热力学与统计物理

第一章 热力学的基本规律

1.热力学的平衡状态

⑴热力学的研究对象是由大量微观粒子组成的有限宏观系统.与系统发生相互作用的其他物体称为外界. 按照系统与外界的相互作用状态，可将系统分为以下三种： ①孤立系：与外界既不发生质量交换，也不发生能量交换的系统； ②闭系：可与外界发生能量交换，而不发生质量交换的系统； ③开系：可与外界发生能量、质量交换的系统.

⑵热力学平衡态：当一个孤立系经过足够长的时间，将会达到这样一种状态，在这种状态下，系统的各种宏观性质在长时间内部发生变化，称之为热力学平衡态.

⑶状态参量：在热力学平衡态下，系统的各种宏观性质不再变化而拥有固定值，用这些固定值就可以确定系统的宏观状态.

一般情况下，描述一个系统的状态参量有：热学参量（温度T ）、几何参量（体积V ）、力学参量（压强

p ）

和电磁参量（D 、H ）.

2.物态方程

⑴描述系统的状态参量之间关系的方程称为物态方程，以简单的固液气系统为例，其物态方程可表示为： 另外，定义几个与物态方程有关的物理量： ①等压膨胀系数：p

T V V

1

； ②等容压力系数：V

T p p 1 ； ③等温压缩系数：T

p V V k

1

. 根据物态方程，可得关系式：

1

p V T V T T p p V ;

故可得三个系数之间的关系为：p k .

⑵气体的物态方程

①理想气体状态方程：T Nk pV B . ②实际气体的范德瓦尔斯方程：

nRT nb V V an p

22， 其中22

V

an 为压强修正项，nb 是体积修正项。

⑶简单固体与液体的物态方程

对于简单固体和液体，可通过实验测得体胀系数 和等温压缩系数 k ，它们的特点如下： ①固体和液体的膨胀系数是温度的函数，与压强近似无关。

② 和 k 的数值都很小，在一定的温度范围内可以近似看成常量。 由此可得，物态方程为：

000001,,p p k T T p T V p T V 。

⑷顺磁性固体

将顺磁性固体置于磁场中，顺磁性固体会被磁化。磁化强度M ，磁场强度H 与温度T 的关系： 0,, T H M f 。

①实验测得一些顺磁性固体的磁物态方程为：H T

C

M

； ②另一些顺磁性固体的磁物态方程为：H T C

M

， 其中，C 和 是常量，其数值因不同的物质而异。 3.功

⑴气体准静态过程的体积功：pdV W 。

⑵液体表面张力做功：dA W ， 为单位长度的表面张力。

⑶电介质准静态过程中电位移改变dD 时外界所作的功为：VEdD W 。 磁介质准静态过程中磁感应强度改变dB 时外界所作的功：VHdB W 。 4.热力学第一定律

若系统经历一个无穷小的过程，则系统内能的增量与外界做功和外界传热的关系为：

W Q dU 。 热力学第一定律表明，做功与热量传递在改变系统内能上是等效的。 5.热容与焓

⑴热容：一个系统温度升高K 1所吸收的热量，即

T

Q

C T 0lim

，

热容是一个广延量，用m c 表示mol 1物质的热容，成为摩尔热容。

⑵系统在等容过程的热容用符号V C 表示：

V

V T V T U T U C

0lim 。

⑵系统在等压过程中的热容用符号p C 表示：

p

p p T p T p p T U T pdV U C

0lim ； 引入状态函数焓：pV U H ，则有

p

p T H C 。

6.气体的内能

⑴从微观角度看，在没有外场的情形下，气体无规则运动的能量包括分子的动能、分子之间相互作用的势能以及分子内部运动的能量。

⑵根据焦耳的自由膨胀实验，理想气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即从微观上看，理想气体的内能只是分子的动能。

于是可得：①dT dU C V

；dT

dH

C p ； ② dT C U U V 0； dT C H H p 0。

根据焓的定义：nRT U pV U H ，可得nR C C V p ，再设V p C C ，得：

1

nR C V ，nR C p 1

（迈耶公式）。

7.理想气体的准静态过程 ⑴等温过程：const pV ；

⑵等容过程：

const T p

； ⑶等压过程：const T

V

；

⑷绝热过程：const pV

。

注： 系数 可通过测定空气中的声速获得。声音在空间中传播时，介质空间会发生周期性的压缩与膨胀，自然导致压强的变化。由于气体的导热系数很小，因此在声音传播过程中，热量传导很难发生，故可认为是绝热过程，因此根据牛顿的声速公式

d dp

a 可得 其中 为气体密度，

1

为单位质量气体的体积。

8.热力学第二定律

⑴克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化。

⑵开尔文表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功而不引起其它变化。

热力学第二定律的开尔文表述表明，第二类永动机不可能造成。所谓第二类永动机是指能够从单一热源吸热，使之完全变成有用功而不引起其它影响的机器。 9.卡诺循环与卡诺定理

⑴卡诺循环：卡诺循环过程以理想气体为研究对象研究热功转化的效率问题，由两个等温过程和两个绝热过程组成。在整个循环中，气体从高温热源吸收热量，对外做功，其效率为：

1

212111T T Q Q Q W

。 ⑵卡诺定理：所有工作于两个一定温度之间的热机，以可逆机的效率为最高。

推论：所有工作于两个一定温度之间的可逆热机的效率相等。

⑶根据卡诺定理，工作于两个一定温度之间的热机的效率不可能大于可逆热机的效率，即 由此可得克劳修斯不等式：

02

2

11 T Q T Q ，（等号只适用于可逆循环过程） 其中1Q 为热机从高温热源吸收的热量，2Q 也定义为热机从低温热源吸收的热量（数值为负数）。 将克劳修斯不等式推广到n 个热源的情形，可得：

0 i i

i

T Q ， 对于更普遍的循环过程，应将求和号换成积分号，即0 T

Q

。

10.熵与热力学基本方程

⑴根据克劳修斯不等式，考虑系统从初态A 经可逆过程R 到达终态B ，又从状态B 经另一可逆过程'R 回

到状态A 。在上述循环过程中，有 可见，在可逆循环过程中， T dQ

与路径无关，由此定义状态函数熵（S ）

，从状态A 到状态B 的熵变定义为：

注：仅对可逆过程，

T dQ

才与路径无关。对不可逆过程，B 和A 两态的熵变仍沿从A 态到B 态的可逆过

程的积分来定义。在这种情形下，可逆过程与不可逆过程所引起的系统状态变化相同，但外界的变化是不同的。

对前面熵变等式取微分：T

Q

dS

，表示无穷小的可逆过程中的熵变。

⑵根据热力学第二定律，可得可逆过程中TdS Q ，结合热力学第一定律可得热力学的基本微分方程： 若系统与外界之间除了体积功，还有其他形式的功，可将上式表示为 ⑶热力学第二定律的数学表示：pdV TdS dU ，

注：根据克劳修斯不等式和熵的定义，可知在任意无穷小过程中，Q TdS 。

⑷熵增加原理：系统在绝热条件下，熵永不减少，即0 A B S S （等号只适用于可逆过程）。 11.自由能与吉布斯函数

⑴约束在等温条件下的系统，定义状态函数：TS U F

。

根据热力学第二定律可得，等温条件下pdV dF ，表明在等温条件下，系统自由能的增加量不大于外

界对系统做的功。

在等温等容过程中可得：0 dF ，即等温等容条件下，系统的自由能永不增加，或者表述为在等温等容条件下的不可逆过程朝着使系统自由能减少的方向进行。

⑵约束在等压条件下的系统，定义状态函数：pV TS U G 。

同理可得：等温等压条件下，0 dG ，即等温等压条件下，系统的吉布斯函数永不增加，或者表述为等温等压条件下的不可逆过程朝着使系统吉布斯函数减少的方向进行。

第二章 均匀物质的热力学性质

1.内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 ⑴热力学基本方程即为内能的全微分形式：pdV TdS dU ，

根据偏导数关系可得：V

S S p V T

①； 内能的确定：dV p T p T dT C dU

V V 。

注：熵的确定：dV T p dT T C dS V

V

。

⑵焓的全微分形式为：Vdp TdS dH ，

同理可得：p S S V p T

②；

焓的确定：dp T V T V dT C dH p p

。

注：熵的确定：dp T V dT T C dS p

p

。

⑶自由能的全微分形式为：pdV SdT dF ，

同理可得：V

T T p V S

③。

⑷吉布斯函数的全微分形式为：Vdp SdT dG ，

同理可得：p T

T V p S

④。 其中，式①②③④称为麦克斯韦关系。

2.气体的节流过程和绝热膨胀过程

⑴气体从高压处通过多孔塞不断地流到低压处，并达到定常状态，这个过程叫做节流过程。在节流过程中，多孔塞两边的温度发生了明显变化，这个效应称为焦耳-汤姆孙效应。 经分析得，在节流过程中，气体的焓值不断，定义H

p T

表示焓不变条件下，温度随压强的变化率，则根据1

T

p H H p T H p T 可得： 上式给出了焦汤系数与物态方程和热容的关系。

①对理想气体，T

1

，故0 ，说明理想气体在节流过程前后温度不变； ②对实际气体，若1 T ，则气体在节流过程前后温度降低，称为制冷区；若1 T ，则气体在节流过

程前后温度升高，称为制温区。

利用节流过程的降温作用可使气体降温液化（节流膨胀制冷效应）。

⑵气体的绝热膨胀过程，熵保持不变，则定义S

p T

表示绝热过程中温度随压强的变化率，同上可得， 上式表明，在绝热条件下，随着气体体积膨胀和压强降低，气体的温度必然下降。气体的绝热膨胀过程可

用来使气体降温并液化（绝热膨胀制冷效应）。 3.热辐射的热力学理论

⑴受热的固体会辐射电磁波，称为热辐射。一般情形下，热辐射的强度和强度随频率的分布于辐射体的温度和性质都有关。当辐射体对电磁波的吸收和辐射达到平衡，热辐射的特性将只取决于温度，与辐射体的其他特性无关，称为平衡辐射。

⑵考虑一个封闭的空窖，窖壁保持一定的温度T 。窖壁将不断向空窖发射并吸收电磁波，当窖内辐射场与窖壁达到平衡后，二者具有相同的温度，显然空窖内的辐射就是平衡辐射。窖内的平衡辐射包含各种频率和沿着各个方向的电磁波，这些电磁波的振幅和相位是无规的。窖内平衡辐射是空间均匀和各项同性的，它的内能密度和内能密度按频率的分布只取决于温度。 ⑶电磁理论中，关于辐射压强与辐射能量密度的关系为：

u p 3

1

；

由此根据热力学公式可得窖内平衡辐射的热力学函数为：

4aT u .

⑷根据热力学基本方程，可得空窖辐射的熵为：

V aT S 3

3

4

， 由上式可知，可逆绝热过程中辐射场的熵不变，此时有

const V T 3.

⑸若在窖壁上开一小孔，定义单位时间通过小孔的单位面积辐射出的能量，称为辐射能量密度u J .描述辐射能量密度u J 与辐射内能密度u 的关系称为斯特藩—玻尔兹曼定律，即

444

1

41T caT cu J u ，

其中 称为斯特藩常量. ⑹基尔霍夫定律：

d T u c

d e ,4

，

其中， e 称为物体对频率在 附近的电磁波的面辐射强度； 为物体对频率在 附近的辐射能量的吸收

系数.

注：吸收系数为1的物体称为绝对黑体，此时有

d T u c

d e ,4

.

4.磁介质的热力学

⑴磁介质中磁场强度和磁化强度发生改变时，外界所做的功为：

VHdM

H Vd W 02021

，

当热力学系统只包括介质而不包括磁场时，功的表达式只取第二项，即

Hdm W 0 ， 其中，MV m 是介质的总磁矩.

忽略磁介质的体积变化，可得热力学基本方程为，

Hdm TdS dU 0 ，

类比于理想气体，即

H p 0 ，m V .

⑵绝热去磁制冷：根据吉布斯函数mdH SdT dG 0 ，可得：

H T

C CV H T H S 0

， 上式说明，在绝热条件下减小磁场，磁介质的温度降低，称为绝热去磁制冷效应. 第三章 单元系的相变 1.热动平衡判据

⑴孤立系统的熵判据：0 S 或0,02 S S （熵增加原理）

； ⑵等温等容系统的自由能判据：0 F 或0,02

F F （等温等容系统自由能永不增加）；

⑶等温等压系统的吉布斯函数判据：0 G 或0,02

G G （等温等压系统的吉布斯函数永不增加）. ⑷均匀系统的热动平衡条件：00,p p T T ，即整个系统的温度和压强均匀. ⑸平衡的稳定性条件：0,0

T

V V p C ， 注：考虑系统与子系统简的变化，若子系统的温度由于涨落或外界影响而升高，则子系统通过向系统其他

部分传热使温度降低；同样，若子系统的体积增大，则子系统与系统其他部分的压强差会使子系统的体积减小，从而使系统的平衡处于稳定. 2.开系的热力学基本方程

⑴单元系是指化学上纯的物质系统，只含有一种化学组分.如果系统不是均匀的，可以分为若干个均匀的部分，该系统称为复相系.例如，冰、水和水蒸气共存构成一个单元三相系. ⑵物质的量发生变化的系统，其吉布斯函数的全微分可表示为：

dn Vdp SdT dG ， 其中右方第三项代表由于物质的量改变dn 引起的吉布斯函数的变化. 定义p

T n G ,

，表示在温度、压强不变的条件下，增加mol 1物质时引起的吉布斯函数的改变，成为

化学势.由于吉布斯函数是广延量，可得化学式与摩尔吉布斯函数的关系为：

p T G m , ； 对单位物质的量系统的吉布斯函数可以写为：

dp V dT S d m m .

⑶物质的量发生变化的系统的其他特性函数：

①关于 n V S ,,的特性函数为内能，其全微分形式为：dn pdV TdS dU

；

②关于 n p S ,,的特性函数为焓，其全微分形式为：dn Vdp TdS dH ；

③关于 n V T ,,的特性函数是自由能，其全微分形式为：dn pdV SdT dF ； ④关于 ,,V T 的特性函数是巨热力势，其全微分形式为： nd pdV SdT dJ .

3.单元复相系的平衡热力学条件

考虑一个单元两相系，这个单元两相系构成一个孤立系统.用 和 分别表示这两个相，用

n V U ,,和

n V U ,,分别表示两个相的内能，体积和物质的量.

孤立系的总内能，总体积和总物质的量是恒定的，即 设想系统发生一个虚变动，引起两相的熵变为：

T T

dn T p T p dV T T dU S S S 11， ⑴若复相系处于平衡条件下，则熵为极大值，即0 S .由此可得复相系的平衡热力学条件为：

T T （热平衡条件）

T p T p （力学平衡条件）

T T （相变平衡条件） ⑵若复相系平衡条件未能满足，则系统朝着熵增大的方向转变，即0 S .

4.单元复相系的平衡性质

第六章 近独立粒子的最概然分布

1.粒子运动状态的经典描述

设粒子的自由度为r ，则粒子的运动状态可用广义坐标和广义动量来描述，粒子的能量是广义坐标和广义动量的函数，即

r r p p q q ,,;,,11 . 为了描述粒子的运动状态，用 r r p p q q ,,;,,11 这r 2变量构成一个r 2维的空间，称为 空间，粒子在某一时刻的运动状态就表示为 空间中的一个点.

⑴自由粒子

自由粒子不受力的作用而在三维空间中做自由运动，自由度为3，它的能量就是它的动能，即

2

2221z

y x p p p m

. ⑵线性谐振子

粒子在线性回复力kx F

的作用下做简谐运动，振动的圆频率为

m

k .

对自由度为1的线性谐振子，任意时刻的能量与粒子的位置和动量有关，即

2222

12x m m p .

⑶转子

粒子绕原点O 做转动，它的能量就是它的动能，可用球坐标表示，即

222222sin 21

r r r m . ①若考虑到粒子到原点的距离不变0 r ，则能量表示为：

22222sin 21 r r m ； ②引入与 ,共轭的动量：

222sin ,mr p mr p ，可将转子的能量写为： 其中，2

mr I 是转子相对于原点的转动惯量.

2.粒子运动的量子描述

量子力学的观点中，微观粒子满足波粒二象性，有

k

p

；

波粒二象性的粒子满足不确定关系，即不能同时具有确定的坐标与动量，分别用q 和p 表示坐标和动量的不确定度，则有

h p q .

在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态，量子态由一组量子数表征，这组量子数的数目等于粒子的自由度数. ⑴线性谐振子

圆频率为 的线性谐振子，能量的可能值为：

21n n ，

,1,0 n ；

线性谐振子的自由度为1，n 是表征谐振子运动状态和能量的量子数. ⑵转子

量子理论中，转子的能量为：

221 l l L ， 量子理论中，转子的角动量是分立的，

z L 只能取分立值：

对一定的l ，角动量在本征方向的投影

l m m L z ,,0, ，

,1,0212 l I l l ，

转子的运动状态由m l ,两个量子数表征，能量只取决于量子数l ，因此转子的自由度为12 l . ⑶自旋角动量

基本粒子具有内禀的角动量，称为自旋角动量S

，其平方的数值等于

221 S S S ，

其中S 称为自旋量子数，可以是整数或半整数.

自旋角动量的状态由自旋角动量的大小（自旋量子数S ）及自旋角动量在本征方向的投影确定，其中投影

的大小表示为：

S m m S S S z ,,0, ，

因此，自旋角动量的自由度为12 S . ①电子的自旋角动量和自旋磁矩

电子的自旋磁矩

与自旋角动量S 之比为：

m

e S

； 电子在外磁场中的能量为：

B m

e B H 2

.

⑷自由粒子 根据“箱归一化”条件，设自由粒子处于边长为L 的正方体容器中，则自由粒子的三个动量分量z y x p p p ,,的可能值为：

,1,0,2,1,0,2,1,0,2

z z z y y y x x x n n L p n n L p n n L p ；

其中，z y x n n n ,,为表征自由粒子运动状态的量子数. 自由粒子能量的可能值为：

2

2

22222

22221L

n n n m p p p m z y x z y x ， 自由粒子的运动状态由量子数z y x n n n ,,表征，能量只取决于2

22z y x n n n .

①若粒子处于宏观大小的容器中运动，这时要考虑在体积3

L V 内，在动量区间x x dp p ，y y dp p 和

z z dp p 内的自由粒子量子态数：

dp p h V dp dp dp V dn dn dn z y x z y x 2

3

32

， 再根据m p

2

，可得处于能量区间 d 中的粒子状态数为：

d m h

V d D 212

3322 .

3.系统微观运动状态的描述

系统的微观运动状态就是它的力学运动状态.

①全同粒子组成的系统就是由具有完全相同内禀属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成的系统；

②近独立粒子组成的系统是指系统中粒子之间相互作用很弱，系统的总能量等于各个粒子的能量之和，即

N

i i E 1

.

⑴系统微观运动状态的经典描述

设粒子的自由度为r .第i 个粒子的力学运动状态由 r r p p q q ,,;,,11 这r 2个变量表示，考虑由N 个粒子组成的系统，则系统微观运动状态的确定需要Nr 2个变量，即

N i p p q q ir i ir i ,,2,1,,;,,11 .

单个粒子的运动状态可用 空间中的一个点表示，则对于整个系统在某一时刻的运动状态可用 空间中

N 点表示.如果交换两个代表点在 空间中的位置，相应的系统的运动状态是不同的.

⑵系统微观运动状态的量子描述

①微观粒子的全同性原理：全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以交换都不改变整个系统的微观运动状态.

②假设全同粒子可以分辨，确定由全同近独立粒子组成的系统的微观运动状态归结为确定每个粒子的个体量子态；若全同粒子不可分辨，则归结为确定每个量子态上的粒子数.

③自然界中的粒子分为两类：玻色子和费米子，其中自旋量子数是半整数的属于费米子，自旋量子数是整数的属于玻色子.

a.由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利不相容原理，即在含有多个全同近独立费米子的系统中，一个个体量子态最多可容纳一个费米子；

b.由玻色子组成的系统称为玻色系统，粒子是不可分辨的，每个个体量子态可容纳的玻色子个数没有限制. 4.分布与微观状态数

⑴以 ,2,1 l l 表示粒子的能级，l 表示能级l 的简并度，N 个粒子在各能级的分布如下：

能级： ,,,,21l

简并度： ,,,,21l （经典粒子表示为： ,,,,2

1r l r r h

h h ） 粒子数： ,,,,21l a a a

以符号 l a 表示系统的一个分布，它给出了系统中每个能级上的粒子数，为了确定系统的微观运动状态，还要清楚l a 个粒子如何占据能级l 的各个简并态的. 对于具有确定的V E N ,,的系统，分布 l a 满足约束条件：

l

l a N ， l

l l a E

⑵对于玻尔兹曼系统，粒子是可分辨的,且每个量子态上可容纳的粒子数没有限制，因此可以得到与分布

l a 相应的系统的微观状态数为：

l

a l l

l B M l

a N !!,,

其中最概然分布为：l

e a l l ,

其中 ,由约束条件

l

l l l l

l l

e E e N

,确定.

⑶对于玻色系统，粒子是不可分辨的，每个量子态上可容纳的粒子数没有限制，因此可得与分布 l a 相应的系统微观状态数为：

l

l l l l E B a a !

1!!1, , 其中最概然分布为：

1

l e a l

l .

⑷对于费米系统，粒子不可分辨，每个量子态上只能容纳一个粒子，因此可得与分布 l a 相应的微观运动

状态数为：

l

l l l l D F a a !

!!

, ,

其中最概然分布为：l

e

a l

l

1.

注：对于三种系统的最概然分布，若满足条件11 l

l

a e

或

，则玻色分布和费米分布近似于玻尔兹

曼分布，这个条件称为经典极限条件或非简并性条件.

⑸考虑个体量子态问题或者平均粒子数问题，设处在能量s 的量子态s 上的粒子数为s f ，则各种系统的最概然分布可表示为：

玻尔兹曼系统：s

e f s

玻色系统：1

1

s

e

f s ；

费米系统：

s

e f s

11

.

第七章 玻尔兹曼统计

1.热力学量的统计表达式

定域系统和满足经典极限条件的玻色系统和费米系统都满足玻尔兹曼分布. 定义配分函数：

l

l l e Z 1（或积分形式

r r p p q q r

r r e h dp dp dq dq Z ,;,011111 ）

则系统的热力学量的统计表达式如下： ⑴内能：由玻尔兹曼分布的内能表达式

l

l l l

e U

，可得：

1ln Z N

U

. ⑵外界对系统的广义作用力Y 为：

1ln Z y

N a y Y l l

l

. ⑶熵的统计表达式：

11ln ln Z Z Nk S . 2.理想气体的状态方程 ①利用统计力学求解热力学问题，首先要找到配分函数. 理想气体的配分函数为：

②然后，再利用热力学量的统计表达式，得到相关热力学量： 3.麦克斯韦分布律

根据玻尔兹曼分布，可以推导出麦克斯韦分布律（气体分子的速度分布律）.

⑴以理想气体为研究对象，气体分子为自由粒子.在体积为V 的容器中，分布在动量区间z y x dp dp dp 内的微观状态数为：

z y x dp dp dp h

V

3； 则分布在z y x dp dp dp 内的分子数为：

而气体分子的总数为：

因此可得，动量在z y x dp dp dp 范围内的分子数为： 以V

N

n

表示单位体积内的分子数，则在单位体积内，速度在z y x dv dv dv 内的分子数为： z y x v v v kT m

z y x z y x dv dv dv e

kT m n dv dv dv v v v f z y x 22

222

32,,

，

上式便是麦克斯韦速度分布律,其中

z y x v v v f ,,满足：

n v

dv dv v v v f z

y x

z

y

x

,,.

⑵利用速度空间的球坐标转化，可得速率分布律：

dv v e

kT m n dv v f mv kT 2

21

2

3224

， 分析速率分布律，可得以下特征数： ①最概然速率：m

kT

v m 2 ； ②平均速率：m kT

v 8

； ③方均根速率：m

kT

v v s 32

. ⑶计算单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数，称为碰壁数. 以dAdt d 表示在dt 时间内碰到dA 面积上，速度在z y x dv dv dv 范围内的分子数.这分子数就是位于以dA 为底、以

z y x v v v v ,,为轴线、以dt v x 为高的柱体内，速度在z y x dv dv dv 范围内的分子数.所以有： 故可得单位时间内碰到单位面积上的分子数 为：

m

kT

n

dv fv dv dv x x z y 20

， 也可以表示为： 4.能均分定理

能均分定理：对于处在温度T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值等于kT 2

1

. ⑴单原子分子只有平动，其能量为

2

2221z

y x p p p m

， 根据能均分定理，温度T 时，单原子分子的平均能量为：

kT 2

3 .

故单原子分子的内能为：NkT U 2

3

； 定容热容：Nk C V 2

3

； 定压热容：Nk Nk C C V p

2

5

. ⑵双原子分子的能量为：

如果不考虑相对运动，式中有5个平方项，根据能均分定理，双原子分子的平均能量为：

kT 2

5 ，

双原子分子的内能、等容热容和等压热容分别为：

⑶固体中的院子可以在平衡位置附近做微振动，假设各原子的振动是简谐运动，每个原子的能量为： 只有两个平方项，而由于每个原子有三个自由度，根据能均分定理，每个原子的平均能量为：

kT 3 ，

则固体的内能、等容热容分别为： 固体热容之间的关系为： ⑷平衡辐射问题

辐射与窖壁达到平衡，称为平衡辐射，二者具有共同的温度.

空窖的辐射场可以分解为无穷多个单色平面波的叠加，如果采用周期性边界条件，单色平面波的电场分量可以表示为：

其中 是圆频率，k 是波矢.k

的三个分量的可能值为：

,1,0,2

n n L

k z y x ,, . 具有一定波矢k

和一定偏振的单色平面波可以看做辐射场的一个自由度，它以圆频率 随时间做简谐变

化，因此相当于一个振动自由度.

在体积V 内，在 d 的圆频率范围内，辐射场的振动自由度数为：

d c

V d D 2

3

2

. 根据能均分定理，每一个振动自由度的平均能量为kT .所以在体积V 内，在 d 范围内平衡辐射的内

能为：

此式称为瑞利-金斯公式. 5.理想气体的内能与热容

经典统计的能均分定理得到的关于理想气体内能和热容的结论与实验结果大体相同，但有几个问题没有得到合理的解释：原子内的电子对气体的热容为什么没有贡献；双原子分子的振动在常温范围内为什么对热容没有贡献；低温下氢的热容所得结果与实验结果不符.

本节以双原子分子为例，讲述理想气体内能和热容的量子统计理论.

⑴暂不考虑原子中电子的运动，在一定近似下双原子分子的能量可以表示为平动能t

、振动能

和转动

能r

之和：

r t ，

以t

、

和r

分别表示平动能、振动能和转动能的简并度，则配分函数1Z 可表示为：

①考虑平动对内能和热容的贡献：

22

22212z y x t p p p m

m p ，

2

3223122

22

h m V dp dp dp e h V Z z y x p p p m t

z y x ， 因此，

NkT Z N

U t t 2

3

ln 1 ， Nk T U C V t

V 23 .

②考虑振动对内能和热容的贡献：

,2,1,0,21

n n n ，

e e e

Z n

n 111（利用等比数列公式）， 因此，

引入振动特征温度 ， k ，可得

12ln 1 T e Nk Nk Z N U

，

2

2

1

T V V e e T Nk T U C

常温下， T ，因此内能与热容在常温下可表示为：

T e Nk Nk Z N U

2

ln 1，

T V e T Nk C

2

因此，可得常温下，振动自由度对热容的贡献接近于零.其原因，可以理解 为，常温范围内，双原子分子的振动能级间距 远大于kT ，因此振子吸 收能量跃迁到激发态的概率极小，导致几乎所有振子全部冻结在基态.当温 度升高时，它们几乎不吸收能量. ③考虑转动对内能和热容的贡献：

,2,1,0,212

l I

l l r

，

20

2112122 I

e l Z l I l l r ，

因此内能和热容可表示为：

这正是能均分定理的结果.这是易于理解的，在常温范围内，转动能级间距远小于kT ，因此变量

kT

r

可以

看成准连续变量.在这种情形下，量子统计和经典统计得到的转动热容相同.

6.固体热容的爱因斯坦理论

经典统计的能均分定理难以解释固体在低温时的热容变化问题，爱因斯坦首先用量子理论分析固体热容问题，成功地解释了固体热容随温度下降的实验事实.

⑴固体中原子的热运动可看成N 3振子的振动，爱因斯坦假设这N 3个振子的频率相同.振子的能级为：

,2,1,0,21

n n ，

固体中每一个振子都定域在其平衡位置振动，振子是可分辨的，遵从玻尔兹曼分布.配分函数为： 因此，固体的内能和热容可表示为：

引入振动特征温度E ， E k ，则固体热容可表示为：

根据上式，可看出固体的热容V C 随温度降低而减小，且V C 作为E 的函数是一个普适函数. 讨论上式在高温（E T ）和低温（E T ）范围的极限结果. ①当E T 时，可得

Nk C V 3 ，

结果与能均分定理结果一致. ②当E T 时，可得

当温度趋于绝对零度时，固体的热容也趋于零，结果很好的符合了实验事实.

第八章 玻色统计和费米统计

1.热力学的统计表达式

第七章根据玻尔兹曼分布讨论了定域系统和满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统的平衡性质.非简并条件可表示为：

1232

h nkT N V e 或

22

323

nkT h V N n 对于满足上述条件的气体称为非简并气体，对于非简并气体，均可用玻尔兹曼分布处理.

对于不满足上述条件的气体称为简并气体，需要用玻色分布或费米分布处理. ⑴玻色系统

引入巨配分函数，其定义为：

l

l

l l

l

e 1，

取对数得，

l

l l e 1ln ln .

①内能的统计表达式为：

ln U ； ②系统的平均粒子数为：

ln

N ；

③外界对系统的广义作用力为：

ln 1y

Y ； ④熵的统计表达式为： U N k S ln .

⑵费米系统

对于费米系统，只要将配分函数改为：

l

l

l l

l

e 1，

l

l l

e

1ln ln

前面的热力学量的统计表达式完全适用. 2.弱简并理想玻色气体和费米气体

本节讨论弱简并即气体的

e 或3

n 很小但不可忽略的情形.

为简单起见，不考虑分子的内部结构，因此只有平动自由度，分子的能量为：

2

2221z

y x p p p m

. 在体积V 内，在能量 d 范围内可能的微观状态数为：

d m h V g

d D 2

1233

22 , 其中g 是由于粒子可能有自旋而引入的简并度. 系统的分子数满足：

d e m h V g e N l

l

l

012331221

；

系统的总动能满足：

d e m h V g e N l

l

l l

023*******

；

引入 x ，经过计算可得

3241123 n g NkT U ， 其中，第一项是根据玻尔兹曼分布得到的内能，第二项是由微观粒子全同性原理引起的量子统计关联所导

致的附加内能.又可得，费米气体的附加内能为正，玻色系统的附加内能为负，可以理解为量子统计关联使费米粒子间出现等效的排斥作用，玻色粒子间出现等效的吸引作用. 3.玻色-爱因斯坦凝聚

弱简并理想玻色（费米）气体性质的讨论，让我们看到了全同性带来的量子统计关联对宏观性质的影响.当理想玻色气体的612.23

n 时，将会出现独特的玻色-爱因斯坦凝聚现象.

⑴考虑由N 个全同、近独立的玻色子组成的系统.假设粒子的自旋为零，根据玻色分布，处在能级l 的粒子数为：

1

l

e

a l

l ，

显然处在任一能级的粒子数都不能为负值，这要求所有能级必须满足1 l

e

.以0 表示粒子的最低能

级，则上述要求可是表示为：

即，理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量.如果取最低能级的能量为零即0 ，则上式也可表示为：

0 .

化学势 由公式

确定，为温度T 和粒子数密度n 的函数.由上式可知，在粒子数密度给定的情形下，温度越低，化学势必然越高.将求和用积分代替，可得

n e d m h 02

1233

122 . 化学势随着温度降低而升高，当温度降低到某一临界温度c T 时， 将趋于0 .临界温度c T 由下式确定：

n e d m h 02

1233

122 ， 可解得，临界温度c T 为：

3

223

2612.22n mk

h T c ， 上述关于临界温度确定的式子仅在临界温度时适用，当c T T 时，应用下式代替：

其中，第一项为温度T 时，处在能级0 上的数密度，第二项是处在激发态0 的数密度.

计算可得：

2

30

c T T n n ， 2301c

T T n T n ，

在绝对零度时，粒子将尽可能地占据能量最低的状态，对于玻色系统，一个量子态可容纳的粒子数目不受限制，因此绝对零度下玻色子将全部处在0 的最低能级.在c T T 时，就有宏观量级的粒子在能级

0 凝聚，这一现象称为玻色-爱因斯坦凝聚.

理想玻色气体出现凝聚现象的条件是： 4.光子气体

在前面，已经通过热力学理论论证了，平衡辐射的内能密度和内能密度的频率分布只是温度的函数，并证明内能密度与绝对温度的四次方成正比.在经典统计中国，利用能均分定理所得的内能频率分布在低频与实验符合，在高频范围与实验不符.更为验证的是，根据能均分定理得到的平衡辐射的内能与热容是发散的，据此辐射场不可能与其他物体达到热平衡，与实际不符. 本节将利用量子统计理论，讨论平衡辐射长的问题.

⑴根据粒子的观点，可将空窖内的辐射场看做光子气体.量子理论中的粒子满足德布罗意关系： 考虑到ck ，可得光子的能量动量关系 ：

cp . 光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布.由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中光子数不守恒.因此在推导光子的玻色分布时，只有能量E 守恒这一个约束条件，只能引入一个拉氏乘子 ，这样光子的统计分布为：

1

e

a l

l .

光子的自旋量子数为1，自旋在动量方向的投影有两个h ，相当于左右圆偏振.考虑到自旋简并度的作用，在体积V 内，在动量范围dp 内的微观状态数为：

dp p h

V 2

38 ； 考虑到光子的动量能量关系，可得分布在频率范围 d 内的微观状态数为：

d c

V

d D 232 ；

平均光子数为：1

232

e d c V ；

辐射场的内能则为： 1

,332

e d c V d T U ；（此式称为普朗克公式）

5.自由电子气体

本节将讨论金属中的自由电子气体在强简并1

e 或13

n 情形下的特性.

金属中的自由电子形成强简并的费米气体.

根据费米分布，温度T 时处在能量为 的一个量子态上的平均电子数为：

考虑到电子自旋在其动量方向的投影有两个可能值，在体积V 内，在能量范围 d 内，电子的量子态数为： 所以在给定电子数N 、温度T 和体积V 时，化学势由下式确定：

N e d m h V 02

12331

24 . ⑴现讨论K T 0 时电子的分布，以 0 表示绝对零度时电子气体的化学势，由电子气体费米分布可知，K 0时，

由此可知，在K T 0 时，在 0 时的每一个量子态上平均电子数为1，在 0 时的每一个量子态上的平均电子数为零.这可以理解为：在K 0时，电子将尽可能占据能量最低的状态，但根据泡利不相容原理，每个量子态最多容纳一个电子，因此电子从0 的状态起依次填充至 0 为止. 0 为K 0时，电子的最大能量，可由下式确定：

N d m h V 002

1213

24 ， 将上式积分可解得：

①费米能级：

3

222

320n m

；

②费米动量：

3

12

302n m p E ；

③费米温度：

k

T F

；

④费米压强： 05

2

0320 n V U p .

⑵现讨论0 T 时金属中的自由电子分布,由电子气体的费米分布可得：

上式说明了每个量子态上的平均电子数与能量的关系，注意到函数

e 按指数规律随 变化，实际上只有在 附近量级为kT 的范围内，电子的分布与K 0时的分布有差异.

可以这样理解：在K 0时，电子占据了从0到 0 的每一个量子态，温度升高时由于热激发，电子有可能

跃迁到能量较高的未被占据的状态去.但处于低能级的电子要跃迁必须吸收大量的热量，这样的可能性很小.因此，绝大多数状态的占据情况并不改变，只有在 附近量级为kT 的能量范围内占据情况发生改变.

⑶由0 T

时电子的分布可知，只有能量在 附近量级为kT 的范围的电子对热容由贡献.以A N 表示能量

在 附近量级为kT 范围内对热容有贡献的有效电子数，

N kT N A

，

将能均分定理用于有效电子，每个电子对热容的贡献为23kT

，则金属中自由电子对热容的贡献为：

F

V T T Nk C 23 .

热力学与统计物理第二章知识总结

§2.1内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 热力学函数中的物态方程、内能和熵是基本热力学函数，不仅因为它们对应热力学状态描述第零定律、第一定律和第二定律，而且其它热力学函数也可以由这三个基本热力学函数导出。 焓：自由能： 吉布斯函数： 下面我们由热力学的基本方程(1) 即内能的全微分表达式推导焓、自由能和吉布斯函数的全微分 焓、自由能和吉布斯函数的全微分 o焓的全微分 由焓的定义式，求微分，得， 将（1）式代入上式得(2) o自由能的全微分 由得 (3) o吉布斯函数的全微分 (4)

从方程（1）（2）（3）（4）我们容易写出内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分dU，dH，dF，和dG独立变量分别是S，V；S，P；T，V和T，P 所以函数U（S，V），H（S，P），F（T，V），G（T，P）就是我们在§2.5将要讲到的特性函数。下面从这几个函数和它们的全微分方程来推出麦氏关系。 二、热力学（Maxwell）关系(麦克斯韦或麦氏) (1)U（S，V） 利用全微分性质（5） 用（1）式相比得（6） 再利用求偏导数的次序可以交换的性质，即 （6）式得（7） （2） H（S，P） 同（2）式相比有 由得（8） （3） F（T，V）

同（3）式相比 （9） （4） G（T，P） 同（4）式相比有 （10） （7），（8），（9），（10）式给出了热力学量的偏导数之间的关系，称为麦克斯韦（J.C.Maxwell）关系，简称麦氏关系。它是热力学参量偏导数之间的关系，利用麦氏关系，可以从以知的热力学量推导出系统的全部热力学量，可以将不能直接测量的物理量表示出来。例如，只要知道物态方程，就可以利用（9），（10）式求出熵的变化，即可求出熵函数。 §2.2麦氏关系的简单应用 证明 1. 求 选T,V为独立变量，则内能U（T,V）的全微分为 （1） 熵函数S(T,V)的全微分为( 2)

热力学与统计物理题

《热力学与统计物理》练习题 一 简答题 1．单元复相系的平衡条件； 2．熵增原理 3．能量均分定理 4．热力学第一定律； 5．节流过程 6．热力学第二定律的克氏表述 计算题 1. 1 mol 理想气体，在C 0 27的恒温下体积发生膨胀，由20大气压准静态地变到1大气压。求气体所作的功和所吸的热。 2．求证 （a ）0??? ????U V S 3．试证明在相变中物质摩尔内能的变化为 (1)p dT u L T dp ?=- 如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式简化。 4. 1 mol 范氏气体，在准静态等温过程中体积由1V 膨胀至2V ，求气体在过程中所作的功。 5．试证明，在相同的压力降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的 温度降落。 6．蒸汽与液相达到平衡。设蒸汽可看作理想气体，液相的比容比气相的比容小得多，可以略而不计。以 dv dT 表在维持两相平衡的条件下，蒸汽体积随温度的变化率。试证明蒸汽的两相平衡膨胀系数为

111dv L v dT T RT ???? =- ? ????? 7. 在C 0 25下，压力在0至1000atm 之间，测得水的体积为： 3623118.0660.715100.04610V p p cm mol ---=-?+??, 如果保持温度不变，将1 mol 的水从1 atm 加压至1000 atm ，求外界所作的功。 8．试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率。 9．在三相点附近，固态氨的饱和蒸汽压（单位为大气压）方程为 3754 ln 18.70p T =- 液态的蒸汽压方程为 3063 ln 15.16p T =- 试求三相点的温度和压力，氨的气化热和升华热，在三相点的熔解热 10. 在C 0 0和1atm 下，空气的密度为300129.0-?cm g 。空气的定压比热 11238.0--??=K g cal C p ，41.1=γ。今有327cm 的空气， (i)若维持体积不变，将空气由C 0 0加热至C 0 20，试计算所需的热量。 (ii)若维持压力不变，将空气由C 0 0加热至C 0 20，试计算所需的热量。 11．满足C pV n =的过程称为多方过程，其中常数n 为多方指数。试证，理想气体在多方过程中的热容量n C 为 V n C n n C 1 --= γ 其中/p V C C γ= 12．写出以i T,V,n 为自变量的热力学基本等式，并证明：

热力学统计物理总复习知识点

热力学部分 第一章热力学的基本规律 1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 幵系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。 2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。 3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。 4、热平衡定律（热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此也处在热平衡? 5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。 6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力），对理想气体状态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。 7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。 8、准静态过程外界对气体所作的功：dW PdV，外界对气体所作的功是个过程量。 9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。绝热过程中内能U是一个态函数：W U B U A 10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造，只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式： U B U A W Q ;微分形式：dU dQ dW 11、态函数焓H: H U pV，等压过程：H U p V，与热力学第一定律的公式一比 较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量 12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即U U（T）o

热力学与统计物理学课后习题及解答

第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数T k 。 解：由理想气体的物态方程为 nRT PV = 可得: 体胀系数：T P nR V T V V αp 111==??? ????= 压强系数：T V nR P T P P βV 111==??? ????= 等温压缩系数：P P nRT V P V V κT 1)(112=???? ??=??? ?????= 1.2 证明任何一种具有两个独立参量P T ，的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T k ，根据下述积分求得：()??=dP κdT αV T ln 如果P κT αT 11==，，试求物态方程。 解： 体胀系数：p T V V α??? ????=1，等温压缩系数：T T P V V κ??? ?????=1 以P T ，为自变量，物质的物态方程为：()P T V V ,= 其全微分为：dP κV VdT αdP P V dT T V dV T T p ?=??? ????+??? ????=，dP κdT αV dV T ?= 这是以P T ，为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得： ()??=dP κdT αV T ln 根据题设 ，将P κT αT 1,1==，代入：???? ???=dP P dT T V 11ln 得：C p T V +=ln ln ，CT PV =，其中常数C 由实验数据可确定。 1.4 描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力￡，物态方程是()0￡=T L f ，，，实验通常在1n p 下进行，其体积变化可以忽略。

热力学统计物理各章重点总结..

第一章 概念 1.系统：孤立系统、闭系、开系 与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系； 与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系； 与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系； 2.平衡态 ~ 平衡态的特点：1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2.热力学的平衡状态是一种动的平衡，常称为热动平衡；3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态。 3.准静态过程和非准静态过程 准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。 非准静态过程，系统的平衡态受到破坏 4.内能、焓和熵 。 内能是状态函数。当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达B所经历的过程无关; 表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。这是态函数焓的重要特性 克劳修斯引进态函数熵。定义: 5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值<

定容热容量: 定压热容量: 6.循环过程和卡诺循环 循环过程（简称循环）：如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。系统经历一个循环后，其内能不变。 理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。 7.。 8.可逆过程和不可逆过程 不可逆过程：如果一个过程发生后,不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生的后果完全消除而使一切恢复原状。 可逆过程：如果一个过程发生后，它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原状。 8.自由能：F和G （ 定义态函数：自由能F，F＝U－TS 定义态函数：吉布斯函数G，G=U-TS+PV，可得GA－GB－W1 定律及推论

热力学与统计物理复习总结级相关试题 电子科大

《热力学与统计物理》考试大纲 第一章热力学的基本定律 基本概念：平衡态、热力学参量、热平衡定律 温度，三个实验系数（α，β，T κ）转换关系，物态方程、功及其计算，热力学第一定律（数学表述式）热容量（C ，C V ，C p 的概念及定义），理想气体的内能，焦耳定律，绝热过程及特性，热力学第二定律（文字表述、数学表述），可逆过程克劳修斯不等式，热力学基本微分方程表述式，理想气体的熵、熵增加原理及应用。 综合计算：利用实验系数的任意二个求物态方程，熵增（ΔS ）的计算。 第二章均匀物质的热力学性质 基本概念：焓（H ），自由能F ，吉布斯函数G 的定义，全微公式，麦克斯韦关系（四个）及应用、能态公式、焓态公式，节流过程的物理性质，焦汤系数定义及热容量（Cp ）的关系，绝热膨胀过程及性质，特性函数F 、G ，空窖辐射场的物态方程，内能、熵，吉布函数的性质。 综合运用：重要热力学关系式的证明，由特性函数F 、G 求其它热力学函数（如S 、U 、物态方程） 第三章、第四章单元及多元系的相变理论 该两章主要是掌握物理基本概念： 热动平衡判据（S 、F 、G 判据），单元复相系的平衡条件，多元复相系的平衡条件，多元系的热力学函数及热力学方程，一级相变的特点，吉布斯相律，单相化学反应的化学平衡条件，热力学第三定律标准表述，绝对熵的概念。 统计物理部分 第六章近独立粒子的最概然分布 基本概念：能级的简并度，μ空间，运动状态，代表点，三维自由粒子的μ空间， 德布罗意关系（k P =，＝ωε），相格，量子态数。 等概率原理，对应于某种分布的玻尔兹曼系统、玻色系统、费米系统的微观态数的 计算公式，最概然分布，玻尔兹曼分布律（l l l e a βεαω--=）配分函数 （∑∑-==-s l l s l e e Z βεβε ω1），用配分函数表示的玻尔兹曼分布（l l l e Z N a βεω-=1）， f s ，P l ，P s 的概念，经典配分函数（ ??-= du e h Z l r βε 0 11）麦态斯韦速度分布律。 综合运用： 能计算在体积V 内，在动量范围P →P+dP 内，或能量范围ε→ε+d ε内，粒子的量子态数；了解运用最可几方法推导三种分布。 第七章玻尔兹曼统计 基本概念：熟悉U 、广义力、物态方程、熵S 的统计公式，乘子α、β的意义，玻尔兹曼关系（S ＝Kln Ω），最可几率V m ，平均速度V ，方均根速度s V ，能量均分定理。 综合运用： 能运用玻尔兹曼经典分布计算理想气体的配分函数内能、物态方程和熵；能运用玻 尔兹曼分布计算谐振子系统（已知能量ε＝（n+21 ）ω ）的配分函数内能和热容量。

热力学与统计物理学的形成

热力学与统计物理学的形成 人们最初接触热的概念是和火分不开的。自亚里士多德以后，在西方火被看作构成宇宙万物的四大元素之一。直到16、17世纪这种观点才被三要素学说取代。这三要素指可溶性、挥发性、可燃性的相应实体。可燃性要素从物体中逃逸出来，这就是燃烧。我国古代有五行说，有隧人氏"钻木取火"的传说。"钻木取火"说明我国人民在那时已经知道了摩擦生热的现象。但是，在古代社会生产力水平很低，人们在生产和生活中对热的利用，只限于煮熟食物、照明和取暖，最多也不过利用热来冶炼和加工一些简单的金属工具。由于生产和生活没有对热提出进一步的要求，所以也就没有人对热现象进行深入的研究。 18世纪初，正是资本主义发展的初期，社会生产已有很大的发展。生产需要大量的动力，许多人开始尝试利用热获得机械功，这样一来，就开始了对热现象所进行的广泛的研究。 对热现象的定量研究，首先必须解决如何客观地表示物体的冷热程度，温度计就应运而生。虽然伽利略早在16世纪就利用气体热胀冷缩规律做成气体温度计，但这种温度计使用起来不方便，而且随外界气压变化所测得的值也不同，误差较大。1709年华伦海特制造成了第一支用酒精做测温质的实用温度计，后来这种温度计又改用水银作测温质。经改进，把水的冰点定为32度，水的沸点定为212度，就成了如今的华氏温度计。华氏温标由单位用℉表示。1742年摄尔萨斯把一标准大气压下，冰水混合物的温度定为100度，水沸点定为0度，制成另一种温标的温度计。后来根据同事施勒默尔的建议，摄尔萨斯把这个标度倒了过来，就成了现代的摄氏温标。 实用温度计诞生之后，热学的研究走上了实验科学的道路。随着研究的深入，人们开始考虑热的本质问题。 关于热的本质，在古希腊时代就有两种学说。一种认为热是一种元素，另一种学说认为热是物质运动的一种表现。热科学的实验发展以后，不少学者倾向于热是一种元素的说法，后来热的元素学说，发展成热质说。热质说认为热是一种特殊的物质，它是看不见又没有质量的热质，热质可以透入到一切物体的里面，一个物体含的热质越多，就越热；冷热不同的两个物体接触时，热质便从较热的物体流入较冷的物体；热质不能凭空地产生，也不会被消灭。热质说能够成功地解?quot;混合量热法"的规律：两个温度不同的物体，混合后达到同一温度时，如果没有热量散失，那么，温度较高的物体失去的热质，等于温度较低的物体吸收的热质。热量单位"卡"，也是根据热质说的思想产生的．"卡"这个单位现在已废弃不用了。 与热质说相对立的学说认为热是物质运动的一种表现。培根很早就根据摩擦生热的事实提出了这种学说，罗蒙诺索夫在他的论文《论热和冷的原因》里批判了当时流行的热质说，认为热是分子运动的表现。但在热质说十分流行的时代。这些观点未被人们重视。 1798年，伦福特伯爵发现制造枪管时，被切削下来的碎屑有很高的温度，而且在连续不断的工作之下，这种高温碎屑不断产生。被加工的材料和车刀温度都不高，他们包含的热质应该是极有限的，工件和碎屑温度这么高，这些热质从何而来呢？1799年戴维做了一个实验，他用钟表机件作动力，在真空中使两块冰相互摩擦，整个设备都处于－2℃的温度下，结果冰熔化了，得到2℃的水。这些事实都没有办法用热质说来说明。但在当时由于能量转换的观点没有建立起来；还无法彻底推翻热质说。 1842年，德国医生买厄发表一篇论文，提出能量守恒的学说，他认为热是一种能量，能够跟机械能互相转化。他还从空气的定压与定容比热之差，算出了热和机械功的比值。与此同时，焦耳进行了许多实验，用各种各样的方法来测定热功当量，发现结果都一致。在这一发现的基础上焦耳提出了：自然界的能量是不能毁灭的，那里消耗了机械能，总能得到相当的热，热只是能的一种形式。可惜焦耳提出这个定律时，未被大多数科学家重视。直到19世纪中叶，许多科学家先后都宣布了和焦耳相同的结论，此时，焦耳所做的

热力学与统计物理答案详解第二章的

第二章 均匀物质的热力学性质 2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加. 解：根据题设，气体的压强可表为 (),p f V T = （1） 式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 dF SdT pdV =-- 得麦氏关系 .T V S p V T ??????= ? ??????? （2） 将式（1）代入，有 ().T V S p p f V V T T ?????? === ? ? ?????? （3） 由于0,0p T >>，故有0T S V ??? > ????. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加. 2.2 设一物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = 试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = （1） 故有 ().V p f V T ???= ???? （2） 但根据式（2.2.7），有 ,T V U p T p V T ?????? =- ? ??????? （3） 所以

()0.T U Tf V p V ???=-= ???? （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数. 2.3 求证： ()0;H S a p ???< ???? ()0.U S b V ??? > ???? 解：焓的全微分为 .dH TdS Vdp =+ （1） 令0dH =，得 0.H S V p T ???=-< ???? （2） 内能的全微分为 .dU TdS pdV =- （3） 令0dU =，得 0.U S p V T ??? => ? ??? （4） 2.4 已知0T U V ??? = ????，求证0.T U p ?? ?= ???? 解：对复合函数 (,)(,(,))U T P U T V T p = （1） 求偏导数，有 .T T T U U V p V p ?????????= ? ? ?????????? （2） 如果0T U V ??? = ????，即有 0.T U p ?? ?= ???? （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明：

热力学统计物理总复习知识点

热力学部分 第一章 热力学的基本规律 1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。 2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。 3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。 4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此 也处在热平衡. 5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。 6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）,对理想气体状 态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。 7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。 8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个过程量。 9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。绝 热过程中内能U 是一个态函数：A B U U W -= 10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造， 只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式： Q W U U A B +=-；微分形式：W Q U d d d += 11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ?+?=?，与热力学第一定律的公 式一比较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量。 12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。 13．定压热容比：p p T H C ??? ????=；定容热容比：V V T U C ??? ????= 迈耶公式：nR C C V p =- 14、绝热过程的状态方程：const =γpV ；const =γ TV ；const 1 =-γγT p 。 15、卡诺循环过程由两个等温过程和两个绝热过程组成。正循环为卡诺热机，效率 211T T -=η，逆循环为卡诺制冷机，效率为2 11T T T -=η（只能用于卡诺热机）。 16、热力学第二定律：克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体 而不引起其他变化（表明热传导过程是不可逆的）； 开尔文（汤姆孙）表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功而不引起其 他变化（表明功变热的过程是不可逆的）； 另一种开氏表述：第二类永动机不可能造成的。 V p W d d -=

热力学与统计物理学基础

热力学与统计物理学基础 Classical Thermodynamics and Statistical Physics 课程编号：课程属性：学科基础课课时/学分：50/2.5 预修课程：高等数学 教学目的和要求： 本课程为力学学科博士研究生的学科基础课，也可为物理学以及其它应用科学研究生的选修课。 通过本课程的学习，学生不仅能掌握热力学和统计物理学的一般知识并熟练运用，而且还能系统地学习到从宏观上和微观上描述热力学系统热现象和热性质的方法。这些有助于学习和掌握其它课程，并大大开拓学生的研究思路。 内容提要： 引言 第一章热力学的基本规律 热力学系统的平衡状态及其描述，热平衡定律和温度，物态方程，热力学第一定律，热容量、焓、内能，卡诺循环，热力学第二定律，热力学第三定律。 第二章热力学基本微分方程 熵，自由能、吉布斯函数，基本热力学函数的确定，特性函数 第三章单元系的相变 热动平衡判据，开系的热力学基本方程，复相平衡条件，单元复相系的平衡性质，临界点和气液两相的转变。 第四章多元系的复相平衡和化学平衡 多元系的热力学函数和热力学方程，多元系的复相平衡条件，吉布斯相律，化学平衡条件，混合理想气体的性质，理想气体的化学平衡。 第五章统计物理学基本理论 统计规律性，概率分布，统计平均值，等概率原理，近独立粒子系统的经典统计理论。 第六章平衡态统计物理学 系统微观状态的描述，统计系综，刘维尔定律，微正则系综，正则系综，巨正则系综，正则分布对近独立粒子系统的应用，能量均分定律和理想气体比热容，实际气体的物态方程。 第七章涨落理论 涨落的准热力学方法，涨落的空间关联与时间关联，布朗运动，仪器的灵敏度，电路中的热噪声。 第八章非平衡态热力学与统计物理简介 不可逆过程与偏离平衡态的物质，昂萨格关系，波尔兹曼积分微分方程，H定理与细致平衡原理，气体的黏滞性，输运过程的动理论。 主要参考书： 1. Ashley H. Carter, Classical and Statistical Thermodynamics(热力学与统计物

热力学与统计物理教学大纲

《热力学与统计物理》教学大纲 课程名称：《热力学与统计物理》 英文名称：Thermodynamics and statistic p hysics 课程性质：学科教育必修课 课程编号：E121015 所属院部：光电工程学院 周学时：3学时 总学时：45学时 学分：3学分 教学对象(本课程适合的专业和年级) ： 物理学专业(本科)2012级学生 预备知识： 高等数学、概率统计、普物 课程在教学计划中的地位作用： 《热力学·统计物理》课是物理专业学生的专业基础课，与理论力学、量子力学、电动力学共同构成物理专业重要的四门必修课，通常称为物理专业的四大力学课。热力学和统计物理的任务是研究热运动的规律，研究与热运动有关的物性及宏观物质系统的演化。本课程的作用是使学生掌握热力学与统计物理的基本原理和处理具体问题的一些重要方法，并初步具有用这些方法解决较简单问题的能力。 教学方法： 以板书手段为主要形式的课堂教学。在课堂教学中，教师应精心组织教学内容，注重发挥学生在教学活动中的主体作用和教师的主导作用，注重采用多种教学形式提高课程教学质量。注意在学习中调动学生积极性和创造性，注重各种教学方法的灵活应用。 教学目标与要求：

要求学生初步掌握与热现象有关的物质宏观物理性质的唯象理论和统计理论，并对二者的特点与联系有一个较全面的认识同时注重对学生逻辑思维能力的培养，强调学生物理素养的生成和提高。 课程教材：汪志诚主编. 热力学统计物理（第四版）.北京：高等教育出版社，2010年 参考书目： [1] 苏汝铿主编. 统计物理学. 上海：复旦大学出版社，2004年 [2] 王竹溪主编. 热力学简程. 北京：高等教育出版社，1964 [3] 王竹溪主编. 统计物理学导论. 北京：高等教育出版社，1956 考核形式： 考核方式为考试。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩不超过30％，期末成绩不少于70%。 编写日期：2012年5月制定 课程内容及学时分配（含教学重点、难点）： 本课程内容主要包括：热力学的基本规律麦克斯韦关系及其应用，气体的节流膨胀与绝热膨胀，基本热力学函数，特性函数，平衡辐射热力学，磁介质热力学等。热动平衡判据，开放系的热力学基本方程，多元系的复相平衡和化学平衡,吉布斯相律热力学第三定律,粒子和系统运动状态的经典描述与量子描述，等几率原理，分布与微观状态，三种统计分布热力学量的统计表式，热力学量的统计表式，理想气体的物态方程，麦克斯韦速度分布律，能量均分定理，理想气体的内能,弱简并玻色气体和费米气体，光子气体，*玻色-爱因斯坦凝聚，金属自由电子气, ,相空间，刘维尔定理，微正则分布及其热力学公式，正则分布及其热力学公式等。通过讲课、练习和实验，使学生达到各章中所提的基本要求，最终使学生掌握热力学与统计物理的基本理论和思想。 教学时数具体分配： 教学内容讲授实验/实践合计

热力学和统计物理的课件

热力学和统计物理的研究对象和任务 宏观物质系统：由大量微观粒子组成的气、液、固体。存在无规则运动——热运动。 运动：机械运动，如：质点的运动，刚体的平动和转动。 热运动：大量微观粒子的无规则运动（例如花粉的运动），有规律性，自身固有的。 为什么研究热运动？它决定了热现象（物性和物态），影响物质的各种宏观性质，如：力、热、电磁、凝聚态（固、液、气）、化学反应进行的方向和限度。 热力学和统计物理学的任务？研究热运动规律及其对宏观性质的影响。 热力学与统计物理的研究方法 热力学和统计物理学的任务相同，但研究方法不同。 1.宏观唯象理论——热力学 2.微观本质理论——统计物理 宏观的观点 即观察一个固体，液体，气体的特性。如：密度、温度、压力、弹性、传热等，不涉及物质的原子结构。 微观的观点 由物质的原子性质着手，来研究物质的宏观性质。 热力学的基本逻辑体系 以可测宏观物理量描述系统状态；例如气体：压强p 、体积V 和温度T 实验现象 热力学基本定律 宏观物性 其结论可靠且具有普适性；结合实验才能得到具体物性； 物质看成连续体系，不能解释宏观物理量涨落。例如：焦耳定律、玻意耳定律、阿伏伽德罗定律， 推理演绎为 热力学基本定律：第一、第二、第三定律及推论。 再推理演绎为 卡诺热机性质，热辐射理论，相变理论，化学反应理论亥姆霍兹方程，能态方程，焓态方程等。 统计物理基本逻辑体系 从微观结构出发，深入热运动本质，认为宏观物性是大量微观粒子运动性质的集体表现； 微观粒子力学量 宏观物理量 热力学基本定律归结为一条基本统计原理，阐明其统计意义，可解释涨落现象； 借助微观模型，可近似导出具体物性。例如： 认为微观粒子遵从力学定律：牛顿定律或量子力学。经典的 量子的 应用统计原理：最概然统计法 或 系综统计法 微观运动 通过假设 宏观性质 如：分子与壁碰撞时动量的变化→气体压力概念。分子运动动能→气体温度 典型应用实例：导出理想气体的物态方程PV=RT 理想气体分子速度分布律 普朗克热辐射定律 大气压随高度的变化关系等 @@@第一章 热力学的基本规律 热力学 thermodynamics 平衡态热力学equilibrium thermodynamics 经典热力学classical thermodynamics §1.1 平衡态及其描述 重点掌握几个新概念 一 系统、外界和子系统 热力学系统 由大量微观粒子组成的宏观物质系统 外界 与系统发生相互作用的其它物质 二 系统分类 系统与环境关系一般很复杂，多种多样。根据我们的研究目的，可用壁来限制系统和环境的关系。 壁：具有特定性质的界面 ??→?归纳??→?演绎???→ ?统计平均

热力学与统计物理教案

导言 一．热力学与统计物理学所研究的对象与任务相同 对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统。 任务：研究热运动规律及热运动对物质宏观性质的影响。 一．热力学与统计物理学的研究方法不同 1. 热力学方法—热运动的宏观理论 热力学方法是从热力学三个定律出发，通过数学演绎，得到物质的各宏观性质之间的关系、宏观物理过程进行的方向和限度等一系列理论结论。 热力学方法的优点：其结论具有高度的可靠性和普遍性。因为热力学三定律是人们从大量的观测、实验中总结出来的基本规律，并为人们长期的生产实践所证实，非常可靠。而且热力学三定律又不涉及物质的具体微观结构，它适用于一切物质系统，非常普遍。 热力学方法的局限性：由热力学不能导出具体物质的具体特性；也不能解释物质宏观性质的涨落现象；等等。 2. 统计物理学方法—热运动的微观理论 统计物理学方法是从“宏观物质系统是由大量的微观粒子所组成的”这一基本事实出发，认为宏观物理量就是相应微观量的统计平均值。 统计物理学的优点：能把热力学三个相互独立的基本规律归结于一个基本的统计原理，阐明三个定律的统计意义；可以解释涨落现象；而且在对物质的微观结构作了某些假设之后，还可以求得物质的具体特性；等等。 统计物理学的局限性：由统计物理学所得到的理论结论往往只是近似的结果，这是因为对物质的微观结构一般只能采用简化模型所致。 总之，在热现象研究中，热力学和统计物理学两者相辅相成，相互补充。 一．主要参考书 王竹溪：《热力学简程》、《统计物理学导论》 第一章热力学的基本规律 本章主要介绍热力学的基本规律以及常见的基本热力学函数。但本章的大多数内容在普通物理的《热学》课程中已经较详细学习过，在此只作一个归纳。因此，本章的各节将有所改变， 与课本不完全一致。 第一章热力学的基本规律 §热平衡定律和温度 一．热平衡定律 热平衡定律也可称之为热力学第零定律。它是建立温度概念的实验基础。 1. 热力学系统 由大量微观粒子组成的有限的宏观客体称之为热力学系统，简称为系统。热力学所研究的系统有如下三种： ⑴孤立系统：与外界没有任何相互作用的系统。 ⑵封闭系统：与外界有能量交换，但无物质交换的系统。 ⑶开放系统：与外界既有能量交换，又有物质交换的系统。 2. 平衡状态及其描述 当没有外界影响时，只要经过足够长的时间，系统将会自动趋于一个各种宏观性质不随时间变化的状态，这种状态称为平衡状态，简称为平衡态。它是一种热动平衡状态。

热力学与统计物理论文

负温度状态 姓名：王军帅学号：20105052010 化学化工学院应用化学专业 指导老师：胡付欣职称：教授 摘要：通过分析负温度概念的引入，从理论上证明负温的存在，并论证实验上负温度的实现，在进步分析了负温度系统特征的基础上，引入了种新的温度表示法，使之与人们的习惯致。 关键词：负温度;熵;能量;微观粒 Negative Temperature State Abstract：The concept of negative temperature was introduced Its existence was proved theoretically and its realization in experiment also discussed after analysis of the negative temperature system characteristic，one kind of new temperature express is used in order to consistent with the common express. Key words: negative temperature; entropy; energy; microparticle 引言 温度是热学中非常重要的一个物理量，可以说任何热力学量都与温度有关.描述物体冷热程度的物理量—开尔文温度—一般都是大于零的，由热力学第三定律可知“绝对零度是不可能达到的”，也就是说自然界的低温极限是绝对零度，即-273.16℃.以OK作为坐标原点，通常意义上的温度一般就在原点的右半轴上，其范围就是零到 值总为正。那么有没有负温度呢？左半轴是不是可以用负温度来对应呢？它表示的温度是不是更低呢？此时系统的热力学性质又将会怎么样呢？这些问题激起人们对温度的疑惑与兴趣. 1.负温度概念的引入 通常所说的温度与系统微观粒子的运动状态有关，随着温度的升高，粒子的能量也升高，粒子运动就会越激烈，无序度也会增加:在低温时，高能量粒子的数目总是少于低能量粒子的数目，所以随着温度的升高，高能量粒子数目逐渐增

热力学与统计物理重点

Ω不一定掌握，玻色 麦克斯韦 费米 玻尔兹曼 简答题 简单回答三个简答题 相空间（μ空间的解释）如何描述微观粒子运动，用相空间的一个点描述，把物理问题转几何问题 谐振子计算 考一个计算吗 能量均分定理 等概率原理（一个假设，系统的限制不能乱加孤立系统…） 玻尔兹曼分布导出能量均分：X^2贡献 理想自由单原子气体 3个维度 ，N 个粒子再乘以N ，相关计算 波色——爱因斯坦凝聚：（为何一定只有波色有：费米体系玻尔兹曼化学势不会 小于0）TC 相变温度，凝聚点， ：费米面费米面只有费米体系才有，泡利不相容原理，下面站满了，往上占，费米面就是化学势，是一个固定值。 布置的2维…（综合）一起；固体热容量爱因斯坦理论这一节的例题 所有。。 n x 、n y 、n z 三个量子数描述... ,2 ,1 ,0 ,2... ,2 ,1 ,0 ,2... ,2 ,1 ,0 ,2±±==±±==±±== z z z y y y x x x n n c p n n b p n n a p πππ 动量跟量子数之间一一对应的函数关系， 如果利用q 和p 来描述粒子的运动状态，则一个状态对应于 -空间中的一个体 积，称为一个相格。对于自由度为r 的自由粒子，该相格的大小为h r 准静态过程：是一个非常缓慢的过程。系统在过程中经历的每一个状态都可以 dQ dW dU ＋＝z y x z y x z y x dp dp dp h V dp dp dp L dn dn dn 33 2=??? ??= π222222 122 2x m m p x A m p ωε+= + =

看作平衡态。* dW=Ydy 体积有dV 的变化时，外界对系统做的功为-PdV 配分函数： 热力学性质（内能、熵、自由能） 玻尔兹曼 系统内能U,广义力Y,P=-Y ：Z y N N U ln Y lnZ ?? -=?? -=ββ 熵:定域系统熵计算： ： 不可分辨粒子熵计算： ? ?? ?????-?=ββZ N eZ Nk S ln ln 自由能为F=U-TS=。。。 理想气体的物态方程PV=nRT=Nk B T 外界所作的功体现为：粒子分布不变，能级的改变； 所吸收的热量体现为：粒子能级不变，分布的改变。 简答： 1、 什么是“最概然分布” 孤立系统: 这样的系统具有确定的粒子数N 、体积V 和总能量E 。 定域系:可以分辨 非定域的玻色子:不可分辨，每个个体量子态上的粒子数目不受限制 非定域的费米子:不可分辨，且服从Pauli 不相容原理，每个个体量子态只能有1个粒子 分布: 给出的是在每个能级上的粒子数: 能级： 1 2 3 。。。， l ，。。。 简并度： 1 2 3 。。。， l ，。。。 粒子数： 1 2 3 。。。， l ，。。。 微观状态数：分布+(既要确定在每一个能级 l 上的是哪 l 个粒子)(定域)还要 ......) ,2 ,1 ,0( ; ;=∑∑==l E N l l l l l εααΩ?=ln k S ?? ? ? ????-?=ββZ Z Nk S ln ln ∑=-ι βειιωe Z T k B 1 = β

热力学与统计物理课件 统计物理部分 第二章 麦克斯韦-波尔兹曼统计

第二章麦克斯威—玻尔兹曼统计 （Maxwell—Boltzmann Statistics） 统计物理不追求个别粒子的运动细节，而是研究集体行为表现的规律——统计规律。 主要内容是在给定条件下，某时刻系统处于某一状态的概率（或概率分布）。 状态概率描述了大量系统的随机性。此时某个粒子的初始状态和以后运动轨迹为不重要的细节，动力学规律退为次重地位，而状态概率决定系统的主要性质。

本章的任务是：求ρ，求平均。 对象：孤立，近独立的经典粒子系统 近独立系统：若系统粒子密度较低，相互作用力的作用距离短，以致力程远小于粒子的平均自由程，则粒子在行进过程中大部分时间处于自由态，任何时刻系统中只有极小部分粒子处于力程以内，故相互作用仅占次要地位。近独立系统粒子的能量仅与粒子的本身状态有关，与其它粒子的运动状态无关。即不考虑相互作用能，系统的能量为各个粒子的能量总和。 即：， 是指一个能级上的粒子数。因为是孤立系统，具有确定的粒子数N 、体积V 、总能U 。则有 约束条件。 ∑∑∑====l N i i l l l l a U a N 1 ,εεl a ??? ? ?==????==∑∑0 00l l l l l a a U N δεδδδ

§2.1等几原理与M—B 分布 （Pinciple of Equal Probability and Maxwell-Boltzmann Distribution ） 一、等几原理： 自然界没有绝对孤立的系统，体系的能量只能在某个固定的 值U 附近的一个小领域内，即人从U 到之间，其中 当这些条件给定时，系统所能取的微观状态数是十分巨大的。这些系统的可能微观状态数以什么样的几率出现，这是统计物理的根本问题，1870年玻尔兹曼给出了回答：即等几原理。 等几原理：对于处于平衡态的孤立系统，系统各个可能的微 观状态出现的几率相等。 这是统计物理的一个基本假设，不可能从经典力学或量子力 学中推导出来的，它的正确性是由它引出的推论与实际情况的比较来证实的。实验证明，由这一原理推出的一系列平衡态统计物理理论与实际情况符合得很好。有理由相信这一原理的正确性。它也是以后推导M—B 分布的基础。 U U Δ+U U <<Δ

第十八章 热力学与统计物理学概述

第十八章 热力学与统计物理学概述 18-1外界对一个气体系统所作的功可以用式(18-1)表示，即2 1 V V A pdV =-? 由此我们是否可以说，任何没 有体积变化的过程外界都不会对它作功？ 答：错误。外界对气体系统作功可以有许多形式，如电场力作功、磁场力作功等，实际上可以把除了热的形式以外的各种传递能量的形式都归结为作功。而式：2 1 V V A pdV =- ? 只适用于一个均匀的气体系统在没 有外场作用的情况下的准静态过程。如果是非准静态过程，体积没有变化，外界也可能对系统作功。如一装有气体的容器在运动中突然停止，这时容器内气体的体积不变，但此时外界对气体有作功。 18-2能否说系统含有多少热量？为什么？ 答：错误。因为：对于一个处于一定状态的系统，既不吸热，也不放热，无热量可言。而系统吸热或放热的多少都与过程有关，即热量是一个过程量，不是一个状态量，所以不能说系统含有多少热量。 18-3分别在p -V 图、p -T 图和T -V 图上画出下列过程：等体、等压、等温和绝热。 答： 18-4为什么公式pV C γ =只有在准静态过程的条件下才成立？ 答：（1）因为只有在准静态过程中，每一瞬间系统都处于平衡态，才可以使用理想气体物态方程来描述。 绝热过程 P —V 图 P —T 图 T —V 图

（2）在推导公式pV C γ =过程中，用到绝热过程dU pdV =-也只有在准静态过程中才成立。 18-5 将20g 的氦气分别按照下面的过程，从17℃升至27℃，试分别求出在这些过程中气体系统内能的变化、吸收的热量和外界对系统作的功：(1)保持体积不变；(2)保持压强不变；(3)不与外界交换热量。 设氦气可看作理想气体，且3 2 V R C ν=。 解：(1)保持体积不变： 外界对系统不作功：0A =； 系统内能的变化为：2 3 6.23102 V U C T R T J ν?=?=?=?； 由热力学第一定律，吸收的热量为： 2 6.2310V Q U J =?=? 这表示，在系统体积不变的情况下， 外界对系统不作功，系统从外界获得的热量全部用于内能的增加。 (2)保持压强不变： 吸收的热量：()3 1.0410p p V Q C T C R T J ν=?=+?=? 系统内能的变化：2 3 6.23102 V U C T R T J ν?=?=?=? 外界对系统作功：2 4.1610p A U Q J =?-=-? 这表示，在系统保持压强不变的情况下，系统从外界获得的热量，一部分用于增加系统的内能，另一部分用于系统对外界作功。 (3)不与外界交换热量，即绝热过程： 吸收的热量：0Q = 系统内能的变化：23 6.23102 V U C T R T J ν?=?= ?=?

热力学与统计物理

《热力学与统计物理》课程教学大纲 课程英文名称：Thermodynamics and Statistical Physics 课程编号：0312043002 课程计划学时：48 学分：3 课程简介： 《热力学与统计物理》课是物理专业学生的专业基础课，与理论力学、量子力学、电动力学共同构成物理专业重要的四门必修课，通常称为物理专业的四大力学课。热力学和统计物理的任务是研究热运动的规律，研究与热运动有关的物性及宏观物质系统的演化。本课程的作用是使学生掌握热力学与统计物理的基本原理和处理具体问题的一些重要方法，并初步具有用这些方法解决较简单问题的能力。 一、课程教学内容及教学基本要求 第一章热力学的基本规律 本章重点：热力学的基本规律，热力学的三个定律，掌握热力学函数内能、焓、熵、自由能、吉布斯函数的物理意义. 难点：熵增加原理的应用及卡诺循环及其效率。 本章学时:16学时 教学形式:讲授 教具:黑板，粉笔 第一节热力学系统的平衡状态及其描述 本节要求：掌握：系统、外界、子系统，系统的分类，热力学平衡态及其描述。 1系统、外界、子系统（①掌握：系统与外界概念。②了解：界面的分类。③了解：系统与子系统的相对性） 2系统的分类（掌握：孤立系、闭系、开系的概念。） 3热力学平衡态及其描述（①掌握：热力学平衡态概念。②掌握：状态参量的描述及引入。）第二节热平衡定律和温度 本节要求：掌握：热接触与热平衡，热平衡定律、温度、热平衡的传递性，存在态函数温度的数学论证，温度的测量(考核概率50%)。 1热接触与热平衡（①掌握：系统间没有热接触时系统状态参量的变化。②掌握：系统间热接触时系统状态参量的变化。） 2热平衡定律、温度、热平衡的传递性（①掌握：热平衡定律。②掌握：温度的数学论证，温标的确定及分类）（重点） 第三节物态方程