高三数学数列求和的基本方法和技巧

高三数学数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

； 2、等比数列求和公式：??

?

??≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q

a a q q a q na S n n n ；

3、)1(211+==∑=n n k S n

k n ；4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n

k n ；5、21

3)]1(21

[+==∑=n n k S n

k n

【例1】已知3

log 1

log 23-=

x ，求 ，，，

，，n x x x x 32的前n 项和. 【例2】设S n ＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N ，求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.

【例3】求和：132)12(7531--+++++=n n x n x x x S ……………………①

【例4】求数列 ,22,,26,24,

2232n

n

前n 项的和. 三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

【例5】求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=+++++

【例6】求?+?++?+?+?89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222 的值

四、分部求和法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

【例7】求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-++++-n a

a a n ，… 【例8】求数列{n (n +1)(2n +1)}的前n 项和.

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）)()1(n f n f a n -+=； （2）

?-?+=?

+??

n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin

（3）111-

==a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n

(6) n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2

)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-则 【例9】求数列

,1

1,,321,211++++n n 的前n 项和.

【例10】在数列{a n }中，1

1211++

++++=n n

n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 【例11】求证：

?

?

=

??++??+??1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 1cos 0cos 12 六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

【例12】求cos1?＋cos2?＋cos3?＋…＋cos178?＋cos179?的值. 【例13】数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.

【例14】已知{a n }是正项等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +++= 求的值. 七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

【例15】求

1

1111111111个n ++++之和. 【例16】已知数列{a n }：∑∞

=+-+++=

1

1))(1(,)3)(1(8

n n n n a a n n n a 求的值.

1、『解』由2

1

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x 由等比数列求和公式得

n n x x x x S ++++= 32＝x x x n

--1)1(＝1)

21

1(21-

-n ＝1－n 21（利用常用公式） 2、『解』由等差数列求和公式得 )1(1

+=

n n S n ， )2)(1(2

11++=+n n S n ∴ 1)32()(++=

n n S n S n f ＝64342++n n n

＝n 64341++＝50

)8(12+-n

n 501≤

∴ 当

n

n 8=，即n ＝8时，501)(max =n f

3、『解』由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积

设n n x n x x x x xS )12(7531432-+++++?= …………………… ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1

----?+=--

∴ 2

1)

1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 4、『解』由题可知，{

n n 22}的通项是等差数列{2n }的通项与等比数列{n

21

}的通项之积 设n n n

S 2226242232++++= ………………………………①

14322

226242221+++++=n n n

S ……………………………② ①－②得143222222222222)11(+-+???++++=-n n n n S 1122212+---=n n n

∴ 12

2

4-+-=n n n S

5、【证明】设n

n

n n n n C n C C C S )12(53210+++++= …………………………① 把①式右边倒转过来得0

113)12()12(n

n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-（反序）

又由m

n n m n C C -=可得 n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(……… ② ①＋②得 n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=- （反序相加）

∴ n n n S 2)1(?+=

6、『解』设?+?++?+?+?=89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222 S ……………… ①

将①式右边反序得

?+?+?++?+?=1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222 S ………….②

又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x

①＋②得)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222?+?++?+?+?+?= S ＝89 ∴ S ＝44.5

7、『解』设)231()71(

)41

()11(12-++???++++++=-n a

a a

S n n ，将其每一项拆开再重新组合得 )23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-n a

a a S n n 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+

=＝2

)13(n

n + 当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n n -+--

=＝2)13(11n n a a a n -+---. 8、『解』设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(

∴ ∑=++=

n k n k k k S 1

)12)(1(＝)32(231

k k k n

k ++∑=，将其每一项拆开再重新组合得

S n ＝k k k n

k n k n

k ∑∑∑

===++1

2

1

3

1

32

＝)21()21(3)21(2222333n n n +++++++++++

＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n ＝2

)

2()1(2++n n n 9、『解』设n n n n a n -+=++=

11

1

则 1

13

21

211

+++

+++

+=

n n S n

＝)1()23()12(n n -+++-+- ＝11-+n 10、『解』 ∵ 211211n

n n n n a n =++++++=

∴ )111(82

122+-=+?=

n n n n bn ∴ 数列{b n }的前n 项和

)]1

11()4131()3121()211[(8+-++-+-+-=n n S n ＝)111(8+-n ＝

18+n n

11、『解』设?

?+

+??+??=

89cos 88cos 1

2cos 1cos 1cos 0cos 1 S ∵

?-?+=?

+??

n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin

∴ S ＝)]88tan 89(tan )1tan 2(tan )0tan 1[(tan 1sin 1

?-?++?-?+?-??

＝

)0tan 89(tan 1sin 1?-??＝???1cot 1sin 1＝?

?

1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立 12 『解』设S ＝cos1?＋cos2?＋cos3?＋…＋cos178?＋cos179?

∵ )180cos(cos ?-?-=?n n

∴ S ＝(cos1?＋cos179?)+(cos2?＋cos178?)＋…＋(cos89?＋cos91?)＋cos90?＝0 13 『解』设S 2002＝2002321a a a a ++++

由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a

,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a …… 2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a

∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a

∴ S 2002＝)()(6626166321++++++++++++k k k a a a a a a a

2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++++++

＝2002200120001999a a a a +++＝4321a a a a +++＝5.

14 『解』设1032313log log log a a a S n +++=

由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+和 对数的运算性质 )(log log log MN N M a a a =+得

)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++=

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+?＝9log 9log 9log 333+???++＝10

15 『解』由于)110(91

99999111111

1

-=?=k k k

个个 ∴ 1

1111111111个n ++++＝)110(91)110(91)110(91)110(9132

1-++-+-+-n ＝)111(91)101010(911

21 个n n

+++-+++＝9110)110(1091n n

---?＝)91010(8111n n --+ 16 『解』∵ ])

4)(2(1)3)(1(1)[

1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n

＝])4)(3(1

)4)(2(1[

8+++++?n n n n

＝)1

1(8)11(

4-+-? ∴∑∑∑∞

=∞

=∞

=++-+++-+=-+1

111)4131(8)4121(

4))(1(n n n n n n n n n a a n ＝418)4131(4?++?＝313

解析：（1）连结BD ，D B 1，由三垂线定理可得：

AC D B ⊥1，所以D B 1就是1B 点到直线AC 的距离。

在BD B Rt 1?中,68102

22211=-=-=BC C B BB 34=BD ．

21

22121=+=

∴B B BD D B 。

（2）因为AC 与平面BD

1C 交于ＡＣ的中点Ｄ，设E BC C B =?11，则1AB //DE ，所以1AB //

平面BD C 1，所以1AB 到平面BD 1C 的距离等于Ａ点到平面BD 1C 的距离，等于Ｃ点到平面

BD

1C 的距离，也就等于三棱锥1BDC C -的高。

BDC C BDC C V V --=11

，131311CC S hS BDC BDC ??=∴，

1313

12=∴h 所以，直线1AB 到平面BD 1C 的距离是1313

12。

解析：（1）方法一：

如图，建立空间直角坐标系B —xyz ，则A （4，0，0），M （2，3，4），P （0，4，0），Q （4，6，2），

∴)4,3,2(AM -=，)2,2,4(PQ = 2943)2(||222=++-=∴

58

174

|

PQ ||AM |624234)2(24

224||222==

∴=?+?+?-=?=++=故异面直线AM 与PQ 所成角的余弦值为58

174

方法二：

1111111D A 2

1

B A 21AA M A AA AM ++

=+= ，DQ CD PC PQ ++= ∴PQ AM ?

24

224||29324|AM |6

24)4(421

2621DQ AA CD B A 2

1

PC D A 21)DQ CD PC )(D A 2

1

B A 21AA (2222221111111111=++==++==?+-??+??=?+?+?=++++

=

58174==∴ 故异面直线AM 与PQ 所成角的余弦值为

58

174

（2）∵)2,2,4(),2,3,2(---=--=，

∴在

上的射影的模=

6

652410)2()2()4()

2(2)2()3()4()2(2

22==

-+-+--?+-?-+-?-=

故M 到PQ

646262517=-= （3）设)z ,y ,x (=n 是平面P AB 1的某一法向量，则AP ,AB 1⊥⊥n n ，

∵)0,4,4(AP ),4,0,4(AB 1-=-=∴?

??=+-=+-0y 4x 40

z 4x 4

因此可取)1,1,1(=n ，由于)4,3,2(MA --=，那么点M 到平面P AB 1的距离为

33

53

|1)4(1)3(12||||MA |d =

?-+?-+?=?=

n n ，故M 到平面P AB 1的距离为335。

2019年高考数学高频考点专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法 文数(含解析)

专题43 数列 数列的求和4 （ 分组求和、倒序相加法） 【考点讲解】 一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述： 求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：； 等比： 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时，q a S -= 11 （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ； ； ； ； （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么

这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝ 的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 形如： n n b a +其中， （6）并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类 型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求 的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： ； . 【真题分析】

数列求和的常用方法

数列求和的常用方法 永德二中 王冬梅 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类：公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(213211 += +?+++==∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6132122221 2++= +?+++==∑=n n n n k S n k n （3）、233331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比） 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。 解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1， 则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(

(完整版)数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

高考数学第2讲数列求和及综合问题

第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1， 所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1， 所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{a n}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，

所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1， 由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1 2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1 4， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1 4＋a 1. 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15 ＝a 1＋? ????34×12＋1＋14＋a 1＋? ????34×32＋3＋14＋a 1＋? ?? ?? 34×52＋5＋14＋a 1＋ ? ????34×72＋7＋14＋a 1＋? ????34×92＋9＋14＋a 1＋? ?? ??34×112 ＋11＋14＋a 1＋ ? ???? 34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1. 所以S 6＝－1×（1－26）1－2 ＝－63. 法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.

求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)

求数列通项公式和前n 项和的常用方法 一、求数列通项公式的常用方法 1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。 2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。 3.累乘法:利用3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递 推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，转化为等比数列求解。 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ） 。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 解法：先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。 类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：1.利用?? ?≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法 二、数列求和的常用方法 1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和 （1）等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 2.错位相减法 设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。 3.裂项求和法 （1）1 1 1)1(1+- =+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。4.分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 5.逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

数列求和7种方法(方法全,例子多)

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n

数列求和的常用方法

数列求和的常用方法 主要方法： 1．求数列的和关键是看数列的通项公式形式注意方法的选取： 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；转化思想的运用； 一、公式法 二、分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 1、求和：①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++ =Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 2 、 求 数 列 的 前 n 项 和 ： 231 ,,71,41, 1112-+???+++-n a a a n ，… 三、 合并求和法： 1、求22222212979899100-++-+-Λ的和。 2、1-2+3-4+5-6+7-8+9-……….+ n 1-1 n +）（ 3（2014山东19文） 在等差数列{}n a 中，已知2d =，2a 是1a 与4a 等比中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()12 ,n n n b a += 记()1231n n n T b b b b =-+-++-L ，求n T . 4.( 2014山东19理） 已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。 （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）令n b =,4) 1(1 1 +--n n n a a n 求数列}{n b 的前n 项和n T 。 5、（2011山东理数20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：()1ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 6、（2011山东文数20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-， 求数列{}n b 的前2n 项和2n S ． 四、 错位相减法：.×. 1、已知数列)0()12(,,5,3,11 2 ≠--a a n a a n Λ，求前 n 项和。 2、 132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S 3、求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和 4、{2}.n n n ?求数列前项和 5、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=

数列求和常见的7种方法

数列求与得基本方法与技巧 一、总论:数列求与7种方法: 利用等差、等比数列求与公式 错位相减法求与 反序相加法求与 分组相加法求与 裂项消去法求与 分段求与法(合并法求与) 利用数列通项法求与 二、等差数列求与得方法就是逆序相加法,等比数列得求与方法就是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法就是数列求与得二个基本方法。 数列就是高中代数得重要内容,又就是学习高等数学得基础。在高考与各种数学竞赛中都占有重要得地位、数列求与就是数列得重要内容之一,除了等差数列与等比数列有求与公式外,大部分数列得求与都需 要一定得技巧、下面,就几个历届高考数学与数学竞赛试题来谈谈数列求与得基本方法与技巧、 一、利用常用求与公式求与 利用下列常用求与公式求与就是数列求与得最基本最重要得方法。 1、等差数列求与公式: 2、等比数列求与公式: 3、４、 5、 ［例1］已知,求得前n项与。 解:由 由等比数列求与公式得(利用常用公式) ＝==1- ［例2］设S n＝１+2＋3+…+n,n∈Ｎ*,求得最大值、 解:由等差数列求与公式得, (利用常用公式) ∴＝ =＝ ∴当,即n＝８时, 二、错位相减法求与 这种方法就是在推导等比数列得前ｎ项与公式时所用得方法,这种方法主要用于求数列｛ａn·ｂn｝ 得前n项与,其中｛a n｝、｛bｎ}分别就是等差数列与等比数列。 ［例3］求与:………………………① 解:由题可知,{}得通项就是等差数列｛2ｎ—1｝得通项与等比数列｛}得通项之积 设………………………。②(设制错位)

①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列得求与公式得: ∴ [例4］ 求数列前n 项得与、 解:由题可知,{｝得通项就是等差数列{2n}得通项与等比数列｛｝得通项之积 设…………………………………① ………………………………② (设制错位) ①—②得 (错位相减) ∴ 三、反序相加法求与 这就是推导等差数列得前ｎ项与公式时所用得方法,就就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个。 [例5］ 求证: 证明: 设…………………………、。 ① 把①式右边倒转过来得 (反序) 又由可得 ………….。……、. ② ①+②得 (反序相加) ∴ [例6］ 求得值 解:设…………、 ① 将①式右边反序得 ………….。② (反序) 又因为 ① ＋②得 (反序相加) )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89 ∴ S=44、５ 题1 已知函数 (1)证明:; (2)求得值。 解:(1)先利用指数得相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (２)利用第(1)小题已经证明得结论可知, 两式相加得: 所以、 练习、求值:

2020届高考数学一轮复习通用版讲义数列求和

第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )

数列求和的8种常用方法(最全)

求数列前n 项和的8种常用方法 一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1 n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ； （2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ； （4）1 (21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++ 的前n 项和. 解：由21 2log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++ ，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64341++＝50 )8(1 2+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8 -n ，即8n =时，501)(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是

数列求和的常用方法(三课时)

数列求和的常用方法（三课时） 数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法： 一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 2 1 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n 例1（07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列． （1）求数列{}n a 的等差数列． （2）令31ln 12n n b a n +== ，，，， 求数列{}n b 的前n 项和T ． 解：（1）由已知得12313 27:(3)(4)3.2 a a a a a a ++=?? ?+++=??， 解得22a =． 设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得132 2a a q q ==，． 又37S =，可知2 227q q ++=，即22520q q -+=， 解得121 22 q q ==，．由题意得12q q >∴=，． 11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=． （2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，， 由（1）得3312n n a += 3ln 23ln 2n n b n ∴==， 又13ln 2n n n b b +-= {}n b ∴是等差数列． 12n n T b b b ∴=+++ 1()2 (3ln 23ln 2) 23(1)ln 2. 2 n n b b n n n += += += 故3(1) ln 22 n n n T += ．

数列前n项和的求和公式

数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2) 1(2) (11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11) 1() 1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6 1 12++==∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：13 2)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

[例4] 求数列 ??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ，… [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

数列求和常用方法(经典讲解)

求数列前n 项和常用方法（经典讲解） 一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ； （2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ； （4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 50 1 ≤ ∴ 当 8 8-n ，即8n =时，501 )(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那 么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是

(甘志国)数列求和的七种基本方法

数列求和的七种基本方法 甘志国部分内容(已发表于 数理天地(高中)，2014(11)：14-15) 数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法. 1 运用公式法 很多数列的前n 项和n S 的求法，就是套等差、等比数列n S 的公式，因此以下常用公式应当熟记： 还要记住一些正整数的幂和公式： 例1 已知数列}{n a 的前n 项和232n n S n -=，求数列}{n a 的前n 项和n T . 解 由232n n S n -=,可得n a n 233-=,160≤?>n a n ，所以： (1)当16≤n 时,n T =232n n S n -=. (2)当17≥n 时， 所以 2 2 32(1,2,,16)32512 (17,) n n n n T n n n n * ?-=?=?-+≥∈??N L 且 例2 求1)2(3)1(21?++-?+-?+?=n n n n S n Λ. 解 设2 )1()1(k n k k n k a k -+=-+=，本题即求数列}{k a 的前n 项和. 高考题1 (2014年高考浙江卷文科第19题(部分))求数列{}21n -的前n 项和n S . 答案：2n S n =. 高考题2 (2014年高考四川卷理科第19题(部分))求数列{}24n -的前n 项和n S . 答案：23n S n n =-. 高考题3 (2014年高考福建卷文科第17题)在等比数列{}n a 中，253,81a a ==. (1)求n a ； (2)设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 答案：(1)1 3 n n a -=；(2)22 n n n S -=. 高考题4 (2014年高考重庆卷文科第16题)已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，

(新课标)高考数学总复习：考点15-数列求和(含解析)

考点15 数列求和 1.（2010·天津高考理科·Ｔ6）已知 {}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =， 则数列1n a ??????的前5项和为( ) （A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和公式． 【思路点拨】求出数列 {} n a 的通项公式是关键． 【规范解答】选C ．设1 n n a q -=，则36361199(1)111q q q q q q --?=?-=---， 即33 918,2q q q =+?=∴=，11112()2n n n n a a --∴=?=，5 51 1()31211612T -∴==-． 2.（2010·天津高考文科·Ｔ１5）设{an}是等比数列，公比2q = ，Sn 为{an}的前n 项和． 记 *21 17,. n n n n S S T n N a +-= ∈设0n T 为数列{n T }的最大项，则0n = ． 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和、基本不等式等基础知识． 【思路点拨】化简 n T 利用基本不等式求最值． 【规范解答】 , )2(,2 1])2(1[,2 1])2(1[112121n n n n n n a a a S a S =--= --= + ∴ ], 17)2()2(16[ 2 11)2(2 1])2(1[2 1])2(1[171211-+?-= --- --?= n n n n n n a a a T ∵ , 8)2()2(16 ≥+n n 当且仅当16)2(2=n 即216n =，所以当n=4，即04n =时，4T 最大． 【答案】4 3.（2010·安徽高考理科·Ｔ20）设数列12,,,, n a a a 中的每一项都不为0． 证明： {}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有

数列求和方法及典型例题

数列求和方法及典型例题 1?基本数列的前n 项和 门佝 aQ 2 1 ⑴等差数列a n 的前n 项和：S n na n(n 1)d an bn ⑵等比数列a n 的前n 项和S n : ①当q 1时，S n na i ;②当q 1时，& a i (1 q n ) a 1 a .q ； ； 1 q 1 q 2.数列求和的常用方法： 公式法：性质法：拆项分组法：裂项相消法；错位相减法；倒序相加法 题型一公式法、性质法求和 a 99 ______________________ 2?等差数列 a n 中，公差d 2，且a1 a 3 a 5 a 99 60，贝V a 1 a ? a 3 a 100 111 ［例1］求数列1 一,2 — ,3-， ,(n 右), 的前n 项和S n ? 题型二拆项分组法求和 (1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ,求S n 。 ［练］?求数列(2n 1)2的前n 项和S n . ［例］?求和: 1 n(n 1) 题型三裂项相消法求和 ［例］?求和: 1 , 2 1 1 ■ 4 “3 ［例］求和：1 ［练4］已知数列a n 满足a 1 1,a n 1 2a n 1 nN 1?已知S n 为等比数列 a n 的前n 项和，公比q 2,S g9 7 ,贝V a 3 a 6 a 9 ［练2］在数列 a n 中，已知 a 1=2, a n+1=4a n — 3n + 1, n € N

h 1 O h 1 1 nh 1 n (1)求数列a n的通项公式。⑵若数列b n满足41 4 2 4 3 4 n a n 1 ，求数列 2n 若c n，求数列c n的前n项和S n。 a n a n 1 题型四错位相减法求和 ［例］?设数列a n为1 2,2 22,3 2 3,4 2 3 n 2n x 0求此数列前n项的和. ［例］?设数列｛a n｝满足a1+ 3a2 + 32a3 + …+ 3n_ 1a n=￡, n€ N*. (1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵设b n= n，求数列｛b n｝的前n项和S n. ［练1］已知数列｛ a n｝、｛b n｝满足a11 , a2 3, b n 1 2(n N*)，b n a n 1 a n。 b n (1)求数列｛b n｝的通项公式； (2)数列｛ C n｝满足C n b n log 2( a n 1)(n * N ),求S n C1 C2 ........ C n。 ［练4］等比数列a n中，已知对任意自然数n, a〔a? a3 a n 2n 1,求a；a；a3 2 A.2n 1 B.12n 1 C.4n 1 1 n . D.— 4 1 3 3 a；的值 b n的通项公式。(3)

详解数列求和的方法+典型例题

详解数列求和的常用方法 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 第一类：公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+ =+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ? ??≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(2 1 3211+= +?+++== ∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6 1 321222212++= +?+++== ∑=n n n n k S n k n （3）、23 3331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比） 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 }{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1：求数列}{1 -n nq (q 为常数)的前n 项和。 解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1 321+=+?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1， 则1 2 321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ②

①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1 321)1( ?)1(11 132n n n nq q q q q q S -+?++++-= - ?)11(11n n n nq q q q S ----= ?q nq q q S n n n ----=1) 1(12 综上所述：????????? ≠≠----=+==)10(1) 1(1)1)(1(2 1 )0(02 q q q nq q q q n n q S n n n 且 解析：数列}{1 -n nq 是由数列{}n 与{}1-n q 对应项的积构成的， 此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种 情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。 第三类：裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如： 1、乘积形式，如： （1）、1 1 1)1(1+- =+= n n n n a n （2）、)1 21 121(211)12)(12()2(2+--+=+-= n n n n n a n （3）、]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n （ 4 ） 、 n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2 )1(1 1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++= -则 2、根式形式，如：

高三数学数列求和专项复习

高中数学数列求和专题复习 1．公式法求和 （ 1 ）等差数列前项和公式 （ 2 ）等比数列前项和公式时 时 （ 3 ）前个正整数的和 前个正整数的平方和 前个正整数的立方和 公式法求和注意事项（ 1 ）弄准求和项数的值； （ 2 ）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类。 例 1 ．求数列的所有项的和 例 2 ．求和 ( ) 2 ．分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如： 的形式，其中{ a n }、{ b n }是等差数列、等比数列或常见的数列. 例 1 、求数列的前 n 项和：，… 例 2．求数列 1 ，，，…，的所有项的和。

例 3 ．已知数列中，，求。 练习 1 、求和： 练习 2 、求数列 1, , 前 n 项的和 . 练习 3 、已知： .求 . 练习 4 、已知等比数列分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项，且 （Ⅰ）求； （Ⅱ）设，求数列 3 ．并项法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 S n . 例 1 、求 cos1 ° + cos 2 ° + cos 3 ° + ··· + cos 178 ° + cos1 79 °的值 . 例 2 、在各项均为正数的等比数列中，若 的值 . 例 3 ．数列中，，求。 例 64．数列中，，，求及。 4 ．错位相减法求和 例 1 、 练习 1 、已知数列

练习 2 、已知数列，求数列的前 n 项和。 练习 3．求和（）。 5 ．裂项法求和 : 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有： 若是公差为的等差数列，则； ； ； ； * ； 例 1 ．求和。 例 2 ．求和。 练习1、数列 { } 的前 n 项和为，且满足 （ I ）求与的关系式，并求 { } 的通项公式； （ II ）求和