SPP基本理论
1基本理论
2.1体材料无限大金属表面等离子体的传输和激发原理
对于二维无限大平板问题，以平板所在平面为x-y平面，以平板外法向为z轴建立坐标系（如图2.1）。若要激起表面等离子体激元，使导体表面的自由电子重新分布，就要求电场在金属表面处于表面垂直。因此对于二维问题，只有TM极化的入射光才能激发表面等离子体激元，这也与试验相吻合[12]。
图2.1 表面等离子体激元效应发生时金属表面电荷和电场的分布情况
1986年Raether总结前人的理论和试验，结合表面等离子体激元的特性，给出了Maxwell 方程表面模式的解[13]。下面就简要介绍一下这个理论。
2.1.1 二维体材料表面等离子体在无限大光滑金属表面的传输理论2.1.1.1 二维表面等离子体激元传输的色散关系
对于图2.1中所示的表面光滑，在z轴负方向上无限大的二维平板，当TM激化的电磁场入射在界面上时，结合表面等离子体沿x方向传输，在z轴正负方向都指数衰减的特点，Maxwell方程的解可以写成
1111()
11()111(0,,0)0:(,0,)x z x z i k x k z t y i k x k z t x z H e z E E e ωω----=<=H E (2.1a)
1111()
22()
222(0,,0)0:(,0,)x z x z i k x k z t y i k x k z t x z H e z E E e ωω+-+-=>=H E (2.1b)
其中下标1表示z<0的介质，下标2表示z>0的介质，k 表示波矢。将(2.1)式代入Maxwell
方程中的i
i i
t
ε???=?E H （i=1, 2）得
11112222z y x z y x k H E k H E ωεωε==- (2.2a)错
误！未指定书签。
11112222
x y z x y z k H E k H E ωεωε=-=- (2.2b)错
误！未指定书签。
在边界上电磁场须满足如下的边条件：
1212
112212,,x x y y z z x x x
E E H H E E k k k εε===== (2.3)
由(2.2a)和(2.3)式可以得出
121112220
//0
y y z y z y H H k H k H εε-=+=
若要此方程组有解，则必须系数矩阵行列式为0，即
1
2
1
2
0z z k k εε+
= (2.4)
将(2.1)式代入Maxwell 方程中的0
i
i t
μ???=-?H E （i=1, 2）可得
111101222202
z x x z y z x x z y k E k E H k E k E H ωμωμ--=-= (2.5)
由(2.5)式和(2.2)式可得到
2
2
22()x zi
ri k k k c
ω
ε=+= (2.6)
其中εri 为介质1或2的相对介电常数。(2.6)式结合(2.4)式可得到二维无限大光滑金属平面表
面的色散方程为
1/2
1212x k c εεωεε??= ?
+??
(2.7)
1/2
12112,(0)z k z c εεωεεε?
?
=
-
< ?
+?
?
(2.8a)
1/2
12212,(0)z k z c εεωεεε?
?=-> ?
+??
(2.8b)
将(2.8)式代入(2.1)式后可知，若要求波矢量在z 轴的正负方向上都衰减，则需要k z 为纯虚数。从而若光线从介质中入射，即ε2为正值，由(2.8b)式可以得到ε1一定为负值。而表面波要沿着表面传输，这要求k x 为实数，所以有|ε1|>|ε2|。目前金属和靠近本征频率的掺杂半导体的介电常数满足这个要求，所以目前只有在这些材料上可以看到表面等离子体激元的效应。
借用三维自由空间等离子体（plasma ，不同于表面等离子体激元plasmon ）的介电常数公式[14]
2
2
1p
p ωεω
=- (2.9)
其中εp 为等离子体的介电常数，ω为入射场频率，ωp 为等离子频率，
它等于
，
其中n 为电子密度，e 为电子电量，m 为电子质量。如果假设表面等离子体激元共振时金属的介电常数为三维空间等离子体密度，将(2.9)式代入(2.7)式的ε1可得：
x k c
ω
=
(2.10)
其中εd 为介质的介电常数。由此可以得到二维表面等离子体激元传输的色散关系如图 2.2所示。由(2.10)式可以马上得到，在k x
很大的地方，它们应该分别趋于/p
ω
和
/p ω。
图2.2色散关系曲线。左边的ω=ck x曲线为光在真空中的色散曲线，它右边的实线为介质2为空气时的色散曲线，右边的虚线对应介质2为任意介电常数为ε2的色散曲线。ωp为大块金属的等离子体频率。
2.1.1.2 表面等离子体激元光学器件的四个特征尺寸
1．金属衰减深度δm
众所周知，金属具有趋肤深度，当电磁波照射到金属表面时，在趋肤深度内光强衰减到1/e。表面等离子体激元在金属内与表面垂直方向也程指数衰减，定义金属内的衰减深度δm 表示等离子体激元表面波强度衰减为1/e时的深度。将(2.8a)式代入(2.1a)式，由于k z为纯虚数，可以马上得到
1
1
[2Re()]
2
m z
c
k
δ
ω
-
-
==(2.11) 其中εd和εm分别表示介质和金属的介电常数。如果基于表面等离子体激元的光子器件的大小小于δm，那么能量就不能紧紧停留在表面，而是有了透射，这样表面等离子体的特性就不能表现出来，所以金属衰减深度决定了一个表面等离子体激元光子器件的最小尺寸。2．介质衰减深度δd
根据表面等离子体局域场增强的物理特性，与表面垂直方向上的能量不仅在金属内衰
减，在介质内也程指数衰减。同样定义介质内的衰减深度δd表示等离子体激元表面波强度衰减为1/e时的深度。将(2.8b)式代入(2.1b)式，由于k z为纯虚数，可以马上得到
1
1
[2Re()]
2
d z
c
k
δ
ω
-
-
==(2.12) 对于大多数情况，δd>δm。介质衰减深度决定了基于表面等离子体激元的光子器件中介质衬底的最小厚度。
3．表面等离子体激元传输长度δsp
以上的两个参数表达了在垂直于表面的纵向方向上表面等离子激元光子器件的特征尺寸。在沿着表面的横向方向上，表面等离子激元表现出传输的特性。然而事实上，金属的介电常数并不是一个理想的负实数，而是一个复数，它的虚部很小。如果考虑这个虚部，金属的介电常数可以写成εm =εm’+iεm”。将其代入(2.4)式并展开，去掉高阶项可以得到
'"
x x x
k k ik
=+(2.13) 其中
1/2
'
'
'
m d
x
m d
k
c
εε
ω
εε
??
= ?
+
??
，
3/2
2
'"
"
'2(')
m d m
x
m d m
k
c
εεε
ω
εεε
??
= ?
+
??
。
可见，在横向方向上表面等离子激元也会有衰减，定义传输长度δsp表示等离子体激元表面波沿传输方向强度衰减为1/e时的深度，则
3/22
1
'(')
[2"]
'"
m d m
sp x
m d m
c
k
εεε
δ
ωεεε
-
-
??
== ?
+
??
(2.14) 一般δsp>δd>δm，500nm的光入射时，铝的δsp可以达到2μm，而对于损耗较小的银，可以达到20μm，在更大的波长入1550nm处，银的δsp可以达到1mm。传输长度决定了表面等离子体激元光学器件的最大尺寸，一旦大于δsp，则能量衰减过大而不能发挥出器件的特性。4．表面等离子体激元传输波长λsp
根据一般波矢的定义k=2π/λ引入表面等离子激元的传输波λsp，使其满足2π/λsp=k sp=k x，将其代入(2.13)式的实部可得
1/2
'
2
''
m d
sp
x m d
k
εε
π
λλ
εε
-
??
== ?
+
??
(2.15) 其中λ为入射波的波长。λsp决定了光子器件表面刻蚀结构的大小。一般刻蚀结构的周期应为λsp/10。图2.3给出了常用的－两种金属Al和Ag分别在入射光为0.5μm和1.5μm时以上四种特征尺寸的大小。
图2.3银和铝分别在1.5μm和0.5μm的入射光下各个特征尺寸的大小。δm为金属衰减深度，δd为介质衰减深度，λ为表面等离子体激元传输波长，δsp为表面等离子体激元传输长度。
2.1.2体材料中金属表面等离子体激发方式
表面等离子激元的激发可以通过电子和光两种方式，在这里只简单介绍光的激发。由图2.2可以看出，真空中光的色散曲线和表面等离子激元的色散关系除了在k x趋于0的时候没有交点。由于动量大小等于?k，这意味着光的动量和表面等离子的动量失配，不能激发表面等离子体激元。若要解决失配问题，就要增加给定光的动量，使k0等于k sp，如图2.4所示。增加光的动量有两种方法，光栅耦合器和ATR耦合器。
图2.4表面等离子体激元激发条件。虚线为真空中的色散关系，实线为表面等离子体激元的
色散关系，可见为达到动量匹配，入射光的切向波矢k x 需要增加来耦合成表面等离子体激元。
1．光栅耦合器
当入射光以入射角θ（入射光于z 轴夹角）入射时，它在x 方向的分量为k 0=ksin(θ)。如果在金属表面刻蚀周期为a 的光栅，那么入射光波矢的切向分量k x 就会受到调制变为
022sin x sp k n k n k c
a a
ω
ππθ=
±
=±= (2.16) 其中ω为入射光的角频率，n 为任意的整数。因此入射光的动量得到了增加而可以激发表面等离子激元。相反的过程也是成立的，即k sp 由于光栅的调制减少而转变成光。 2．ATR 耦合器
如果入射光在入射到金属之前先经过一层介电系数为ε0（ε0>1）的介质，那么其波矢的切向分量就会变为
x k θ
=
(2.17)
从而使入射光波矢的切向分量增加。ATR 耦合器就是使用这种方法，在金属的表面加上一层介质，从而增大入射光的动量，激发表面等离子激元（如图2.5所示）。
图2.5 ATR 耦合器
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window.location.href=window.location.href;刷新 window.close();关闭窗口，不弹出系统提示，直接关闭 window.close()相当于self属性是当前窗口 window.parent.close()是parent属性是当前窗口或框架的框架组 页面实现跳转的九种方法实例： <html> < head> < meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" /> < title>navigate</title> < script language="javascript">
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