浅析高考中的函数零点问题

高考中的函数零点问题

新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，函数的零点问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。

根据函数零点的定义：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点的横坐标?函数)(x f y =有零点。围绕三者之间的关系，在高考数学中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题；③利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题。下面我就以近三年高考试题为例加以剖析：

类型一：函数零点的分布

例1： (09天津)设函数1

()ln (0),3

f x x x x =

->则()y f x = A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。 B 在区间1

(,1),(1,)e e 内均无零点。

C 在区间1

(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。

D 在区间1

(,1)e

内无零点，在区间(1,)e 内有零点。

解析：解决零点的分布问题，主要依据零点的存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0.

),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。

由题得

()0131)1(,013,31)1(>+=<-==

e

e f e e f f ，所以

()

x f 在

()

e ,1又

x

x x x f 33

131)`(-=-=

，令0)`(>x f 得3>x ；令0)`(

??1,1e 内无零点，故选择D 。

变式：函数()x

x x f 9

lg -

=的零点所在的大致区间是（ ）

A ()2,1

B ()5,2

C ()10,5

D ()+∞,10 由零点的存在性定理：我们只需求得()091<-=f ，()0292lg 2<-

=f ，()05

9

5lg 5<-=f ，()010

9

110910lg 10>-=-

=f ，故选C. 类型二：函数零点的个数

例2：(2009山东)若函数f(x)=a x

-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .

解析：根据函数的零点与方程的根、函数图像三者之间的关系：方程0)(=x f 的实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标?函数)(x f y =的零点。我们可将上述函数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题。即：

,由图象可知当10<a 时,因为函数(1)x

y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a

=+所过的点（0，a ）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是}1|{>a a .

我们可将方法简单总结如下：

1、构造函数（依据：构造的两个函数我们能准确的做出它的图像）

设函数(0,x

y a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数f(x)=a x

-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点, 就是函数(0,x

y a a =>且1}a ≠与函数y x a =+有两个交点

2、通过图像描绘题意：

3、依图得条件——将形转化成数

当10<a 时（如图2）,因为函数(1)

x

y a a =>的图象过点

(0,1),而直线y x a =+所过的点（0，a ）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是}1|{>a a .

变式：（08湖北卷13）方程22

3x

x -+=的实数解的个数为 .

解析：由上述方法我们可将方程转化成3)2

1

(2

+-=x x

的解的个数，

令()()3,212+-=??

?

??=x x g x f x

从而将原题转化成函数()()x g y x f y ==,的交点个数，如图所示：

由图可知， 原方程有2个解。

类型三：两个函数图像的交点

例3：（2009陕西卷节选）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠，若()f x 在1x =-处取得极值，直线

y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。 解析：因为()f x 在1x =-处取得极大值， 所以'

2

(1)3(1)30, 1.f a a -=?--=∴= 所以()133

--=x x x f

令()()m x x m x f x h ---=-=133

则()332-='x x h ，由'()0f x =解得121,1x x =-=。 则()()x h x h x ,,'的变化如下表：

当-∞→x 时，()-∞→x f ；当+∞→x 时，()→x f

由上表可作出函数的草图：

由图像知，若直线y=m 与()y f x =则：()()?

?

?<--=>--=-0310

231m h m h 解得：13<<-m

变式：（1）若有两个交点呢？

则：()()??

?=--=>-=-031011m h m h 或()()???<--==-=-0

310

11m h m h

（2）若有一个交点呢？

()()?

?

?>--=>--=-0310

231m h m h 或()()??

?<--=<--=-0

310

231m h m h

因此，函数图像()()x g y x f y ==,的交点个数问题及方程根的个数问题可转化成函数的零点问题，步骤如下：

1、构造函数：()()()x g x f x h -=；

2、求极值；

3、作图；

4、依图通过极值列条件

上述例子剖析了近三年数学高考中函数零点问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的零点是等价的，这也正体现了数学中的“统一美”。