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《数值分析》教学大纲

《数值分析》教学大纲
《数值分析》教学大纲

《数值计算》教学大纲

【课程名称】数值计算(Numerical Computation)

【课程代码】【学分】

【参考学时】 48学时【讲授学时】48学时

【试验学时】 20学时【实习学时】

【课程性质】专业必修课

第一部分课程目的与任务

一、课程基础:

在学习计算方法之前,要求学生应掌握数学分析(或高等数学)、高等(或线性)代数等数学知识,应具备熟练运用C或C++、FORTRAN语言、Matlab语言等进行程序设计的能力。

二、适应对象:

软件工程专业、计算机科学与技术专业。数学相关专业等可以修读本课程。

三、教学目的:

由于计算机的迅速发展和全面普及,数值计算方法的应用已经普遍深入到各个科学领域,很多复杂的和大规模的计算问题都可以在计算机上进行计算,新的、有效的数值方法不断出现。科学与工程中的数值计算已经成为各门自然科学和工程技术科学的一种重要手段,成为与实验和理论并列的一个不可缺少的环节。所以计算方法既是一个基础性的,同时也是一个应用性的数学学科(计算数学的主要部分),与其它学科的联系十分紧密。计算方法可作为计算机相关专业的专业基础课。学习本课程之后,以期学生能够在计算机上进行有关的科学与工程计算。

后续课程有计算机图形学、图像处理、模式识别等。

四、内容提要:

研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。数值计算的主要内容包括函数的插值和逼近、数值积分和微分、解线性代数方程组的直接和迭代方法、解非线性方程和方程组的数值方法、矩阵特征值问题计算方法、常微分和偏微分方程数值解等。

五、参考教材:

教材:

数值分析(第4版),李庆扬、王能超、易大义,清华大学出版社`、施普林格出版社,2001;

参考书:

1.数值分析基础,关治、陆金甫,高等教育出版社,1998;

2.数值逼近,李岳生、黄友谦,人民教育出版社,1978;

3.计算方法引论,徐萃薇,高等教育出版社;

4.矩阵计算与方程求根(第二版),曹志浩、张玉德、李瑞遐,高等教育出版社,1984;

5.微分方程数值解法(第三版),李荣华、冯果忱,高等教育出版社,1996。

第二部分内容及基本要求

第1章、绪论:

●基本要求:1、熟练掌握误差的基本概念与误差分析的若干原则。2、掌握有效数字的概念。3、了解数值分析的内容。4、实验教学要求:要求学生用三或四周时间自学FORTRAN语言,并要在顺序结构、选择结构、循环结构、数组和模块化设计等五个方面共做三个实验。

●参考学时:2学时

●参考资料:1.《数值分析基础》(关治、陆金甫,高等教育出版社,1998)

2. 《数值逼近》(李岳生、黄友谦,人民教育出版社,1978)

●主要教学内容:

§1、数值分析研究对象与特点

数值分析;数值分析的内容;数值分析的特点;数值分析的学习方法§2、数值计算的误差

误差来源与分类;误差与有效数字;数值运算的误差估计。

第2章、插值法:

●基本要求:1、熟练掌握拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式。2、掌握埃尔米特插值多项式。3、了解三次样条的概念及样条插值函数的建立方法。4、实验教学要求:本章要求做以下两个实验:⑴Lagrange插值多项式或Newton插值多项式;⑵Hermite插值多项式。

●参考学时:10学时

●参考资料:《数值逼近》(李岳生、黄友谦,人民教育出版社,1978)

●主要教学内容:

§1、引言

插值问题及相关概念和术语

§2、拉格朗日插值

线性插值与抛物插值;拉格朗日插值多项式;插值余项与误差估计§3、均差与牛顿插值公式

均差(差商)及其性质;牛顿插值多项式

§4、埃尔米特插值

埃尔米特插值问题;埃尔米特插值多项式及其余项

§5、分段低次插值

高次插值的病态性质;分段线性插值;分段三次埃尔米特插值

§6、三次样条插值

三次样条函数;样条插值函数的建立

第3章、函数逼近与曲线拟和:

●基本要求:1、熟练掌握勒让德正交多项式、最佳平方逼近及其计算方法、最小二乘法。2、掌握切比雪夫正交多项式、最佳一致逼近。3、了解范数和内积的概念。4、实验教学要求:本章要求做一个实验:最小二乘法。

●参考学时:10学时

●参考资料:《数值逼近》(李岳生、黄友谦,人民教育出版社,1978)

●主要教学内容:

§1、函数逼近的基本概念

函数逼近与函数空间;范数与赋范线性空间;内积与内积空间

§2、正交多项式

正交函数族与正交多项式;勒让德多项式;切比雪夫多项式

§3、最佳一致逼近多项式

基本概念及其理论;一次最佳一致逼近多项式

§4、最佳平方逼近

最佳平方逼近及其计算;用正交函数族作最佳平方逼近

§5、曲线拟和的最小二乘法

最小二乘法及其计算;用正交多项式作最小二乘拟和

第4章、数值积分与数值微分:

●基本要求:1.熟练掌握牛顿-柯特斯公式、高斯求积公式。2.掌握代数精度的概念、复化求积公式。3.了解龙贝格算法、理查森外推加速法、数值微分。4.实验教学要求:

本章要求做以下两个实验:⑴复化求积公式;⑵ Romberg求积公式。

●参考学时:10学时

●参考资料:《数值逼近》(李岳生、黄友谦,人民教育出版社,1978)

●主要教学内容:

§1、引言

数值积分的基本思想;代数精度的概念;插值型的求积公式

§2、牛顿-柯特斯公式

柯特斯系数;偶阶求积公式的代数精度;几种低阶求积公式的余项§3、复化求积公式

复化梯形求积公式;复化辛普森求积公式

§4、龙贝格求积公式

梯形法的递推化;龙贝格算法;理查森外推加速法

§5、高斯求积公式

一般理论;高斯—勒让德求积公式;高斯—切比雪夫求积公式

§6、数值微分

中点方法与误差分析;插值型的求导公式;利用数值积分求导;三次样条求导;数值微分的外推算法

第5章、解线性方程组的直接方法:

●基本要求:1、熟练掌握高斯消去法、列主元素消去法。2、掌握直接三角分解法。

3、了解特殊方程组的解法(解对称正定方程组的平方根法、解对角占优的三对角方程组的

追赶法)。4、实验教学要求:本章要求一个实验:列主元Gauss消元法。

●参考学时:8学时

●参考资料:《数值分析基础》(关治、陆金甫,高等教育出版社,1998)

●主要教学内容:

§1、引言与预备知识

引言;向量与矩阵;特殊矩阵

§2、高斯消去法

高斯消去法;矩阵的三角分解

§3、高斯主元素消去法

列主元素消去法;高斯—若当消去法

§4、矩阵三角分解法

直接三角分解法

§5、向量与矩阵的范数

第6章、解线性方程组的迭代法:

●基本要求:1、熟练掌握雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法。2、掌握一阶定常迭代法收敛性的基本定理。3、了解解大型稀疏线性方程组迭代法的逐次超松弛迭代法。4、实验教学要求:本章要求做一个实验:Jacobi或Gauss-Seidel迭代法

●参考学时:8学时

●参考资料:《数值分析基础》(关治、陆金甫,高等教育出版社,1998)

●主要教学内容:

§1、引言

 迭代法的概念;迭代法收敛的概念

§2、基本迭代法

雅可比迭代法;高斯—塞德尔迭代法;解大型稀疏线性方程组迭代法的逐次超松弛迭代法

§3、迭代法的收敛性

一阶定常迭代法的基本定理;关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性

注:由于学时有限,不能讲到的内容有:

1、非线性方程求根

二分法;牛顿法;弦截法与抛物线法

2、矩阵特征值问题计算

幂法及反幂法;QR方法

3、常微分方程初值问题数值解法等

欧拉法与后退欧拉法;梯形方法;龙格-库塔方法

数值分析典型习题

特别声明:考试时需带计 算器作辅助计算 1.2015x *=是经四舍五入得到的近似值,则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数,则 3.设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =,[0123]f =,,,1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式,则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ,则A 的谱半径()A ρ= 1 ,A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ,线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ,迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ

数值计算方法学习心得

数值计算方法学习心得 ------一个代码的方法是很重要,一个算法的思想也很重要,但 在我看来,更重要的是解决问题的方法,就像爱因斯坦说的内容比 思维本身更重要。 我上去讲的那次其实做了挺充分的准备,程序的运行,pdf文档,算法公式的推导,程序伪代码,不过有一点缺陷的地方,很多细节 没有讲的很清楚吧,下来之后也是更清楚了这个问题。 然后一学期下来,总的来说,看其他同学的分享,我也学习到 许多东西,并非只是代码的方法,更多的是章胜同学的口才,攀忠 的排版,小冯的深入挖掘…都是对我而言比算法更加值得珍惜的东西,又骄傲地回想一下,曾同为一个项目组的我们也更加感到做项 目对自己发展的巨大帮助了。 同时从这些次的实验中我发现以前学到的很多知识都非常有用。 比如说,以前做项目的时候,项目导师一直要求对于要上传的 文件尽量用pdf格式,不管是ppt还是文档,这便算是对产权的一种 保护。 再比如代码分享,最基础的要求便是——其他人拿到你的代码 也能运行出来,其次是代码分享的规范性,像我们可以用轻量级Ubuntu Pastebin,以前做过一小段时间acm,集训队里对于代码的分享都是推荐用这个,像数值计算实验我觉得用这个也差不多了,其 次项目级代码还是推荐github(被微软收购了),它的又是可能更 多在于个人代码平台的搭建,当然像readme文档及必要的一些数据 集放在上面都更方便一些。

然后在实验中,发现debug能力的重要性,对于代码错误点的 正确分析,以及一些与他人交流的“正规”途径,讨论算法可能出 错的地方以及要注意的细节等,比如acm比赛都是以三人为一小组,讨论过后,讲了一遍会发现自己对算法理解更加深刻。 然后学习算法,做项目做算法一般的正常流程是看论文,尽量 看英文文献,一般就是第一手资料,然后根据论文对算法的描述, 就是如同课上的流程一样,对算法进一步理解,然后进行复现,最 后就是尝试自己改进。比如知网查询牛顿法相关论文,会找到大量 可以参考的文献。 最后的最后,想说一下,计算机专业的同学看这个数值分析, 不一定行云流水,但肯定不至于看不懂写不出来,所以我们还是要 提高自己的核心竞争力,就是利用我们的优势,对于这种算法方面 的编程,至少比他们用的更加熟练,至少面对一个问题,我们能思 考出对应问题的最佳算法是哪一个更合适解决问题。 附记: 对课程的一些小建议: 1. debug的能力不容忽视,比如给一个关于代码实现已知错误的代码给同学们,让同学们自己思考一下,然后分享各自的debug方法,一步一步的去修改代码,最后集全班的力量完成代码的debug,这往往更能提升同学们的代码能力。 2. 课堂上的效率其实是有点低的,可能会给学生带来一些负反馈,降低学习热情。 3. 总的来说还是从这门课程中学到许多东西。 数值分析学习心得体会

数值计算方法比较

有限差分方法(FDM:Finite Difference Method)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法主要集中在依赖于时间的问题(双曲型和抛物型方程)。有限差分法方面的经典文献有Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value Problems》;R. LeVeque《Finite Difference Method for Differential Equations》;《Numerical Methods for C onservation Laws》。 注:差分格式: (1)从格式的精度来划分,有一阶格式、二阶格式和高阶格式。 (2)从差分的空间形式来考虑,可分为中心格式和逆风格式。 (3)考虑时间因子的影响,差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。 目前常见的差分格式,主要是上述几种形式的组合,不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格,网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法: 构造差分的方法有多种形式,目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式:一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等,其中前两种格式为一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合,可以组合成不同的差分计算格式。 有限差分法的不足:由于采用的是直交网格,因此较难适应区域形状的任意性,而且区分不出场函数在区域中的轻重缓急之差异,缺乏统一有效的处理自然边值条件和内边值条件的方法,难以构造高精度(指收敛阶)差分格式,除非允许差分方程联系更多的节点(这又进一步增加处理边值条件韵困难)。另外它还有编制不出通用程序的困难。 有限差分法的优点:该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念 直观,表达简单,精度可选而且在一个时间步内,对于一个给定点来说其相关的空间点只是 与该相邻的几点,而不是全部的空间点。是发展较早且比较成熟的数值方法 广义差分法(有限体积法)(GDM:Generalized Difference Method):1953年,Mac—Neal 利用积分插值法(也称积分均衡法)建立了三角网格上的差分格 式,这就是以后通称的不规划网格上的差分法.这种方法的几何误差小,特别是给出了处理自然边值条件(及内边值条件)的有效方法,堪称差分法的一大进步。1978年,李荣华利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广——局部Taylor展式的公项,将积分插值法改写成广义Galerkin法形式,从而将不规则网格差分法推广为广义差分法.其基本思路是,将计算区域划分为一系列不重复的控制体积,并使每个网格点周围有

数值分析实验报告1

实验一误差分析 实验1.1(病态问题) 实验目的:算法有“优”与“劣”之分,问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言,所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者,反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中,如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决,当然一般要付出一些代价(如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等)。 问题提出:考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个,且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε(1.1)和(1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 (1(2 (3)写成展 关于α solve 来提高解的精确度,这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程: 程序: a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);

ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数:(思考题一)a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n

很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动,对其多项式的根会有一定的扰动的,所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号:06450210 姓名:万轩 实验二插值法

数值分析典型例题

第一章典型例题 例3 ln2=0.…,精确到10-3的近似值是多少 解 精确到10-3=,即绝对误差限是=, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=-1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X =(1,1,-1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)

第1次迭代,k =0 X (0)=0,得到X (1)=(1,3,5)T 第2次迭代,k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)=(5,-3,-3)T 第3次迭代,k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)=(1,1,1)T 第4次迭代,k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)=(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯-赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A =?? ?? ? ?????-122111221 于是 D =?? ?? ??????100010001 D -1=D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为

数值分析(计算方法)总结

第一章绪论 误差来源:模型误差、观测误差、截断误差(方法误差)、舍入误差 是的绝对误差,是的误差,为的绝对误差限(或误差限) 为的相对误差,当较小时,令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为:即: 绝对误差有量纲,而相对误差无量纲 若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位,且该位直到的第一位非零数字共有n位,则称近似值有n位有效数字,或说精确到该位。 例:设x==…那么,则有效数字为1位,即个位上的3,或说精确到个位。 科学计数法:记有n位有效数字,精确到。 由有效数字求相对误差限:设近似值有n位有效数字,则其相对误差限为 由相对误差限求有效数字:设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字 令 1.x+y近似值为和的误差(限)等于误差(限)的 和 2.x-y近似值为 3.xy近似值为 4. 1.避免两相近数相减 2.避免用绝对值很小的数作除数 3.避免大数吃小数 4.尽量减少计算工作量 第二章非线性方程求根 1.逐步搜索法 设f (a) <0, f (b)> 0,有根区间为(a, b),从x0=a出发,按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)

一步一步向右跨,每跨一步进行一次根的搜索,即判别f(x k)=f(a+kh)的符号,若f(x k)>0(而 f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0,x k即为所求根), 然后从x k-1出发,把搜索步长再缩小,重复上面步骤,直到满足精度:|x k-x k-1|0.将[a0,b0]对分,中点x0= ((a0+b0)/2),计算 f(x0)。 3.比例法 一般地,设[a k,b k]为有根区间,过(a k, f(a k))、(b k, f(b k))作直线,与x轴交于一点x k,则: 1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法,而且不保证收敛。 2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根,而是在一定条件下直接构造出一个点列(递推公式),使该点列收敛到方程的根。——这正是迭代法的基本思想。 事先估计: 事后估计 局部收敛性判定定理: 局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱,但对初始点要求较高,即初始点必须选在精确解的附近 Steffensen迭代格式: Newton法: Newton下山法:是下山因子 弦割法: 抛物线法:令 其中:

数值分析实验报告

数值分析实验报告 姓名:周茹 学号: 912113850115 专业:数学与应用数学 指导老师:李建良

线性方程组的数值实验 一、课题名字:求解双对角线性方程组 二、问题描述 考虑一种特殊的对角线元素不为零的双对角线性方程组(以n=7为例) ?????????? ?????? ? ???? ?d a d a d a d a d a d a d 766 55 44 3 32 211??????????????????????x x x x x x x 7654321=?????????? ? ???????????b b b b b b b 7654321 写出一般的n (奇数)阶方程组程序(不要用消元法,因为不用它可以十分方便的解出这个方程组) 。 三、摘要 本文提出解三对角矩阵的一种十分简便的方法——追赶法,该算法适用于任意三对角方程组的求解。 四、引言 对于一般给定的d Ax =,我们可以用高斯消去法求解。但是高斯消去法过程复杂繁琐。对于特殊的三对角矩阵,如果A 是不可约的弱对角占优矩阵,可以将A 分解为UL ,再运用追赶法求解。

五、计算公式(数学模型) 对于形如????? ?? ????? ??? ?---b a c b a c b a c b n n n n n 111 2 2 2 11... ... ...的三对角矩阵UL A =,容易验证U 、L 具有如下形式: ??????? ????? ??? ?=u a u a u a u n n U ...... 3 3 22 1 , ?? ????? ? ?? ??????=1 (1) 1132 1l l l L 比较UL A =两边元素,可以得到 ? ?? ??-== = l a b u u c l b u i i i i i i 111 i=2, 3, ... ,n 考虑三对角线系数矩阵的线性方程组 f Ax = 这里()T n x x x x ... 2 1 = ,()T n f f f f ... 2 1 = 令y Lx =,则有 f Uy = 于是有 ()?????-== --u y a f y u f y i i i i i 1 1 11 1 * i=2, 3, ... ,n 再根据y Lx =可得到

数值分析典型习题资料

数值分析典型习题

特别声明:考试时需带计 算器作辅助计算 1.2015x *=是经四舍五入得到的近似值,则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数,则 3.设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =,[0123]f =,,,1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式,则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ,则A 的谱半径()A ρ= 1 ,A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ,线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ,迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ

数值分析心得体会

数值分析心得体会 篇一:学习数值分析的经验 数值分析实验的经验、感受、收获、建议班级:计算131 学号:XX014302 姓名:曾欢欢 数值分析实验主要就是学习MATLAB的使用以及对数值分析类容的应用,可以使学生更加理解和记忆数值分析学得类容,也巩固了MATLAB的学习,有利于以后这个软件我们的使用。在做实验中,我们需要具备较好的编程能力、明白MATLAB软件的使用以及掌握数值分析的思想,才能让我们独立自主的完成该作业,如果是上述能力有限的同学,需要借助MATLAB的书以及网络来完成实验。数值分析实验对于我来说还是有一定难度,所以我课下先复习了MATLAB的使用方法以及编写程序的基本类容,借助互联网和同学老师资源完成了数值分析得实验的内容。在实验书写中,我复习了各种知识,所以我认为这门课程是有必要且是有用处的,特别是需要处理大量实验数据的人员,很有必要深入了解学习它,这样在以后的工作学习里面就减少了很多计算问题也提高了实验结果的精确度。 学习数值分析的经验、感受、收获、建议数值分析的内容包括插值与逼近,数值微分与数值积分,非线性方程与线性方程组的数值解法,矩阵的特征值与特征向量计算,常微分方程数值解等。

首先我们必须明白数值分析的用途。通常所学的其他数学类学科都是由公式定理开始,从研究他们的定义,性质再到证明与应用。但实际上,尤其是工程,物理,化学等其它具体的学科。往往我们拿到 手的只是通过实验得到的数据。如果是验证性试验,需要代回到公式 进行分析,验证。但往往更多面对的是研究性或试探性试验,无具体 公式定理可代。那就必须通过插值,拟合等计算方法进行数据处理以得到一个相对可用的一般公式。还有许多计算公式理论上非常复杂,在工程中不实用,所以必须根据实际情况把它转化成多项式近似表 示。学习数值分析,不应盲目记公式,因为公事通常很长且很乏味。其次,应从公式所面临的问题以及用途出发。比如插值方法,就 是就是把实验所得的数据看成是公式的解,由这些解反推出一个近似公式,可以具有局部一般性。再比如说拟合,在插值的基础上考虑实 验误差,通过拟合能将误差尽可能缩小,之后目的也是得到一个具有 一定条件下的一般性的公式。。建议学习本门课程要结合知识与实际,比如在物理实验里面很多

数值计算方法大作业

目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20)

4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28)

数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码: Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例:求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根(ep=10-10)

1.2牛顿法 程序代码: Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例:求56的值。(ep=10-10)

数值计算实验报告

(此文档为word格式,下载后您可任意编辑修改!) 2012级6班###(学号)计算机数值方法 实验报告成绩册 姓名:宋元台 学号: 成绩:

数值计算方法与算法实验报告 学期: 2014 至 2015 第 1 学期 2014年 12月1日课程名称: 数值计算方法与算法专业:信息与计算科学班级 12级5班 实验编号: 1实验项目Neton插值多项式指导教师:孙峪怀 姓名:宋元台学号:实验成绩: 一、实验目的及要求 实验目的: 掌握Newton插值多项式的算法,理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点,掌握差商表的计算特点。 实验要求: 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法 二、实验内容 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页)

1.算法分析: 下面用伪码描述Newton插值多项式的算法: Step1 输入插值节点数n,插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)* Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f(x)的近似数值newton(x)=newton. 2.用C语言实现算法的程序代码 #includeMAX_N) { printf("the input n is larger than MAX_N,please redefine the MAX_N.\n"); return 1; } if(n<=0) { printf("please input a number between 1 and %d.\n",MAX_N); return 1; } printf("now input the (x_i,y_i)i=0,...%d\n",n); for(i=0;i<=n;i++) { printf("please input x(%d) y(%d)\n",i,i);

数值分析典型例题

第一章典型例题 例3…,精确到10-3的近似值是多少? 解 精确到10-3=,即绝对误差限是?=, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=-1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X =(1,1,-1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)=0,得到X (1)=(1,3,5)T 第2次迭代,k =1 X (2)=(5,-3,-3)T 第3次迭代,k =2 X (3)=(1,1,1)T 第4次迭代,k =3

X (4)=(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯-赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A =?? ?? ? ?????-122111221 于是 D =?? ?? ??????100010001 D -1 =D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0=?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ,根据迭代基本定理4,雅可比迭代法收敛。 高斯-赛德尔迭代矩阵为 G =-U ~ )L ~D (1-+ =-?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0,?2,3=2。由迭代基本定理4知,高斯-赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题: 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2,3个方程分别为 。

有限单元法读书报告

有限单元法读书报告 摘要:有限单元法以变分原理和加权余量法为基础,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。 关键词:有限单元法;插值函数;网格划分;实例分析 1 有限单元法概述 1.1 有限单元法的简介 有限单元法[1]是应用局部的近似解来建立整个定义域的解的一种方法。先把注意力集中在单个单元上,进行上述所谓的单元分析。基本前提是每一单元要尽可能小,以致其边界值在整个边界上的变化也是小的。这样,边界条件就能取某一在结点间插值的光滑函数来近似,在单元内也容易建立简单的近似解。因此,比起经典的近似法,有限元法具有明显的优越性。比如经典的Ritz法,要求选取一个函数来近似描述整个求解区域中的位移,并同时满足边界条件,这是相当困难的。而有限元法采用分块近似,只需对一个单元选择一个近似位移函数,且不必考虑位移边界条件,只须考虑单元之间位移的连续性即可。对于具有复杂几何形状或材料、荷载有突变的实际结构,不仅处理简单,而且合理适宜。 1.2 有限单元法的基本方法简介 有限单元法,是一种有效解决数学问题的解题方法。在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中[2],常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同,有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说,有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法,从计算单元网格的形状来划分,有三角形网格、四边形网格和多边形网格,从插值函数的精度来划分,又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数,伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数;最小二乘法是令权函

数值分析实验报告1

实验一 误差分析 实验(病态问题) 实验目的:算法有“优”与“劣”之分,问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言,所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者,反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中,如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决,当然一般要付出一些代价(如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等)。 问题提出:考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个,且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对()中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较()和()根的差别,从而分析方程()的解对扰动的敏感性。 实验内容:为了实现方便,我们先介绍两个Matlab 函数:“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量,则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ,则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根;而函数 poly(v)b =

的输出b 是一个n+1维变量,它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到()的全部根,程序中的“ess ”即是()中的ε。 实验要求: (1)选择充分小的ess ,反复进行上述实验,记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小,我们自然感觉()和()的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 (2)将方程()中的扰动项改成18x ε或其它形式,实验中又有怎样的现象 出现 (3)(选作部分)请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程()写成展开的形式, ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数,考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感,与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象,哪些根关于α的变化更敏感 思考题一:(上述实验的改进) 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高,为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度,这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。

数值分析典型例题

数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解:按照定义,以上各数具有5位有效数字的近似值分别为:236.478, 0.0023471, 9.0000, 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9,因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004, -0.00200, -9000, 9310?, 23 10-?。 解:按照定义,以上各数的有效数字位数分别为5, 3, 4,1,1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ,所需时间* s 的近似值为t=35s ,若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-,试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解:因为t s v /=,所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系,并研究它的误差 传递。 解:151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ,计算出0I 后可通过(1)依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ,由此计算出的1I ,…,20I 也有误差,由(1)可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) (1)-(2)可得 01)5(5e e e n n n -=-=-,由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以(1)不稳 定。 (1) 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… (3) 如果能先求出20I ,则依次可以求出19I ,…,0I ,计算20I 时有误差,这样根据(3)计算19I ,…,0I 就有误差,误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ,误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根,要求有3为有效数字。 解:因为0)1()0(

数值分析实验报告模板

数值分析实验报告模板 篇一:数值分析实验报告(一)(完整) 数值分析实验报告 1 2 3 4 5 篇二:数值分析实验报告 实验报告一 题目:非线性方程求解 摘要:非线性方程的解析解通常很难给出,因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。利用二分法求解给定非线性方程的根,在给定的范围内,假设f(x,y)在[a,b]上连续,f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。即若x0 偏离所求根较远,Newton法可能发散的结论。并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程,且将结果与Newton法的结果比较分析。 前言:(目的和意义) 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。掌握二分法的原理,验证二分法,在选对有根区间的前提下,必是收

敛,但精度不够。熟悉Matlab语言编程,学习编程要点。体会Newton使用时的优点,和局部收敛性,而在初值选取不当时,会发散。 数学原理: 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法:二分法和Newton法。 对于二分法,其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x),其在[a,b]上连续,f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0,然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk) 产生逼近解x*的迭代数列{xk},这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快,但是当x0选择不好时,可能会发散,因此初值的选取很重要。另外,若将该迭代公式改进为 xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk) 其中r为要求的方程的根的重数,这就是改进的Newton 法,当求解已知重数的方程的根时,在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计: 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式,如下 function y=f(x);

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