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2016年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)

2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}

2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3

3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）

A．B．C．D．

4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）

A．B．C．2 D．3

5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）

A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）

7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）

A．17πB．18πC．20πD．28π8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）

A．log

a c＜log

c B．log

a＜log

b C．a c＜b

c D．c a＞c b

9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）

A．B．

C．D．

10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）

A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x

11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A

的顶点A，α∥平面CB

，α∩平面

ABCD=m ，α∩平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为（） A ．

B ．

C ．

D ．

12．（5分）若函数f （x ）=x ﹣sin2x+asinx 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（） A ．[﹣1，1] B ．[﹣1，] C ．[﹣，] D ．[﹣1，﹣]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．（5分）设向量=（x ，x+1），=（1，2），且⊥，则x= ． 14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin （θ+

）=，则tan （θ﹣

）= ．

15．（5分）设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2﹣2ay ﹣2=0相交于A ，B 两点，若|AB|=2，

则圆C 的面积为．

16．（5分）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1=1，b 2=，a n b n+1+b n+1=nb n ．

（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求{b n }的前n 项和．

18．（12分）如图，已知正三棱锥P ﹣ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G ．

（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；

（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面

体PDEF的体积．

19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；

（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．

（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，曲线C

的参数方程为（t为参数，a＞0）．在

以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C

：ρ=4cosθ．

（Ⅰ）说明C

1是哪一种曲线，并将C

的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C

3的极坐标方程为θ=α

，其中α

满足tanα

=2，若曲线C

与C

的

公共点都在C

上，求a．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．

2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（2016?新课标Ⅰ）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）

A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}

解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，

则A∩B={3，5}．

故选：B．

2．（5分）（2016?新课标Ⅰ）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）

A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3

解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，

可得：a﹣2=2a+1，

解得a=﹣3．

故选：A．

3．（5分）（2016?新课标Ⅰ）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）

A．B．C．D．

解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．

故选：C．

4．（5分）（2016?新课标Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）

A．B．C．2 D．3

解：∵a=，c=2，cosA=，

∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．

故选：D．

5．（5分）（2016?新课标Ⅰ）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，

则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，

可得：，

4=b2（），

∴，

=3，

∴e==．

故选：B．

6．（5分）（2016?新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）

A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）

解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，

由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，

可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，

即有y=2sin（2x﹣）．

故选：D．

7．（5分）（2016?新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）

A．17πB．18πC．20πD．28π

解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：

可得：=，R=2．

它的表面积是：×4π?22+=17π．

故选：A．

8．（5分）（2016?新课标Ⅰ）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）

A．log

a c＜log

c B．log

a＜log

b C．a c＜b

c D．c a＞c b

解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，

∴log

c a＜log

b，故B正确；

∴当a＞b＞1时，

0＞log

a c＞log

c，故A错误；

a c＞

b c，故C错误；

c a＜c b，故D错误；

故选：B

9．（5分）（2016?新课标Ⅰ）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）

A．B．

C．D．

解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，

∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，

故函数为偶函数，

当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；

当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，

∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，

故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，

故选：D

10．（5分）（2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）

A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x

解：输入x=0，y=1，n=1，

则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，

则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，

则x=，y=6，满足x2+y2≥36，

故y=4x，

故选：C

11．（5分）（2016?新课标Ⅰ）平面α过正方体ABCD﹣A

的顶点A，α∥平

面CB

，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA

=n，则m、n所成角的正弦值为（）

A． B． C． D．

解：如图：α∥平面CB

，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA

=n，

可知：n∥CD

1，m∥B

，∵△CB

是正三角形．m、n所成角就是∠CD

=60°．

则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．

12．（5分）（2016?新课标Ⅰ）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）

A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]

解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，

由题意可得f′（x）≥0恒成立，

即为1﹣cos2x+acosx≥0，

即有﹣cos2x+acosx≥0，

设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，

当t=0时，不等式显然成立；

当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，

由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，

可得3a≥﹣1，即a≥﹣；

当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，

由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，

可得3a≤1，即a≤．

综上可得a的范围是[﹣，]．

故选：C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．（5分）（2016?新课标Ⅰ）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=

．

解：∵；

∴；

即x+2（x+1）=0；

∴．

故答案为：．

14．（5分）（2016?新课标Ⅰ）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则

tan（θ﹣）= ．

解：∵θ是第四象限角，

∴，则，

又sin（θ+）=，

∴cos（θ+）=．

∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．

则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．

故答案为：﹣．

15．（5分）（2016?新课标Ⅰ）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为4π．

解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，

∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，

∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，

即=，

解得：a2=2，

故圆的半径r=2．

故圆的面积S=4π，

故答案为：4π

16．（5分）（2016?新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000 元．

解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．

由题意，得，z=2100x+900y．

不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），

目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．

故答案为：216000．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）（2016?新课标Ⅰ）已知{a

n }是公差为3的等差数列，数列{b

}满足

b 1=1，b

=，a

n+1

=nb

．

（Ⅰ）求{a

}的通项公式；

（Ⅱ）求{b

}的前n项和．

解：（Ⅰ）∵a

n b

n+1

=nb

．

当n=1时，a

．

∵b

1=1，b

=，

∴a

=2，

又∵{a

}是公差为3的等差数列，

∴a

=3n﹣1，

（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b

n+1+b

n+1

=nb

．

即3b

n+1=b

．

即数列{b

}是以1为首项，以为公比的等比数列，

∴{b

n }的前n项和S

==（1﹣3﹣n）=﹣．

18．（12分）（2016?新课标Ⅰ）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．

（Ⅰ）证明：G是AB的中点；

（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，

又E为D在平面PAB内的正投影，

∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，

∵PD∩DE=D，

∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，

则AB⊥PG，

又PA=PB，

∴G是AB的中点；

（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC 内的正投影．

∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，

∴PB⊥PA，PB⊥PC，

又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，

即点F为E在平面PAC内的正投影．

连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．

由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．

=×2××2×2=．

所以四面体PDEF的体积V=×DE×S

△PEF

19．（12分）（2016?新课标Ⅰ）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，

以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解：（Ⅰ）当n=19时，

y==

（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，

更换的易损零件数为17个频率为0.16，

更换的易损零件数为18个频率为0.24，

更换的易损零件数为19个频率为0.24

又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．

则n≥19

∴n的最小值为19件；

（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，

所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）

假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，

所须费用平均数为（90×4000+10×4500）=4050（元）

∵4000＜4050

∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．

20．（12分）（2016?新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y 轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．

解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），

∵M关于点P的对称点为N，

∴=，=t，

∴N（，t），

∴ON的方程为y=x，

与抛物线方程联立，解得H（，2t）

∴==2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知k

=，

∴直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，

∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．

21．（12分）（2016?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，

可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），

①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，

即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增；

②当a＜0时，若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；

由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．

即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；

在（1，ln（﹣2a））递减；

若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；

由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．

即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；

在（ln（﹣2a），1）递减；

（Ⅱ）

①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，

且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；x→﹣∞，f（x）→+∞．f（x）有两个零点；

②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；

③当a＜0时，

若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，

又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；

当a≥﹣时，f（x）在（1，+∞）单调递增，又x≤1时，f（x）＜0，所以f （x）不存在两个零点．

综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．（10分）（2016?新课标Ⅰ）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，OA为半径作圆．

（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．

证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，

∵OA=OB，∠AOB=120°，

∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，

∴直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．

∵OA=OB，TA=TB，

∴OT为AB的中垂线，