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2019版高中数学小问题集中营专题4.1(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ在解题中的应用

2019版高中数学小问题集中营专题4.1（sin θ±cos θ）2＝1±2sin θcos

θ在解题中的应用

一、问题的提出

【2016高考新课标2理】若π3cos 45

α??-= ???,则sin 2α=（）. A.725 B.15 C.15- D.725

- 该题可以巧妙利用cos sin αα±，cos sin αα?的内在联系解题,而此类问题在高考中出现的频率比较高,且技巧性较强,容易出错。也充分反映了三角函数恒等变形的灵活性，下面我们就来探讨这一类问题的解法。

二、问题的探源

本题的解法：因为3cos 45πα??-=

???)3cos sin 5αα+=，

所以cos sin αα+=1871sin 2sin 22525αα+=?=-.故选D 。对于cos sin αα+，cos sin αα?，cos sin αα-这三个式子，利用2(cos sin )1sin 2ααα±=±

可“知一求二”。即运用2(cos sin )12sin cos αααα±=±解题时，若由sin α±cos α可得到sin αcos α,可通过平方实现；若由sin αcos α得到sin α±cos α，可通过开方实现，此时,应注意正负号的取舍,这种变形及应用在解题中应用非常广泛。此外利用这些变形还可以推出一些有用的变形；

(1)()()33

sin cos sin cos 1sin cos αααααα+=+-; (2)()244222222sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα+=+-=-;

(3) ()()6622422422sin cos sin cos sin sin cos cos 13sin cos αααααααααα+=+-+=-.

三、问题的佐证

【例1】已知1sin

cos 225αα-=，求sin α的值【解析】由1sin cos

225αα-=两边平方，易得11sin 25α-=.∴ 24sin 25

α=。【例2】已知7sin cos ,(0,)13θθθπ+=∈, （1）求tan θ的值.

（2）你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？

【解析】（1）法一；由7sin cos 13θθ+=两边平方，易得120sin 2169

θ=-.

∴ 2289(sin cos )1sin 2169

θθθ-=-=, 解方程组7sin cos 1317sin cos 13θθθθ?+=????-=??或12sin cos 1317sin cos ()13θθθθ?+=????-=-??

舍得12sin 135

cos 13θθ?=????=-??，12tan 5θ=-；法二：因为sin θ＋cos θ＝713,θ∈(0,π),所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169

, 所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系,知sin θ,cos θ是方程x 2－713x －60169

＝0的两根, 所以x 1＝1213,x 2＝－513.因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0.所以sin θ＝1213,cos θ＝－513

. 所以tan θ＝sin θcos θ＝－125

（2）此问题为开放型问题，问题设置可以是；求sin cos θθ-，sin(2)4πθ-

等等；

【例3】函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值为_________. 【解析】设)4sin(2cos sin π

+=+=x x x t ,则22≤≤-t .又21cos sin 2-=t x x , 那么1)1(2

121cos sin cos sin 22-+=-+=++=t t t x x x x y , 所以当2=t 时,y 有最大值2

12+.

【例4】求函数x

x x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期,最大值和最小值. 【解析】x x x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=221sin cos (1sin cos )(1sin cos )2(1sin cos )2(1sin cos )x x x x x x x x x x --+==--

12sin 41+=x . 所以函数)(x f 的最小正周期是π,最大值为

43,最小值为41. 四、问题的解决

1．已知sin cos αα-, α∈ ()0,π，则sin2α=( )

A. -1

B. D. 1 【答案】A

故选A

2．设02x π≤

A. 0x π≤≤

544x ππ≤≤ C. 744x ππ≤≤ D. 322x π≤≤ 【答案】B

sin cos sin cos x x x x =

=-=-， ∴02{ 0

x sinx cosx π≤<-≥，解得： 544x ππ≤≤故选：B 3．设θ为第二象限角,若1tan()42