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重庆市育才中学2020届高三数学一轮复习 64绝对值不等式、数学归纳法学案理

64绝对值不等式

一、学习内容：选修2—2，P109～132；选修4—5，P26～31；

二、课标要求：

1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |；

(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.

2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c .

三、基础知识

1．绝对值三角不等式

定理1.如果a ，b 是实数，那么|a ＋b |≤_______，当且仅当__________时，等号成立．定理2.如果a ，b 是实数，那么||a |－|b ||≤|a ＋b |，当且仅当__________时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法不等式

a >0 a ＝0 a <0 |x |

|x |>a

①|ax ＋b |≤c ?______________；

②|ax ＋b |≥c ?________________________.

(3)|x －a |＋|x ＋b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．

方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．

方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．

四、典型例题分析

1. (2020山东理4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为

（A ）[-5.7] （B ）[-4,6] （C ）(,5][7,)-∞-?+∞ （D ）(,4][6,)-∞-?+∞

【答案】D

【解析】由不等式的几何意义知，式子|3||5|++-x x 表示数轴的点)(x 与点（5）的距离和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D 正确

2.（2020江西（理））在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________

【答案】[]0,4

3．(2020陕西理15)若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是

【答案】(,3][3,)-∞-+∞U

【解析】：因为12|12|3x x x x ++-≥+-+=所以12a x x ≥++-存在实数解，

有3a ≥3a ≤-或3a ≥

4．（2020湖北（理））设,,x y z R ∈,且满足:222

1x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.

【答案】3147

5.(2020江苏卷21) 解不等式：|21|3x x +-<

解析：考察绝对值不等式的求解，容易题。

原不等式等价于：43213,23

x x x x -<-<-∴-<<，解集为4(2,)3- 6．(2020辽宁理24)已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|.

（I ）证明：-3≤f （x ）≤3；

（II ）求不等式f （x ）≥x 2

-8x+15的解集. 解：（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤??=---=-<

当25,327 3.x x <<-<-<时

所以3() 3.f x -≤≤

（II ）由（I ）可知，

当2

2,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；

当225,()815{|535}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为；当2

5,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.

综上，不等式2()815{|536}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为 7. (2020新课标理24)设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的

解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值。分析：解含有绝对值得不等式，一般采用零点分段法，去掉绝对值求解；已知不等式的解集要求字母的值，先用字母表示解集，再与原解集对比可得字母的值；解：（Ⅰ）当1=a 时，不等式23)(+≥x x f ，可化为，21≥-x 3,1≥-≤∴x x ，所以不等式23)(+≥x x f 的解集为{}

3,1≥-≤x x x 或

（Ⅱ）因为0)(≤x f ，所以，03≤+-x a x ，可化为， ???≤+-≤???≤+-≥0

303x x a a x x a x a x 或即?????-≤≤??

???≤≥24a x a x a x a x 或因为，0>a 所以，该不等式的解集是??????

-≤2a x x ，再由题设条件得2,12

=∴-=-a a 点评：本题考查含有绝对值不等式的解法，以及解法的应用，注意过程的完整性与正确性。

8．（2020新课标1（理））已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.

(Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;

(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12

)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 【答案】当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,

设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ?-???

, 其图像如图所示

从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<.

(Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2

a -≥2a -,即a ≤43, ∴a 的取值范围为(-1,

43].

五、基础练习

1.（2020广东理9）不等式130x x +--≥的解集是．

【答案】[)1,+∞

2.（2020江西理15）在实数范围内，不等式21216x x -++≤的解集为______________．

【答案】}2

323{≤≤-=x x A 【命题立意】本题考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论的数学思想。

【解析】方法1 分类讨论

原不等式等价为32

121≤++-x x ， ①当21-

123-<≤-x ； ②当2121≤≤-x 时，不等式等价为3)21()21(≤+--x x ，即31≤-，恒成立，此时2121≤≤-x ； ③当21>x 时，不等式等价为3)21()21(≤++-x x ，即32≤x ，23≤x ，此时2321≤

323≤≤-x ，所以不等式的解集为}2323{≤≤-=x x A 。方法2 利用绝对值的几何意义

原不等式等价为32121≤++-x x ，不等式32121≤++-x x 的几何意义是数轴上的点x 到点21,21-的距离之和小于等于3的解。当23-=x 或2

3=x 时有32121=++-x x ，所以32121≤++-

x x 的解为2323≤≤-x ，所以不等式的解集为}2323{≤≤-=x x A 。 3.（2020陕西文15）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .

【答案】42≤≤-a .

【解析】不等式3|1|||≤-+-x a x 可以表示数轴上的点x 到点a 和点1的距离之和小于等于3，因为数轴上的点x 到点a 和点1的距离之和最小时即是x 在点a 和点1之间时，此时距离和为|1|-a ，要使不等式3|1|||≤-+-x a x 有解，则3|1|≤-a ，解得42≤≤-a .

4. 解下列不等式：(1)|x －1|<2；(2)|x 2－1|>3；(3)|x 2－2x ＋4|>2x ；(4)4|x ＋6|<3－2x .

【思路】这四个小题分别代表四个基本类型．【解析】 (1)原不等式等价于－2

(2)原不等式等价于x 2－1>3或x 2－1<－3，

由x 2－1>3，得x >2或x <－2.

由x 2－1<－3，得x 2<－2无解．

∴原不等式的解集为{x |x >2或x <－2}．

(3)原不等式等价于①x 2－2x ＋4<－2x

或②x 2－2x ＋4>2x .

解①得无解，解②得x ≠2.

∴原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠2}．(4)原不等式等价于－14(3－2x )

(3－2x )．即????? 4x ＋24>2x －3，4x ＋24<3－2x .解之得－272

. ∴原不等式的解集为?

?????x |－272

高二数学归纳法证明不等式

第四讲：数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比及猜想、抽象及概括、从特殊到一般等数学思想方法。在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从n=k 到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；（3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换。例题精讲例1、用数学归纳法证明 n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+- 分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤证明： 1 当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21 ，所以等式成立。

2假设当n=k 时，等式成立，即 k k k k k 212111211214131211+++++=--++-+- 。那么，当n=k+1时， 221121211214131211+-++--++-+- k k k k 221121212111+-+++++++=k k k k k )2 2111(1212131214131211+-+++++++++=++-+-k k k k k k )1(21 121213121+++++++++= k k k k k 这就是说，当n=k+1时等式也成立。综上所述，等式对任何自然数n 都成立。点评：数学归纳法是用于证明某些及自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P （n ）．（1）证明当n 取第一个值n 0时，结论正确，即验证P （n 0）正确；（2）假设n=k （k ∈N 且k≥n 0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P （k ）正确推出P （k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P （n ）对于从n 0开始的所有自然数n 都正确．要证明的等式左边共2n 项，而右边共n 项。f(k)及f(k+1)相比较，左边增加两项，右边增加一项，并且二者右边的首项也不一样，因此在证明中采取了将11+k 及221 +k 合并的变形方式，这是在分析了f(k) 及f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。练习： 1.用数学归纳法证明3k ≥n 3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科）一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络

其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、经典例题剖析 1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，