教案1函数的定义域解析式值域最值(精)

(1函数定义

设A，B是非空的，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的一个数x，在集合B中都有的数f(x和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作

(2函数的定义域、值域

在函数y＝f(x，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合{f(x|x∈A}叫做函数的显然，值域是集合B的子集．

基本初等函数的值域

(1y＝kx＋b(k≠0的值域为 .

(2y＝ax2＋bx＋c(a≠0的值域是当a>0时，值域为；当a<0时，值域为 .

(3y＝(k≠0的值域是．

(4y＝a x(a>0，且a≠1的值域是

(5y＝log a x(a>0，且a≠1的值域是 .

(6y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域分别为 .

(3函数的三要素：、和

(4相等函数：如果两个函数的和完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

2．函数的表示法

表示函数的常用方法有：、、

3．映射的概念

两个集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的，记作f：A→B.

由映射的定义可以看出，映射是概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是

5．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是函数.

典例精讲

题型一：对映射的理解

[例1](理设集合M＝{－1,0,1}，N＝{－2，－1,0,1,2}，如果从M到N的映射φ满足条件：对M中的每个元素ξ与它在N中的象φ(ξ的和都为奇数，则映射φ的个数是(

A．8个 B．12个 C．16个 D．18个

变式1在给定的映射f：(x，y→(2x＋y，xy(x，y∈R作用下，点(，－的原象是( A．(，－ B．(，－或(－， C．(，－ D．(，－或(－，

2设A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,7,15,31,33}，下列的对应法则f能构成从A到B的映射的是( A．f：x→x2＋x＋1B．f：x→x＋(x－12 C．f：x→2x－1－1 D．f：x→2x－1

3．集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.

[答案] D B D 9 8

题型二：判断两个函数是否相同

[例2]试判断以下各组函数是否表示同一函数？

(1f(x＝，g(x＝； (2f(x＝，g(x＝

(3f(x＝，g(x＝(2n－1(n∈N＋； (4f(x＝，g(x＝.

（5），

(教材改编题下列各组函数中是同一函数的是(

A．y＝与y＝1 B．y＝与y＝x0 C．y＝|x－1|与y＝ D．y＝|x|＋|x－1|与y＝2x－1 变式：(理下列四组函数，表示同一函数的是(

A．f(x＝log a a x，g(x＝a log a x(a>0，a≠1 B．f(x＝(2，g(x＝

C．f(x＝2x－1(x∈R，g(x＝2x－1(x∈Z D．f(x＝，g(t＝

[答案]NNYN B D

题型三：求函数的定义域

[例3](1求函数f(x＝的定义域．

(2已知函数f(x的定义域为[0,1]，求下列函数的定义域：①f(x2；②f(－1．

(3已知函数f [lg(x＋1]的定义域是[0,9]，求函数f(2x的定义域．

变式：求下列函数的定义域．

(1y＝＋；

(2y＝＋(5x－40；

(3(理设函数f(x＝ln，求函数g(x＝f＋f的定义域．

答案：1(－∞，－2∪(－2，－1]∪[1,2∪(2，＋∞ 2 ∪∪. 3(－2，－1∪(1,2

题型四：求函数的值域

1．求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数

，可变为解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数

就是利用函数和的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域

由得，若，则得，所以是

函数值域中的一个值；若，则由得

，故所求值域是

（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为

，而，所以，故

（5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域

当时，；当时，，若，则

若，则，从而得所求值域是

（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域

因，故函数在上递减、在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。

（8）三角代换法：形如y＝x＋的，设x＝sint，－δtδ，则y＝x＋化为y＝sint＋cost＝sin(t＋．[例4]求下列函数的值域

（1）y＝2x2＋x(2y＝|x－1|＋|x＋4| (3y＝(4y＝2x＋4(5y＝x－

(6y＝x5－5x4＋5x3＋2，x∈[－1,2]

[解析](1采用配方法∵y＝2x2＋x＝22－≥－∴函数y＝2x2＋x的值域是

(2解法1：(图像法y＝

画图像如下

从图像可知：y≥5，即值域为[5，＋∞．

解法2：(单调性法

当x≤－4时，y＝－2x－3为减函数，∴y≥－2×(－4－3＝5，

当－4

当x≥1时，y＝2x＋3为增函数，∴y≥2×1＋3＝5.

综上可知，函数值域为{y|y≥5}．

(3解法1：(反函数法

∵y＝的反函数为y＝，其定义域为{x|x≠2}，∴原函数的值域是{y|y∈R且y≠2}．

解法2：(分离常数法∵y＝＝＝2＋，其中≠0，

∴y＝的值域是(－∞，2∪(2，＋∞．

(4采用换元法．

设t＝≥0，则x＝1－t2，于是y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－12＋4(t≥0，故可知y∈(－∞，4]．

(5利用三角代换法．

因为|x|≤1，所以设x＝cosθ，θ∈[0，π]，则y＝cosθ－sinθ＝cos.∵θ∈[0，π]，∴≤θ＋≤，

于是－1≤cos≤，即得知－≤y≤1.∴函数的值域为[－，1]．

(6导数法．

y′＝5x4－20x3＋15x2，令y′＝0，得5x4－20x3＋15x2＝0，即5x2(x－3(x－1＝0，∴x1＝0，x2＝1，x3＝3.

由于x3?[－1,2]，所以只要比较f(0，f(1，f(－1，f(2．由解析式可知：f(x最大值为3，最小值为－9.

故值域为[－9,3]．

变式：求下列函数的值域．

(1y＝4－；(2y＝2x＋；(4y＝；(5y＝；(6y＝.

[解析](1(配方法：由3＋2x－x2≥0，得－1≤x≤3.∵y＝4－，

∴当x＝1时，y min＝2.当x＝－1或3时，y max＝4.∴函数值域为[2,4]

(2(换元法：令t＝(t≥0，则x＝∴y＝－t2＋t＋1＝－(t－2＋(t≥0

∵当t＝即x＝时，y max＝，无最小值．∴函数值域为(－∞，]

(4解法1：(分离常数法：f(x＝＝－1，因为1＋2x＞1,0＜＜2，所以－1＜－1＜1，故所求值域为(－1,1．

解法2：(利用反函数法：由y＝得2x＝＞0，所以y∈(－1,1．

(5(判别式法由y＝变形得(y－1x2－(y－1x＋y－3＝0当y＝1时，此方程无解；

当y≠1时，∵x∈R∴Δ＝(y－12－4(y－1(y－3≥0解得1≤y≤，又∵y≠1 ∴1＜y≤.

故函数的值域为{y|1＜y≤}．

(6(利用三角函数有界性由y＝，解得sinx＝，∵－1≤sinx≤1，∴－1≤≤1.

[例4]已知函数，若恒成立，求

的值域

[解题思路]应先由已知条件确定取值范围，然后再将中的绝对值化去之后求值域

[解析]依题意，恒成立，则，解得，

所以，从而，

，所以的值域是

变式：1．定义在上的函数的值域为，则函数的值域为(

A．；B．；C．；D．无法确定

[解析] B；函数的图象可以视为函数的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的

2．若函数的值域是，则函数的值域是

[解析] ；可以视为以为变量的函数，令，则

，所以，在上是减函数，在上是增函数，故的最大值是，最小值是2。

题型五：求函数的解析式

[例5](1已知f＝x3＋，求f(x；

(2已知f＝lgx，求f(x；

(3已知f(x是一次函数，且满足3f(x＋1－2f(x－1＝2x＋17，求f(x；

(4已知f(x满足2f(x＋f＝3x，求f(x．

[点评]求函数解析式的常用方法有：(1代入法，用g(x代入f(x中的x，即得到f[g(x]的解析式；(2拼凑法，对f[g(x]的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x表示出来，再用x代替两边的所有“g(x”即可；(3换元法，设t＝g(x，解出x，代入f[g(x]，得f(t的解析式即可；(4待定系数法，若已知f(x的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；(5赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式．

变式：据已知条件求解析式．

(1f(＋1＝x＋2，试求f(x解析式；

(2f(x为二次函数且f(0＝3，f(x＋2－f(x＝4x＋2.试求出f(x的解析式．

[分析](1对＋1换元．(2设f(x＝ax2＋bx＋c.

答案：1 f(x＝x2－1，x∈[1，＋∞ 2f(x＝x2－x＋3

题型六：分段函数及其应用

[例6]甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km与时间x(分的关系．试写出y＝f(x的函数解析式．

变式：1设f(x＝则f[f(－1]＝________.

2(理设函数f(x＝，则使得f(x≥1的自变量x的取值范围为(

A．(－∞，－2]∪[0,10] B．(－∞，－2]∪[0,1] C．(－∞，－2]∪[1,10] D．[－2,0]∪[1,10]

[答案]－ A

题型七：实际问题中的应用

[例7] 已知扇形周长为10cm，求扇形半径r与扇形面积S的函数关系S＝f(r，并确定其定义域．

答案：.

1．函数的单调性

(1单调函数的定义

设函数f(x的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

①若，则f(x在上是增函数；

②若，则f(x在上是减函数．

2.对函数单调性的理解

（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；

（2）函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即

；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；

（3）若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间上（）仅是为区间上的增函数（减函数）的充分不必要条件。

（4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明在某区间上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。但是要

注意，不能用区间上的两个特殊值来代替。而要证明在某区间上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间上两个特殊的，，若

，有即可。如果用导数证明在某区间上递增或递减，那么就证明在某区间上或。

（5）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即

内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和

3．判断函数单调性的方法

(1定义法：利用定义严格判断．

(2利用函数的运算性质：如若f(x、g(x为增函数，则

①f(x＋g(x为增函数；②为减函数(f(x>0；③为增函数(f(x≥0；

④f(x·g(x为增函数(f(x>0，g(x>0；⑤－f(x为减函数．

(3利用复合函数关系判断单调性．

法则是“”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为

(4图像法．

(5奇函数在两个关于原点对称的区间上具有的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有的单调性．

(6导数法

①若f(x在某个区间内可导，当f′(x>0时，f(x为函数；当f′(x<0时，f(x为函数；

②若f(x在某个区间内可导，当f(x在该区间上递增时，则f′(x0；当f(x在该区间上递减时，则f′(x 0.

4．函数的最值的求法

（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。

（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。

（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。

（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法

（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。

典例精讲i

题型一：求函数的单调区间

[例2](文求出下列函数的单调区间：

(1f(x＝|x2－4x＋3|； (2f(x＝log2(x2－1．

[分析]注意(1函数含有绝对值，故可将其转化为分段函数并作出图像求解；(2中的函数为函数y＝log2u，

u＝x2－1的复合函数，要注意其定义域．

答案1函数的增区间为[1,2]，(3，＋∞，减区间为(－∞，1，(2,3]

2f(x＝log2(x2－1的单调增区间是(1，＋∞，单调减区间是(－∞，－1

(理求下列函数的单调区间，并指出其增减性．

(1y＝a1－x2(a>0，且a≠1； (2y＝log(4x－x2．

(2[分析]利用复合函数的判别方法判断该类题目．

(1的复合关系为y＝at，t＝1－x2；(2的复合关系为y＝log t，t＝4x－x2.

[解析](1令t＝1－x2，则t＝1－x2的递减区间是[0，＋∞，递增区间是(－∞，0]．

又当a>1时，y＝at在(－∞，＋∞上是增函数；

当0

∴当a>1时，函数的单调减区间是[0，＋∞，单调增区间是(－∞，0]；

当0

(2由4x－x2>0，得函数的定义域是(0,4．令t＝4x－x2，

∵t＝4x－x2＝－(x－22＋4，

∴t＝4x－x2的递减区间是[2,4，递增区间是(0,2]．

又y＝log t在(0，＋∞上是减函数，

∴函数的单调减区间是(0,2]，单调增区间是[2,4．

变式：求下列函数的单调区间．

(1f(x＝－x2＋2|x|＋3； (2f(x＝log2(6＋x－2x2； (3f(x＝x＋.

[分析](1去绝对值号，转化为二次函数求解或画出函数图像求解；(2利用复合函数单调性判定法则“同增异减”求解；(3利用导数法求解．

[解析](1方法一：∵f(x＝

∴由二次函数性质知f(x的增区间是(－∞，－1]和[0,1]；减区间是[－1,0]和[1，＋∞．(2由6＋x－2x2>0，得函数f(x的定义域为.

令u＝6＋x－2x2，则函数u在上为增函数，在上为减函数．

又∵y＝log2u在(0，＋∞上为增函数，

∴函数f(x的增区间是，减区间是.

(3函数f(x的定义域为{x|x≠0}．

f′(x＝1－＝.

令f′(x>0，得x<－3或x>3；

令f′(x<0，得－3

∴f(x的增区间是(－∞，－3]和[3，＋∞，减区间是(－3,0和(0,3．

题型二：函数单调性的判断与证明

[例3]讨论函数f(x＝(a>0的单调性．

[分析]可根据定义，先设－1

[解析]∵f(x＝＝＝a＋，∴函数的定义域为{x|x≠1}．

方法一：(定义法任取x1，x2∈R，且x1，x2均不为1，x1

则f(x1－f(x2＝－＝＝.

①当x10，a>0，∴f(x1－f(x2>0，即f(x1>f(x2．

②当10，x1－1>0，x2－x1>0，a>0，∴f(x1－f(x2>0，即f(x1>f(x2．∴函数f(x在(－∞，1和(1，＋∞上均为减函数．

变式：用函数单调性的定义证明：f(x＝a x＋a－x(a>0，且a≠1在(0，＋∞上是增函数．

[分析]由单调性定义直接证明．

[证明]任取x1，x2∈(0，＋∞，且x1

f(x2－f(x1＝(a x2＋a－x2－(a x1＋a－x1＝(a x2－a x1＋(a－x2－a－x1＝a x2－a x1＋＝，

∵00，∴a x1＋x2>0，

(1当a>1时，a x2>a x1，a x2－a x1>0，a x1＋x2＞a0＝1，a x1＋x2－1>0，∴f(x2－

f(x1>0，f(x2>f(x1．

(2当0

f(x1>0，f(x2>f(x1．

综上所述，对于任何a>0且a≠1，均有f(x2>f(x1．∴f(x在(0，＋∞上是增函数．

题型三：抽象函数的单调性

[例4] 定义在R上的函数y＝f(x，f(0≠0，当x>0时，f(x>1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b ＝f(a·f(b．

(1证明：f(0＝1；(2证明：对任意的x∈R，恒有f(x>0；(3证明：f(x是R上的增函数；

(4若f(x·f(2x－x2>1，求x的取值范围．

[解析](1证明：令a＝b＝0，则f(0＝f2(0．又f(0≠0，∴f(0＝1.

(2证明：当x<0时，－x>0，∴f(0＝f(x－x＝f(x·f(－x＝1.∴f(－x＝>0.又x≥0时

f(x≥1>0，

∴x∈R时，恒有f(x>0.

(3证明：设x10.∴f(x2＝f(x2－x1＋x1＝f(x2－x1·f(x1．∵x2－x1>0，∴f(x2－x1>1.

又f(x1>0，∴f(x2－x1·f(x1>f(x1．∴f(x2>f(x1．∴f(x是R上的增函数．

(4解：由f(x·f(2x－x2>1，f(0＝1得f(3x－x2>f(0．又f(x是R上的增函数，∴3x－

x2>0.∴0

[点评]解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是(3中“f(x2＝f[(x2－x1＋x1]”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略．(3也可以设x2＝x1＋t(t>0，f(x2＝f(x1＋t＝

f(x1·f(t>f(x1；或者设x11，又f(x1、f(x2>0.故f(x2>f(x1．

变式：已知定义在区间(0，＋∞上的函数f(x满足f＝f(x1－f(x2，且当x>1时，f(x<0.

(1求f(1的值；(2判断f(x的单调性；(3若f(3＝－1，解不等式f(|x|<－2.

[分析]当x1＝x2时，由f可产生f(1；欲讨论f(x单调性，须比较f(x1－f(x2与0的大小，即f与0的大小，为此须利用条件x>1时，f(x<0，即>1时，f<0；欲解不等式f(|x|<－2，须考虑应用单调性脱去“f”，故须把－2化为函数值，这须由f＝f(x1－f(x2，赋值产生

f(x0＝－2.

[解析](1令x1＝x2>0，代入得f(1＝f＝f(x1－f(x1＝0，故f(1＝0.

(2任取x1，x2∈(0，＋∞，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x<0，所以f<0，即f(x1－

f(x2<0，因此f(x1

(3由f＝f(x1－f(x2得f＝f(9－f(3，而f(3＝－1，所以f(9＝－2.由于函数f(x在区间(0，＋∞上是单调递减函数，所以当x>0时，由f(|x|<－2得f(x9；当x<0时，由f(|x|<－2

得f(－x9，故x<－9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}.

题型四：单调性与最值

[例5]函数f(x＝2x－的定义域为(0,1](a为实数．

(1当a＝－1时，求函数y＝f(x的值域；

(2若函数y＝f(x在定义域上是减函数，求a的取值范围；

(3函数y＝f(x在x∈(0,1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．

[解析](1显然函数y＝f(x的值域为[2，＋∞；

(2若函数y＝f(x在定义域上是减函数，

则任取x1，x2∈(0,1]且x1f(x2成立，即(x1－x2>0，只要a<－2x1x2即可，

由x1，x2∈(0,1]，故－2x1x2∈(－2,0，所以a≤－2，故a的取值范围是(－∞，－2]；或用导数来判断．

(3当a≥0时，函数y＝f(x在(0,1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；

由(2得当a≤－2时，函数y＝f(x在(0,1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；

当－2

当x＝时取得最小值2.

变式：已知函数f(x＝－(a>0，x>0

(1求证：f(x在(0，＋∞上是单调递增函数；(2若f(x在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．

[解析](1证明：设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0.

f(x2－f(x1＝(－－(－＝－＝>0∴f(x2>f(x1，∴f(x在(0，＋∞上是单调递增函数．

(2解：f(x在[，2]上的值域是[，2]，又f(x在[，2]上单调递增，∴f(＝，f(2＝2.

∴，∴a＝.

一、选择题

1．(2011·福建，8已知函数f(x＝若f(a＋f(1＝0，则实数a的值等于(

A．－3 B．－1 C．1 D．3

[答案]A[解析]本题考查分段函数求值．∵f(1＝21＝2，∴由f(a＋f(1＝0知f(a＝－2.

当a>0时2a＝－2不成立．当a<0时a＋1＝－2，a＝－3.

2．(理如图所示，单位圆中弧的长为x，f(x表示弧与弦AB所围成的弓形(阴影部分面积的2倍，则函数y＝f(x的图像是(

[答案]D[解析]如图所示，设∠AOB＝θ，则x＝θ.则弓形面积＝S扇形－S△AOB

＝x×1－2×sincos＝(x－sinθ＝(x－sinx．

当x∈[0，π]时，sinx≥0，则x－sinx≤x，其图像位于y＝x下方．

当x∈(π，2π]时，sinx≤0，则x－sinx≥x，其图像位于y＝x上方．

所以只有D项符合题意．

二、填空题

3．(理已知f(x＝，定义f n(x＝f(f n－1(x，其中f1(x＝f(x，则f2013＝________.

[答案][解析]依次计算：f1＝，f2＝，f3＝，f4＝，f5＝，f6＝，

f7＝，可知f n的最小正周期为6，即得f n＋6＝f n，所以f2013＝f3＝.

[点评]该题考查分段函数的知识，解题的关键是发现函数具有周期性，再将f2013转化为f3即可．

4．(理(2011，四川理，16函数f(x的定义域为A，若x1，x2∈A，且f(x1＝f(x2时总有x1＝x2，则称f(x为单函数．例如，函数f(x＝2x＋1(x∈R是单函数，下列命题：

①函数f(x＝x2(x∈R是单函数；②若f(x为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1≠f(x2；

③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；

④函数f(x在某区间上具有单调性，则f(x一定是单函数．

其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号

[答案]②③

[解析]当f(x＝x2时，不妨设f(x1＝f(x2＝4，有x1＝2，x2＝－2，此时x1≠x2，故①不正确；由f(x1＝f(x2时总有x1＝x2可知，当x1≠x2时，f(x1≠f(x2，故②正确；若b∈B，b有两个原象时，不妨设为a1，a2，可知a1≠a2，但f(a1＝f(a2，与题中条件矛盾，故③正确；函

数f(x在某区间上具有单调性时在整定义域上不一定单调，因而f(x不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.

三、解答题

5．(理函数f(x的定义域为R，且满足下面两个条件：①存在x1≠x2，使f(x1≠f(x2；②对任意的x、y∈R，有f(x＋y＝f(x·f(y．(1求f(0；(2证明对任意的x、y∈R，f(x>0恒成立．

[解析](1∵f(0＋0＝f(0·f(0，∴f(0＝0或f(0＝1.若f(0＝0，则存在x≠0，使对任意的x∈R 有f(x＋0＝f(x·f(0＝0，即f(x＝0，与条件矛盾，∴f(0＝1.

(2f(x＝f＝2≥0，若存在x0使f(x0＝0，则对任意的x∈R，f(x＝f[(x－x0＋x0]＝f(x0·f(x－x0＝0，与条件矛盾，∴f(x>0恒成立．

6．已知二次函数f(x有两个零点0和－2，且f(x最小值是－1，函数g(x与f(x的图像关于原点对称．

(1求f(x和g(x的解析式；

(2若h(x＝f(x－λg(x在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

[解析](1依题意，设f(x＝ax(x＋2＝ax2＋2ax(a>0．f(x图像的对称轴是x＝－1，∴f(－1＝－1，

即a－2a＝－1，∴a＝1，∴f(x＝x2＋2x.

∵函数g(x的图像与f(x的图像关于原点对称，∴g(x＝－f(－x＝－x2＋2x.

(2由(1得h(x＝x2＋2x－λ(－x2＋2x＝(λ＋1x2＋2(1－λx.

①当λ＝－1时，h(x＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；

②当λ<－1时，h(x图像对称轴是x＝，则≥1，又λ<－1，解得λ<－1；

③当λ>－1时，同理需≤－1，又λ>－1，解得－1<λ≤0.

综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．

一、选择题

1．(理(2011·上海理，16下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞上单调递减的函数是(

A．y＝ln B．y＝x3 C．y＝2|x| D．y＝cos x

[答案]A[解析]对于A，∵f(－x＝ln＝ln＝f(x，定义域为{x|x≠0}，故是偶函数，且在(0，＋∞上单调递减，故A正确；y＝x3是奇函数；y＝2|x|是偶函数，但在(0，＋∞上单调递增；y＝cos x在(0，＋∞上不是单调函数，故B、C、D均错误．

2．定义在R上的函数f(x的图像关于x＝1对称，且当x≥1时，f(x＝3x－1，则有(

A．f

[答案]B[解析]∵f(x的图像关于x＝1对称，∴f＝f，f＝f.

又∵x≥1时，f(x＝3x－1为增函数，且<<，∴f

二、填空题

3．(2012·苏州模拟函数y＝的值域是________．

[答案]∪[1，＋∞[解析]由y＝，得cos x＝，且cos x≠－.

∵－1≤c os x≤1，∴－1≤≤1，且≠－，解得y≤或y≥1，∴原函数的值域为∪[1，＋∞．

4．(2012·南通检测已知函数f(x＝sin x＋5x，x∈(－1，1．如果f(1－a＋f(1－a2<0，则a的取值范围是______．

[答案]1

f(1－a＋f(1－a2<0，即f(1－a

三、解答题

5．(文求下列函数的值域：

(1y＝3x2－x＋2；(2y＝；(4y＝.

[解析](1(配方法∵y＝3x2－x＋2＝32＋≥，∴y＝3x2－x＋2的值域为.

(2(分离常数法y＝＝＝3＋，∵≠0，∴3＋≠3，

∴函数y＝的值域为{y∈R|y≠3}．

(4(数形结合法设动点M(cosx，sinx，定点P(2,1，则y＝的几何意义是直线PM的斜率．而动点M在单位圆x2＋y2＝1上．如图所示，当直线和圆相切时取得最值，k M1P ＝0，k M2P＝.∴函数的值域为.

(理(2011·上海理，20已知函数f(x＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足a·b≠0.

(1若ab>0，判断函数f(x的单调性；(2若ab<0，求f(x＋1>f(x时x的取值范围．

[分析](1讨论a与b的符号，然后直接利用增函数的和为增函数，减函数的和为减函数来判断．

(2讨论a>0，b<0或a<0，b>0两种情况，然后由f(x＋1>f(x变形得一个指数不等式，利用指数函数的单调性求解．

[解析](1当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R，x1

∵2 x1<2 x2，a>0?a(2 x1－2 x2<0,3 x1<3 x2，b>0?b(3 x1－3 x2<0，∴f(x1－f(x2<0，函数f(x在R上是增函数．

当a<0，b<0时，同理，函数f(x在R上是减函数．

(2f(x＋1－f(x＝a·2x＋2b·3x>0，

当a<0，b>0时，(x>－，则x>log1.5(－；当a>0，b<0时，(x<－，则x 1.5 ( －．

6．若f(x是定义在(0，＋∞上的增函数，且对于x>0满足f＝f(x－f(y．

(1求f(1的值；(2若f(6＝1，试求解不等式f(x＋3－f<2.

[解析](1令x＝y>0，则f(1＝f(x－f(x＝0.

求函数的定义域和值域的方法

解：求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一，已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ ， k ∈z ｝和余切函数y=cotx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠k π，k ∈z ｝等。 例题一 求下列函数的定义域： （1） y=2）0+㏒（x —2）x 2 （2） 解：（1）欲使函数有意义，须满足 2≠0 x —1≥0 x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞） x ≠0 （2） 由已知须满足 tanx ﹥0 解得： k π ﹤x ﹤2 k π π+ （k ∈z ） x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为（-π，2 π - ）∪（0， 2 π ）∪（π，4） 二，复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二（1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。 （2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。 （3）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。 （4）已知函数y=f （tan2x ）的定义域为〔0， 8 π 〕，求函数f （x ）的定义域。 分析：（1）是已知f （x ）的定义域，求f 〔g （x ）〕的定义域。其解法是：已知f

函数的定义域和值域

函数的定义域、值域 一、知识回顾 第一部分：函数的定义域 1.函数的概念： 设集合A 是一个非空的数集，对于A 中的任意一个数x ，按照确定的法则f ，都有唯一的确定的数y 与它对应，则这种关系叫做集合A 上的一个函数，记作()x f y =，(A x ∈)其中x 叫做自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域. 如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作)(a f y =或 a x y =，所有的函数值所构成的集合{} A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域. 2.定义域的理解： 使得函数有意义的自变量取值范围，实际问题还需要结合实际意义在确定自变量的范围，注意:定义域是个集合，所以在解答时要 用集合来表示. 3.区间表示法：设a ，R b ∈，且b a <. 满足b x a ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[]b a ,. 满足b x a <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作()b a ,. 满足b x a ≤<或b x a <≤的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，记作 (][)b a b a ,,或.b a 与叫做区间的端点，在数轴上表示时，包括端点时，用实心的点，不包括 时用空心点表示. 4.基本思想：使函数解析式有意义的x 的所有条件化为不等式，或不等式组的解集. 5.定义域的确定方法：保证函数有意义，或者符合规定，或满足实际意义. （1）分式的分母不为零. （2）偶次方根式的大于等于零. （3）对数数函数的真数大于零. （4）指数函数与对数函数的底大于零且不等于1. （5）正切函数的角的终边不能在y 轴上. （6）零次幂的底数不能为零.

高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

函数定义域与值域经典类型总结 练习题 含答案

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。

求函数的定义域与值域的常用方法完整版

求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。

函数的定义域和值域映射

函数定义域、值域、解析式、映射 知识点一：求各种类型函数的定义域 类型一: 含有分母和偶次方根 例1 求下列函数的定义域 1. y= 3102++x x 2. y = 类型二: 偶方根下有二次三项式 例2 求下列函数的定义域 1.. 1 ||1 42 -+-=x x y 2.2 3 568 4x x x y ---= 类型三:含有零次方和对数式 例3 求下列函数的定义域（用区间表示） （1）02 )23() 12lg(2)(x x x x x f -+--=； 练习:求下列函数的定义域 1. y=x x -||1 2. 122+--=x x y

3.()f x = 4.)13(log 2+=x y 5. 函数y ＝1122---x x 的取定义域是（ ） A.[－1，1] B.(][)+∞-?-∞-,11, C.[0，1] D.｛－1，1｝ 6. 求函数的定义域。 知识点二:抽象函数定义域 类型一:“已知f(x)，求f(…)”型 例1：已知f(x)的定义域是[0，5]，求f(x+1)的定义域。 类型二: “已知f(…) ，求f(x)”型 例2：已知f(x+1) 的定义域是[0，5]，求f(x)的定义域。 类型三: “已知f(…)，求f(…)”型 例3：已知f(x+2)的定义域为[-2，3），求f(4x-3)的定义域。 练习: 1、函数()f x 的定义域是[0，2]，则函数(2)f x +的定义域是 ___________. 2、已知函数()f x 的定义域是[-1，1]，则(2)(1)f x f x +++的定义域为 ___________.

定义域和值域的求法

定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

5、函数的定义域和值域答案

函数定义 映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →” 函数的概念 1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y =，A x ∈。 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性； 区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它． 例 函数y ＝x x 2 3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？ 练习 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 重点一：函数的定义域各种类型例题分析

函数的定义域和值域课件

函数的定义域和值域 学习目标： 1．了解构成函数的要素有定义域、对应法则和值域，会求一些简单函数的值域； 2．通过本节的学习，使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯； 活动方案 活动一（目标：理解函数定义域的概念，复习巩固上一节课的定义域的相关内容，并能 熟练求出一个给定的函数的定义域。） 题型一：简单函数的定义域 巩固检测1．求下列函数定义域： （1）()f x =； （2）21()1f x x = -； 小结：求简单函数的定义域时常考虑哪些因素？ 题型二：函数由两个及以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时的定义域 求下列函数的定义域： 巩固检测2．（1）y = （2）1()f x x = 小结：此种情况如何求定义域？ 题型三：复合函数的定义域 例1．（P24.5）若2 ()f x x x =- （1）此函数的输入值是谁？ （2）求(0),(1),(1)f f f x +； （3）函数(1)y f x =+的输入值又是谁？(2)y f x =呢？ 例2．求下列函数的定义域： （1）若()y f x =的定义域为]1,4?-?，则2()y f x =的定义域是 。 （2）若函数(1)y f x =+的定义域是]2,3?-?，则(21)y f x =-的定义域 是 。 活动二（目标：理解函数值域的概念，并能熟练准确地求出一个给定的函数的值域。） 阅读课本P23中间关于值域的内容，思考以下问题： （1）函数的值域是怎样定义的？ （2）函数的值域与定义中集B 有怎样的包含关系？ （3）函数的定义域、值域、对应法则称为函数的三要素，这三者之间的关系怎 样？

函数的定义域及值域

函数的定义域及值域 题型一 求函数的定义域 1. 已函数f(x)＝x x x -+0 )1(的定义域 2.函数 )3(log 1 3x y -= 的定义域为 3.函数x x y cos lg 252+-=的定义域为 __ 2.抽象函数定义域 1. 函数f(x 2)的定义域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域 2.设函数 的定义域是[0,1],求的定义域. 3.已知f(x 2)的定义域为[1,2]，则y=f()(log 2 1x 的定义域为_______. 3.定义域逆用 1. 已知函数y = 的定义域为R.求实数m 的取值范围； 2. 设f (x )=lg(x 2 －2x +a )的定义域为R ，求a 的取值范围； 3.设函数y = 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.

题型二 求函数的值域 1.求下列函数的值域: (1)y ＝ 2x －1 x ∈[1，3] (2) y ＝ －3x +1 x ∈[－1，2] (3)函数f(x)= ax + b x ∈[－1，1] 最大值为2,最小值为－4,求a,b 的值 2. 求下列函数的值域: ⑴y ＝x 2－5x ＋6 x ∈[－2，1] ⑵y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[1，3] ⑶y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[2，4] (4)y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[3，5] (5) f(x)= x 2－2ax －2 x ∈[－2，4] 3. x>0 4.函数y =x +x 21-的值域 5.若 求函数的取值范围. 6. 对于任意实数,设函数 是与中较小者,求的最大值 7.已知函数 的值域是,求的值.

求解函数定义域,值域,解析式讲义(精华版)

求解函数定义域、值域、解析式 【课堂笔记】 知识点一 定义域、值域的定义 在函数)(x f y =中，x 叫做自变量，x 的取值范围的集合A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的值y 叫作函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫作函数的值域。 下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。 （1）当函数是以解析式的形式给出的时候，其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。 （2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。 注意：（1）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，要注意逻辑连接词的恰当使用。 （2）定义域是一个集合，其结果可用集合或区间来表示。 （3）若函数)(x f 是整式型函数，则定义域为全体实数。 （4）若函数)(x f 是分式型函数，则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。 （5）若函数)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。 （6）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定。 （7）如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使其各部分有 意义的公共部分的集合。 （8）复合函数的定义域问题： ①若已知)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域可由不等式b x g a ≤≤)(解出； ②若已知))((x g f 的定义域为],[b a ，则函数)(x f 的定义域，即为当],[b a x ∈时函数)(x g 的值域。 【例1】求下列函数的定义域 （1）1+= x y （2）x y -= 21 （3）0)1(21-+-= x x y 【例2】 求下列函数的定义域 （1）x y ++ = 11 11； （2）1 42 --= x x y ；

函数定义域值域及表示

函数定义域值域及表示 (1)函数的概念 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有 意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意： 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无 关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) （2）区间的概念及表示法 设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足 a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的 集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．

函数定义域、值域、解析式习题及答案

一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+- （4） f(x)= 2 32--x x ； （5） ； （6）f(x)=1+x －x x -2； （7 ）0y = （8 ）223 y x x =+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、f(x)的定义域为[0,1]，求f(x ＋1)的定义域。 5、已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶31 1x y x -= + ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ （5 ）y x =（6）求函数y ＝－x 2 ＋4x －1 ，x ∈[-1,3) 的值域

三、求函数的解析式 1、已知函数 2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且 2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法） 5、已知函数f(x)满足1 ()2()f x f x x -=，求函数f(x)的解析式。（消去法） 6、已知()1f x x =+，求函数f(x)的解析式。 7、已知 2 2 11()11x x f x x --=++，求函数f(x)的解析式。 8、已知2 211()f x x x x +=+，求函数f(x)的解析式。 9、已知()2()1f x f x x +-=-，求函数f(x)的解析式。 10、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ 11、函数236x y x -= +的递减区间是

1 函数定义域和值域

第一讲 函数定义域和值域 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．函数f (x )＝x 21-的定义域是 （ A ） A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．（－∞，0） D ．（－∞，＋∞） 2．函数) 34(log 1 )(2 2-+-=x x x f 的定义域为 （A ） A ．（1，2）∪（2，3） B ．),3()1,(+∞?-∞ C ．（1，3） D ．[1，3] 3． 对于抛物线线x y 42=上的每一个点Q ，点()0,a P 都满足a PQ ≥，则a 的取值范围是 （ B ） A ．()0,∞- B ．(]2,∞- C ．[]2,0 D ．()2,0 4．已知)2(x f 的定义域为]2,0[，则)(log 2 x f 的定义域为 ]16,2[ 。 5． 不等式x x m 22 +≤对一切非零实数x 总成立 , 则m 的取值范围是 (,-∞__。 6． 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0) f f '的最小值为 。 52 ★★★高考要考什么 一、 函数定义域有两类：具体函数与抽象函数 具体函数：只要函数式有意义就行－－－解不等式组； 抽象函数：（1）已知)(x f 的定义域为D ，求)]([x g f 的定义域；（由D x g ∈)(求得x 的范围就是） （2）已知)]([x g f 的定义域为D ，求)(x f 的定义域；（D x ∈求出)(x g 的范围就是） 二、 函数值域（最值）的求法有： 直观法：图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围； 配方法：适合一元二次函数 反解法：有界量用y 来表示。如02 ≥x ，0>x a ，1sin ≤x 等等。如，2 211x x y +-= 。 换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围。注意三角换元的应用。

函数定义域值域习题及答案

复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)1 11y x x =+-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311 x y x -= + ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941 x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-

⑼ y = ⑽ 4y = ⑾y x =-6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数 ()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设 ()f x 是R 上的奇函数， 且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y = ⑶ 261y x x =-- 7、函数 ()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ）

函数的定义域和值域

1 函数的定义域和值域 要点梳理 1．常见基本初等函数的定义域 (1)函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)、y ＝sin x 、y ＝cos x 的定义域是R (2) y ＝log a x 的定义域是{x |x ＞0}或(0，＋∞)，y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠kπ＋π2 ，k ∈Z }． 求定义域方法：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为??????yy ≥4ac －b 24a ；当a ＜0时，值域为? ?????yy ≤4ac －b 24a .(3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]．(7)y ＝tan x 的值域是R . 求值域方法：(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常 数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b (a ≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法，(7)导数法，(8)利用基本不等式 典型例题 求函数的定义域 例1、函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3 的定义域为________． 例2、函数f (x )＝x 2 2－x －lg(x －1)的定义域是________． 例3、函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1 的定义域是________． 求函数的值域 例4、求下列函数的值域． (1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝1－x 21＋x 2； (3)y ＝x ＋4x (x ＜0)； (4)f (x )＝x －1－2x (5)y ＝log 3x ＋log x 3－1(x ＞1)． 例5、若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围

函数的图像定义域与值域

知识归纳和梳理： 一、函数图像的变换法则 由函数y f ( x )的图像变换到以下函数图像的法则 1) y f ( x)法则：关于y 轴对称 2) y f (x)法则：关于x 轴对称 3) y f ( x) 法则：关于原点对称 4) y(x) 法则：右边不变，左侧去掉，左边和右边对称 5) y f(x) 法则：上面不变，下面的图像对折上去 6) y(x a)(a0) 法则：左右 7) y(x) b(b0)法则：上下 二、函数的定义域求法 一般函数的定义域求法： 1. y n f (x) (n 为偶数) 则f(x) 0 11 2. y 则f(x) 0 特别y (n为偶数)则f (x) 0 f(x) n f (x) 抽象函数的定义域求法： 1. 若y f (x)的定义域为D ，则y f (g ( x))必须满足g(x) D . 2.若y f (g ( x))的定义域为D，则y f (x)的定义域即为y g(x)在D内的值域。 三、函数的值域求法(初级) : 1、利用基本初等函数的值域； 2、配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数)； 3、部分分式法、判别式法(分式函数) 4、换元法(无理函数) 第六讲函数的图像、定义域与值域

1 x 2 3x 4 典型例题】： 例 1. 画出下列函数的图像 4) y x 2 2x 3 5) y x 1 2x 2 例 2. 求下列函数的定义域 1) y 1 x x 3 1) y 1 x2 2) y 2x 6 x1 3) y x 2 2 x 3 经典练习 1： 画出下列函数的图像 （ 1） y 1 x1 2) y x x1 3) y 2x 3 x 1 2) f (x)

求函数的定义域与值域的常用方法

函数的定义域与值域的常用方法 （一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等； 4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域； 5、分段函数的定义域是各个区间的并集； 6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明； 7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（三）求函数的值域 1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示； 2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”； 3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集； 4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述； 5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集； 6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结； （四）求函数的最值 1、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（x o）＝M，则称当x＝x o时f（x）取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N； 2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题； 3、闭区间的连续函数必有最值。

函数的概念定义域和值域

函数的概念定义域和值域

函数的概念、表示、定义域和值域 一、复习回顾 1.设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ?且S B φ ≠的集合S 为 （A ）57 （B ）56 （C ）49 （D ）8 2.集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则)(T C S U 等 于 （A ）}{,,,1456 (B) }{,15 (C) }{4 (D) }{,,,,12345 3.已知全集U=R ，集合{}2 1 P x x =≤，那么U C P = A. (),1-∞- B. ()1,+∞ C. ()1,1- D. ()(),11,-∞-+∞ 4. 若a R ∈，则“2a =”是“(1)(2)0a a --=”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 C ．既不充分又不必要条件 5.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记

()b a b a b a --+=22,?，那么()0,=b a ?是a 与b 互补 A. 必要而不充分条件 B . 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 6.设{1,2}M =，2 {}N a =，则“1a =”是“N M ?”则 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 7．命题“若()f x 是奇函数，则()f x -是奇函数”的否命题是（ ）． Ａ．若()f x 偶函数，则()f x -是偶函数 Ｂ．若()f x 不是奇函数，则()f x -不是奇函数 Ｃ．若()f x -是奇函数，则()f x 是奇函数 Ｄ．若()f x -不是奇函数，则()f x 不是奇函数 二、知识梳理 1.函数的概念 ⑴定义：设A ，B 是_______，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集