2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国II卷)(含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={}

3,x x x Z <∈,B={}

1,x x x Z >∈,则A B =

A. ?

B. {}3,2,2,3--

C. {}2,0,2-

D. {}2,2-

2.4

1i =-()

A.-4

B.4

C.-4i

D.4i

3.如图,将钢琴上的12个键依次记为1a ,2a ,…,12a .设112i j k ≤<<≤.若3k j -=且4j i -=,则称i a ,j a ,k a 为原位大三和弦;若4k j -=且

3j i -=,则称i a ,j a ,k a 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位

大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 A.5 B.8 C.10 D.15

4.在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压,为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作,已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者 A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名

5.已知单位向量a ,b 的夹角为60°,则在下列向量中,与b 垂直的是 A. 2a b + B. 2a b + C. 2a b - D. 2a b -

6.记n S 为等比数列{n a }的前n 项和.若5a -3a =12, 6a -4a =24,则

n

n

S a = A .2n

-1 B . 2-2t n

- C. 2-n-1

2

D .t-n

2-1

7.执行右面的程序框图,若输入的k=0,a=0,则输出的k 为: A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

8. 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线230x y --=的距离为 A .5 B. 25 C. 35 D. 45

9.设O 为坐标原点,直线x a =与双曲线C :22

22x 1y a b

-=(a>0,b>0)的两条渐近线分别交

于D ,E 两点,若ODE ?的面积为8,则C 的焦距的最小值为 A .4 B .8 C .16 D .32

10.设函数331

()f x x x

=-

,则()f x A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减 C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减

11.已知△ABC 是面积为

4

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的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上,若球O的表面积为16π,则O到平面ABC 的距离为

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A B .

32

C .1

D .2

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12.若2233x y x y ---<-,则 A. ln(1)0y x -+> B. ln(1)0y x -+< C. ln ||0x y -> D. ln ||0x y -<

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13. 若2

sin 3

x =-

,则cos2x =____. 14. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若12a =-,262a a +=,则10S =____.

15.若x ,y 满足约束条件1,1,21,x y x y x y +≥-??

-≥-??-≤?

则2z x y =+的最大值是____.

16.设有下列4个命题:

1P :两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 2P :过空间中任意三点有且仅有一个平面. 3P :若空间两条直线不相交,则这两条直线平行. 4p :若直线l ?平面α,直线m ⊥平面α,则m l ⊥.

则下述命题中所有真命题的序号是_________

1) 14p p ∧ 2)

12p p ∧

3) 23p p ?∨ 4) 34p p ?∨?

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题,共60分。 17.(12分)

ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知25cos cos 24A A π??

++=

???

(1) 求A ; (2)

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若b c -=,证明:ABC ?是直角三角形.

18.(12分)

某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加,为调查该地区某种野生动物的数量,将其分为面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据

i i x y i=20???(,)(1,2,,)

,其中

i

x 和

i

y 分

别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得

()()()()2

2

202020

20

20

i

i

i

i

i

i

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

x =60y =1200x -x =80y -y =9000x -x y -y =800∑∑∑∑∑,,,,.

(1) 求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野

生动物数量的平均数乘以地块数);

(2) 求样本

()(),1,2,i i x y i =…,20的相关系数(精确到0.01)

(3) 根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大,为提高样本的代表性以获得

该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由。

附:相关系数()()

y

n

i

i

x x y

r --=

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∑ 1.414≈.

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19.(12分)

已知椭圆22

122:1(0)x y C a b a b

+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合,1C 的中心与

2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ,B 两点,交2C 于C ,D 两点,且

4

3

CD AB =

. (1) 求1C 的离心率;

(2) 若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12,求1C 与2C 的标准方程.

20.如图,已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形,侧面11BB C C 是矩形,M ,N 分别为BC ,11B C 的中点,P 为AM 上一点,过11B C 和P 的平面交AB 于E ,交AC 于F .

(1)证明:1AA MN ,且平面1A A MN ⊥平面11EB C F ;

(2)设O 为111A B C 的中心,若6AO AB ==,AO 平面11EB C F ,且3

MPN π

∠=,求四棱锥11B EB C F -的体积

21.(12分) 已知函数

()2ln 1f x x =+.

(1) 若

()2f x x c ≤+,求c 的取值范围;

(2) 设0a >,讨论函数()()()

f x f a

g x x a

-=-的单调性.

(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。

22. [选修44-:坐标系与参数方程] (10分) 已知曲线1C ,2C 的参数方程分别为

2

122

14cos ,(:(.14sin x t x t

C t y y t t θθθ?=+??=????=???=-

??

:为参数),C 为参数) (1)将1,C 2C 的参数方程化为普通方程:

(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设1,C ,2C 的交点为P ,求圆心

在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程.

23. [选修4—5:不等式选讲](10分) 已知函数2f ()-a -2a+1x x x =+.

(1) 当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集; (2) 若f(x)≥4,求a 的取值范围.

答案仅供参考一、选择题:

DACBD,BCBBA,CA,

二、填空题:

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三、简答题17题

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18题

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19题

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22题

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23题

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