Cantor集与Cantor函数
Cantor集与Cantor函数
【摘要】：本文详细分析并证明cantor集与cantor函数的定义与性质，具体内容有：cantor集的完备性，具有连续统势；cantor函数的性质，解决了课堂上的小问题（关于cantor函数的连续性与稠密性）；并借助于cantor集，给出一个孤立点集，它的导集是一个完备集；最后给出了一些常见的分形。
【关键词】：Cantor集、Cantor函数、分形、点集、完备集
1 Cantor集与Cantor函数的定义
1.1 Cantor集的定义
三等分，并除去中间的开区间,
然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。这样，当进行到n次
时，一共去掉了个开区间此时令
下面我们定义如下函数：
f=
这个函数f(x)就是Cantor函数。
2 Cantor集与Cantor函数的基本性质
2.1 Cantor集的性质
2.1.1 完备性
Cantor集是完备集：
引理：F G，则F是完备集的充分必要条件是是至多可数个两两不相交且无公共端点的开区间的并，即
两两不相交且无公共端点。
证明：Cantor集C明显满足上述条件
G=[0,1]\C
故：
R-C=G
而：
G=(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪......
为两两不相交且没有公共端点的开区间的并。
故C为完备集
2.1.2 Cantor集是疏集，没有内点
证明：
假设是C的内点，
则存在，使得
这样含于[0,1]中且这个开集的各个构成区间互不相交，这些区间的长度之和大于1，矛盾。
由C是疏集。
2.1.3 G=[0,1]\C是[0,1]中的稠密集
即证明
证明：易得,下面证明
反证法，任取x且x，则存在x的一个邻域，其中不含有G
的点。可得这个领域在C内。又，故x C，所以x是C中的内点。
与C是疏集矛盾。所以。故，G是[0,1]中的稠密集，
证毕。
2.1.4 C具有连续统势
由上述性质，似乎Cantor完备集中没有多少点了！但事实上不然，下面证明其有连续统势。
证明：由定理可得，(0,1)与无限n元数列全体等价。所以，(0,1)中每
一点x，有惟一的一个无限三元数列，使
(1)
现在对中所有的点x必定，对及
中所有的点x必定，中所有的点x必定
，等等。即对G中所有的点x，(1)中所有对应的中必有等于1
的项。因此(1)中仅由0和2构成的无限三元数列所对应的x都在C
中。而这样的全体有连续统势。证毕.
2.2 Cantor函数的性质（关于课堂小问题：Cantor函数的连续性和稠密性）
2.2.1 Cantor函数是[0,1]上的单增函数
由其构造方法易得这个性质，在这里就不证明了
2.2.2 Cantor函数是[0,1]上的连续函数
引理：f是[a，b]单增实值函数，f([a，b])是区间[f(a),f(b)]的稠子
集，则f连续
证明引理：首先证明f在x=a连续。由假设知对于任意的，存在y，使得
利用f的单调性知道：当a x y时
这样f在x=a连续，同理可证明f在x=b连续。
现在取我们只要证明：
明显：,假如二者不相等，则有
这样我们可以取数和，使得
这个,但是对于任意的x
这和f([a,b])在[f(a),f(b)]中稠密矛盾。
同理可证明。
证明Cantor函数是[0,1]上的连续函数：
因为：
对任意的x,的一个自然数n.
不妨设,
则。
故：
在[0,1]中稠密，因此f([0,1])是
[0,1]的稠密子集。得用上述引理，f是[0,1]是的连续函数。
3借助于Cantor集，给出一孤立点集，其导集是完备集
Cantor集C的余集的构成区间的中点集合是孤立点集并且它的的导集是完备集。
证明：设G=[0,1]\C，则：
G=(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪......
设F是G的构成区间的中点组成的集合，对任意的x F，x是G中某
个开区间E的中点，故必然存在中，而G是两
两不相交的开区间的并，故区间中不会含有除x外的F中的点，由x的任意性，F是孤立点集。
下面证明
对任意的x，x的任邻域中有F的无限个点,所以；反
过来，我们记：
记为构造Cantor集的过程中第二次去掉开区间后剩下的[0,1]区
间中的部分，也就是说：
一般地，记为构造Cantor集的过程中第n次去掉开区间后剩下的
[0,1]区间中的部分，
则表示的各个闭区间去掉中间1/3长度的开区间后剩下的部
分，不难发现：
假如，则对于任意的，以及满足的一个自然数n，
由于，x一定属于组成的某个闭区间，注意到
包含了G的无限多个构成区间，所以中有F的无限个点。
于是x，这样就证明了
4从Cantor集到分形
4.1 分形简介
分形Fractal，来自拉丁文Fractals，意思是含有断裂和碎片。它的创始人是美籍数学家曼德尔伯罗特。他在1967年发表了题为《英国的海岸线有多长？》的著名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的，呈现蜿
蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体态的相似。
目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略地说：
1.分形是对没有特征长度但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称；
2.分形是整体与局部在某种意义下的对称性的集合；
3.分形是具有某种意义下的自相似集合;
4.分形是其豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合。
分形可以是自然存在的，也可以是人造的。树木、山川、云朵、闪电、星系、大脑皮层……都是典型的分形
标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如Koch雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。
4.2 分形的基本性质
总的说来分形一般有以下特质：
在任意小的尺度上都能有精细的结构；太不规则，以至难以用传统欧氏几何的语言描述；（至少是大略的或任意的）自相似；有着简单的递归定义。
（1）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（2）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（3）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（4）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。
（5）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
4.3 一些常见分形
4.3.1 Koch 曲线
给定线段，科赫曲线可以由以下步骤生成：
1．将线段分成三等分。
2.以中间为底，向外或向内画出一个等边三角形。
3.将底边移去。
分别对每边重复步骤1-3.。
该曲线是第一个人为构造的具有局部与整体相似的结构，被称为自相似结构。
4.3.2 门格尔海绵
门格尔海绵由以下步骤生成：
从一个正方体开始。
把正方体的每一个面分成9个全等正方形。这样，原正方体将会被分成27个小正方体。
把每一面的中间的正方体去掉，中间的正方体也去掉，这样留下20个小正方体。
把每一个留下的小正方体都重复第1-3个步骤。
4.3.3 塞宾斯基三角
塞宾斯基三角有以下步骤生成：
1.取一个实心的三角形。（多数使用等边三角形）
2.沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形。
3.去掉中间的那一个小三角形。
4.对其余三个小三角形重复1-3。
4.3.4 塞宾斯基地毯。
生成方法：将一个实心正方形划分为9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯。
4.3.5 此外还有其他的分形，比如：三位谢氏塔、洛伦次曲线、四方内生树、曼德勃罗集等。
【参考文献】
[1]胡国恩、王鑫、刘宏奎，实变函数，西安电子科技大学出版社，2014.8
[2]周性伟、孙文昌，实变函数（第三版），科学出版社，2014.5
[3]周民强,实变函数论[M] ,北京大学出版社,2001
[4]百度文库
集合与函数概念单元测试题_有答案
高一数学集合与函数测试题 一、 选择题（每题5分，共60分） 1、下列各组对象：○12008年北京奥运会上所有的比赛项目；○2《高中数学》必修1中的所有难题；○3所有质数；○4平面上到点(1,1)的距离等于5的点的全体；○5在数轴上与原点O 非常近的点。其中能构成集合的有（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是（ ） A ．{23,}x x k k N =+∈ B ．{41,}x x k k N +=±∈ C ．{21,}x x k k N =+∈ D ．{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 3、设221()1x f x x -=+，则(2)1()2 f f 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．35 D ．35- 4、已知集合2{40}A x x =-=，集合{1}B x ax ==，若B A ?，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．12± C ．0或12± D ．0或12 5、已知集合{(,)2}A x y x y =+=，{(,)4}B x y x y =-=，则A B =I （ ） A ．{3,1}x y ==- B ．(3,1)- C ．{3,1}- D ．{(3,1)}- 6、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ ） （A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）22)1()(,)(+==x x g x x f （C ）0)(,1)(x x g x f == （D ）???-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 7、是定义在上的增函数,则不等式的解集
人教版高中数学必修一《集合与函数概念》高考分类练习题及解析
（人教版）数学必修1第一章《集合与函数概念》 高考分类练习题 一、选择题 1．【广东】已知{}213|||,|6,22A x x B x x x ? ? =+ >=+≤???? 则A B = A.[)(]3,21,2-- B.(]()3,21,--+∞ C. (] [)3,21,2-- D ．(](],31,2-∞- 2．【江苏】设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于 A ．{1，2} B ．{3，4} C ．{1} D ． {-2，-1，0，1，2} 3．【江苏】 设函数)(1)(R x x x x f ∈+- =，区间M=[a ，b](a C. D. 7．【福建文】设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，B={2,3,5}，则 )(B A C U 等于 A ．{1，2，4} B ．{4} C ．{3，5} D ．φ 8．【湖北理】已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为 A ． 2 1x x + B ．2 12x x +- C ． 2 12x x + D ．2 1x x +- 9．【湖北理】设集合044|{},01|{2 <-+∈=<<-=mx mx R m Q m m P 对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 A ．P Q B ．Q P C ．P=Q D ．P Q= 10．【湖北文】设B A Q x x x B N k k x x A ?∈≤=∈+==则},,6|{),,15|{等于 A ．{1,4} B ．{1,6} C ．{4,6} D ．{1,4,6} 11．【湖北文】已知4 254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有 A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 12．【湖南文】函数)1 1lg(x y -= 的定义域为 A ．{}0| 一、企业简介 南京摩诺服饰有限公司创建于2004年，公司以小飞鱼服饰起步，经历12年砥砺发展，公司旗下又衍生出面向现代都市群体的快时尚品牌——摩奥。公司总部位于江苏省南京市雨花台区，并在杭州、广州、成都等地成立了分公司办事处、物流仓储中心。 伴随着公司不断的成长壮大，公司组织架构日臻完善。2016年6月，摩诺服饰有限公司进一步完成了人力资源的整合，确立了人性化、系统化的运营管理体制。健全的管理制度为公司未来的发展奠定了基石。未来五年里，公司将致力转型成为集自主研发、生产、物流配送、终端门店和电商平台销售推广为一体的的综合性连锁服饰品牌企业。 二、公司发展历程（大事记） ?2004年10月22日，第一家小飞鱼品牌零售店在南京迈皋桥诞生，市场反映良好，前 景光明。 ?2004年12月，南京小飞鱼服饰有限公司注册成立。公司通过与大型商超和购物中心的 合作来开拓市场。 ?2005年8月，杭州采购配货中心成立，高效地配送货物，保证了销售的稳定，为公司 的快速扩张提供了强大的保障。同年，公司与乐客多超市、北京华联超市达成合作协议，通过连锁超市的平台，逐步深入市场。 ?2006年7月，公司对组织架构进行完善，成功整合人力资源，公司进入了规范化的运 营轨道。 ?2007年，公司与家乐福、大润发等国际知名连锁超市建立了全面的合作关系。三年的 摸索与发展，小飞鱼品牌的知名度日益提高，在消费群体中树立了良好的口碑，成熟的品牌条件为拓宽营销渠道奠定了基础。 ?2008年，为适应市场的多样化需求，公司旗下的另一个快时尚品牌——摩奥创立，并 与大润发合作，相继在甘肃兰州、江苏宿迁开设了摩奥70店和摩奥71店。 ?2009年，公司与大润发成为重要的战略合作伙伴，强强联手，公司旗下品牌得以全面 进驻大润发超市。 ?2010年，公司进入快速发展阶段，小飞鱼、摩奥连锁店如雨后春笋般在全国的一二三 线城市崛起，获得众多消费者的青睐。 ?2011年，公司正式携手“免费午餐”公益项目，参与社会公益活动。 ?2012年8月，公司下属分公司和采集、物流中心已分别在北京、广州、杭州、成都、 武汉相继成立，为公司的迅速扩张提供了强有力的后援保障。 ?2013年5月，公司在淘宝网站开设了第一家线上店铺，开始了电商领域的探索，为后 来相继在天猫平台和京东平台开设店铺打下了基础。同年11月，在全体摩乐人的努力 Cantor集与Cantor函数 【摘要】：本文详细分析并证明cantor集与cantor函数的定义与性质，具体内容有：cantor集的完备性，具有连续统势；cantor函数的性质，解决了课堂上的小问题（关于cantor函数的连续性与稠密性）；并借助于cantor集，给出一个孤立点集，它的导集是一个完备集；最后给出了一些常见的分形。 【关键词】：Cantor集、Cantor函数、分形、点集、完备集 1 Cantor集与Cantor函数的定义 1.1 Cantor集的定义 三等分，并除去中间的开区间, 然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。这样，当进行到n次 时，一共去掉了个开区间此时令 下面我们定义如下函数： f= 这个函数f(x)就是Cantor函数。 2 Cantor集与Cantor函数的基本性质 2.1 Cantor集的性质 2.1.1 完备性 Cantor集是完备集： 引理：F G，则F是完备集的充分必要条件是是至多可数个两两不相交且无公共端点的开区间的并，即 两两不相交且无公共端点。 证明：Cantor集C明显满足上述条件 G=[0,1]\C 故： R-C=G 而： G=(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪...... 为两两不相交且没有公共端点的开区间的并。 故C为完备集 2.1.2 Cantor集是疏集，没有内点 证明： 假设是C的内点， 则存在，使得 这样含于[0,1]中且这个开集的各个构成区间互不相交，这些区间的长度之和大于1，矛盾。 由C是疏集。 2.1.3 G=[0,1]\C是[0,1]中的稠密集 即证明 证明：易得,下面证明 反证法，任取x且x，则存在x的一个邻域，其中不含有G 的点。可得这个领域在C内。又，故x C，所以x是C中的内点。 与C是疏集矛盾。所以。故，G是[0,1]中的稠密集， 证毕。 2.1.4 C具有连续统势 由上述性质，似乎Cantor完备集中没有多少点了！但事实上不然，下面证明其有连续统势。 证明：由定理可得，(0,1)与无限n元数列全体等价。所以，(0,1)中每 一点x，有惟一的一个无限三元数列，使 (1) 现在对中所有的点x必定，对及 中所有的点x必定，中所有的点x必定 ，等等。即对G中所有的点x，(1)中所有对应的中必有等于1 的项。因此(1)中仅由0和2构成的无限三元数列所对应的x都在C 中。而这样的全体有连续统势。证毕. 2.2 Cantor函数的性质（关于课堂小问题：Cantor函数的连续性和稠密性） 2.2.1 Cantor函数是[0,1]上的单增函数 由其构造方法易得这个性质，在这里就不证明了 2.2.2 Cantor函数是[0,1]上的连续函数 引理：f是[a，b]单增实值函数，f([a，b])是区间[f(a),f(b)]的稠子 集，则f连续 新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题(1) 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2 +bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2 +bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2 +bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2 +bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111+ = 的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}， N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0｝ ，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150) 5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤) 5.65.3(),5.3(50150) 5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x , f [g (x )]=)0(122 ≠-x x x ,则 f (2 1)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y= x x ++ -1912是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数 9．下列四个命题 （1）f(x)= x x -+-12有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射; （3）函数 y=2x(x N ∈)的图象是一直线； 常见题型归类 第一章集合与函数概念 1.1集合 题型１集合与元素 题型2 集合的表示 题型3 空集与0 题型4 子集、真子集 题型5 集合运算 题型５.1 已知集合，求集合运算 题型5.2 已知集合运算,求集合 题型５.３已知集合运算,求参数 题型6 “二维”集合运算 题型６自定义的集合 1.2函数及其表示 题型1 映射概念 题型2 函数概念 题型3 同一函数 题型4 函数的表示 题型5 已知函数解析式求值 题型6 求解析式 题型７定义域 题型7．1 求函数的定义域 题型7.2 已知函数的定义域问题 题型8 值域 题型8．1 图像法求函数的值域 题型８.2 转化为二次函数，求函数的值域 题型8.３转化为反比例函数,求函数的值域 题型8.4 利用有界性,求函数的值域 题型８.5单调性法求函数的值域 题型8.6 判别式法求函数的值域 题型8．7 几何法求函数值域 题型9 已知函数值域，求系数 1.3函数的基本性质单调性 题型1 判断函数的单调区间 题型２已知函数的单调区间，求参数 题型3 已知函数的单调性,比较大小 题型4 已知函数的单调性，求范围 1.4函数的基本性质奇偶性 题型1 判断函数的奇偶性 题型2 已知函数的奇偶性，求解析式 题型3 已知函数的奇偶性，求参数 题型4 已知函数的奇偶性,求值或解集等 1.5函数的图像 题型1 函数图像 题型2 去绝对值作函数图像 题型3 利用图像变换作函数图像 题型4 已知函数解析式判断图像 题型5 研究函数性质作函数图像 题型6 函数图像的对称性 第二章基本初等函数 2.1指数函数 题型1 指数运算7 题型２指数函数概念 题型３指数函数型的定义域、值域 题型4 指数函数型恒过定点 题型5 单调性 题型6 奇偶性 题型７图像 题型８方程、不等式 ２.２对数函数 附件一：“中国工艺”品牌介绍 自人类开启智慧，艺术的生命即被点燃，生活自此缤纷多彩。屏息观花海，闭目闻腥浪，在山间游走，在林间歌唱，自然赋予生活无尽想象。回归家中，艺术品取代自然的使命，陶冶情操。 “中国工艺”是甄选与汇集各类艺术生活用品的品牌集合平台，在这里能探寻到关于艺术生活的一切。一杯一碗，一品一物，缀于身段，置于屋宇，时刻发现生活之美。这里集萃精工细作的大师智慧，汇聚东西方文化，古为今用，凝练时光，甄选雅致淳朴禅意格调的陶器，大师锻造匠心独运的铜器，简约生动精致巧妙的玉器，东方美学创意理念的家居用品，它们让生活更具艺术气息。“中国工艺”用美学启迪想象，用文化愉悦身心，用艺术点亮生活。 “中国工艺”品牌核心价值：“品质信赖艺术生活” “中国工艺”品牌个性：“权威品味鉴赏担当” “中国工艺”品牌主题理念：“时光凝练集萃经典” 中国工艺集团有限公司简介 中国工艺集团有限公司由原中国工艺(集团)公司于2017年12月18日改制而成。中国工艺（集团）公司是2007年由原中国工艺品进出口总公司和中国工艺美术（集团）公司两家中央企业联合重组成立的大型集团公司，于2017年8月成为中国保利集团公司的全资子公司。中国工艺（集团）公司以国家文化战略中央企业践行者身份，肩负着弘扬工艺美术文化、振兴工艺美术经济、发展工艺美术产业，向世界传播中华传统文化的神圣使命。 中国工艺（集团）公司目前已经形成了工艺美术原材料、工艺美术产品、珠宝首饰、文化服务四大主营业务，拥有中国中金科技、中国珠宝、中国工艺品进出口、中国工美、中国抽纱、中国工艺品展销等涵盖产业上下游的经营公司，2016年末资产总额达到152.2亿元，年销售收入295.9亿元左右，实现税利近11.6亿元，其中利润总额4.2亿元。中国工艺美术协会理事长单位，中国玩具协会会长单位，中国黄金协会副会长单位，上海钻石交易所理事长单位，上海黄金交易所理事单位，铂金、象牙国内合法进口商的声誉和资源共同塑造了中国工艺（集团）公司在全行业领军企业的形象。 回顾四十多年的发展史，中国工艺（集团）公司前身企业中国工艺品进出口总公司、中国工艺美术（集团）公司在国际国内两大市场中，为继承和发扬中华民族优秀传统文化、保护民族瑰宝，扩大对外交流、吸收和借鉴世界有益文 Cantor集与Cantor函数 Cantor 集与Cantor 函数 【摘要】：本文详细分析并证明cantor 集与cantor 函数的定义与性质，具体内容有：cantor 集的完备性，具有连续统势；cantor 函数的性质，解决了课堂上的小问题（关于cantor 函数的连续性与稠密性）；并借助于cantor 集，给出一个孤立点集，它的导集是一个完备集；最后给出了一些常见的分形。 【关键词】：Cantor 集、Cantor 函数、分形、点集、完备集 1 Cantor 集与Cantor 函数的定义 1.1 Cantor 集的定义 将基本区间A=[0， 1]三等分，除去中间的开区间)3 231(11，，=I ,记其剩余部分为?? ??????????=1,323101 ，E ；再将1E 中的两个闭区间各三等分，然后分别去掉中间的开区间)3 837()3231(222,2221,2，，，==I I ,然后记其剩余部分为?? ??????????????????????=1383732313231022222，，，， E 。如此继续下去，在第n 步时，去掉的开区间为)3 13323()3837()3231(12,2,1,n n n n n n n n n n n n I I I --===-，，，，，， 。其余部分为n 2个长为n 31的闭区间，令 n m k k m n m I G 1121,=-==又令 k n k n n n I G G ,,1==∞=，G C \]10[，=，则称所得的C 为Cantor 集。 1.2 Cantor 函数的定义 将基本区间A=[0，1]三等分，并除去中间的开区间,同时令 把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间 )3 837()3231(222,2221,2，，，==I I 同时令 修文县华驿私立中学2012-2013学年度第一学期单元测试卷（四） （内容：集合与函数概念 满分：150 时间：120 制卷人：朱文艺） 班级： 学号： 姓名： 得分： 一、选择题：（以下每小题均有A,B,C,D 四个选项，其中只有一个选项正确，请把你的正确答案填入相应的括号中，每小题5分，共60分） 1. 下列命题正确的是 （ ） A ．很小的实数可以构成集合 B ．集合{} 1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合 C ．自然数集N 中最小的数是1 D ．空集是任何集合的子集 2. 已知{}32|≤≤-=x x M ，{}41|>-<=x x x N 或， 则N M 等于 （ ） A. {}43|>≤=x x x N 或 B. {}31|≤<-=x x M C. {}43|<≤=x x M D.{}12|-<≤-=x x M 3. 函数2() = f x （ ） A. 1 [,1]3- B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3 -∞- 4. 下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是 （ ） A ．2 ()1,()1x f x x g x x =-=- B ．()21,()21f x x g x x =-=+ C ．2(),()f x x g x == D ．0()1,()f x g x x == 5. 方程组? ??-=-=+122 y x y x 的解集是 （ ） A ．{}1,1==y x B ．{}1 C.{})1,1(|),(y x D ． {})1,1( 6．设{} 是锐角x x A |=，)1,0(=B ，从A 到B 的映射是“求正切”，与A 中元素0 60相对应的B 中元素是 （ ） A ．3 B ． 33 C ．21 D ．2 2 品牌营销策划方案2019最新模板合 集 当今的时代是品牌经济时代。如何建设好一个品牌成为重中之重。下面就是给大家带来的品牌营销策划方案2019最新模板合集，希望大家喜欢! 品牌营销策划书【一】 中国在世界上是最大的服装加工基地，服装生产总量大，但单件价值水平低。我国纺织服装企业国际经营经验严重欠缺，世界性品牌几乎为零，品牌对市场的号召力和多地域伸展力不足，企业的市场形象、企业财政透明度等方面有所欠缺，这些都是我们的弱项。当今是品牌经济时代，加入世贸后，服装行业的竞争不只是行业内竞争，还有来自行业外的竞争，如迪斯尼的“米奇妙”牌童装进入市场，在中国城市儿童消费领域很有影响力。我国服装产业欠缺的不是质量，而是国际品牌、国际经营经验。我们必须创造自己的拳头产品，打造国际品牌。 加入世贸后中国服装出口将会遇到以下几方面的问题： 第一，服装是精神消费品，除物质消费功能，还需要有文化。这是中国服装严重不足的一个方面。 第二，如今消费市场国际化，商品消费品牌化，竞争的层面与以前相比大为复杂，我们在国内市场有多大胜算，也要打一个问号。 第三，开放是互相的，我们要冲出去，别人要打进来，竞争会更加激烈。 第四，服装加工并非中国的专利，争夺国际订单的问题会越来越突出，企业生存和发展如果依附在别人身上，其困扰是无法避免的难题。 第五，没有无限度的开放。非关税壁垒障碍、反倾销诉讼、环保等问题都会成为抑制我国服装出口的理由。我国产品多为中低价格，容易招致反倾销。具有较高知名度品牌的绿色服装、生态服装应是我们要作为重点发展的领域。 总的来说，中国服装业品牌意识普遍不强，缺乏知名品牌。作为一个纺织与服装大国，许多服装企业依旧停留在“要什么，做什么”、“有什么，卖什么”的阶段，一味依赖于外贸代理订单，而不去培育自己的品牌，无力直面国际市场。虽然有雅戈尔、顺美等一批服饰精品在国内崭露头角，但真正有影响力的品牌寥寥 新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 1 11+ = 的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在 B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤) 5.65.3(),5.3(50150) 5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(12 2 ≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++ -19 12 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数 9．下列四个命题 （1）f(x)=x x -+-12有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射; （3）函数y=2x(x N ∈) 的图象是一直线； 集合与函数概念单元测试 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2、已知函数x x f -=21)(的定义域为M ，2)(+=x x g 的定义域为N ，则=?N M A.{}2-≥x x B.{}2 10.已知函数212x y x ?+=?-? (0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52- C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 11.下列四个函数中，在（0，∞）上为增函数的是 （A ）f （x ）＝3－x （B ）f （x ）＝x 2－3x （C ）f （x ）＝－｜x ｜ （D ）f （x ）＝－2 3+x 12、定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞]上是减函数，又6)7(=f ，则)(x f A 、在[－7，0]上是增函数，且最大值是6 B 、在[－7，0]上是增函数，且最小值是6 C 、在[－7，0]上是减函数，且最小值是6 D 、在[－7，0]上是减函数，且最大值是6 二、填空题 13.已知集合M={(x ，y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M∩N＝ ． 14.已知f （x ）是偶函数，当x ＜0时，f （x ）＝x （2x －1），则当x ＞0时，f （x ）＝＿＿ 15． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ． 16．定义域为2[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数，则a= ． 17．设32()3,()2f x x x g x x =-=-，则(())g f x = ． 三．解答题 18．.已知集合A={-1，a 2+1,a 2-3},B={-4,a-1,a+1},且A∩B={-2}，求a 的值.(13分) 19．已知集合A={} 71<≤x x ，B={x|2 教师姓名学生姓名填写时间年级高一学科数学上课时间 阶段基础（√）提高（）强化（）课时计划第（）次课共（）次课 教学目标1、通过复习熟练掌握集合概念及其运算，以及集合的几种表示方法 2、通过复习熟练掌握函数的概念以及函数的性质，进一步体会运动变化、数形结合、代数转化以及集合与对应的数学思想方法 教学重难点教学重点：集合的概念与表示、集合的运算、函数的概念以及函数的性质教学难点：集合的运算、函数的概念以及性质的具体运用 教 学 过 程 课后作业：教学反思： 知识点一：集合的性质与运算 例1、已知集合{}2 1,1,3A x x =--,求实数x 应满足的条件. 例2、设{} 022=+-=q px x x A ，{} 05)2(62 =++++=q x p x x B ，若? ?????=21B A ， 则=B A （ ） （A ）??????-4,31 ,21 （B ）??????-4,21 （C ）??????31,21 (D)? ?????21 例3、如图U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ） A 、 ()M P S B 、 ()M P S C 、()u M P C S D 、 ()u M P C S 例4、设集合{}21<≤-=x x M ，{} 0≤-=k x x N ，若M N M = ，则k 的取值范围（ ） （A ）(1,2)- （B ）[2,)+∞ （C ）(2,)+∞ (D)]2,1[- 例5、设{ }{} I a A a a =-=-+241222 ，，，，，若{}1I C A =-，则a =__________。 知识点二：判断两函数是否为同一个函数 例6、试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）2)(x x f =，33)(x x g =； （2）x x x f =)(，?? ?<-≥=; 01 , 01 )(x x x g （3）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）； （4）x x f =)(1+x ，x x x g += 2)(； （5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g 十 剖析康托集及“有理数集”测度 山东枣庄二中 赵 录(emall ：zhaolu48@https://www.wendangku.net/doc/1517529627.html,) 康托把有理数集E 排列为下面的文字框： “个数”为n 2(n →∞)个。每个“点”x 用开区间(x- 3 1 2n ,x+3 1 2n ) 覆盖，即其外测度为： 33 11 2 3 311 1 1 lim [()()]1 lim lim 0 *()22n n n j i n n n n j i i i j j m E n n n n n →∞ ==→∞ →∞ ==+ --===≤∑∑∑∑ 下面我们就来分析一下外测度为零的实质。 区间(x- 3 1 2n ,x+3 1 2n )的长度为3 1 n ，而区间的个数为n 2，那么 当然有2 31 1 lim( )lim 0n n n n n →∞ →∞?==。 取文字框一中的主对角线及上方的元素(文字框二)：当n →∞时，按康托的概念就应当是区间[0,1)上的“有理数集”E 。那么取区间长为 3 1 n 的开区间族“覆盖”E ，可得外测度： 3331111(1)1*()lim ()()]lim[]0222j n n n j i i i n n m E j j n n n →∞→∞==+=+--=?=∑∑ （1） 我们再来用黎曼积分定义的方法求函数y=1在区间(0,1)上的定 积分： 1 01 11 lim (1)lim()1n n n i dx n n n →∞→∞==?=?=∑?，即把(0,1)n 等分，每等分的长度为 1n ，与这个小区间上的函数值1的积仍是1n ，这n 个1 n 的和，当n →∞时，就是(0,1)上的定积分1。由定积分的定义可得：把区间分成多少份，就应当这些分都 “参与”到积分中来【注一】，而不能是分成n 2份，而只取其中n 份的和。 那么使前面文字框内的有理数集的外测度等于零的密诀就是先把长度为n 的线段n 等分，则每等分为单位长，再把每等分再n 3等分，即把长度为n 的线段n 4等分，而均匀地取其中的n 2份之和，当n 趋于无穷大时，便有其外测度为零。这种使其为零的“方法”确实高明巧妙得很。不巧的是它违反了积分的定义。 如果是把长度为n 的线段n 2等分，再把其n 2份求和，则其“外测度”为2 2 lim( )x n n n →∞ ? =∞。即可得 12n n n n 12n n n n 数学必修一第一章检测试题（含答案） （集合与函数概念） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知集合}8,5,2{=M ，}10,9,8,5{=N ，则=N M （A ） A ．}10,9,8,5,2{ B ．}8,5{ C ．}10,9{ D ．}2{ 2．若集合{},,a b c 当中的元素是△ABC 的三边长，则该三角形是(C) A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．不等边三角形 D ．等腰直角三角形 3．集合{1，2，3}的真子集共有(C) A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个 4．设A 、B 是全集U 的两个子集，且A ?B ，则下列式子成立的是(C) A ．C U A ?C U B B ． C U A ?C U B=U C ．A ?C U B=φ D ．C U A ?B=φ 5．已知}19,2,1{2-=a A ，B={1,3}，A =B }3,1{，则=a (C) A ． 3 2 B ． 2 3 C ．3 2± D ．2 3± 6．函数x x x y +=的图象是 (D) 7．如果集合A={x|ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，那么a 的值是(B) A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 8．已知2 2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-< 集合与函数概念测试题 一、选择题（每小题5分，满分60分） 1．已知(){},3A x y x y =+=，(){},1B x y x y =-=，则A B = （ ）. A ．{}2,1 B ．(){}2,1 C ．{}2,1x y == D ．()2,1 2．如图，U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）. A ．()M P S B ．()M P S C ．()()U M P C S D ．()()U M P C S 3．下列各组函数表示同一函数的是（ ）． (A) 2 (),()f x g x = = (B) 0 ()1,()f x g x x == (C) 2 1()1,()1 x f x x g x x -=+=- （D ）2 (),()f x g x = = 4．函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是（ ）． (A) 0,2,3 (B) 30≤≤y (C) }3,2,0{ （D ）]3,0[ 5．已知函数2 2 1()12,[()](0)x g x x f g x x x -=-= ≠，则(0)f 等于（ ） ． (A) 3- (B) 32 - (C) 32 （D ） 3 6．函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．3a ≥- (B) 3a ≤- (C) 5a ≤ （D ）3a ≥ 7．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，1)(+-=x x f ，则当0 高中数学第一章集合与函数概念知识点 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，N*或N + R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 ?，两者必居其一. ∈，或者a M 对象a与集合M的关系是a M （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域 Cantor集的拓展及其应用 黄玉霞指导老师：郭金生 （河西学院数学与应用数学专业2012届1班09号, 甘肃张掖734000） 摘要本文对Cantor三分集进行了拓展,也就是以五分法构成了Cantor集,然后讨论在此分下Cantor集的相关性质及应用. 关键词Cantor集; 测度; 稠密集; 完备集 中图分类号O174 The Expandability and Applications of Cantor Set Huang Yuxia Instructor Guo Jinsheng （No.09,Class1 of 2012.Specislty of Mathematics and Applied Mathematics, Hexi University,Zhangye,Gansu,734000） Abstract: This paper expands Cantor set ,as well as makes Cantor set by dividing it into five parts, then discusses it’s related properties and applications in this situation. Keywords: Cantor set; measure; dense set; exhaustive set 1 引言 Cantor三分集是由德国数学家康托尔在研究三角级数问题时构造出来的一个特殊点集,具有许多显著和深刻的性质.它是人类理性思维的产物,并非某个现实原型的摹写,尤其是用传统的几何术语很难对他进行描述.它既不是满足某些简单条件的点的轨迹,也不是一个简单方程的解集,可以说,它是一种新的集合对象.厦门大学数学科学学院的伍火熊通过分析康托三分集的构造过程,剖析了其构造思想的本质特征在于对所给闭区间进行奇数次对等划分,去掉中央开区间后对存留的每一个闭子区间作同样的处理的无限构作过程.董大校指出康托尔集的构造过程是一个无穷操作或迭代过程.本文主要说明康托尔五分集与三分集具有完全相同的奇特性质,康托尔三分集的构造方法的奇特性并非偶然,它适用于由任何正奇数分得的集合,康托尔集巧妙构思和它奇特性质在解决实变函数中一些典型例题中起了重要作用. 2 预备知识 =(E'表示E的导集),则称E为完备集或完全集. 定义2.1[1]设n E R ?,如果E E'一、企业简介
Cantor集与Cantor函数
集合与函数概念测试题
高中数学必修一常见题型归类
中国工艺品牌介绍
Cantor集与Cantor函数
集合与函数概念测试题
品牌营销策划方案2019最新模板合集
集合与函数概念单元测试题(含答案)
集合与函数概念单元测试
集合与函数概念复习教案一对一教案
剖析康托集及“有理数集”测度
集合与函数概念检测试题
第一章 集合与函数概念测试题
高中数学第一章集合与函数概念知识点
Cantor集的性质及其应用