27、勾股定理与旋转
F
E D C
B A 勾股定理与旋转
1、正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.
2、（09崇文一模）在等边ABC ?的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且?
=∠60MDN ,?
=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ?的周长Q 与等边ABC ?的周长L 的关系．
图1 图2 图3
（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时
=L
Q
； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还
成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（III ）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用
x 、L 表示）
．
图2
图1
A'
B
阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ',当点A 落在C A '
上时,此题可解（如图2）．
请你回答：AP 的最大值是 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点， 则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）
图3
小阳遇到这样一个问题：如图（1），O 为等边△ABC 内部一点，且
3:2:1::=OC OB OA ，求AOB ∠的度数.
小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把△CO A 绕点A 逆时针旋转60°，使点C 与点B 重合，得到△O AB '，连结O O '. 则△O AO '是等边三角形，故OA O O ='，至此，通过旋转将线段OA 、OB 、OC 转移到同一个三角形B O O '中.
（1）请你回答：?=
∠AOB . （2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：
已知：如图（3），四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB =60°，∠DCB =30°，AC =5，CD =4.求四边形ABCD 的面积. 解：
D
C
B
A
图⑴ 图⑵ 图⑶
O
C
B
A
问题：如图1，P 为正方形ABCD 内一点，且P A ∶PB ∶PC =1∶2∶3，求∠APB 的度数．
小娜同学的想法是：不妨设P A=1， PB=2，PC=3，设法把P A 、PB 、PC 相对集中，于是他将△BCP 绕点B 顺时针旋转90°得到△BAE （如图2），然后连结PE ，问题得以解决．
请你回答：图2中∠APB 的度数为 ． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：
如图3，P 是等边三角形ABC 内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．
（1）在图3中画出并指明以P A 、PB 、PC 的长度为三边长的一个三角形（保留画
图痕迹）；
（2）求出以P A 、PB 、PC 的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等
于 ．
E
D
D
P
P
P
C
C
C
B
B
B
A
A
A
图1 图2 图3
【练习巩固】
1、（2012一模西城） 阅读下列材料：
问题：如图1，在正方形ABCD 内有一点P ，PA=5，PB=2，PC=1，求∠BPC 的度数． 小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到了△BP′A （如图2），然后连结PP′．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1) 图2中∠BPC 的度数为 ；
(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且PA =132，PB =4，PC =2，则∠BPC 的度数为 ，正六边形ABCDEF 的边长为 ．
2、（2012一模东城） 在ABC △中，AB 、BC 、AC 求这个三角形的面积．
小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上__________________； 思维拓展： （2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．
．若ABC △、（0a >），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）
画出相应的ABC △，并求出它的面积填写在横线上__________________； 探索创新：
（3）若ABC △（0a >），且ABC △的面积为2
2a ，
试运用构图法．．．
在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的ABC △(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．
3、（2012一模朝阳）阅读下面材料：
问题：如图①，在△ABC 中， D 是BC 边上的一点，若∠BAD =∠C =2∠DAC =45°，
DC =2．求BD 的长．
小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题 得到解决．
（1）请你回答：图中BD 的长为 ；
（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，
若∠BAD =∠C =2∠DAC =30°，DC =2，求BD 和AB 的长．
图① 图②
4、（2012东城一模）已知∠ABC =90°，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），
分别以AB 、AP 为边在∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ ,连结QE 并延长交BP 于点F .
（1）如图1，若AB =32，点A 、E 、P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长（直接写
出结果）；
（2）如图2，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想EF 与图中的哪条线段相等（不能
添加辅助线产生新的线段），并加以证明；
（3）若AB =32，设BP =x ，以QF 为边的等边三角形的面积y ，求y 关于x 的函数关
系式．
与勾股定理相关的旋转问题
与勾股定理相关的旋转问题 班级：姓名： 〖学习目标〗 1.掌握与勾股定理相关的旋转问题模型； 2.会用旋转法做辅助线，构造直角三角形使用勾股定理； 3.掌握与勾股定理相关的旋转问题的解题方法和技巧。 〖重点难点〗 重点：与勾股定理相关的旋转问题模型 难点：各类与勾股定理相关的旋转问题的题型，以及解题方法和技巧 〖导学流程〗 方法指导：对于条件较分散而题中又含公共顶点相等的边（一般是相邻的边）时，常采用旋转法，将分散条件集中到一个三角形中去。 例1. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，求证：CD2+BE2=DE2. 例2. 如图，等腰直角三角形ABC中，点D在斜边BC上，求证：BD2+CD2=2AD2.学海拾贝总结纠错 编号：年级—20180901(年+月+序号) 编制：审核：上课时间：
例3. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上的中点，过点D 作 DE ⊥DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F 。求证：AE 2+CF 2=DE 2+DF 2. 例4. 如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 的度数。 例5. 如图，P 是正方形ABCD 内一点，且3,2,1== =PC PB PA ，求∠BPC 的度数。
例6. 把一幅三角板如图1放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7. 把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图2，此时AB与CD1交于点O。求线段AD 1的长度。 例7. 如图，P是等边三角形ABC内一点。 （1）若PA=4，PC=3，PB=5，求∠APC； （2）若∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，则以PA、PB、PC为边的三角形的三个角分别是多少？ 例8. 已知凸四边形ABCD中，△ABC =△ADC = 45°，AC＝AD，求证：BD2=2AB2+BC2.
勾股定理与旋转翻折例题习题
武汉龙文教育学科辅导教案 学生教师学科 时间星期时间段 一、翻折问题 例1 在平面直角坐标系中，已知直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于 A、B 4 两点，点C（0，n）是y 轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B 刚好落在x 轴上，则点C的坐标是（）． （A）（0，43）（B）（0，43）（C）（0 ，3）（D）（0 ，4）43 练习：如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x 轴、y轴上，连结AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置， 若点B的坐标为（1 ，2），则点D的横坐标是___ ．
例 2 如图2，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点 A 与点C 重合， 则折痕EF的长为____ cm． 练习： 1.如图，折叠长方形的一边AD，点D AB=8cm,B C=10cm, 落在B A C边的点F处，已知D 求EC的长. 2.如图，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的 A．20 B．22 C．24 D．
P点处，若∠FPH 90o，PF 8，PH 6，则矩形ABCD的边BC长为（）
例 3 如图4，有一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，将矩形纸片先沿对角线BD对折，点C落在点C'的位置，BC'交AD于点G． (1) 求证：AG＝C'G； (2) 如图5，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点 M， 求EM的长． 练习：1.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE 交AD E
于点 F ，连结 AE ．证明：（1） BF DF ．（2） AE ∥ BD ．（3）若 AB=6，BC=10， 分别求 AF 、BF 的长, 并求三角形 FBD 的周长和面积 练习：2 在矩形纸片 ABCD 中， AB=3 3，BC=6，沿 EF 折叠后，点 C 落在 AB 边 上的点 P 处，点 D 落在点 Q 处， AD 与 PQ 相交于点 H ，∠BPE=30°．（ 1）求 BE 、QF 的长；（ 2）求四边形 PEFH 的面积． 练习 3. 如图，四边形 ABCD 为矩形纸片．把纸片 ABCD 折叠，使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处，折痕为 AF ．若CD 6，求 AF 的值 、勾股定理与旋转
《勾股定理与旋转》专题
《勾股定理与旋转》专题 例1、如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。 练习：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，则∠APB的度数是________. 例2 . 如图P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。 A B C D P 练习1：正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数。． 2、如图、中， ABC ?0 90 ACB= ∠，AC=BC，PA=6,PB=2,PC=4, 求∠CPB的度数。 A A F P P B B C C A P
图2 图1 A' A A B C B C 例3、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°， 试探究2 2 2 BE CF EF 、、间的关系，并说明理由. 【问题探究】 1、阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ' ,当点A 落在C A ' 上时,此题可解（如图2）． 请你回答：AP 的最大值是 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点，
八年级下册数学《勾股定理与旋转》专题
《勾股定理与旋转》专题 例1、如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB 的度数。 练习：设P 是等边ΔABC 内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，则∠APB 的度数是________. 例2 . 如图P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离分别为PA=1， PB=2，PC=3。求此正方形ABCD 面积。 A B C D P 练习1：正方形ABCD 内一点P ，使得PA ：PB ：PC=1：2：3，求∠APB 的度数。． 2、如图、中， ABC ?0 90ACB =∠，AC=BC ，PA=6,PB=2,PC=4, 求∠CPB 的度数。 A A F P P B B C C A C P
图2 图1 A' A A B C B C 例3、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°， 试探究222BE CF EF 、、间的关系，并说明理由. 【问题探究】 1、阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ' ,当点A 落在C A '上时,此题可解（如图2）． 请你回答：AP 的最大值是 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点， 则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）
27、勾股定理与旋转
F E D C B A 勾股定理与旋转 1、正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数. 2、（09崇文一模）在等边ABC ?的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且? =∠60MDN ,? =∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ?的周长Q 与等边ABC ?的周长L 的关系． 图1 图2 图3 （I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时 =L Q ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还 成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III ）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用 x 、L 表示） ．
图2 图1 A' B 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ',当点A 落在C A ' 上时,此题可解（如图2）． 请你回答：AP 的最大值是 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点， 则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简） 图3
勾股定理与旋转
1 如图正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上的一点，DE=1,以点A 为中心，把? 时针旋转90o得?ABE ′，连接EE ′，则EE ′的长为＿＿＿＿＿ 2如图，P 为等边三角形内一点，PC=5,PB=12, ∠BPC=150o （1）求PA 的长 （2）将⊿BAP 绕点B 顺时针旋转60o，请画出旋转后的图形，并标出相应点的字母， 连接CA ＇,则?BA ′P 为＿＿三角形，?PA ′C 为＿＿三角形，PA ′=＿＿＿ (3) PC ， PA ′ ，A ′C 之间有何等量关系 3 ?ABC 中，∠BAC=90o AB=AC ∠EAD=45o （1）当点在线段上时，求证BE 2＋CF 2=EF 2 (2)将?ABE 绕＿＿点＿＿时针旋转＿＿度,得?ACE ′，连接DE ′，则∠E ′CD=＿＿∠1＋∠2=＿＿＿ ∠E ′AD=∠2＋∠3=＿＿＿ ? AED ≌?＿＿ （3）当点E 在线段BC 上时，D 在BC 延长线上时，上述结论是否还成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由 B C D E E A B C P A B C D E
4, ?ABC 中， ∠ACB=90o，AC=BC ，点P 是?ABC 内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC 的 度数 5、 P 是正方形ABCD 内一点，连接PA,PB,PC （1）将?PAB 绕点B 顺时针旋转90o到?P ′CB 的位置，若PA=2，PB=4，∠APB=135o ,求PP ′及PC 的长 6 如图，Rt ?ABC 中，AC=BC ， ∠ACB=90o ，AP 2+QB 2=PQ 2，将?ACP 绕点C 逆时针旋转90o得?CBP ′，连QP ′（1）求证PQ=P ′Q （2）求证?CPQ ≌CP ′Q （3）求∠PCQ B C A P C D B A P B C Q P A P
勾股定理与旋转
1 如图正方形ABCD的边长为3，E为CD边上的一点，DE=1,以点A为中心，把?ADE 顺时针旋转90o得?ABE′，连接EE′，则EE′的长为＿＿＿＿＿ 2如图，P为等边三角形内一点，PC=5,PB=12, ∠BPC=150o （1）求PA的长 （2）将⊿BAP绕点B顺时针旋转60o，请画出旋转后的图形，并标出相应点的字母， 连接CA＇,则?BA′P为＿＿三角形，?PA′C为＿＿三角形，PA′=＿＿＿ (3) PC ，PA′，A′C之间有何等量关系？ 3 ?ABC中，∠BAC=90oAB=AC ∠EAD=45o （1）当点在线段上时，求证BE2＋CF2=EF2 (2)将?ABE绕＿＿点＿＿时针旋转＿＿度,得?ACE′，连接DE′，则∠E′CD=＿＿∠1 ＋∠2=＿＿＿∠E′AD=∠2＋∠3=＿＿＿? AED≌?＿＿ （3）当点E在线段BC上时，D在BC延长线上时，上述结论是否还成立，若成立，请证明， 若不成立，请说明理由 4, ?ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，点P是?ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠ BPC 的度数 A B C D E E′ A B C P A B C D E C P
5、P是正方形ABCD内一点，连接PA,PB,PC（1）将?PAB绕点B顺时针旋转90o到?P′CB 的位置，若PA=2，PB=4，∠APB=135o,求PP′及PC的长 6 如图，Rt?ABC中，AC=BC ，∠ACB=90o，AP 2+QB 2=PQ 2，将?ACP绕点C逆时针旋转90o得?CBP′，连QP′（1）求证PQ=P′Q （2）求证?CPQ≌CP′Q（3）求∠PCQ 7 正?ABC中，P为内部一点（1）若PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB （2）若PA 2＋PB 2=PC 2，求∠APB C D P A P′ B C Q P′ A P A B P C
勾股定理与旋转的综合运用
勾股定理与旋转的综合运用 课型 习题课 执笔 石超群 课时 两课时 授课时间 第五周 审核 黄勇 熊超 教学目标：能够熟练找到图形在旋转过程中不变的线段长和角度，并能够运用旋转的性质在图形中用勾股定理进行计算和证明 教学过程： 一 学前准备 1 如图正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上的一点，DE=1,以点A 为中心， 顺时针旋转90o得⊿ABE ′，连接EE ′，则EE ′的长为＿＿＿＿＿ 2如图，P 为等边三角形内一点，PC=5,PB=12, ∠BPC=150o （1）求PA 的长 （2）将⊿BAP 绕点B 顺时针旋转60o，请画出旋转后的图形，并标出相应点的字母， 连接CA ＇,则⊿BA ′P 为＿＿＿＿三角形，⊿PA ′C 为＿＿＿＿三角形，PA ′=＿＿＿＿ (3) PC ， PA ′ ，A ′C 之间有何等量关系？ 二 探究活动 1 ⊿ABC 中，∠BAC=90o AB=AC ∠EAD=45o （1）当点在线段上时，求证BE 2＋CF 2=EF 2 (2)将⊿ABE 绕＿＿点＿＿时针旋转＿＿度,得⊿ACE ′，连接DE ′，则∠E ′CD=＿＿∠1＋∠2=＿＿＿ ∠E ′AD=∠2＋∠3=＿＿＿ ⊿ AED ≌⊿＿＿ （3）当点E 在线段BC 上时，D 在BC 延长线上时，上述结论是否还成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由 2, ⊿ABC 中， ∠ACB=90o，AC=BC ，点P 是⊿ABC 内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求 ∠BPC 的度数 B C D E E A B C P A B C D E E ′ B C A P
旋转中的勾股定理
如图所示，在Rt三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，∠DAE=45°，且BD=3，CE=4,求DE的长。 已知，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC. (1)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置（如图①）． ①设AB的长为a，PB的长为b(b 已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N。 （1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2=AM2+BN2；（思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决，可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了，请你完成证明过程。） （2）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 如图，在等腰三角形ABC中，∠A=90°，D为BC边上的中点，过D点作DE垂直DF，交 的面积。 AB于点E，交BC于点F，若BE=12，FC=5，求DEF 如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC 边上的点，且DE⊥DF． 1如图正方形A BCD得边长为3,E为CD边上得一点,DE=1,以点A为中心把顺时针旋转9 0。得AAB E \连接EE',则EE'得长为__________________________ A r 2如图?P为等边三角形内一点?PC= 5 .PB=12, ZBPC = 150° (1 )求PA得长 (2)将NBA P绕点B顺时针旋转60S请画出旋转后得图形，并标岀相应点得字母, 连接C A；则ABA'P为—三角形APA' C为—三角形，PA' = (3) PC .PA" , A'C之间有何等量关系? (3)当点E在线段BC上时.D在BC延长线上时,上述结论就就是否还成立，若成立，请证明， 若不成立，请说明理由 4、AABC 中，ZACB=9 0 ° , AC= B C ,点P 就就是AAB C 内一点，且P A =6, P B=2, P C = 4,求ZBPC得度数夭 5、P就就是正方形ABC D内一点，连接PA.PB.PC (1)将APAB绕点乡倫逊转9 0 ° 到AP CB 得位竄若PA=2,P B = 4,ZA PB=135° ,求 PP'及PC 得长/ \\ 6 如图,RtAABC 中，AC=BC , ZACB=9 0 ° .AP 2+QB^^ 时针旋转90°得ACBP'旌QP‘(1)求证PQ=P r Q (2)求证△ CPQ9C 7正AABC中,P为内部一点(1)若PA=3,PB=4, PC=5,求乡幻＞ (2)若PA 2+PB 2=PC 2,求ZAPB /A 8、如图1, P就就是正三角形ABC内得一点，且PA二6, PB$/p4ib咪&PB得度 数。/ \ [/ ■?一a ------------ -- 9、如图：设P就就是等边A ABC内得一点,PA二3, PB=4, PC=5,则APB得度数就就 是、 知识点一．直角三角形与旋转问题 1、将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，可帮助解决很多几何问题。 （1）如图1，直角△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为BC 边上的一点，将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°至△ACF ，作AE 平分∠DAF 交BC 于E ，请证明：BD 2+CE 2=DE 2； （2）如图2，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若四边形ABCD 的面积是64cm 2， 则AC 长是 ▲ cm ； （3）如图3，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．∠ADC=30°，AD=2， BD=3，求CD 的长． 2、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接PA ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连接CQ ． (1) 观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论； (2) 若PA ：PB ：PC =3：4：5，连接PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由． 图1 B C F 图2 图3 知识点二．将军饮马及最短距离 2、如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20，3，2，A和B是这个台阶的两个相对的端点．若A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是______. 3、如图,圆柱的底面周长为48cm,高为7cm,一只蚂蚁从点B出发沿着圆柱的表面爬行到点A,现有两种路径：①折线B→C→A;②在圆柱侧面上从B到A的一条最短的曲线l.请分别计算这两种路径的长,较短的路径是___.(填①或②). 4、如图，长方体的长，宽，高分别为8，4，10．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______． 1.如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是_______． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，∠ABC的平分线BD交AC于D，且BD=8，点E 是AB边上的一动点，则DE的最小值为． 1 C 旋转变换与勾股定理 姓名: 1.P 为正方形ABCD 内一点，PA ＝3，PD ＝2, PC ＝11,求∠APD 的度数和正方形的面积。 2.、如图：设P 是等边ΔABC 内的一点，PA=3,PB=4，PC=5，求∠APB 的度数. A P 34 5 3.如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=2，PC=7，求正三角形ABC 的边长. 4.如图P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离分别为PA=2，PB=2，PC=10。求此正方形ABCD 面积。 5.如图P 是等腰直角ABC △内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离分别为PA=1，PB=2，PC= 6.如图，点P 是正方形ABCD 内一点，连接PA,PB,PC,PA=2,PB=3,且∠APB=135°,求PC 的长。 7.已知如图，△ABC 中，∠CAB=90°，AB=AC ，∠EAF=45°， （1）当E 、F 在BC 边上时，求证：EF 2=BE 2+FC 2 ． （2）当E 点在BC 边上，F 在BC 的延长线上，其他条件不变，上述结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。 8.如图：在ABC Rt ?中，?=∠90A ，D 为斜边BC 的中点， DF DE ⊥，且12=BE ，=CF D B P A A P B C P A B C D A B C E F A B C E F 2 9.如图，边长为3的正方形ABCD ，E 为DC 上一点，DE ＝1，将△ADE 以A 为中心 顺时针旋转90°到△ABF,则EF 的长 。 10.如图，在等边三角形ABC 内有一点P, PB=2 ，PA=4、且∠BPC ＝150°,求PC 的长 11.正方形ABCD 内一点P ，使得PA=2,PB=4, PC=6，求∠APB 的度数和正方形ABCD 面积． 12.如图，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2，PB= ，PC=1、求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 13.如图，在ΔABC 中， ACB =900 ，BC=AC ，P 为ΔABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求ΔABC 的面积。 1 23 A B C P 14.如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的 中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=6，CF=4．求 线段EF 的长。 14.已知如图，△ABC 中，∠CAB=90°，AB=AC ，E 、F 为BC 上的点且∠EAF=45°，BE=3 ．CF=2,求EF 的长. 16.如图，P 等边三角形ABC 内一点，PC=5,PB=12,∠BPC=150°, （1）求PA 的长？ （2）将△BPA 绕点B 顺时针旋转到△B A ’C ，请画出旋转后的图形, 并标出相应的字母，连接CA ’,则△BA ’P 是 三角形, PA ’= （3）PC,PA ’,A ’C 有何关系？ 17.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=30°, ∠ADC=60°，AD=DC ， 求证：BD 2=AB 2+BC 2 . C P B A A B C E F C P B A A B C P B A B A C D E F 专题勾股定理中的翻折和旋转问题 考点一翻折问题 【方法点拨】根据翻折前后两图形全等，借助勾股定理构造方程求线段的长。 1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 2．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F 处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD 的长BC与宽AB的关系是（） A．BC＝2AB B．BC AB C．BC＝1.5AB D．BC AB 3．长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE翻折，点B恰好落在对角线 4．如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B′，B′C与AD交 5．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，AB＝6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 6．如图，D在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边AD一个动点，将△ABE沿BE对折成△BEF，则线段 7．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．（1）若∠1＝50°，求∠2、∠3的度数； （2）若AD＝8，AB＝4，求BF． 8．矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E在线段AB上．点F在线段AD上 （1）沿EF折叠，使A落在CD边上的G处（如图），若DG＝3，求AF的长；求AE的长； （2）若按EF折叠后，点A落在矩形ABCD的CD边上，请直接写出AF的范围． 9．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将它沿着对角线对折，使B折到M，求：（1）线段CE的长度； 1 如图正方形ＡBC Ｄ得边长为3,E 为CD 边上得一点,ＤE ＝1，以点A 为中心, 顺时针旋转９0o得?AB Ｅ′，连接EE ′，则EE ′得长为_＿___ ２如图,P 为等边三角形内一点,PC=５,PB=12， ∠BP Ｃ=150o (１)求PA 得长 (2)将⊿B ＡＰ绕点B 顺时针旋转60o,请画出旋转后得图形,并标出相应点得字母, 连接ＣＡ',则?BA ′P 为＿＿三角形,?PA ′Ｃ为_＿三角形，ＰA ′=__＿ （3) Ｐ C , PA ′ ，A ′C 之间有何等量关系? 3 ?A ＢC 中，∠BAC ＝９０o ＡＢ=A Ｃ ∠EAD ＝４５o （１)当点在线段上时,求证ＢＥ2+CF 2＝E Ｆ2 (2)将?ABE 绕＿＿点＿＿时针旋转_＿度,得?AC Ｅ′，连接D Ｅ′,则∠Ｅ′CD=__∠1＋∠2＝_＿＿ ∠Ｅ′AD=∠2+∠3＝＿＿_ ? AED ≌?＿＿ (3)当点E 在线段BC 上时,D 在BC 延长线上时,上述结论就就是否还成立，若成立,请证明,若不成立，请说明理由 4, ?ABC 中， ∠ACB=9０o，AC ＝ＢＣ,点P 就就是?AB Ｃ内一点,且P Ａ＝6,ＰB ＝2,ＰＣ＝ ４,求∠BPC 得度数 5、 Ｐ就就是正方形ABC Ｄ内一点，连接ＰＡ,P Ｂ,P 到?P ′CB 得位置,若ＰA=2,ＰＢ=４,∠ＡＰB=135o 6 如图,Ｒt ?ＡBC 中，ＡC=BC , ∠ACB=9０o ,AP 时针旋转90o得?CBP ′,连QP ′(1)求证PQ=Ｐ′Q (2)求证 ７ 正?A ＢC 中,P 为内部一点（1）若PA=3,ＰＢ=4(2）若PA 2+P Ｂ 2=ＰC 2,求∠AP Ｂ 8、如图１，Ｐ就就是正三角形A ＢＣ内得一点，且数。 9、如图：设P 就就是等边ΔＡBC 内得一点,PA=3, PB ＝4，PC ＝5,则APB 得度数就就是 ＿ _ ＿ ___ ＿ _ 、 D E E A B C P A B C D E勾股定理与旋转
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