2011年迎春杯五年级初赛教师版第三讲数论综合含详细解题过程

2010年数学解题能力展示“迎春杯”育博远学员共80人参加考试，60人获得各种奖项，总获奖率为75%，其中一等奖2人，二等奖45人，三等奖13人。六年级共16人获奖，获奖率为75%，五年级共21人获奖，获奖率为70%，四年级共19人获奖，获奖率为85%，三年级4人获奖，获奖率100%。2011年数学解题能力即将开战，各位学子努力拼博，再创辉煌。

迎春杯初赛五年级组考试时间为1个半小时，共15道题，满分150分，简单题占15%，中等题占30%，难道占55%，初赛淘汰率为70%，30%学生进入复赛，主要考点有：计算、较复杂应用题、数字谜、数独、逻辑推理、等差数列、周期、图形计数、几何面积计算、数论等问题。

本次讲义共四讲，第一讲应用题包含行程、工程、流水、百分数应用题、和差倍应用题、年龄、牛吃草等，第二讲几何图形的计数及面积计算，第三讲数论各种知识，第四讲常考的题，例如计算、等差数列、逻辑推理、周期、数独、数字谜等。

讲义中的补充题学生版上没有，请老师根据课堂学生掌握情况，适当补充。

第三讲数论综合

数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

知识概要

整除问题

整除是我们很早接触的一个概念，对于它的性质我们也比较熟悉，不过它在题目表现出来的很大的灵活性和很强的技巧性，仍然是值得我们不断学习和思考的．下面我们先回顾一下相关知识：

1.整除的概念a，b，c为整数，且，如果a÷b=c，即整数a除以整数b，得到的商是整数c且没

有余数，那么称作n能被b整除，或者是说b能整除a，记作；否则，称为a不能被b整除，或是说b不能整除n．如果整数a能够被整数b整除，则a叫做b的倍数，b叫做a的约数．

2.整除的基本性质

1.如果a，b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除．即：如果，

那么

2.如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a．即：如果，那么

3.如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．即：如果

4.如果b，c都能够整除，且b与c互质，那么b与c的乘积能整除a．即：

3.数的整除特征

1.能被2整除的数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；

2.能被3(或9)整除的数的特征：各位的数字之和能够被3(或9)整除；

3.能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能够被4(或25)整除；

4.能被5整除的数的特征：个位数字是0或5；

5.能被7(或11、13)整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数

之差能够被7(或1、11、13)整除；

6. 能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能够被8(或125)整除；

7. 能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被11整

除．

1. 质数与合数

一个数除了l 和它本身，不再有别的约数，那么这个数叫做质数．比如2，3，7，37，…．一个数除了1和它本身，还有别的约数，那么这个数是合数．比如4，8，14，48，…．特别的：1既不是质数也不是合数．

2. 质因数与分解质因数（算术基本定理）

如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数．把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．比如：把42分解质因数应该是42=2×3×7，其中2，3，7是42的质因数．又如：3

5423=? ，其中2和3都是54的质因数．

3. 利用分解质因数求约数的个数

一般地，如果分解质因数有下列形式：

其中都是质因数，而是指数，即对应A 包含各个质因数的个数．

1) 那么A 的所有约数的个数为比如：，那么300的所有约数共有(2+1)(1+1)(2+1)=18个．

2) 那么A 的所有约数的和为()[],,ab a b a b =

约数与倍数

约数与倍数的关系很简单，其实就是整除关系的另外一种称谓；当然也有概念的延伸，就是在多个数之间去研究公约数和公倍数，经常地应用最大公约数与最小公倍数解题．下面我们就先回顾基本的概念：

1. 公约数与最大公约数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数．例如：12的约数有1，2，3，4，6，12．18的约数有l ，2，3，6，9，18 那么它们的公约数有l ，2，3，6；其中最大公约数为6．

2. 公倍数与最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数．例如：15的倍数有：15，30，45，60，75，90， 105，120，…． 10的倍数有：10，20，30，40，50，60，70， 80。90，…．那么它们的公倍数有30，60，90，…是有无穷多个的；而最小公倍数却只有一个，为30．

3. 互质的概念

如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数互质．显然的，两个不同的质数一定互质．

4. 辗转相除法求最大公约数

5. 最大公约数与最小公倍数性质 1) 分数的计算 ()[]

,,,b d b d a c a c ??= ???； [](),,,b d b d a c a c ??=???? 2) 约倍关系 ()[],,ab a b a b =

约数与倍数

【例1】 甲数是36，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数应该是

解答：这里考察的是ab=(a,b)*[a,b]这个知识点

代入即可算出乙数是32

【例2】（2009年“数学解题能力展示”读者评选活动五年级初赛第3题）如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么它们的和是。

答案：23

整除性

【例3】一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按从小到大的顺序排成一列，中间的一个是。

解答：同时被2，5，7整除也就是70的倍数，从140到980

也就是70的2倍一直到14倍，中间一个应该是70的8倍，也就是560

补充：一年级有72名学生课间加餐费共交x52．7x 元(x辨认不清) 每人交了元.

解答：考察自然数被8和9整除的特点

被8整除看末三位，被9整除看数字和，容易得到x=2

【例4】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有个。

解答：四位数ABCD要被11整除，11|(A+C)-(B+D)

A+C=12，B+D=1 4081，4180，3091，3190，若A+C=1,B+D=12,则有1309,1408,1507,1606

1705,1804,1903

三位数ABC 要被11整除，A+C=12，B =1 319，418，517，616，715，814，913

共有18个

【例5】（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？

（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的数字和能被4整除？

解答：（1）显然是999

（2）考虑从0到3999的整数，如果把它们都作为4位数看待，则最高位从0到3，其余的各位从0到9。

现在不管最高位为几，后面三位的排列一共有10*10*10为1000个数，这1000个数中每一个数的数字和被4除只可能余0、1、2或3。但无论哪一种余数，最高位恰好只有一个数字与之相加后能被4整除，就是说，只要后三位确定了，最高位有且仅有一个数字才能使整个数的数字和能被4整除。因此，从0到3999这4000个数中，有1000个数的数字和是能被4整除的。但原题并不包括0及3999，因此排除0，故答案为999。

补充：某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。例如号码 0734，因 0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券。试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除

解答：显然，号码为9999的是幸运券，除这张幸运券外，如果某个号码n是幸运券，那么号码为m=9999-n 的购物券也是幸运券。由于9999是奇数，所以m≠n。

由于m+n=9999，相加时不出现进位，所以除去号码是9999这张幸运券之外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的倍数。

因为9999=99×101，所以所有幸运券号码之和能被101整除。

【例6】已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是。

答案：200731212

【例7】 有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数。将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数。那么这18个数的平均数是： 。 答案：6444

4个不同的数字可以组成18个不同的四位数，那么一定有个数字是0（否则有4！＝24个），设这四个数字为0c+1,所以（c,a ）可能等于（1,4）,(1,5),(1,6),(1,9),(4,6),(4,9),(5,9),(6,9)。经验证只有（1,9）满足条件，此时b=8，最大的四位数是9801。

【例8】 在算式（A □B ）△(C ○D)中，□，△，○代表的是撒个互不相同的四则运算符号（即加、减、乘、除），A ，B ，C ，D 是4个互不相同的非零阿拉伯数字。如果无论□，△，○具体代表的是哪三个互不相同的四则运算符号，（A □B ）△(C ○D)的计算结果都是整数。那么，四位数ABCD ————

是_____.

答案：9321

【例9】 如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍，那么，这个五位数的前两位的最大值是_______。

答案：75531

【例10】 （2010年“数学解题能力展示”读者评选活动五年级初赛第7题）已知一个五位回文数等于45与一个四位回文数的乘积（即deed abcba ?=45），那么这个五位回文数最大的可能值是______；（59895=1331?45）

答案：59895

考点：数的整除性 详解：由于abcba 45，则abcba abcba

9,5，那么a 最大为5，b =9，分析4559□95，□=8，五位数最大为59895；

评注：对于数的整除特征，要求学生掌握2~12的整除特征，其中9、11的整除特征最重要，最难的是7的整除特征。

【例11】 （2009年“数学解题能力展示”读者评选活动五年级初赛第5题）从1，2，3，4，5，6中选取若干个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数。那么共有 种不同的选取方法。 答案：19

余数与同余

补充：两个整数相除得商数是12，余数是26，被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是 解答：设除数为x

被除数为x*12+26

所以

x+(x*12+26)+12+26=454

13x=390

x=30

【例12】 一列数1、2、4、7、11、16、22、29、……这列数的组成规律是第2个数比第一个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推。那么这列数左起第1992个数除以5的余数是

解答：这一列数的第1992个等于1+1+2+3+…+1991=1983037

所以它除以5的余数是2

【例13】 （2009年“数学解题能力展示”读者评选活动五年级初赛第8题）将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是 。 答案：1434

尾数问题

【例14】 自然数12×12×12×……×12（2004个12连乘）的末位数字是多少？

解答：通过找规律容易发现结果为6

【例15】 （2010年“数学解题能力展示”读者评选活动五年级初赛第4题） 2009

2010200920092009个???的

个位数字是______；

答案：1

考点：尾数问题

详解：个位数字只有多位数的个位来决定，即有2010个9乘积的个位确定，发现两个9乘积的个位都是1，那么2010个9乘积的个位数字还是1；

评注：对于n a 的个位数字，r m a

+4与r a 的个位数字相同，特别地：a 的个位数字为0，1，5，6时，n 为任何自然数，n a 的个位数字分别还是0、1、5、6。

质数合数及质因数分解

补充：某校师生为贫困地区捐款1995元，这个学校共有35名教师，14个教学班。各班学生人数相同且多于30人不超过45人。如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款 元。

解答：将1995分解得：1995＝3×5×133

设各班学生为x 人（30

(35+14x)y=1995=3*5*133

由上式可得y 可能为3,5,15

y=3时，解得x=45 符合

y=5时，解得x=26 不符

y=15 时， 解得x=7 不符

故只有x=45,y=3符合题意，平均每人捐款3 元

【例16】 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积均是420，求这些最简真分数

解答：420=2*2*3*5*7

因为要分解成分子和分母的乘积，并且要求最简，所以两个质因数2必须在一起

也就是说我们把420分解成了3*4*5*7

要把这4个因数分为两组，小的做分子大的做分母，一共有8种不同的分法

分别是1/420.3/140.4/104.5/84,7/60,12/35,15/28,20/21

【例17】（2010年“数学解题能力展示”读者评选活动五年级初赛第8题）请从1、2、3、?、9、10中选出若干个数，使得1、2、3、?、19、20这20个数中的每个数都等于某个选出的数或某两个选出的数（可以相等）的和。那么，至少需要选出______个数；

答案：6

考点：数论问题

详解：选出1、2、5、8可以表示1-10中任意一个数，再选出10，不能表示的有14、17、19，添加一个9即可，共选出6个；

评注：训练试题（1）：从1、2、3、?、63中最少选出______个数，使得选出的数或它们和可以表示1-63中的任意一个数；答案：5；

训练试题（2）：有一架天平，两边都可以放砝码，要称出1-121中的任意整数克物品，那么最少需要______个砝码；答案：5；

补充：（2010年“数学解题能力展示”读者评选活动五年级初赛第6题）一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是。（36126或54189）

补充：（2010年“数学解题能力展示”读者评选活动五年级初赛第12题）有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数。将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数，则这18个数中最大的数是。（9810）

测试题

1．两个数的最大公约数是21，最小公倍数是126。这两个数的和是

解答：这两个数是21和126或者42和63

所以答案是147或者105

2．一些四位数，百位数字都是3，十位数字都是6，并且他们既能被2整除又能被3整除。甲是这样四位数中最大的，乙是最小的，则甲乙两数的千位数字和个位数字（共四个数字）的总和是

解答：甲数是9366，乙数是1362，所以所求四个数总和是9+6+1+2=18

3．一个自然数被5、6、7除时余数都是1，在10000以内，这样的数共有多少个？

解答：这样的数被210除余1，最小的是1，最大的是210*47+1

所以这样的数有48个

4．如果两个自然数相除，商是4，余数是3；被除数、除数、商、余数的和为100。那么被除数是

解答：设除数是x，那么被除数就是4x+3

那么4x+3+x+4+3=100

X=18,所以被除数就是18*4+3=75

5．某班同学在班主任老师的带领下去种树，学生恰好平均分成3组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了1073棵，那么平均每人种了棵树

解答：先将1073分解因数1073=29*37

又因37=3*12+1

所以师生总人数为37。

平均每人种了29棵树。

1073是一个奇怪的数字，可以由37*29得到，题目里提到全班学生人数可以被3整除，37－1＝36，说明全班人数是36，那么29就是平均每人种的树的棵数了。

6．一个长方体的长、宽、高是连续的三个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是平方厘米

解答：把39270分解质因数：

39270=2*3*5*7*11*17

因为33*33*33=35937，而34*34*34=39304，所以这三个连续的自然数中肯定有33和34。

把它们进行分组，得

3*11=33

17*2=34

5*7=35

得33*34*35=39270。

所以33、34、35是这个长方体的长宽高。

它的表面积就是2*(33*34+33*35+34*35)=6934(平方米)

7．已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？

解答：一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几，就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。但在甲酸中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数。

2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”天。因为366×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7）答：2010年的国庆节是星期五。

8．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，那么这些自然数共有个

解答：2008－10＝1998

进行分解质因数，

1998＝2×999＝2×3×3×3×37；

其中大于10的质因数有37，111，74，18，27，222，333，999，666，54，1998共11个

这些自然数共有11个