第二章 函数
§2.1 映射、函数及反函数
基础自测 1.与函数f(x)=|x|是相同函数的是
( )
A.y=
2
x
B.y=
x
x
2
C.y=elnx
D.y=log22x
答案 A
2.设M={x|0≤x ≤2},N={y|0≤y ≤3},给出下列四个图形(如图所示),其中能表示从集合M 到集合N 的函数关 系
的
有
( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个 答案 C
3.若对应关系f:A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射,则下面说法错误的是 ( )
A.A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素
B.A 中两个元素在
B 中的对应元素必定不同 C.B 中两个元素若在A 中有对应元素,则它们必定不同 D.B 中的元素在A 中可能没有对应元素 答案 B
4.如图所示,①②③三个图象各表示两个变量x,y 的对应关系,则有 ( )
A.都表示映射,且①③表示y 为x 的函数
B.都表示y 是x 的函数
C.仅②③表示y 是x 的函数
D.都不能表示y 是x 的函数 答案 C
5.已知f (x 1
)=x2+5x,则f(x)= .
答案
2
51x
x
+(x ≠
0)
例1 给出下列两个条件:(1)f(
x
+1)=x+2
x
;
(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式. 解(1)令t=
x
+1,∴t ≥1,x=(t-1)2.
则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x ∈[1,+∞). (2)设f(x)=ax2+bx+c (a ≠0),
∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c, 则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.
∴??
?=+=2
2444b a a , ∴??
?-==11b a ,又
f(0)=3?c=3,∴f(x)=x2-x+3.
例2 已知函数f(x)=???????<-=>.
0,1,0,1,0,2x x
x x x
(1)画出函数的图象; (2)求f(1),f(-1),f [])1(-f 的值.
解 (1)分别作出f(x)在x >0,x=0,x <0段上的图象,如图所示,作法略.
(2)f(1)=12=1,f(-1)=-,
11
1
=-f [])1(-f =f(1)=1.
例3(12分)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1),则出厂价相应提高的比例为0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)3年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式;
(2)为使本年度利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x 应在什么范围内?
解 (1)依题意,本年度每辆摩托车的成本为1+x(万元),而出厂价为1.23(1+0.75x) (万元), 销售量为1 0003(1+0.6x)(辆). 故利润
y=
[
1.2
3
(1+0.75x)-(1+x)
]
3 1
0003(1+0.6x),
4分
整理得y=-60x2+20x+200 (0<x
<
1).
6分 (2)要保证本年度利润比上一年有所增加, 则
y-(1.2-1)
3
1
000>0,
8分 即-60x2+20x+200-200>0, 即3x2-x
<
0.
10分 解得0<x <31
,适合0<x <1.
故为保证本年度利润比上年有所增加,投入成本增加的比例x 的取值范围是0<x <31
. 11分 答 (1)函数关系式为y=-60x2+20x+200 (0<x <1).
(2)投入成本增加的比例x 的范围是(0,
3
1
).
12分
1.(1)已知f (
1
2
+x
)=lgx ,求f (x );
(2)已知f (x )是一次函数,且满足3f (x+1)-2f (x-1)=2x+17,求f (x ); (3)已知f (x )满足2f (x )+f (x 1
)=3x ,求f (x ).
解 (1)令x 2
+1=t ,则x=12
-t ,
∴f (t )=lg 12
-t ,∴f (x )=lg 1
2-x ,x ∈(1,+∞).
(2)设f (x )=ax+b ,则
3f (x+1)-2f (x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17, ∴a=2,b=7,故f (x )=2x+7.
(3)2f (
x )+f (
x
1
)=3x ,
①
把①中的x 换
成
x
1
,
得2f (
x
1
)+f (x )=
x
3
②
①32-②得3f (x )=6x-x 3
,∴f (x )=2x-x
1.
2.在同一平面直角坐标系中,函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于直线y=x 对称,现将y=g(x)的图象沿x 轴向左平移
2个单位,再沿y 轴向上平移1 个单位,所得图象是由两条线段组成的折线(如图所示),则函数f(x)的表达式
为 ( )
A.f(x)=?????≤<+≤≤-+2
0,2201,22x x
x x B.f(x)=
?????≤<-≤≤--2
0,220
1,22x x
x x
C.f(x)=?????≤<+≤≤-4
2,12
21,22x x x x D.f(x)=?????≤<-≤≤-4
2,32
21,62x x
x x
答案 A
3.等腰梯形ABCD 的两底分别为AD=2a ,BC=a ,∠BAD=45°,作直线MN ⊥AD 交AD 于M ,交折线ABCD 于N ,记AM=x ,试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数,
并写出函数的定义域.
解 作BH ⊥AD ,H 为垂足,CG ⊥AD ,G 为垂足,
依题意,则有AH=
2
a
,AG=
2
3
a.
(1)当M 位于点H 的左侧时, N ∈AB ,
由于AM=x ,∠BAD=45°. ∴MN=x.
∴y=S △AMN=
2
1
x2(0≤x ≤2a
).
(2)当M 位于HG 之间时, 由于AM=x ,
∴MN=
2
a
,BN=x-
2
a
.
∴y=S 直角梯形AMNB =2
·21a [x+(x-
2
a
)]=21ax-
).
2
32
(
8
2
a x a a
≤
<
(3)当M 位于点G 的右侧时, 由于AM=x ,MN=MD=2a-x. ∴y=S 梯形ABCD-S △MDN =
).22
3(45221)44(2143)2(21)2(2·212
22
22
2a x a a ax x x ax a a x a a a a ≤<-+-=+--=--+
综上:
y=
?????
???????
?
? ??∈-
+-??? ??∈-????
?
?
∈a a x a ax x a a x a
ax a x x
2,234
522
1.
23,28
212,021
2
2
2
2
一、选择题
1.下列函数中,与函数y=x 相同的函数是
( )
A.y=
x
x
2
B.y=(
x
)2 C.y=lg10x
D.y=x
2log 2 答案 C
2.设M={x|-2≤x ≤2},N={y|0≤y ≤2},函数f(x)的定义域为M ,值域为N ,则f(x)的图象可以是图中的( )
答案 B
3.若f(x)=??
?≥<+)
6(log )6()3(2
x x
x x f ,则f(-1)的值为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C
4.已
知f(
2
2
11)11x
x x
x
+-=
+-,则f(x)
的解析式
可取为
( )
A.
2
1x
x
+ B.-2
12x
x
+
C.2
12x
x
+
D.-2
1x
x
+
答案 C 5.
函
数f(x)=
x
x
-132
+lg(3x+1)
的定
义域是
( )
A.(-∞,-31
) B.(-3
1,31
)
C.(-31
,1)
D.(-31
,+∞)
答案 C
6.(20082陕西理,11)定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y ∈R),f(1)=2,则f(-3)等于( )
A.2
B.3
C.6
D.9 答案 C
二、填空题
7.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出 则f [g(1)]的值
为 ,满足f [g(x)]>g [f(x)]的x 的值是 . 答案 1 2
8.已知函数?(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x 的正比例函数,g(x)是x 的反比例函数,且?(31
)=16, ?
(1)=8,
则?(x)= .
答案 3x+x 5
三、解答题
x 1 2 3 f(x)
1
3
1
x 1 2 3 g(x)
3
2
1
9.(1)设f(x)是定义在实数集R 上的函数,满足f(0)=1,且对任意实数a 、b,有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x);
(2)函数f(x) (x ∈(-1,1))满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x). 解 (1)依题意令a=b=x,则f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1), 即f(0)=f(x)-x2-x,而f(0)=1,∴f(x)=x2+x+1. (2)以-x 代x,依题意有
2f(-x)-f(x)=lg(1-x) ① 又2f(x)-f(-x)=lg(1+x) ②
两式联立消去f(-x)得
3f(x)=lg(1-x)+2lg(1+x),∴f(x)=31
lg(1+x-x2-x3)(-1<x <1). 10.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.
(1)求g(x)的解析式;
(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
解 (1)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),
则??????
?=+=+,02
,02
00y y x
x
即??
?-=-=.,00y y x x
∵点Q (x0,y0)在函数y=f(x)的图象上∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x,故g(x)=-x2+2x. (2)由g(x)≥|1|)(--x x f 可得:2x2-|x-1|≤0. 当x ≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解.
当x <1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x ≤.
21因此,原不等式的解集为?
?
????-21,1.
11.如图所示,有一块半径为R 的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状,它的下底AB 是⊙O 的直径,且上底CD 的端点在圆周上,写出梯形周长y 关于腰长x 的函数关系式,并求出它的定义域.
解 AB=2R ,C 、D 在⊙O 的半圆周上, 设腰长AD=BC=x ,作DE ⊥AB , 垂足为E ,连接BD , 那么∠ADB 是直角, 由此Rt △ADE ∽Rt △ABD.
∴AD2=AE 3AB ,即AE=
R
x
2
2
,∴CD=AB-2AE=2R-R
x
2
,
所以y=2R+2x+(2R-R
x
2
), 即y=-
R
x
2
+2x+4R.
再由?
??
??????
>->>020202
2R x R R x
x ,解得
0<x <
2
R.所以y=-
R
x
2
+2x+4R,定义域为(0,
2
R ).
12.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
解 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时,未租出的车辆数为50
000
36003-=12,所以这时租
出了88辆车.
(2)设每辆车的月租金定为x 元,则租赁公司的月收益为f(x)=(100-50
0003)150)(50
000
3--
--x x x 350
整理得f(x)=-502
x
+162x-21 000=-501
(x-4 050)2+307 050. 所以,当x=4 050时,f(x)最大,最大值为f(4 050)=307 050.
即当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307 050元. §2.2 函数的定义域、值域
22xc2
基础自测
1.(20082全国Ⅰ理,1)函数y=
x
x x +
-)1(的定义域为
( )
A.{x|x ≥0}
B.{x|x ≥1}
C.{x|x ≥1}∪{0}
D.{x|0≤x ≤1} 答案 C
2.函数f(x)=3x(0<x ≤2)的反函数的定义域为
( )
A.(0,+∞)
B.(1,9]
C.(0,1)
D.[9,+∞)
答案 B
2.若函数f(x)=loga(x+1)(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1],则a 等于 ( )
A.31
B.2
C.
2
2
D.2
答案 D
4.函数y=
x
x 1
-的值域是
( )
A.??
????-21,21 B.??
????21,0 C.[0,1] D.[0,
+∞)
答案 B
5.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m ],值域为
??
?
???--4,425,则m 的取值范围是
( ) A.
??
? ??3,23 B.
??
????3,23 C.(0,3]
D.
??????3,23
答案 B
例1求下列函数的定义域:
(1)y=
x
x x -+||)
1(0
;
(2)y=2
3
2
531
x
x -+
-; (3)y=
1
·1-+x x .
解
(1)由题意得
,0||0
1??
?>-≠+x x x 化简得,||1
??
?>-≠x x x
即
.0
1
??
?<-≠x x 故函数的定义域为{x|x <0且x ≠-1}.
(2)由题意可得
,050
32
2
?
??≥-≠-x x 解得.5
53
??
??
?≤
≤-±≠x x
故函数的定义域为{x|-
5
≤x ≤
5
且x ≠±3
}.
(3)要使函数有意义,必须有
,010
1???≥-≥+x x 即,1
1??
?≥-≥x x ∴x ≥1,故函数的定义域为[1,+∞).
例2 设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域.
(1)y=f(3x); (2)y=f(x 1
); (3)y=f(
)
31()3
1-
++
x f x ;
(4)y=f(x+a)+f(x-a).
解 (1)0≤3x ≤1,故0≤x ≤31
,
y=f(3x)的定义域为[0,
3
1
].
(2)仿(1)解得定义域为[1,+∞). (3)由条件,y 的定义域是f
)
31(+
x 与
)
3
1(-
x 定义域的交集.
列出不等式组,323134
313
231
131013
10≤≤???????
?≤≤≤≤-??
?????
?
≤-≤≤+≤x x x x x
故y=f
)
31()3
1(-
++
x f x 的定义域为?
?
?
???32,31.
(4)由条件得,111010???+≤≤-≤≤-??
?
?≤-≤≤+≤a x a a
x a a x a x 讨论:
①当??
?+≤--≤,
11,
1a a a a 即0≤a ≤21
时,定义域为[a,1-a ];
②当??
?+≤--≤,1,a a a a 即-2
1≤a ≤0时,定义域为[-a,1+a ].
综上所述:当0≤a ≤21
时,定义域为[a ,1-a ];
当-21
≤a ≤0时,定义域为[-a ,1+a ]. 例3 求下列函数的值域:
(1)y=
;
1
2
2
+--x x x
x (2)y=x-
x
21-;
(3)y=1
e
1
e +-x
x
.
解 (1)方法一 (配方法) ∵y=1-,
11
2
+-x x 而
,
4
34
3)2
1(12
2
≥+
-
=+-x x x
∴0<,
3411
2≤+-x x ∴.
131
<≤-
y ∴值域为?
?
????-1,31.
方法二 (判别式法)
由y=
,
1
2
2
+--x x x
x 得(y-1).
0)1(2
=+-+y x y x
∵y=1时,≠∴?∈y x , 1.又∵∈x R ,∴必须?=(1-y)2-4y(y-1)≥0.
∴.
13
1≤≤-y ∵
,
1≠y ∴函数的值域为?
?
????-1,31.22222222
(2)方法一 (单调性法)
定义域??
??
??
≤21|x x ,函数y=x,y=-x
21-均在?
?? ?
?
∞-21,上递增,故y ≤
.
2
12
1212
1
=
?
--
∴函数的值域为?
?
? ?
?
∞-21,.
方法二 (换元法) 令
x 21-=t,则t ≥0,且x=
.
2
12
t
-
∴y=-21
(t+1)2+1≤21
(t ≥0),
∴y ∈(-∞,21
].
(3)由y=
1
e 1
e +-x
x
得,ex=
.
11y
y
-+
∵ex >0,即y y
-+11>0,解得-1<y <1. ∴函数的值域为{y|-1<y <1}.
例4(12分)若函数f (x )=21
x2-x+a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1),求a 、b 的值.
解 ∵f (x )=
2
1
(x-1)2+a-
2
1
.
2分
∴其对称轴为x=1,即[1,b ]为f (x )的单调递增区间.
4分 ∴
f
(
x )min=f (1)=a-2
1
=1
① 6分 f
(
x
)
max=f
(
b
)
=
2
1
b2-b+a=b
② 8分
由①②解得??
??
?
==.3,
23b a
12分
1.求下列函数的定义域:
(1)y=2
12)
2lg(x
x x -+-+(x-1)0 ; (2)y=)34lg(2
+x x
+(5x-4)0;
(3)y=
2
25x
-+lgcosx; (4)y=lg(ax-k 22x) (a >0).
解
(1)由?????≠->-+>-01,012022x x x x 得?????≠<<-<1,432x x x
所以-3<x <2且x ≠1.
故所求函数的定义域为(-3,1)∪(1,2).
(2)由?
??
??≠-≠+>+045,
134034x x x 得?????
?
?
??≠-≠->5
4,214
3x x x
∴函数的定义域为).
,5
4()54,21(21,43
+∞-??? ??-- (3)由???>≥-0cos 0252
x x ,得,)(22225
5?????∈+<<-≤≤-Z k k x k x π
πππ
借助于数轴,解这个不等式组,得函数的定义域为
.5,23)2,2(23,5???
??-????
??--ππππ
(4)由ax-k 22x >0
)
2
(
a ?x >k (a >0).若k ≤0,∵(2a
)x >0,∴x ∈R.
若k >0,则当2a
>1,即a >2时, 函数的定义域为{x|x >log 2a
k};
当0<
2
a
<1,即0<a <2时,
函数的定义域为{x|x <log 2
a k};
当
2
a
=1,即a=2时,
则有1x >k ,若0<k <1,则函数的定义域为R ; 若k ≥1,则x ∈?,即原式无意义.
2.若函数f(x)的定义域是[0,1],则f(x+a)2f(x-a)(0<a <
2
1
)的定义域是
( )
A.?
B.[a ,1-a ]
C.[-a ,1+a ]
D.[0,1] 答案 B
3.求下列函数的值域:
(1)y=5
21+-x x
; (2)y=|x|
2
1x
-.
解(1)(分离常数法)y=-)
52(272
1++
x ,∵)52(27
+x ≠0,
∴y ≠-21
.故函数的值域是{y|y ∈R,且y ≠-21
}.
(2)方法一 (换元法)
∵1-x2≥0,令x=sin α,则有y=|sin αcos α|=21
|sin2α|,
故函数值域为[0,21
].
方法二 y=|x|2
,
4
1)2
1(12
2
2
4
2
+
-
-=
+-=
-x x x x
∴0≤y ≤
,
21
即函数的值域为?
?????21,0.
4.(20082广东重点中学联考)已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6 (x ∈R). (1)求函数的值域为[0,+∞)时的a 的值;
(2)若函数的值均为非负值,求函数f(a)=2-a|a+3|的值域. 解 (1)∵函数的值域为[0,+∞),
∴Δ=16a2-4(2a+6)=0?2a2-a-3=0∴a=-1或a=23
.
(2)对一切x ∈R ,函数值均非负,∴Δ=8(2a2-a-3)≤0?-1≤a ≤23
,∴a+3>0,
∴f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+23
)2+417
(a ?
????
?
-∈23,1).
∵二次函数
f(a)在?
?
????
-23,1上单调递减,∴f (a )min=f )
23(=-
4
19
,f (a )max=f (-1)=4,
∴f(a)的值域为
???
???-4,419.
一、选择题 1.已知函数f(x)的定义域为(0,2],函数f )
1(+x 的定义域为
( )
A.[-1,+∞)
B.(-1,3]
C.[5
,3) D.
(0,
5
)
答案 B
2.(20092河南新郑二中模拟)函数
y=
x
x --2)
1(log 2的定义域是
( )
A.(]2,1
B.(1,2)
C.(2,+∞)
D.(-∞,2) 答案 B
3.(20082湖北理,4)函数f (x )=x
1
ln (
4
3232
2
+--+
+-x x x x )的定义域为
( )
A.(-∞,-4]∪[2,+∞)
B.(-4,0)∪(0,1)
C.[-4,0)∪(0,1]
D.[-4,0)∪(0,1) 答案 D
4.设f(x)=lg
x
x
-+22,则f )
2(
)2
(
x
f x +的定义域为
( )
A.(-4,0)∪(0,4)
B.(-4,-1)∪(1,4)
C.(-2,-1)∪(1,2)
D.(-4,-2)∪(2,4)
答案 B
5.设f(x)=?
??<≥,
1||,
,1||,
2
x x x x g(x)是二次函数,若f(g(x))的值域是[0,+∞),则g(x )的值域是
( )
A.(-∞,-1]∪[1,+∞)
B.(-∞,-1]∪[0,+∞)
C.[0,+∞)
D.[1,+∞)
答案 C
6.定义域为R 的函数y=f(x)的值域为[a ,b ],则函数y=f(x+a)的值域为 ( )A.[2a ,a+b ] B.[a ,b ] C.[0,b-a ] D.[-a ,a+b ]
答案 B 二、填空题
7.(20082安徽理,13)函数f(x)=)
1(log 1
|2|2---x x 的定义域为 .
答案 [3,+∞)
8.若函数y=lg(4-a 22x)的定义域为R ,则实数a 的取值范围为 . 答案 a ≤0 三、解答题
9.(1)求函数f(x)=
2
2
9)
2(1x
x x g --的定义域;
(2)已知函数f(2x )的定义域是[-1,1],求f(log2x)的定义域. 解 (1)要使函数有意义,则只需要:
,330
2,09022
2
???<<-<>?
??>->-x x x x x x 或即解得-3<x <0或2<x <3.
故函数的定义域是(-3,0)∪(2,3).
(2)∵y=f(2x)的定义域是[-1,1],即-1≤x ≤1,∴21
≤2x ≤2.
∴函数y=f(log2x)中21
≤log2x ≤2.即log22
≤log2x ≤log24,∴
2
≤x ≤4.
故函数f(log2x)的定义域为[
2
,4]
10.(20072北京理,19)如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r ,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB 是半椭圆的短轴,上底CD 的端点在椭圆上.记CD=2x,
梯形面积为S.
(1)求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (2)求面积S 的最大值.
解(1)依题意,以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O-xy (如图),
则点C 的横坐标为x,点C 的纵坐标y 满足方程
1
42
2
2
2=+
r
y
r
x (y ≥0),
解得y=22
2x
r -(0<x <r).S=21
(2x+2r)22
2
2x
r -
=2(x+r)2
2
2
x
r -,其定义域为{x|0<x <r}.
(2)记f(x)=4(x+r)2(r2-x2),0<x <r,则)(x f '=8(x+r)2(r-2x).
令
)
(x f '=0,得x=21
r.因为当0<x <2r
时,
)
(x f '>0;
当2r
<x <r 时,
)
(x f '<0,所以f (21
r )是f(x)的最大值.
因此,当x=21
r 时,S 也取得最大值,最大值为
2
2
33)21(r
r f =
.
即梯形面积S 的最大值为
.
2
3
32
r
11.已知二次函数f(x )的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x 的解集为(1,3). (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式; (2)若f(x)的最大值为正数,求a 的取值范围. 解 (1)∵f (x )+2x >0的解集为(1,3), 则可令f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a <0,因而有
f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a, ① 由方
程
f(x)+6a=0,
得
ax2-(2+4a)x+9a=0,
②
因为方程②有两个相等的根,
∴Δ=[-(2+4a )]2-4a 29a=0,即5a2-4a-1=0,解得a=1或a=-51
.
由于a <0,舍去a=1.将a=-51
代入①式,得f(x)的解析式为
f(x)=-
5
1
x2-56
x-53
.
(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a
a
a a a
a x 1
4)21(2
2
++-
+-,
及a <0,可得f(x)的最大值为-,
1
42
a
a a ++由
??
??
?<>++-
,0,01
42
a a a a
解得a <-2-3
或-2+
3
<a <0.故当f(x)的最大值为正数时,实数a 的取值范围是
(-∞,-2-3
)∪(-2+3
,0).
12.已知函数f(x)=2x-1的反函数为)
(1
x f -,g(x)=log4(3x+1) .
(1)用定义证明)
(1
x f
-在定义域上的单调性;
(2)若
)
(1
x f
-≤g(x),求x 的取值集合D ;
(3)设函数H (x )=g (x )-21
)
(1
x f -,当x ∈D 时,求函数H (x )的值域.
(1)证明 函数f(x)的值域为(-1,+∞), 由y=2x-1得x=log2(y+1),
所以f -1(x)=log2(x+1) (x >-1). 任取-1<x1<x2,
)
(1
x f --
)
(1
x f -=log2(x1+1)-log2(x2+1)
=log2
1
1
21++x x .
由-1<x1<x2,得0<x1+1<x2+1,
因此0<1
1
21++x x <1,得log21
1
2
1++x
x <0,
所以1
-f
(x1)<1
-f (x2),
故
1
-f
(x)在(-1,+∞)上单调递增.
(2)解1
-f
≤g(x),即log2(x+1)≤log4(3x+1)
???+≤+>+????
??+≤+>+>+?13)1(011
3)1(0130
12
2x x x x x x x
解得0≤x ≤1,所以D=[0,1].
(3)解 H (x )=g (x )-21
f -1(x)
=log4(3x+1)-21
log2(x+1)
=2
1
log2
1
13++x x =
).
1
23(log 2
1
2+-
x
由0≤x ≤1,得1≤3-1
2
+x ≤2,所以0≤log2
)
1
23(+-x ≤1,
因此函数
H (x)的值域为.
21,0??????
§2.3 函数的单调性与最大(小)值
基础自测
1.已知函数y=f(x)是定义在R
上的增函数,则
f(x)=0
的根
( )
A.有且只有一个
B.有2个
C.至多有一个
D.以上均不对
答案 C
2.(20082保定联考)已知f(x)是R 上的增函数,若令F (x )=f (1-x )-f (1+x ),则F (x )是R 上的 ( )
A.增函数
B.减函数
C.先减后增的函数
D.先增后减的函数 答案 B
3.若函数f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在区间(-∞,1]上是减函数,则a 的取值范围是 ( )
A.[-3,-1]
B.(-∞,-3]∪[-1,+∞)
C.[1,3]
D.(-∞,1]∪[3,+∞) 答案 C
4.函数f(x)=x3+ax2+bx+c ,其中a 、b 、c ∈R ,则a2-3b <0时,f(x)是 ( )
A.增函数
B.减函数
C.常数函数
D.单调性不确定的函数 答案 A
5.(20092成都检测)已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m ]上最大值为3,最小值为2,则m 的取值范 围为
( ) A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,-2] D.[1,
2]
答案 D
例1 已知函数f(x)=ax+
1
2
+-x x (a >1).
证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数. 证明 方法一 任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨设x1<x2,则x2-x1>0, 1
2x x a
->1且1
x a >0,
∴
)1(1
211
2
>-=--x x x x x a
a a
a
,又∵x1+1>0,x2+1>0,
∴
)
1)(1()(3)1)(1()
1)(2()1)(2(1
21
2
21122121121122++-=
+++--+-=
+--
+-x x x x x x x x x x x x x x >0,
于是f(x2)-f(x1)=1
2
x x a a -+12
12
1
12
2+--+-x x x x >0, 故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
方法二 f(x)=ax+1-13
+x (a >1),
求导数得
)
(x f '=axlna+
2
)
1(3
+x ,∵a >1,∴当x >-1时,axlna >0,
2
)
1(3
+x >0,
)
(x f '>0在(-1,+∞)上恒成立,则f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
方法三 ∵a >1,∴y=ax 为增函数,
又y=
1
311
2
+-+
=+-x x x ,在(-1,+∞)上也是增函数.
∴y=ax+
1
2
+-x x 在(-1,+∞)上为增函数.
例2 判断函数f(x)=1
2
-x 在定义域上的单调性.
解 函数的定义域为{x|x ≤-1或x ≥1}, 则f(x)=
1
2
-x ,
可分解成两个简单函数. f(x)=
)
(,)(x u x u =x2-1的形式.当x ≥1时,u(x)为增函数,
)
(x u 为增函数.
∴f (x )=1
2
-x 在[1,+∞)上为增函数.当x ≤-1时,u (x)为减函数,)
(x u 为减函数,
∴f(x)=
1
2
-x 在(-∞,-1]上为减函数.
例3 求下列函数的最值与值域:
(1)y=4-
2
23x
x -+; (2)y=x+x 4
;(3)y=
4
)2(12
2
+-+
+x x .
解 (1)由3+2x-x2≥0得函数定义域为[-1,3],又t=3+2x-x2=4-(x-1)2. ∴t ∈[0,4],t
∈[0,2],从而,当x=1时,ymin=2,当x=-1或x=3时,ymax=4.故值
域为[2,4].
(2)方法一 函数y=x+x 4
是定义域为{x|x ≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x >0时,即可知x <0时的最值.
∴当x >0时,y=x+x 4
≥2x
x 4?
=4,等号当且仅当x=2时取得.当x <0时,y ≤-4,
等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),无最值. 方法二 任取x1,x2,且x1<x2,
因为f(x1)-f(x2)=x1+1
4x -(x2+2
4x )=,
)
4)((2
12121x x x x x x --
所以当x ≤-2或x ≥2时,f(x)递增,当-2<x <0或0<x <2时,f(x)递减. 故x=-2时,f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时, f(x)最小值=f(2)=4,
所以所求函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),无最大(小)值. (3)将函数式变形为 y=
2
22
2
)
20()2()10()0(++-+
-+-x x ,
可视为动点M (x,0)与定点A (0,1)、B (2,-2)距离之和,连结AB ,则直线AB 与x 轴的交点(横坐标)即为所求的最小值点.
ymin=|AB|=
13
)21()20(2
2=
++-,可求得x=32
时,ymin=
13
.
显然无最大值.故值域为[
13
,+∞).
例4 (12分)函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x >0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R 上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3. 解 (1)设x1,x2∈R ,且x1<x2, 则x2-x1>0,∴
f(x2-x1)
>
1.
2分
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.
5分
∴f (x2)>f(x1). 即
f(x)
是
R
上
的
增
函
数
.
6分
(2)∵f (4)=f (2+2)=f (2)+f (2)-1=5, ∴f
(
2
)
=3
,
8分
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2), ∵f(x)是R 上的增函数,∴3m2-m-2
<2,
10分
解得-1<m <
3
4
,故解集为(-1,
3
4
).
12分
1.讨论函数f (x )=x+x a
(a >0)的单调性.
解 方法一 显然f (x )为奇函数,所以先讨论函数f (x )在(0,+∞)上的单调性,设x1
>x2>0,则
f(x1)-f(x2) =(x1+1x a
)-(x2+
2
x a )=(x1-x2)2(1-2
1
x x a
).
∴当0<x2<x1≤
a
时,
2
1x x a
>1,
则f (x1)-f (x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f (x )在(0,
a
]上是减函数.
当x1>x2≥a
时,0<
2
1x x a
<1,则f (x1)-f (x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f (x )在[a
,+∞)上是增函数.∵f (x )是奇函数,
∴f (x )分别在(-∞,-a
]、[
a
,+∞)上为增函数; f (x )分别在[-a
,0)、(0,
a
]上为减函数.
方法二 由)(x f '=1-2
x
a =0可得x=±
a
当x >a
或x <-
a
时,)
(x f '>0∴f (x )分别在(a
,+∞)、(-∞,-
a
]上是增函数.
同理0<x <
a
或-
a
<x <0时,
)
(x f '<0
即f (x )分别在(0,a
]、[-
a
,0)上是减函数.
2.求函数y=
2
1log
(4x-x2)的单调区间.
解 由4x-x2>0,得函数的定义域是(0,4).令t=4x-x2,则y=2
1log
t.
∵t=4x-x2=-(x-2)2+4,∴t=4x-x2的单调减区间是[2,4),增区间是(0,2]. 又y=
2
1log
t 在(0,+∞)上是减函数,∴函数y=
2
1log
(4x-x2)的单调减区间是(0,2],单
调增区间是[2,4).
3.在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf (x )=f (x+1)-f (x ).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x (x >0)台的收入函数为R (x )=3 000x-20x2 (单位:元),其成本函数为C (x )=500x+4 000(单位:元),利润是收入与成本之差. (1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x );
(2)利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )是否具有相同的最大值?
解 (1)P (x )=R (x )-C (x )=(3 000x-20x2)-(500x+4 000)=-20x2+2 500x-4 000(x ∈[1,100]且x ∈N,
MP (x )=P (x+1)-P (x )=-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000-(-20x2+2 500x-4 000) =2 480-40x (x ∈[1,100]且x ∈N ).
(2)P (x )=-20(x-
)
2
125
2+74 125,当x=62或63时,P(x)max=74 120(元).
因为MP (x )=2 480-40x 是减函数,所以当x=1时,MP(x)max=2 440(元).
因此,利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )不具有相同的最大值.
4.(20092广西河池模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()
2
1
x x =f(x1)-f(x2),且
当x >1时,f(x)<0. (1)求f(1)的值;
(2)判断f(x )的单调性;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.
解 (1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则2
1
x x >1,由于当x >1时,f(x)<0,
所以f )
(
2
1x x <0,即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
(3)由f(2
1x x )=f(x1)-f(x2)得f()
3
9=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2. 由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数,
由f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x >9或x <-9.因此不等式的解集为{x|x >9或x <-9}.
一、选择题 1.函数f(x)=ln(4+3x-x2)
的单调
递减区
间是
( )
A.(-∞,23
] B.[23
,+∞) C.(-1,23
] D.[23
,4)
答案 D
2.已知函数f (x )在区间[a ,b ]上单调,且f (a )2f (b )<0,则方程f (x )=0在区间[a ,b ]上 ( ) A.至少有一实根 B.至多有一实根
C.没有实根
D.必有惟一的实根 答案 D 3.函数y=lg(x2+2x+m)的
值
域
是
R,
则
m
的
取
值
范
围
是
( ) A.m >1
B.m ≥1
C.m ≤1
D.m ∈R 答案 C
4.函数f(x)(x ∈R)的图象如下图所示,则函数g(x)=f(logax) (0<a <1)的单调减区间是 ( )
A.[0,21
] B.(-∞,0)∪[21
,+∞) C.[
a
,1] D.[
a
,
1
+a ]
答案 C
5.已知f(x)=??
?≥<+-)
1(log )1(4)13(x x
x a x a a 是(-∞,+∞)上的减函数,那么a 的取值范围是
导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题,内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数,为的导数.证明: (1)在区间 存在唯一极大值点; (2)有且仅有2个零点. 【解析】(1)设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ???时,单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ??? , 可得在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>;当,2x πα?? ∈ ??? 时,. 所以在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. (2)()f x 的定义域为. (i )由(1)知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当时, ,故()f x 在单调递减,又,从而是()f x 在的唯 一零点. ()sin ln(1)f x x x =-+()f x '()f x ()f x '(1,)2 π-()f x ()g'x ()g'x α()0g'x <()g x ()g x (1,)-+∞(1,0)x ∈-()0f 'x <(1,0)-(0)=0f 0x =(1,0]-
(ii )当0,2x π?? ∈ ??? 时,由(1)知,在单调递增,在单调递减,而 ,02f π??'< ???,所以存在,2πβα?? ∈ ???,使得,且当时, ;当,2x πβ??∈ ???时,.故在单调递增,在,2πβ?? ???单调递 减.又,1ln 1022f ππ???? =-+> ? ???? ?,所以当时,. 从而()f x 在0,2π?? ??? 没有零点. (iii )当,2x ππ??∈ ???时,()0f x '<,所以()f x 在,2ππ?? ???单调递减.而 ()0,02f f ππ??>< ??? ,所以()f x 在,2ππ?? ??? 有唯一零点. (iv )当时,()l n 11x +>,所以<0,从而()f x 在没有零点. 综上, ()f x 有且仅有2个零点. 【变式训练1】【2020·天津南开中学月考】已知函数3()sin (),2 f x ax x a R =-∈且 在,0,2π?? ????上的最大值为32π-, (1)求函数f (x )的解析式; (2)判断函数f (x )在(0,π)内的零点个数,并加以证明 【解析】(1)由已知得()(sin cos )f x a x x x =+对于任意的x∈(0, 2 π), 有sin cos 0x x x +>,当a=0时,f(x)=? 3 2 ,不合题意; 当a<0时,x∈(0, 2π),f′(x)<0,从而f(x)在(0, 2 π )单调递减, 又函数3 ()sin 2f x ax x =- (a∈R)在[0, 2 π]上图象是连续不断的, 故函数在[0, 2 π ]上的最大值为f(0),不合题意; ()f 'x (0,)α,2απ?? ???(0)=0f '()0f 'β=(0,)x β∈()0f 'x >()0f 'x <()f x (0,)β(0)=0f 0,2x ?π?∈ ???()0f x >(,)x ∈π+∞()f x (,)π+∞
第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 (1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的14 C 的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景; (2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。 (3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点; (4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用; (2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(a >0,a ≠1)。 4、函数与方程
(1)了解函数零点的概念,结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系。 (2)理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。 (3)能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中,选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题,而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点:①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数,在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看,对指数函数、对数函数、幂函数的考查,大多以基本函数的性质为依托,结合运算推理,能运用它们的性质解决具体问题。为此,我们要熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是:1.题型有两个选择题和一个解答题;2.题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题,则难度会加大。
高三数学专题复习(函数与方程练习题) 一、选择题 1、定义域为R 的函数y =f (x)的值域为[a ,b ],则函数y =f (x +a )的值域为( ) A 、[2a ,a +b ] B 、[a ,b ] C 、[0,b -a ] D 、[-a ,a +b ] 2、若y =f (x)的定义域为D ,且为单调函数,[a ,b ]D ,(a -b )·f (a)·f (b)>0,则下列命题正确为( ) A 、若f (x)=0,则x ∈(a ,b ) B 、若f (x)>0,则x ? (a ,b) C 、若x ∈(a ,b ),则f (x)=0 D 、若f (x)<0,则x ? (a ,b ) 3、设点P 为曲线y =x 3-3 x +3 2 上的任意一点,P 点处切线倾斜角为α,则α的取值范围为( ) A 、[32π,π] B 、(2π,π) C 、[0,2 π]∪(65π,π) D 、[0,2 π ]∪[32π,π) 4、设函数f (x)是定义R 上的奇函数,若f (x)的最小正周期为3,且f (1)>1,f (2)=1 3 2+-m m ,则m 的取 值范围为( ) A 、m < 32 B 、m <32且m ≠-1 C 、-1<m <32 D 、m >3 2 或m <-1 5、定义在R 上的函数f (x)在(-∞,2)上是增函数,且f (x +2)的图象关于x =0对称,则( ) A 、f (-1)<f (3) B 、f (0)>f (3) C 、f (-1)=f (3) D 、f (0)=f (3) 6、已知对一切x ∈R ,都有f (x)=f (2-x )且方程f (x)=0有5个不同的根,则这5个不同根的和为( ) A 、10 B 、15 C 、5 D 、无法确定 7、函数y =log 2 1 (x 2+kx +2)的值域为R ,则k 的范围为( ) A 、[22 ,+∞] B 、(-∞,-22)∪[22,+∞]
专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念,了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一:函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫. 复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手,在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固,在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化.具体要求是: 1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义,能准确判断函数的奇偶性,以及函数在某一区间的单调性,能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性. 2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特征的理解和运用,归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法. 3.培养学生用运动变化的观点分析问题,提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力. 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解. 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数y=f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关
函数专题练习 1.函数1()x y e x R +=∈的反函数是( ) A .1ln (0)y x x =+> B .1ln (0)y x x =-> C .1ln (0)y x x =--> D .1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+=?>? 是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11 [,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠ , 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数,当01x <<时,()l g f x x = 设 63(),(),52a f b f ==5 (),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1 (,)3 -+∞ B . 1 (,1)3 - C . 11 (,)33 - D . 1 (,)3 -∞- 6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ 7、函数()y f x =的反函数1 ()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示),则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称,则 A .()22()x f x e x R =∈ B .()2ln 2ln (0)f x x x => )
指对函数 1比较大小,是指对函数这里很爱考的一类题型,主要依靠指对函数本身的图像性质来做题,此外,对于公式的理解也很重要。常用方法有建立中间量;估算;作差法;作商法等。 1、若π2log =a ,6log 7=b ,8.0log 2=c ,则( ) A.c b a >> B.c a b >> C.b a c >> D.a c b >> 2、三个数6log ,7.0,6 7.067 .0的大小顺序是( ) A.60.70.70.7log 66<< B.60.70.70.76log 6<< C.0.760.7log 660.7<< D.60.7 0.7log 60.76<< 3、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ,则( ) A.312y y y >> B.213y y y >> C.132y y y >> D.123y y y >> 4、当10<> B.a a a a a a >> C.a a a a a a >> D.a a a a a a >> 5、设 1)3 1()31(31<<>x x b a ,则下列不等式成立的是( ) A .10<<a 且1≠a ),则()f x 一定过点( ) A.无法确定 B.)3,0( C.)3,1( D.)4,2( 2、当10≠>a a 且时,函数()32-=-x a x f 必过定点( ) 3、函数0.(12>+=-a a y x 且)1≠a 的图像必经过点( ) 4、函数1)5.2(log )(-+=x x f a 恒过定点( ) 5、指数函数()x a x f =的图象经过点?? ? ??161,2,则a =( ) 6、若函数log ()a y x b =+ (0>a 且1≠a )的图象过)0,1(-和)1,0(两点,则b a ,分别为( ) A.2,2==b a B.2,2==b a C.1,2==b a D.2,2==b a 3针对指对函数图像性质的题
高三数学专题复习知识点 【篇一】 1.进行集合的交、并、补运算时,不要忘了全集和空集的特殊情况,不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.在应用条件时,易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时,易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时,易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增,则一定存在反函数,且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数,此函数不一定单调 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法 11.求函数单调性时,易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零,底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?
16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性,易忽略参数的范围。 17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时,你是否注意到:当时,“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程,二次函数或二次不等式,你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 18.利用均值不等式求最值时,你是否注意到:“一正;二定;三等”. 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提,函数的单调性为基础,分类讨论是关键”,注意解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是……”. 22.在求不等式的解集、定义域及值域时,其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示. 23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0,a24.解决一些等比数列的前项和问题,你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗? 25.在“已知,求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时,应有)需要验证,有些题目通项是分段函数。 26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在? 27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数,但其定义域中的值不是连续的。) 28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全,二要注意从到过程中,先假设时成立,再结合一些数学方法用来证明时也成立。
e C.e 函数综合练习 姓名:评分: 一、选项择题: 1.集合A={y∈R|y=lg x,x>1},B={-2,-1,1,2}则下列结论正确的是()A.A B= {-2,-1}B.(C A)B=(-∞,0) R C.A B=(0,+∞)D.(C A)B={-2,-1} R 2.a<0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的() A.必要不充分条件B.充分不必要条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3.在同一平面直角坐标系中,函数y=g(x)的图象与y=e x的图象关于直线y=x 对称。而函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,若f(m)=-1,则m的值是() A.-e B.-1 D. 1 e 4.若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)-g(x)=e x,则有() A.f(2)
+ 0) + - 1) - + 0) , log ( x - 1) 的定义域为 1) 8.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中 汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是( ) s s s s O t O t O t O t A . B . C . D . 9.设奇函数 f ( x ) 在 (0, ∞) 上为增函数,且 f (1) = 0 ,则不等式 的解集为( ) A . (-1, (1, ∞) B . (-∞, 1) (0, C . (-∞, 1) (1, ∞) D . (-1, (01) f ( x ) - f (- x ) x < 0 10.“ x -1 < 2 成立”是“ x ( x - 3) < 0 成立”的( ) A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题: 11.函数 f ( x ) = x - 2 - 1 2 . 12.设曲线 y = e ax 在点 (0, 处的切线与直线 x + 2 y + 1 = 0 垂直,则 a = . 13.已知函数 f ( x ) = x 2 + 2 x + a , f (bx ) = 9 x 2 - 6 x + 2 其中 x∈R,a ,b 为常数,则 方程 f (ax + b ) =0 的解集为 . 14.设函数 y = f ( x ) 存在反函数 y = f -1 ( x ) ,且函数 y = x - f ( x ) 的图象过点(1,2), 则函数 y = f -1 ( x ) - x 的图象一定过点 . 三、解答题: 15. (本小题满分 14 分)已知集合 A = {x | ( x - 2)[ x - (3a + 1)] < 0},B = (2a , a 2 + 1) (1)当 a = 2 时,求 A B ; (2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围 16.(本小题满分 12 分) 已知 p :方程 x 2 + mx + 1 = 0 有两个不等的负实根, q :方程 4 x 2 + 4(m - 2) x + 1 = 0 无实根. 若 p 或 q 为真,p 且 q 为假. 求实数 m 的取值范围。
高考数学知识点:必修一函数知识点总结_知识点总结 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A 到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 注意:2如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。 3.函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象. C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A} 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2)画法 A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修4三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质; 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。 发现解题中的错误 4.快去了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.
高三函数综合题 1.已知函数f(x)=2x+2-x a(常数a∈R). (1)若a=-1,且f(x)=4,求x的值; (2)若a≤4,求证函数f(x)在[1,+∞)上是增函数; (3)若存在x∈[0,1],使得f(2x)>[f(x)]2成立,求实数a的取值范围. 2.已知函数f(x)=x2+(x-1)|x-a|. (1)若a=-1,解方程f(x)=1; (2)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围; (3)若a<1且不等式f(x)≥2x-3对一切实数x∈R恒成立,求a的取值范围.
3.已知函数f(x)=x|x-a|+2x-3. (1)当a=4,2≤x≤5,求函数f(x)的最大值与最小值; (2)若x≥a,试求f(x)+3>0的解集; (3)当x∈[1,2]时,f(x)≤2x-2恒成立,求实数a的取值范围. 4.已知函数f(x)=x2-1,g(x)=a|x-1|. (1)若函数h(x)=|f(x)|-g(x)只有一个零点,求实数a的取值范围; (2)当a≥-3时,求函数h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[-2,2]上的最大值.
答案详解 1.已知函数f (x )=2x +2-x a (常数a ∈R ). (1)若a=-1,且f (x )=4,求x 的值; (2)若a≤4,求证函数f (x )在[1,+∞)上是增函数; (3)若存在x ∈[0,1],使得f (2x )>[f (x )]2 成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)由a=-1,f (x )=4,可得2x -2-x =4,设2x =t , 则有t-t -1 =4,即t 2 -4t-1=0,解得t=2±5,当t=2+5时,有2x =2+5,可得x=log 2(2+5). 当t=2-5时,有2x =2-5,此方程无解.故所求x 的值为log 2(2+5). (2)设x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1>x 2, 则f(x 1)-f(x 2)=(2x 1+2 -x 1 a)-(2x 2+2 -x 2 a)=(2x 1-2x 2)+ 2 11 2 2 2 2 x x x x +-a= 2 12 1 2 2 2 x x x x +-(2 x 1+x 2 -a) 由x 1>x 2,可得2x 1>2x 2,即2x 1-2x 2>0,由x 1,x 2∈[1,+∞),x 1>x 2,得x 1+x 2>2,故2x 1+x 2>4>0, 又a≤4,故2x 1+x 2>a ,即2x 1+x 2-a >0,所以f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 故函数f (x )在[1,+∞)上是增函数. (3)因为函数f (x )=2x +2-x a ,存在x ∈[0,1], f (2x )>[f (x )]2?22x +2-2x a >22x +2a+2-2x a 2?2-2x (a 2 -a )+2a <0 设t=2-2x ,由x ∈[0,1],可得t ∈[ 4 1,1],由存在x ∈[0,1]使得f (2x )>[f (x )]2 , 可得存在t ∈[ 4 1,1],使得(a 2-a )t+2a <0,令g (t )=(a 2 -a )t+2a <0, 故有g( 41)=4 1(a 2-a)+2a <0或g (1)=(a 2 -a )+2a <0, 可得-7<a <0.即所求a 的取值范围是(-7,0). 2.已知函数f (x )=x 2 +(x-1)|x-a|. (1)若a=-1,解方程f (x )=1; (2)若函数f (x )在R 上单调递增,求实数a 的取值范围; (3)若a <1且不等式f (x )≥2x -3对一切实数x ∈R 恒成立,求a 的取值范围. 解析:(1)当a=-1时,f (x )=x 2 +(x-1)|x+1|,故有,f(x)= ???-<-≥-11 1 122x x x , 当x≥-1时,由f (x )=1,有2x 2 -1=1,解得x=1,或x=-1. 当x <-1时,f (x )=1恒成立, ∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}. (2)f(x)= ? ??<-+≥++-a x a x a a x a x a x )1()1(22
高三总复习-指对数函数题型总结归纳
指对函数 1比较大小,是指对函数这里很爱考的一类题型,主要依靠指对函数本身的图像性质来做题,此外,对于公式的理解也很重要。常用方法有建立中间量;估算;作差法;作商法等。 1、若π2 log =a ,6log 7 =b ,8.0log 2 =c ,则( ) A.c b a >> B.c a b >> C.b a c >> D.a c b >> 2、三个数6log ,7.0,67 .06 7.0的大小顺序是( ) A.60.70.70.7log 66<< B.60.70.70.76log 6<< C.0.76 0.7 log 660.7<< D.6 0.7 0.7 log 60.76<< 3、设 1.5 0.90.4812314,8,2y y y -?? === ? ?? ,则( ) A.3 12 y y y >> B.2 13 y y y >> C.1 32 y y y >> D.1 23 y y y >> 4、当10<> B.a a a a a a >> C.a a a a a a >> D.a a a a a a >> 5、设1)3 1 () 31 (31<<>x x b a ,则下列不等式成立的是( ) A .10<< 函数知识点 一.考纲要求 注:ABC分别代表了解理解掌握 二.知识点 一、映射与函数 1、映射f:A→B 概念 (1)A中元素必须都有象且唯一; (2)B 中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。 2、函数f:A→B 是特殊的映射 (1)、特殊在定义域A 和值域B都是非空数集。函数y=f(x)是“y是x 的函数” 这句话的数学表示,其中x是自变量,y是自变量x的函数,f 是表示对应法则, 它可以是一个解析式,也可以是表格或图象, 也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与 x 轴至多有一个公共 点,但与 y 轴的公共点可能没有,也可能是任意个。(即一个x 只能对应一个y ,但一个y 可以对应多个x 。) (2)、函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决 定作用的 要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 二、函数的单调性 它是一个区间概念,即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的。判断方法如下: 1、作差(商)法(定义法) 2、导数法 3、复合函数单调性判别方法(同增异减) 三.函数的奇偶性 ⑴偶函数:)()(x f x f =- 设(b a ,)为偶函数上一点,则(b a ,-)也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于y 轴对称,例如:12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足)()(x f x f =-,或0)()(=--x f x f ,若0)(≠x f 时,1) () (=-x f x f . ⑵奇函数:)()(x f x f -=- 设(b a ,)为奇函数上一点,则(b a --,)也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称,例如:3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-,或0)()(=+-x f x f ,若0)(≠x f 时, 1)() (-=-x f x f ※四.函数的变换 ①()()y f x y f x =?=-:将函数()y f x =的图象关于y 轴对称得到的新的图像 就是()y f x =-的图像; -a -c -b d c b a y=f(x) o y x ? -a -c -b d c b a y=f(-x) o y x ②()()y f x y f x =?=-:将函数()y f x =的图象关于x 轴对称得到的新的图像就是()y f x =-的图像; 北京第十八中学高三数学第一轮复习 14 函数的表示法求解 析式教学案(教师版) 一、课前检测 1.若函数()f x 满足2(1)2f x x x +=-,则f = . 答案:6- 2.已知()()()23,2f x x g x f x =++=,则()g x = . 答案:21x - 3. 若)(x f 是一次函数,14)]([-=x x f f 且,则)(x f = . 答案:()123f x x =- 或()21f x x =-+ 二、知识梳理 求函数解析式的题型有: 1.已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; 解读: 2.已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x :换元法、配凑法; 解读: 3.已知函数图像,求函数解析式; 解读: 4.()f x 满足某个等式,这个等式除()f x 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法; 解读: 5.应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等. 解读: 三、典型例题分析 例1 设2211(),f x x x x +=+ ,求()f x 的解析式. 答案:()22f x x =- 变式训练1:设(cos )cos 2,(sin )f x x f x =求的解析式. 答案:()2sin 1f x x =- 变式训练2:设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+, 求)]([x g f . 答案:()22f x x =-,()33g x x x =-,642[()]692f g x x x x =-+- 小结与拓展:配凑法 例2 设23)1(2+-=+x x x f ,求)(x f 的解析式. 答案:2()56f x x x =-+ 变式训练1:已知21lg f x x ??+= ???,求)(x f 的解析式. 答案:2 ()lg 1f x x =- 变式训练2:设x x f 2cos )1(cos =-,求)(x f 的解析式. 答案:2()21f x x x =++ 小结与拓展:换元法 例3 已知()f x 是一次函数,且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+, 求()f x 的解析式; 答案:()27f x x =+ 变式训练1:已知12()3f x f x x ?? += ???,求)(x f 的解析式. 答案:1 ()2f x x x =- 经典函数测试题及答案 (满分:150分 考试时间:120分钟) 一、选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.函数)12(-=x f y 是偶函数,则函数)2(x f y =的对称轴是 ( ) A .0=x B .1-=x C .21= x D .2 1-=x 2.已知1,10-<<x 时,,log )(2x x f =则当0 高三数学试卷中函数专题复习策略 一、《考试说明》对函数部分的要求 1.函数.理解函数的概念、定义域、值域、奇偶性,了解函数的单调性、周期性、最大值、最小值; 2.基本初等函数.了解幂函数的概念及图象,理解指数函数、对数函数的概念及图象和性质,理解指数及对数的运算. 3.函数与方程.了解函数的零点与方程根的联系,能够用二分法求相应方程的近似解. 4.函数模型及应用.理解常见的函数模型在实际问题中的应用. 5.理解导数的几何意义,会根据公式、四则运算法则、复合函数求导法则求函数的导数,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,函数的极大值、极小值,闭区间上函数的最大值、最小值. 二、函数部分命题特点 函数是高中数学的核心内容,是学习高等数学的基础,作为高中数学中最重要的知识模块,贯穿着中学数学的始终.综观近几年的高考情况,函数命题呈现如下特点: 1.知识点覆盖面全.近几年高考题中,函数的所有知识点基本都考过,特别是函数的图象性质、导数的几何意义与应用以及函数与不等式的综合基本上年年必考. 2.题型难度涉及面广.在每年高考题中,低档、中档、高档难度的函数题都有,且填空、解答题型都有. 3.综合性强.为了突出函数在中学数学中的主体地位,近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透,例如,解析几何中经常涉及函数的值域的求法,三角、数列本质上也是函数问题. 三、函数复习中关注方面 (一)关注函数的定义域 定义域的求法实际上就是解不等式,考生必须能够做到以下两点:一是熟知定义域常见要求,如分式的分母不为零;偶次根号下非负;对数的真数大于零,底数大于零且不等于1;零次幂的底数不为零;三角函数中的正切、余切的定义域等等;二是熟练掌握常见不等式的解法,如二次不等式、分式不等式、根式不等式、三角不等式以及简单的指对数不等式. 例1.(2012年江苏卷)函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 . 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得 最新高三数学知识点总结 精品学习高中频道为各位同学整理了高三数学知识点总结,供大家参考学习。更多各科知识点请关注新查字典数学网高中频道。 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的确定性、互异性、无序性。 中元素各表示什么? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性质: (3)德摩根定律: 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 的取值范围。 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f:AB,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? 10. 如何求复合函数的定义域? 义域是_____________。 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? 12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解x;②互换x、y;③注明定义域) 13. 反函数的性质有哪些? ①互为反函数的图象关于直线y=x对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性; 14. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性? 15. 如何利用导数判断函数的单调性? 值是( ) A. 0B. 1C. 2D. 3 a的最大值为3) 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称) 注意如下结论: 第一篇、复合函数问题 一、复合函数定义: 设y=f(u)的定义域为A ,u=g(x)的值域为B ,若A ?B ,则y 关于x 函数的y=f [g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题: (一)例题剖析: (1)、已知 f x ()的定义域,求[]f g x ()的定义域 思路:设函数 f x ()的定义域为D ,即x D ∈,所以f 的作用范围为D ,又f 对g x ()作用,作用范 围不变,所以D x g ∈)(,解得x E ∈,E 为[]f g x ()的定义域。 例1. 设函数 f u ()的定义域为(0,1) ,则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析:函数 f u ()的定义域为(0,1)即u ∈()01,,所以f 的作用范围为(0,1) 又f 对lnx 作用,作用范围不变,所以01<高考复习文科函数知识点总结
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