椭圆和双曲线练习题及答案
圆锥曲线测试题
一、选择题（ 共12题，每题5分 ）
1已知椭圆1252
22=+y a
x )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦
AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）
（A ）10 （B ）20 （C ）241（D ） 414 2
椭圆
136
1002
2=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P
到它的右焦点的距离是（ ）
（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）8
3椭圆19
252
2=+y x 的焦点1F 、2F ，
P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，
则△21PF F 的面积为（ ）
（A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）8
4以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（ ）
（A ）222=-y x （B ）222=-x y
（C ）422=-y x 或422=-x y （D ）222=-y x 或222=-x y 5
双曲线19
162
2=-y x 右支点上的一点
P 到右焦点的距离为2，则P
点到左准线的距离为（ ）
（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12
6过双曲线822=-y x 的右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么△F 1PQ 的周长为（ ）
（A ）28 （B ）2814-（C ）2814+（D ）28 7双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F 1、F 2，?=∠12021MF F ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3（B ）
2
6（C ）
3
6（D ）
3
3 8在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为2
1，则该双曲线的离心率为( )
(A)
2
2 ( B) 2 ( C) 2 ( D) 22
9 如果椭圆19
362
2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直
线方程是（ ）
（A ）02=-y x （B ）042=-+y x （C ）01232=-+y x （D ）082=-+y x 10
如果双曲线22
142
x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是
2，
那么点P 到y 轴的距离是（ ）
(A)
3
(B)
3
(C) (D) 11 中心在原点，焦点在y 轴的椭圆方程是 22sin cos 1x y αα+= ，
(0,)2
π
α∈，
则 α∈ （ ） A ．(0,)4π
B ．(0,]4π
C ．(,)42
ππ
D ．[
,)42
ππ
12 已知双曲线()22
2210,0x y C a b a b
-=>>：的右焦点为F
,过F 且斜率为
的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,
则C 的离心率为（ ）A 、
65 B 、75
C 、5
8
D 、
95
二、填空题（ 20 ）
13 与椭圆22
143
x y +=具有相同的离心率且过点（2，
标准方程是 。 14 离心率3
5
=
e ，一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是 。
15 以知F 是双曲线22
1412
x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的
动点，则PF PA +的最小值为
16
已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为
12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使
1221sin sin PF F a
PF F c
=，则该双曲线
的离心率的取值范围是 ．
三、解答题（ 70 ）
17) 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
18) 已知双曲线与椭圆
125
92
2=+y x 共焦点，它们的离心率之和为5
14
，求双曲线方程. 19)求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为3
38的双曲线方程。
20．(1)椭圆C:12
22
2=+
b
y a
x
(a ＞b ＞0)上的点
A(1,23)到两焦点的距离
之和为4,
求椭圆的方程;
(2)设K 是(1)中椭圆上的动点, F 1是左焦点, 求线段F 1K 的
中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的
两点，P 是椭圆上任意一点, 当直线PM 、PN 的斜率都存在并记为k PM 、k PN 时，那么PN PM k k ?是与点P 位置无关的定值。试对双曲线 12
22
2
=-
b y a x 写出具有类似特性的性质，并
加以证明。 解：(1)1342
2
=+y x
(2)设中点为(x,y), F 1(-1,0) K(-2-x,-y)在1342
2
=+y x 上 ?
1
34)2(2
2
=++y
x (3)设M(x 1,y 1), N(-x 1,-y 1), P(x o ,y o ) , x o ≠x 1 则
)1(221
2
2
-=a x o
b y )1(221
2
21
-=a x b y
2
2
21
202
2
120221
2021201
0101
010)
(a b x x b x x y y x x y y x x y y PN PM a x x k k =
=
=
?
=
?---++--- 为定值。
21 (1)当k 为何值时，直线l 与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。(2) 过点P （1，2）的直线交双曲线于A 、B 两点，若P 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程；
（3）是否存在直线l，使Q（1，1）为l被双曲线所截弦的中点。若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0(*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点.
(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±2时
Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)
3时，方程(*)有一个实根，l与C有
①当Δ=0,即3－2k=0,k=
2
一个交点.
3,又k≠±2,故当k＜－2或－2＜k＜2
②当Δ＞0,即k＜
2
3时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.
或2＜k＜
2
3时，方程(*)无解，l与C无交点.
③当Δ＜0，即k＞
2
3，或k不存在时，l与C只有一综上知：当k=±2,或k=
2
个交点；
当2＜k ＜
2
3
,或－2＜k ＜2,或k ＜－
2
时，l 与C 有两个
交点；
当k ＞2
3时，l 与C 没有交点.
（2）假设以P 为中点的弦为AB ，且A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)
又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=4 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1
即
k AB =2
121x x y y --=1
但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与有交点，所以以P
为中点的弦为：y=x+1.
(3)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则2x 12
－y 12
=2,2x 22
－y 22
=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)
又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1 即k AB =2
121x x y y --=2
但渐近线斜率为±
2
,结合图形知直线AB 与C 无交点，故假设
不正确，即以Q 为中点的弦不存在.
13)与椭圆22
143
x y +=具有相同的离心率且过点（2，
的标准方程是 22186x y +=或
22
3412525
y x +=。 14）离心率3
5
=
e ，一条准线为
3
=x 的椭圆的标准方程是
22
91520
x y +=。 17) 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。(8分)
解:由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:
2
2
19x y +=.联立方程组22
192
x y y x ?+=???=+?,消去y 得, 21036270x x ++=.
设A(11,x y ),B(22,x y ),AB 线段的中点为M(00,x y )则:
12185
x x +=-
,0x =129
25x x +=
所以0y =0x +2=15
.也就是说线段AB 中点坐标为(-95,1
5).
18) 已知双曲线与椭圆125
92
2=+y x 共焦点，它们的离心率之和为
5
14
，求双曲线方程.(10分) 解:由于椭圆焦点为F(0,±4),离心率为e=4
5,所以双曲线的焦点
为F(0,±4),离心率为2, 从而
所以求双曲线方程为:
22
1412
y x -=. 20)求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为3
38的双曲线方程。(10分)
解:设双曲线方程为x 2-4y 2
=λ.
联立方程组得: 22x -4y =30x y λ
??--=?,消去
y 得，3x 2
-24x+(36+λ)=0
设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A(11,x y ),B(22,x y )，那么：
1212
2
83632412(36)0x x x x λλ+=?
?+?
=???=-+>??
那么：
==解得: λ=4,所以，所求双曲线方程是：2
214
x y -=