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北师大版数学九年级上册第四章《图形的相似》重点题型归纳

阶段强化专题训练

专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧类型一证比例式

技巧1 中间比代换法证比例式

1.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB. (1)求证：

AB AD =； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB 的值

技巧2 等积代换法证比例式

2.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P.求证：

PF PE =

技巧3 等比代换法证比例式

3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：

AB AD =

类型2 证线段相等

技巧 4 等比过渡证线段相等(等比例过渡法)

4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点

E ，C

F ∥BA 交DE 的延长线于点F.

(1)求证：DE=EF ；(2)连结CD ，过点D

作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B=∠A+∠DGC ．

类型3 证比例和为1

技巧5 同分母的中间比代换法

5.如图，已

知AC ∥FE ∥BD.求证：

1=+BC

AD AE

专题二：证明相似三角形的方法

名师点金

要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：

(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；

(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；

(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性

．．．”.

方法1 利用边或角的关系判定两直角三角形相似

1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是( )

A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似

B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似

C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似

D.两个等腰直角三角形相似

2.如图，BC⊥AD，垂足为C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE=

3.1.求证：△ABC∽△

DEC.

方法2 利用角判定两三角形相似

3.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．

方法3 利用边角判定两三角形相似

4.如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．

求证：△ABD∽△

CAE. 方法4 利用三边判定两三角形相似

5.如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△

ABC.

专训三巧作平行线构造相似三角形

名师点金：

解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；

(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．

训练角度1 巧连线段的中点构造相似三角

形

1.如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP:PQ:QD.

训练角度 2 过顶点作平行线构造相似三

角形

2.如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB 上一点，BF:AF＝3:2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE:EC的值．

3.如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.

求证：AE:ED＝2AF:FB.

训练角度 3 过一边上的点作平行线构造

相似三角形4.如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.

训练角度 4 过一点作平行线构造相似三

角形

作辅助线的方法一：

作辅助线的方法二：

作辅助线的方法三：

作辅助线的方法四：

全章整合提升密码

专训一：证比例式或等积式的技巧名师点金

证比例式或等积式，若遇问题中无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到等比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．

技巧1 构造平行线法

1.如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：AE ·CF ＝BF ·

EC.

2.如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB ·DF ＝BC ·

EF.

技巧2 三点找三角形相似法

3.如图，在?ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD

4.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB

于E.求证：AM 2

＝MD ·

ME.

技巧3 构造相似三角形法

5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N. 求证：BP ·CP ＝BM ·

CN.

技巧4 等比过渡法

6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE. 求证：(1)△DEF ∽△BDE ；(2)DG ·DF ＝DB ·

EF.

7.如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP

于点G ，交CE 于点D. 求证：CE 2

＝DE ·

PE.

技巧5 两次相似法

8.如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F. 求证：BF BE ＝AB

9.如图，在?ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：

(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MN

技巧6 等积代换法

10.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝AC

技巧7 等线段代换法

11.如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长

BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2

＝PE ·

PF.

12.已知：如图，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.

求证：PD 2

＝PB ·

PC.

专训二巧用“基本图形”探索相似条件名师点金：

几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图： 1.平行线型

2.相交线型

3.子母型

4.旋转型

训练角度1 平行线型

1.如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE ·BC ＝BD ·AC ； (2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．

训练角度2 相交线型

2.如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DO

CO ，试问

△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．

训练角度3 子母型

3.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DF

训练角度4 旋转型 4.如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.

求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE

专训三利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：

判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．

训练角度1 证明两线段的数量关系类型1：证明两线段的相等关系

1.如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N. 求证：BM ＝

MC.

2.如图，一直线和△ABC 的边AB ，AC 分别交于点D ，E ，和BC 的延长线交于点F ，且AE:CE ＝BF:CF. 求证：AD ＝

DB.

类型2 证明两线段的倍分关系

3.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∠A ＝60°，求证：DE ＝1

BC.

4.如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E. 求证：AC ＝

2CE.

训练角度2 证明两线段的位置关系类型1：证明两线段平行 5.如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接CE ，AE.求证：AE ∥

BC.

6.在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，EF ∥BC ，DF ∥AB ，连接CE 和AD ，分别交DF ，EF 于点N ，M.

(1)如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论； (2)如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．

类型2 证明两线垂直

7.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC

＝AB ·AD ，BC 2

＝BA ·BD ，求证：CD ⊥

AB.

8.如图，已知矩形ABCD ，AD ＝1

3AB ，点E ，F

把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥

DF.

专训四巧用位似解三角形中的内接

多边形问题

名师点金

位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质，位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上.

类型1 三角形的内接正三角形问题

1.如图,用下面的方法可以画△AOB 的内接等边三角形,阅读后证明相应问题.

画法:①在△AOB 内画等边三角形CDE,使点C 在OA 上,点D 在OB 上；②连接OE 并延长,交AB 于点E ′,过点E ′作E ′C ′∥EC,

交OA 于点C ′,作E ′D ′∥ED,交OB 于点D ′；③连接C ′D ′,则△C ′D ′E ′是△AOB 的内接等边三角形.

求证:△C ′D ′E ′是等边三角形.

类型2 三角形的内接矩形问题

2.求作:内接于已知△ABC 的矩形DEFG,使它的边EF 在BC 上,顶点D,G 分别在AB,AC 上,并且有DE ∶EF=1∶2.

类型 3 三角形的内接正形问题(方程思想)

3.如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=120mm ,高AD=80mm ,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边QM 在BC 上,其余两个顶点P ,N 分别在AB,AC 上

,则这个正方形零件的边长是多少?

4.(1)如图①,在△ABC 中,点D ,E ,Q 分别在AB ,AC ,BC 上,且DE ∥BC ,AQ 交DE 于点P.求证:DP ：BQ=PE ：QC.

(2)在△ABC 中,∠BAC =90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接AG ,AF ,分别交DE 于M ,N 两点.

①如图②,若AB=AC=1,直接写出MN 的长； ②如图③,求证:MN 2=DM ·EN.

专训五：图形的相似中的五种热门考点名师点金：

相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而对于成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．

考点一：比例线段及性质

1.下列各组长度的线段，成比例线段的是( )

A. 2 cm ，4 cm ，4 cm ，8 cm

B. 2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cm

C. 1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cm

D. 2.1 cm ，3.1 cm ，4.3 cm ，5.2 cm

2．若a 2＝b 3＝c 4＝d 7≠0，则a ＋b ＋c ＋d c ＝

________.

3．如图，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点A 的距离约为________．(5≈2.236，结果精确到

0.01)

考点二：平行线分线段成比例

4.如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与AD AF 相等的是( ) A.AB EF B.CD EF C.BO OE D.BC BE

5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝ 3 cm ，则EF ＝________.

6.如图，在△ABC 中，AM ∶MD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，求AE ∶EC 的值．

考点三相似三角形的性质与判定

7.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:16

8.在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，且AE ∶ED ＝3∶1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AEF ∶S 四边形ABCE 为( ) A.3∶4 B.4∶3 C.7∶9 D.9∶7

9.若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．

10.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F.

(1)求证：FD 2

＝FB ·FC ； (2)若FB ＝5，BC ＝4，求FD 的长．

11.如图，四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，点F 是BC 的延长线上一点，且CE ＝CF ，BE 的延长线交DF 于点M.

(1)求证：BM ⊥DF ； (2)若正方形ABCD 的边长为2，求ME ·MB.

考点四相似三角形的应用

12.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE 正好相等；接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB ＝1.25 m ，已知李明直立时的身高为1.75 m ，求路灯的高度CD.(结果精确到

0.1 m)

13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA ＝CD ，BC ＝20 cm ，BC ，EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40 cm ，8 cm.为使板凳两腿底端A ，D 之间的距离为50 cm ，那么横梁EF 的长应为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计

)

考点五图形的位似

14.如图，已知正方形ABCD ，以点A 为位似中心，把正方形ABCD 的各边缩小为原来的一半，得正方形A ′B ′C ′D ′，则点C ′的坐标为________．

15.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的顶点上． (1)以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且相似比为1∶2；

(2)连接(1)中的AA ′，求四边形AA ′C ′C 的周长．(结果保留根号

)

专训六全章热门考点整合应用

名师点金：

本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．

考点一：3个概念

概念1：成比例线段

1.下列各组线段，是成比例线段的是( )

A.3cm，6cm，7cm，9cm

B.2cm，5cm，0.6dm，8cm

C.3cm，9cm，1.8dm，6cm

D.1cm，2cm，3cm，4cm

2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m，在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是________m.

概念2：相似多边形

3.如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．

概念3：位似图形

4.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．

考点二： 2个性质

性质1：平行线分线段成比例的性质

5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝

6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.

(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？

性质2：相似三角形的性质

6.如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC 与AD相交于点F.

(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．

考点三： 1个判定——相似三角形的判定7.如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE ∽△

OCD.

8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC 与PD，PD交AB于点G. (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，弧AP＝弧BP，求PD 的长．

考点四： 2个应用

应用1：测高的应用

9.如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？

应用2：测宽的应用

10.如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．

考点五： 1个作图——作一个图形的位似图形

11.如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O 为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．

考点六： 1个技巧——证明四条线段成比例的技巧

12.如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q. (1)求∠PAQ的度数； (2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·

BM.

北师大版九年级数学上册知识点总结

北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

北师大版数学九年级上册知识点归纳

北师大版《数学》（九年级上册）知识点归纳第一章证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2 b