会处理动曲线（含直线）过定点的问题. 3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题. 4.会按条件建立目标函数，研究变量的最值及取值范围问题，注意运用数形结合法和几何法求某些量的最值. 命题趋势研究 从内容上看，预测2015年高考主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；④涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题. 从形式上看，以解答题为主，难度较大. 从能力要求上看，要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量. （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数. （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法. （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法. 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点). （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. （3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系). 四、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围. 题型归纳及思路提示 题型150 平面向量在解析几何中的应用 思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示.常见的应用有如下两个方面. （1）用向量的数量积解决有关角的问题.直角?0a b =,钝角?0a b <(且,a b 不反向), 高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） 椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆 的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应 于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 微专题5高考中的圆锥曲线问题 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(,),其实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是() A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 2.设F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,若∠F1PF2=90°,c=2,=3,则双曲线的两条渐近线的夹角为() A. B. C. D. 3.已知椭圆+=1(a>b>0)的中心为O,一个焦点为F,若以O为圆心,|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是() A.[,1) B.(0,] C.[,1) D.(0,] 4.已知M,N为双曲线-y2=1上关于坐标原点O对称的两点, P为双曲线上异于M,N的点,若直线PM的斜率的取值范围是[,2],则直线PN的斜率的取值范围是() A.(,) B.[-,-] C.[,] D.[-,-]∪[,] 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.已知离心率为的椭圆C:+=1(0 7.(12分)如图5-1,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(2,-1). (1)求椭圆C的标准方程; (2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ 平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值. 图5-1 8.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F1(-,0), 且过点T(,). (1)求椭圆C的方程; (2)设P(0,-1),直线l与椭圆C交于A,B两点,且|PA|=|PB|.求△OAB(O为坐标原点)的面积S的取值范围. 9.(12分)如图5-2,AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦,且以AB为直径的圆恒过原点O(A,B均不与O重合),△AOB 面积的最小值为16. (1)求抛物线的方程; (2)设过点A,B的切线的交点为M,试问点M是否在某定直线上?若在,求出该直线的方程;若不在,请说明理由. 图5-2 10.(12分)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为B,A(2,0),C为圆上任意一点,线段AC的垂直平分线l与线段CB的交点为P. (1)求点P的轨迹Γ的方程; (2)已知Q为曲线Γ上一动点,M(3,0),过O(O为坐标原点)作线段QM的垂线交曲线Γ于E,D两点,求的取值范围. 答案 难点25 圆锥曲线综合题 圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整. ●难点磁场 (★★★★)若椭圆22 22b y a x +=1(a ＞b ＞0)与直线l ：x +y =1在第一象限内有两个不同的交 点，求a 、b 所满足的条件，并画出点P (a ,b )的存在区域. ●案例探究 ［例1］已知圆k 过定点A (a ,0)(a ＞0),圆心k 在抛物线C ：y 2=2ax 上运动，MN 为圆k 在y 轴上截得的弦. (1)试问MN 的长是否随圆心k 的运动而变化？ (2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时，抛物线C 的准线与圆k 有怎样的位置关系？ 命题意图：本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力，属 ★★★★★级题目. 知识依托：弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识. 错解分析：在判断d 与R 的关系时，x 0的范围是学生容易忽略的. 技巧与方法：对第(2)问，需将目标转化为判断d =x 0+2 a 与R =a x +2 0的大小. 解：(1)设圆心k (x 0,y 0),且y 02=2ax 0, 圆k 的半径R =|AK |=22 02 020)(a x y a x +=+- ∴|MN |=22022 02 022x a x x R -+=-=2a (定值) ∴弦MN 的长不随圆心k 的运动而变化. (2)设M (0,y 1)、N (0,y 2)在圆k ：(x －x 0)2+(y －y 0)2=x 02+a 2中， 令x =0，得y 2－2y 0y +y 02－a 2=0 ∴y 1y 2=y 02－a 2 ∵|OA |是|OM |与|ON |的等差中项. ∴|OM |+|ON |=|y 1|+|y 2|=2|OA |=2a . 又|MN |=|y 1－y 2|=2a ∴|y 1|+|y 2|=|y 1－y 2| ∴y 1y 2≤0，因此y 02－a 2≤0,即2ax 0－a 2≤0. ∴0≤x 0≤ 2 a . 圆心k 到抛物线准线距离d =x 0+ 2 a ≤a ,而圆k 半径R =22 0a x +≥a . 且上两式不能同时取等号，故圆k 必与准线相交. ［例2］如图，已知椭圆1 2 2-+ m y m x =1(2≤m ≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A 、B 、C 、D ，设f (m )=||AB |－|CD || 圆锥曲线高考常见题型与分析 湖南 黄爱民 有关圆锥曲线的高考命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查．既有对基础知识的考查，又有与其他知识的综合考查，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，下面例谈圆锥曲线高考题常见类型． 一、轨迹问题 例1 椭圆方程为2 2 14y x +=，过点(01)M ，的直线l 交椭圆于点A B O ，，是坐标原点，点P 满足1()2 OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程． 解：设()P x y ，，11()A x y ，，22()B x y ，， 由题意，得122x x x +=，122 y y y +=，21211y y y x x x --=-． 又∵A B ，在椭圆上， 代入椭圆方程并相减，得121212121()()()()04x x x x y y y y -++-+=． 当12x x ≠时，有121212121()04y y x x y y x x -++ +=-g ． 即112204y x y x -+=g g ， 整理，得2240x y y +-=；① 当12x x =时，点A B ，的坐标分别为(02)，，(02)-，，这时点P 的坐标为(00)，，也满足①． 故点P 的轨迹方程为：2 212111 1616 y x ??- ???+=． 评析：本题主要考查椭圆的方程和性质等基础知识及轨迹的求法与应用和综合解题能力．利用点差法是求解的关键． 二、对称问题 例2 已知椭圆C 的方程22 143 x y +=，试确定m 的取值范围，使得C 上有不同的两点关于直线4y x m =+对称． 解：设椭圆上两点为11()A x y ，，22()B x y ，， 代入椭圆方程并相减，得121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=．①2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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