1.2.3 直线与平面的位置关系
第1课时至厦门与平面平行的判定
【课时目标】1.理解直线与平面平行的判定定理的含义,会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理;2.能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.
__________________,记作________.
2.直线与平面平行的判定定理:
如果平面外一条直线和________________________平行,那么这条直线和这个平面平行.
用符号表示为a?α,b?α且a∥b?a∥α.
一、填空题
1.以下说法(其中a,b表示直线,α表示平面)正确的个数为________.
①若a∥b,b?α,则a∥α;
②若a∥α,b∥α,则a∥b;
③若a∥b,b∥α,则a∥α;
④若a∥α,b?α,则a∥b.
2.已知a,b是两条相交直线,a∥α,则b与α的位置关系是
________.
3.如果平面α外有两点A、B,它们到平面α的距离都是a,则直线AB和平面α的位置关系是___________________________________________________________ ___________.
4.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角线AC和平面DEF的位置关系是________.
5.过直线l外两点,作与l平行的平面,则这样的平面为____________个.
6.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条.
7.经过直线外一点有________个平面与已知直线平行.
8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的面中:
(1)与直线AB平行的平面是______________;
(2)与直线AA1平行的平面是______________;
(3)与直线AD平行的平面是______________.
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与过点A,E,C的平面的位置关系是___________________________________________________________ _______.
二、解答题
10.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是棱BC、C1D1的中点.
求证:EF∥平面BDD1B1.
11.如图所示,P是?ABCD所在平面外一点,E、F分别在PA、BD上,且PE∶EA=BF∶FD.
求证:EF∥平面PBC.
能力提升
12.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥面MNP的图形的序号是________.(写出所有符合要求的图形序号)
13.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE,BD上各有一点P,Q,且AP=DQ.求证PQ∥平面BCE.(用两种方法证明)
直线与平面平行的判定方法
(1)利用定义:证明直线a与平面α没有公共点.这一点直接证明是很困难的,往往借助于反证法来证明.
(2)利用直线和平面平行的判定定理:a?α,a∥b,b?α,则a∥α.使用定理时,一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”,若不注明和平面内的直线平行,证明过程就不完整.因此要证明a∥平面α,则必须在平面α内找一条直线b,使得a∥b,从而达到证明的目的.证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等.
1.2.3直线与平面的位置关系
第1课时直线与平面平行的判定
答案
知识梳理
1.直线在平面外a?α
2.这个平面内的一条直线
作业设计
1.0
解析①a?α也可能成立;②a,b还有可能相交或异面;③a?α也可能成立;④a,b还有可能异面.
2.b∥α或b与α相交
3.平行或相交
4.平行5.0,1或无数
6.12
解析如图所示,与BD平行的有4条,与BB1平行的有4条,四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行,同等位置有4条,总共12条.
7.无数
8.(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A1C1
9.平行
解析设BD的中点为F,则EF∥BD1.
10.证明 取D 1B 1的中点O , 连结OF ,OB .
∵OF 綊12B 1C 1,BE 綊1
2B 1C 1,
∴OF 綊BE .
∴四边形OFEB 是平行四边形, ∴EF ∥BO .
∵EF ?平面BDD 1B 1, BO ?平面BDD 1B 1, ∴EF ∥平面BDD 1B 1.
11.证明 连结AF 延长交BC 于G , 连结PG .
在?ABCD 中,
易证△BFG ∽△DFA . ∴GF FA =BF FD =PE EA , ∴EF ∥PG .
而EF ?平面PBC , PG ?平面PBC , ∴EF ∥平面PBC . 12.①③
13.证明 方法一 如图(1)所示,作PM ∥AB 交BE 于M ,作QN ∥AB 交BC 于N ,连结MN .
∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB , ∴AE =BD .
又∵AP =DQ ,∴PE =QB . 又∵PM ∥AB ∥QN , ∴PM AB =PE AE ,QN DC =BQ BD . ∴PM 綊QN .
∴四边形PQNM 是平行四边形.∴PQ ∥MN .
又MN ?平面BCE ,PQ ?平面BCE , ∴PQ ∥平面BCE .
方法二 如图(2)所示,连结AQ 并延长交BC(或其延长线)于K ,连结EK .
∵KB ∥AD ,∴DQ BQ =AQ
QK .∵AP =DQ ,AE =BD , ∴BQ =PE . ∴DQ BQ =AP PE .∴AQ QK =AP
PE .∴PQ ∥EK .
又PQ ?面BCE ,EK ?面BCE ,∴PQ ∥面BCE .
第2课时 直线与平面平行的性质
【课时目标】 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理.2.能运用直线与平面平行的性质定理,证明一些空间线面平行关系的简单问题.
直线与平面平行的性质定理:
经过一条直线和一个平面________,经过这条直线的平面和这个平面__________,那么这条直线就和交线________.
(1)符号语言描述:______________. (2)性质定理的作用:
可以作为________________平行的判定方法,也提供了一种作__________的方法.
一、填空题
1.已知直线l ∥平面α,直线m ?α,则直线l 和m 的位置关系是________.
2.若不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等,且A 、B 、CD/∈α,则面ABC 与面α的位置关系为____________.
3.若直线m 不平行于平面α,且m ?α,则下列结论成立的是
________(填序号).
①α内的所有直线与m 异面; ②α内不存在与m 平行的直线; ③α内存在唯一的直线与m 平行; ④α内的直线与m 都相交.
4.如图所示,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是棱AA 1
和BB 1的中点,过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G 、H ,则HG 与AB 的位置关系是________.
5.直线a ∥平面α,α内有n 条直线交于一点,则这n 条直线中与直线a 平行的直线条数为________.
6.如图所示,平面α∩β=l 1,α∩γ=l 2,β∩γ=l 3,l 1∥l 2,下列说法正确的是__________(填序号).
①l 1平行于l 3,且l 2平行于l 3; ②l 1平行于l 3,且l 2不平行于l 3; ③l 1不平行于l 3,且l 2不平行于l 3; ④l 1不平行于l 3,但l 2平行于l 3.
7.设m 、n 是平面α外的两条直线,给出三个论断:
①m ∥n ;②m ∥α;③n ∥α.以其中的两个为条件,余下的一个为结论,构造三个命题,写出你认为正确的一个命题:______________.(用序号表示)
8.如图所示,ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体,M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1,B 1C 1的中点,P 是上底面的棱AD 上的一
点,AP =a
3,过P ,M ,N 的平面交上底面于PQ ,Q 在CD 上,则PQ =________.
9.如图所示,在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是四边上的点,它们共面,并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC =m,BD=n,当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB=________.
二、解答题
10.ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC 的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP∥GH.
11.如图所示,三棱锥A—BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH.
求证:CD∥平面EFGH.
能力提升
12.如图所示,在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水,将固定容器底面一边BC置于地面上,再将容器倾
斜,随着倾斜程度的不同,有以下命题:①水的形状成棱柱形;②水面EFGH 的面积不变;③A 1D 1始终水面EFGH 平行.其中正确的命题序号是________.
13.如图所示,P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别为AB 、PC 的中点,平面PAD ∩平面PBC =l .
(1)求证:BC ∥l ;
(2)MN 与平面PAD 是否平行?试证明你的结论.
直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用,也就是通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出新的线线平行,复杂的题目还可继续推下去.可有如下示意图:
线线平行――→在平面内作或找一直线线面平行――→经过直线作或找平
面与平面相交的交线
线线平行.
第2课时 直线与平面平行的性质 答案
知识梳理
平行 相交 平行
??
???a ∥α
a ?ββ∩α=
b ?a ∥b
直线和直线 平行线
作业设计
1.平行或异面 2.平行或相交 3.② 4.平行
解析 ∵E 、F 分别是AA 1、BB 1的中点,∴EF ∥AB . 又AB ?平面EFGH ,EF ?平面EFGH , ∴AB ∥平面EFGH . 又AB ?平面ABCD ,
平面ABCD ∩平面EFGH =GH , ∴AB ∥GH . 5.0或1
解析 设这n 条直线的交点为P ,则点P 不在直线a 上,那么直线a 和点P 确定一个平面β,则点P 既在平面α内又在平面β内,则平面α与平面β相交,设交线为直线b ,则直线b 过点P .又直线a ∥平面α,则a ∥b .很明显这样作出的直线b 有且只有一条,那么直线b 可能在这n 条直线中,也可能不在,即这n 条直线中与直线a 平行的直线至多有一条.
6.①
解析 ∵l 1∥l 2,l 2?γ,l 1?γ, ∴l 1∥γ.
又l 1?β,β∩γ=l 3, ∴l 1∥l 3
∴l 1∥l 3∥l 2.
7.①②?③(或①③?②)
解析 设过m 的平面β与α交于l . ∵m ∥α,∴m ∥l ,∵m ∥n ,∴n ∥l , ∵n ?α,l ?α,∴n ∥α. 8.223 a
解析 ∵MN ∥平面AC ,平面PMN ∩平面AC =PQ ,
∴MN ∥PQ ,易知DP =DQ =2a
3,
故PQ =PD 2+DQ 2=2DP =22a
3. 9.m ∶n
解析 ∵AC ∥平面EFGH ,∴EF ∥AC ,GH ∥AC ,
∴EF =HG =m·BE BA ,同理EH =FG =n·AE
AB .
∵EFGH 是菱形,∴m·BE BA =n·AE
AB , ∴AE ∶EB =m ∶n .
10.证明 如图所示,连结AC 交BD 于O ,连结MO , ∵ABCD 是平行四边形,
∴O 是AC 中点, 又M 是PC 的中点, ∴AP ∥OM .
根据直线和平面平行的判定定理, 则有PA ∥平面BMD .
∵平面PAHG ∩平面BMD =GH , 根据直线和平面平行的性质定理, ∴PA ∥GH .
11.证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形, ∴EF ∥GH .
又GH ?平面BCD ,EF ?平面BCD . ∴EF ∥平面BCD .
而平面ACD ∩平面BCD =CD ,EF ?平面ACD , ∴EF ∥CD .
而EF ?平面EFGH ,CD ?平面EFGH , ∴CD ∥平面EFGH . 12.①③
13.(1)证明 因为BC ∥AD ,AD ?平面PAD , BC ?平面PAD ,所以BC ∥平面PAD .
又平面PAD ∩平面PBC =l ,BC ?平面PBC , 所以BC ∥l .
(2)解MN∥平面PAD.
证明如下:
如图所示,取DC的中点Q.
连结MQ、NQ.
因为N为PC中点,
所以NQ∥PD.
因为PD?平面PAD,NQ?平面PAD,所以NQ∥平面PAD.同理MQ∥平面PAD.
又NQ?平面MNQ,MQ?平面MNQ,
NQ∩MQ=Q,所以平面MNQ∥平面PAD.
所以MN∥平面PAD.
第3课时直线与平面垂直的判定
【课时目标】1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用.
1.如果直线a与平面α内的__________________,我们就说直线a与平面α互相垂直,记作:________.
图形如图所示.
2.从平面外一点引平面的垂线,这个点和________间的距离,叫做这个点到这个平面的距离.
3.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直,那么这条直线______于这个平面.图形表示:
用符号表示为:___________________________________________________________ ___.
一、选择题
1.下列命题中正确的是________(填序号).
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α;
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线;
④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂直.
2.直线a⊥直线b,b⊥平面β,则a与β的关系是________.3.若a、b、c表示直线,α表示平面,下列条件中能使a⊥α为________.(填序号)
①a⊥b,b⊥c,b?α,c?α;②a⊥b,b∥α;
③a∩b=A,b?α,a⊥b;④a∥b,b⊥α.
4.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P?α,PB⊥α,C 是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC的形状为__________三角形.
5.如图①所示,在正方形SG1G2G3中,E、F分别是边G1G2、G2G3的中点,D是EF的中点,现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图②使G1、G2、G3三点重合于一点G),则下列结论中成立的有________(填序号).
①SG⊥面EFG;②SD⊥面EFG;③GF⊥面SEF;
④GD⊥面SEF.
6.△ABC的三条边长分别是5、12、13,点P到三点的距离都等于7,那么P到平面ABC的距离为___________________________________________________________ _______.
7.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
8.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件______时,有AB1⊥BC1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).
9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN=________.
二、解答题
10.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是棱B1C1、B1B的中点.求证:CF⊥平面EAB.
11.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,侧
棱PA垂直于底面,E、F分别是AB,PC的中点,PA=AD.求证:(1)CD⊥PD;
(2)EF⊥平面PCD.
能力提升
12.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,O为ABCD的中心,求证B1O⊥平面PAC.
13.如图所示,△ABC中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABC,过点A向SC和SB引垂线,垂足分别是P、Q,求证:(1)AQ⊥平面SBC;
(2)PQ⊥SC.
1.直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义. (2)利用线面垂直的判定定理.
(3)利用下面两个结论:①若a ∥b ,a ⊥α,则b ⊥α;②若α∥β,a ⊥α,则a ⊥β.
2.在线面垂直的问题中,通过直线与直线垂直,可以证明直线与平面垂直;直线与平面垂直后,直线和平面内的任何直线都垂直.这样,就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的思维形式,它对解题方法、策略乃至人们的思维,无疑都是一种提示.
第3课时 直线与平面垂直的判定 答案
知识梳理
1.任意一条直线都垂直 a ⊥α 2.垂足
3.相交 垂直 m ,n ?α,m ∩n =O ,l ⊥m ,l ⊥n ?l ⊥α 作业设计
1.④ 2.a ?β或a ∥β 3.④ 4.直角
解析 易证AC ⊥面PBC ,所以AC ⊥BC . 5.① 6.32 3
解析 由P 到三个顶点距离相等.可知,P 为△ABC 的外心,又△ABC 为直角三角形,∴P 到平面ABC 的距离为h =PD =
72
-? ????1322=323.
7.4
解析
?
???
?PA ⊥平面ABC BC ?平面ABC ?
?
???
?PA ⊥BC AC ⊥BC ?BC ⊥平面PAC ?BC ⊥PC ,
∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC . 8.∠A 1C 1B 1=90° 解析
如图所示,连结B 1C ,
由BC =CC 1,可得BC 1⊥B 1C ,
因此,要证AB 1⊥BC 1,则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ,
即只要证AC ⊥BC 1即可,由直三棱柱可知,只要证AC ⊥BC 即可.
因为A 1C 1∥AC ,B 1C 1∥BC , 故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可.
(或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件,如∠A 1C 1B 1=90°等) 9.90°
解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1, ∴B 1C 1⊥MN . 又∵MN ⊥B 1M , ∴MN ⊥面C 1B 1M , ∴MN ⊥C 1M . ∴∠C 1MN =90°.
10.证明 在平面B 1BCC 1中, ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点, ∴△BB 1E ≌△CBF , ∴∠B 1BE =∠BCF , ∴∠BCF +∠EBC =90°,∴CF ⊥BE ,
又AB ⊥平面B 1BCC 1,CF ?平面B 1BCC 1,
∴AB ⊥CF ,AB ∩BE =B ,∴CF ⊥平面EAB . 11.证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD , ∴CD ⊥PA .
又矩形ABCD 中,CD ⊥AD ,且AD ∩PA =A , ∴CD ⊥平面PAD , ∴CD ⊥PD .
(2)取PD 的中点G ,连结AG ,FG .又∵G 、F 分别是PD ,PC 的中点,
∴GF 綊1
2CD ,∴GF 綊AE ,
∴四边形AEFG 是平行四边形,∴AG ∥EF . ∵PA =AD ,G 是PD 的中点, ∴AG ⊥PD ,∴EF ⊥PD ,
∵CD ⊥平面PAD ,AG ?平面PAD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .
∵PD ∩CD =D ,∴EF ⊥平面PCD .
12.证明 连结AB 1,CB 1,设AB =1. ∴AB 1=CB 1=2,
∵AO =CO ,∴B 1O ⊥AC . 连结PB 1.
∵OB 21=OB 2+BB 2
1=32,
PB 21=PD 21+B 1D 2
1=94,
OP 2=PD 2+DO 2=3
4,
∴OB 21+OP 2=PB 2
1. ∴B 1O ⊥PO ,
又∵PO ∩AC =O ,
∴B1O⊥平面PAC.
13.证明(1)∵SA⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴SA⊥BC.
又∵BC⊥AB,SA∩AB=A,
∴BC⊥平面SAB.
又∵AQ?平面SAB,
∴BC⊥AQ.又∵AQ⊥SB,BC∩SB=B,
∴AQ⊥平面SBC.
(2)∵AQ⊥平面SBC,SC?平面SBC,
∴AQ⊥SC.
又∵AP⊥SC,AQ∩AP=A,
∴SC⊥平面APQ.
∵PQ?平面APQ,∴PQ⊥SC.
第4课时直线与平面垂直的性质
【课时目标】1.掌握直线与平面垂直的性质定理.2.会求直线与平面所成的角.
1.直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线________.
该定理用图形表示为:
用符号表示为:________________________.
2.直线和平面的距离:一条直线和一个平面________,这条直线上______________到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.
3.平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面______________.
规定:若直线与平面垂直,则直线与平面所成的角是________.若直线与平面平行或直线在平面内,则直线与平面所成的角是________的角.
一、填空题
1.与两条异面直线同时垂直的平面有________个.
2.若m 、n 表示直线,α表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为________.
① ?????m ∥n m ⊥α?n ⊥α; ② ????
?m ⊥αn ⊥α?m ∥n ; ③
?????m ⊥αn ∥α?m ⊥n ; ④
?
???
?m ∥αm ⊥n ?n ⊥α. 3.已知直线PG ⊥平面α于G ,直线EF ?α,且PF ⊥EF 于F ,那么线段PE ,PF ,PG 的大小关系是______________.
4.PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面,C 为圆上异于A ,B 的任一点,则下列关系正确的是________(填序号).
①PA ⊥BC ;
②BC ⊥平面PAC ; ③AC ⊥PB ; ④PC ⊥BC .
5.P 为△ABC 所在平面外一点,O 为P 在平面ABC 内的射影. (1)若P 到△ABC 三边距离相等,且O 在△ABC 的内部,则O 是△ABC 的________心;
(2)若PA ⊥BC ,PB ⊥AC ,则O 是△ABC 的______心;
(3)若PA ,PB ,PC 与底面所成的角相等,则O 是△ABC 的________心.
6.线段AB 在平面α的同侧,A 、B 到α的距离分别为3和5,则AB 的中点到α的距离为________.
7.直线a 和b 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内,使a ∥b 成立的条件是________.(只填序号)
①a 和b 垂直于正方体的同一个面;②a 和b 在正方体两个相对的面内,且共面;③a 和b 平行于同一条棱;④a 和b 在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直.
8.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,
(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________;
高中数学必修2立体几何测试题及答案(一)一,选择(共80分,每小题4分) 1,三个平面可将空间分成n个部分,n的取值为() A,4;B,4,6;C,4,6,7 ;D,4,6,7,8。 2,两条不相交的空间直线a、b,必存在平面α,使得() A,a?α、b?α;B,a?α、b∥α;C,a⊥α、b⊥α;D,a?α、b⊥α。 3,若p是两条异面直线a、b外的任意一点,则() A,过点p有且只有一条直线与a、b都平行;B,过点p有且只有一条直线与a、b都垂直;C,过点p有且只有一条直线与a、b都相交;D,过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4,与空间不共面四点距离相等的平面有()个 A,3 ;B,5 ;C,7;D,4。 5,有空间四点共面但不共线,那么这四点中() A,必有三点共线;B,至少有三点共线;C,必有三点不共线;D,不可能有三点共线。 6,过直线外两点,作与该直线平行的平面,这样的平面可有()个 A,0;B,1;C,无数;D,涵盖上三种情况。 7,用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形,则() A,3≤n≤6 ;B,2≤n≤5 ;C,n=4;D,上三种情况都不对。 8,a、b为异面直线,那么() A,必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b;B,过直线b 存在唯一的一个平面与a平行;C,必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b;D,过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9,a、b为异面直线,p为空间不在a、b上的一点,下列命题正确的个数是() ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直;②过点p总可以作一条直线与a、b都相交;③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行;④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直;⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ,1; B ,2; C ,3; D ,4。 10,异面直线a 、b 所成的角为80°,p 为空间中的一定点,过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有( )条 A ,2; B ,3; C ,4; D ,6。 11,P 是△ABC 外的一点,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,PA=1、PB=2、PC=3,则△ABC 的 面积为( )平方单位 A ,25; B ,611; C ,27; D ,2 9。 12,空间四个排名两两相交,以其交线的个数为元素构成的集合是( ) A ,{2,3,4}; B ,{1,2,3,}; C ,{1,3,5}; D ,{1,4,6}。 13,空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1,点P 在AB 上移动 ,点Q 在CD 上移 动,点P 到点Q 的最短距离是( ) A ,21; B ,22; C ,23; D ,4 3。 14,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则P 到BC 的距离是( ) A ,45; B ,43; C ,25; D ,23。 15,已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) ①若m 垂直于α内的无数条直线,则m ⊥α;②若m 垂直于梯形的两腰,则m 垂直于梯形所 在的平面;③若n ∥α,m ?α,则n ∥m ;④若α∥β,m ?α,n ⊥β,则n ⊥m 。 A ,①②③; B ,②③④; C ,②④; D ,①③。 16,有一棱长为1的立方体,按任意方向正投影,其投影最大面积为( )
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
2020高考数学之立体几何解答題23題 一.解答题(共23小题) 1.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E为AB的中点. (Ⅰ)求证:AN∥平面MEC; (Ⅱ)在线段AM上是否存在点P,使二面角P﹣EC﹣D的大小为?若存在,求出AP的长h;若不存在,请说明理由. 2.如图,三棱柱中ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点,侧面A1ACC1为边长为2 的菱形,AC⊥CB,BC=1. (Ⅰ)证明:AC1⊥平面A1BC; (Ⅱ)求二面角B﹣A1C﹣B1的大小.
3.如图,已知四棱锥P﹣ABCD,PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°. (I)求点P到平面ABCD的距离, (II)求面APB与面CPB所成二面角的大小. 4.在正三棱锥P﹣ABC中,底面正△ABC的中心为O,D是PA的中点,PO=AB=2,求PB与平面BDC所成角的正弦值.
5.如图,正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点,H是EF的中点,过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1,已知. (1)求证:B1C1⊥平面OAH; (2)求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小. 6.如图,在三棱锥A﹣BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形. (1)求证:AD⊥BC. (2)求二面角B﹣AC﹣D的大小. (3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角?若存在,确定E的位置;若不存在,说明理由.
A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1.如图正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点, P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点, (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面; (2)若A 1C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线 2.已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β. 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系. ①求EF 和点G 的坐标; ②求异面直线EF 与AD 所成的角; ③求点C 到截面AEFG 的距离. 4. 如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD 平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ; (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小; (III )求二面角C-PA-B 的余弦值. 5. 如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B —AC —E 的余弦值. 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A
(Ⅰ)若P 为AC 的中点,M 为BB 1的中点,求证BP//平面AMC 1; (Ⅱ)若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο,试求BM 的长. 7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,BC =2. (1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 8. 已知:在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB = a ,AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1; (Ⅱ)求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值. 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,且60DAB ∠=,1AD AA =F 为 棱1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:直线MF //平面ABCD ; (Ⅱ)求证:直线MF ⊥平面11ACC A ; (Ⅲ)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体,P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点,满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E
2018年全国一卷(文科):9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3 D .2 18.如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点 D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ; (2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且2 3 BP DQ DA == ,求三棱锥Q ABP -的体积. 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点 P 的位置,且PF BF ⊥. (1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科: 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15 B . 5 C . 5 D . 2 20.如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC; --为30?,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(2)若点M在棱BC上,且二面角M PA C 全国3卷理科 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19.(12分) 如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直,M是?CD上异于C,D的点. (1)证明:平面AMD⊥平面BMC; (2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值. 2018年江苏理科: 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ .